高中数学-两角差的余弦公式教学设计学情分析教材分析课后反思

“两角差的余弦公式”教学设计本节内容是典型的公式教学,我认为在这种课型中，要让学生充分发挥主观能动性，通过自主学习、小组讨论与合作探究多种方式，经历知识产生的过程，体味发现的乐趣.一位著名数学教育家说过这样一句话：“看着终点，记住你的目的，勿忘你的目标，想着你希望得到的东西.”也即在解题时，要有目标意识，紧扣解题目标，进行有目的的变形.因此本节课的设计流程为“具体问题→猜想→探索推导→记忆→应用”．本节我采用启发引导式教学法，利用多媒体课件和电子白板，通过翻转课堂的形式，引导学生自主学习、小组讨论与合作探究相结合，构建学习共同体.课前两段视频引导学生的学习方向，既激发了学生兴趣，又充分调动学生的主观能动性．教材中两角差的余弦公式的猜想和发现是一个难点，因此我在课前第一段视频先通过赋值的方式引导学生对cos(α-β)的结果进行探究，这也展示了数学知识的发生、发展的具体过程．再复习三角函数线法，从数形结合的角度证明公式在锐角条件下成立，这是本节课的难点，学生很难自己完成，课前视频直观动态的展示了构造过程，突破了难点，学生只需看懂视频及提出疑问，在学案上也设置几个问题，引导学生探究的方向，课上通过小组讨论、合作探究的方式对问题进行解答，引导学生分析如何添辅助线，进而加深理解．第二段视频是向量法证明，是本节的重点．尽管教材在前面的习题中为向量法证明两角差的余弦公式做了铺垫，但多数学生仍难以想到.我没有采用课本上一步到位的证明方式，而是分解开来，先对向量知识进行铺垫，引出时，可以借助于向量数量积或夹角公式解决，课上主要解决推广到任意角时可能遇到的问题，仍然通过问题串的形式，引导学生讨论探究出能否将结论推广到任意角？推广到任意角时，可能遇到急需要解决的问题，共同经历利用旧知识推导、证明新知识．在探究时体会分类讨论的思想方法．整个过程体会向量这一重要工具在解决问题上的便捷．整个公式推导过程体现了特殊到一般的认知规律，这也是我们探索未知世界的常用方法，让学生在这个过程中体味发现的乐趣，培养学生主动学习的能力．公式的记忆与应用是同学们的强项，我没有以例题而是以闯关的形式让学生由易到难顺次解决问题．题目的设置环环相扣、相辅相成，适时地点拨与总结启迪学生的思维，让学生真正学会公式的正用、逆用和变形使用．逆用公式、凑角技巧是学生理解掌握公式的重要标志，通过步步加深的练习，加强学生对公式的理解和应用，引导学生积极参与思维，培养学生观察、比较等思维能力．最后通过学生之间相互出题，培养他们互相交流、互相考查、互相纠错、互相分享学习成果的合作学习精神，真正体现学习共同体的优势．具体教学环节教学环节教学内容教师活动与学生活动设计意图课前视频一、新课引入问题1:cos15°＝cos（45°－30°）＝cos45°－cos30°?问题2:举例说明cos(α-β)=cosα－cosβ？二、探究：如何用任意角α，β的正弦、余弦值表示cos(α-β)？〖探究1〗cos（α-β）公式的结构形式应该与哪些量有关系？猜想：cos（α-β）公式的结构形式应该与sinα,cosα,sinβ,cosβ均有关系.〖探究2〗借助三角函数线来推导cos（α-β）公式如何从数形结合的角度找到cos（α-β）与sinα,cosα,sinβ,cosβ之间的关系？三角函数在形上的直观体现是三角函数线.当都是锐角时，三角函数值正好可以用线段的长度来表示，因此先讨论都是锐角的情况．1.你对这种证明有什么问题？2．你能回答下面的问题吗？3.我们在构造角时，能交换一下的范围吗？你能证明吗？〖探究3〗能否借助向量的数量积来推导cos（α-β）公式？由于这里涉及有α-β这个角的余弦问题，想到向量的夹角可用，我们先把角推广到去证明.思考①怎样作出角、、？②设角α，β的终边与单位圆的交点分别为A、B，则A、B的坐标？试着写出证明过程：为任意角时,(1)可以看作，的夹角？(2)设，是什么？(3)的关系是什么？试着完善解题过程.拓展探究：此公式的证明还有多种方法，留给爱动脑的学生思考研究，并欢迎同学们与老师交流教师提前录制视频，学生根据自己的掌握理解快慢，调节学习进度.根据教师设置的问题积极思考，达到最有效的学习效果.通过自主学习，把对问题的理解写在学案上.便于学生根据自己的接受能力自主决定学习进度，引导学生积极投入到主动学习中.通过问题串的设置，让学生从设置的疑点开始，以疑引思，启发学生独立思考，将学生的思维引向深入，提出解决疑难的方法，从而促进学生思维能力的发展.通过三角函数线法的证明体会数形结合思想.通过向量方法的证明体会分类讨论思想.课堂探究1.你对这种证明有什么问题？2．你能回答下面的问题吗？3.我们在构造角时，能交换一下的范围吗？你能证明吗？为任意角时,(1)可以看作，的夹角？(2)设，是什么？(3)的关系是什么？试着完善解题过程.教师通过学生提出的问题，引导学生讨论探究，使学生达成共识，得出解决问题的正确方法.通过学生之间的互相质疑、辨析、讨论、合作探究，提高学生主动参与课堂教学的意识，使学生真正成为课堂的主人.通过经历公式的推导过程，体验特殊到一般的认知规律，在思维受阻时，能及时地调整思路，迂回地解决，找到更加自然有效的方法----向量法,为后续很多问题的解决提供新思路.公式欣赏三、公式欣赏：注：1.公式中两边的符号正好相反（一正一负）；2.式子右边同名三角函数相乘再相加，且余弦在前正弦在后；简记“CCSS，符号相反”；3.式子中α、β是任意的；正因为α、β的任意性，所以赋予C(α-β)公式的强大生命力；4．式子可以正用也可以逆用.教师引导学生观察公式的特点，找到记忆规律.引导学生体会数学的对称美、和谐美.公式应用课堂小结四．互相交流，小组活动，公式应用闯关（学生展示）第一关：小试身手（公式直接应用）求值cos(15°)第二关：再接再厉（初步学会逆用公式）化简（1）cos80°cos20°+sin80°sin20°(2)cos80°cos35°+cos10°cos55°第三关：各显神通第四关：能力提升第五关：拓展延伸自己编题：每个同学在同位学案上出一道题，要求：（1）用到这节课刚学到的知识.（2）你要保证这道题是正确的，而且你能给出这道题的正确解答.基础知识：两角差的余弦公式的推导及公式的运用．思想方法：解题中对数形结合，分类讨论思想的灵活运用，体会特殊到一般的认知规律.设置阶梯闯关题目，让学生体验公式的正用、逆用和变形使用.学生板演闯关题目，教师针对学生存在的问题，启发引导学生共同规范解题步骤.考查学生学习效果.提升学生学习能力.学生讨论总结，教师适时引导概括.让学生自主完成，体验成功的乐趣.学生归纳总结解题方法.通过共同查找原因，规范解决问题的步骤，提醒学生注意细节，夯实基础（细节决定成败），明确数学的严谨性.培养学生合作学习，构建学习共同体.培养学生概括总结的能力，及对思想方法的升华理解.结束语引用高斯的话：“一个人在无结果地深思一个真理后，能够用迂回的方式证明它，并且最后找到了它的最简洁而又最自然的证法，那是极其令人高兴的．”如果同学们能经常体会到这种乐趣，相信你们会变得更加聪明，更加有创造力！旨在引导学生不要仅仅成为做题的机器，而要成为勇于探索、善于发现的创新型人才．学情分析具备进一步学习的基础知识我们在必修四的第一章《三角函数》部分已经学习了三角函数线、特殊角三角函数等相关三角知识，第二章的《平面向量》学习了向量的数量积及夹角公式，平时学习过程中掌握了从特殊到一般、数形结合、分类讨论、化归等数学思想方法，具备一定的数学变换的能力，为本节课的学习建立了良好的基础．进一步学习的综合素质还有待提高对数与形、三角与代数之间关系的认识还较薄弱；提出问题、分析问题和解决问题的能力有待于提高；逻辑推理的严密性还不够.学生优势所授班级为莱西一中实验班的学生，思维活跃、接受能力较强，具有良好的学习习惯和较高的数学素养，对探索未知世界有主动意识，对新知识充满探求的渴望．虽然教材的教学设计对于学生来讲比较生涩，但是我制作了两段视频课前放给学生看，通过动态直观的展示和阶梯状问题的设置来突破难点，充分调动了他们的积极性，再加上适时的引导和启发，学生还是能在小组讨论、合作探究的愉悦氛围中出色完成本课的学习任务的．效果分析本节内容是典型的公式教学,我认为在这种课型中，要让学生充分发挥主观能动性，通过自主学习、小组讨论与合作探究多种方式，经历知识产生的过程，体味发现的乐趣.一位著名数学教育家说过这样一句话：“看着终点，记住你的目的，勿忘你的目标，想着你希望得到的东西．”也即在解题时，要有目标意识，紧扣解题目标，进行有目的的变形.本节课我就是按这种思路展开的．本节我采用启发引导式教学法，利用多媒体课件和电子白板，通过翻转课堂的形式，引导学生自主学习、小组讨论与合作探究相结合，构建学习共同体.课前两段视频引导学生的学习方向，既激发了学生兴趣，又充分调动学生的主观能动性，效果非常好．课堂教学中引导共同经历利用旧知识推导、证明新知识．三角函数线法虽然很难，但在问题的引导下，学生们还是能积极地参与其中，找到规律及解决办法．向量法对学生来讲较易接受，在探究时能体会到分类讨论的思想方法，整个过程体现了向量这一重要工具在解决问题上的便捷．整个公式推导过程体现了特殊到一般的认知规律，这也是我们探索未知世界的常用方法，学生在这个过程中体味了发现的乐趣，这也成为他们主动学习的动力．公式的记忆与应用是同学们的强项，我没有以例题而是以闯关的形式让学生由易到难顺次解决问题．题目的设置环环相扣、相辅相成，适时地点拨与总结启迪学生的思维，让学生真正学会公式的正用、逆用和变形使用．逆用公式、凑角技巧是学生理解掌握公式的重要标志，通过步步加深的练习，学生对公式做到了真正的理解，应用也趋于娴熟，在此过程中学生积极参与思维，观察、比较、归纳等思维能力得到提升．最后通过学生之间相互出题，培养他们互相交流、互相考查、互相纠错、互相分享学习成果的合作学习精神，真正体现学习共同体的优势．整堂课没有急于求成的只关心结论和应用，而是从培养学生的角度，真正提升他们的数学素养，为后续的可持续发展奠定基础．本堂课能充分调动学生思维，学生活动充分，参与度高，取得了理想的教学效果。教材分析三角恒等变换处于三角函数与数学变换的交汇点，会与后续很多知识发生联系，是前面所学三角函数知识的继续与发展，是培养学生推理能力和运算能力的重要素材．《两角差的余弦公式》是《三角恒等变换》这一章的基础和出发点，公式的发现和证明是本节课的重点，也是难点．

由于和与差是内在统一的，我们可以在获得其中一个公式的基础上，通过角的变换得到另一个公式．老教材曾先证明两角和的余弦公式，通过在单位圆中构造与、、+有关的全等三角形作为突破口．新教材中由于向量知识的引入，对两角差的余弦公式的证明更加简洁明了，易于学生理解和掌握，

也能让学生意识到向量作为数形结合的载体，是一种有效的工具，会为后续很多知识的学习提供有力支持，从而提高学生运用向量解决相关问题的意识和能力．教材没有直接给出两角差的余弦公式，而是分探求结果、证明结果两步进行探究，并从简单情况入手得出结果．这样的安排不仅使探究更加真实，也有利于学生体会从特殊到一般的认知规律．只是这两部分内容对于学生来讲都比较生涩，因此我制作了两段视频课前放给学生看，通过动态直观的展示和阶梯状问题的设置来突破难点，提高课堂效率.由于本节课可以从不同的角度提出不同的问题，并且可以用不同的途径与方法解决问题，因此为学生的思维发展提供了很好的平台和空间，教学中要注意引导学生学习用观察、联想、对比、化归等方法分析、处理问题，体会如何有效地利用数形结合、分类讨论的思想方法解决问题．知识目标:（1）借助单位圆中的三角函数线和向量方法推导两角差的余弦公式，体会向量的工具性.（2）掌握公式的结构和特点及简单运用，为后续公式的推导打好基础.能力目标：（1）培养学生逻辑推理的思维能力，树立创新意识和应用意识.（2）在探究过程中体会从特殊到一般、分类讨论、数形结合等数学思想.（3）通过公式的探究、灵活运用，培养学生分析问题、解决问题的能力.情感目标：（1）通过公式的推导论证过程，培养学生严谨、求实的科学态度.（2）通过教师启发引导，鼓励学生大胆尝试，培养学生勇于探索创新的精神.（3）通过鉴赏C(α-β)公式，让学生感受数学公式的对称美、和谐美.难点突破：1、教材中两角差的余弦公式的猜想和发现是一个难点，因此我在课前第一段视频中先通过赋值的方式发现公式与哪些因素有关，再从数形结合的角度引出三角函数线法，课上引导学生分析如何添辅助线，从而达到突破难点的目的.2、尽管教材在前面的习题中为向量法证明两角差的余弦公式做了铺垫，但多数学生仍难以想到.我没有采用课本上一步到位的证明方式，而是分解开来，先通过复习向量相关知识，引导学生观察公式特征与单位圆上点的坐标、向量数量积的关系，得到时公式的证明方法，并在视频上通过问题串的形式，引导学生将问题引向深入，使得思维更加自然、合理.评测练习公式的记忆与应用是同学们的强项，我没有以例题而是以闯关的形式让学生由易到难顺次解决问题．题目的设置环环相扣、相辅相成，适时地点拨与总结启迪学生的思维，让学生真正学会公式的正用、逆用和变形使用．逆用公式、凑角技巧是学生理解掌握公式的重要标志，通过步步加深的练习，加强学生对公式的理解和应用，引导学生积极参与思维，培养学生观察、比较等思维能力．第一关：小试身手（公式直接应用）求值cos(15°)第二关：再接再厉（初步学会逆用公式）化简（1）cos80°cos20°+sin80°sin20°(2)cos80°cos35°+cos10°cos55°第三关：各显神通第四关：能力提升第五关：拓展延伸自己编题：每个同学在同位学案上出一道题，要求：（1）用到这节课刚学到的知识.（2）你要保证这道题是正确的，而且你能给出这道题的正确解答.课后反思这节课是我在莱西一中开设的公开课，与不熟悉的学生上这样一堂他们从没上过的翻转课堂的课，我的心情很忐忑．为了准备这节课，我查看了有关翻转课堂的视频，发现真正的翻转课堂必须有配套的硬件支持：学生人手一台平板电脑，学校要设有交流平台，能及时反馈学生在学习过程中遇到的疑难，学生可以借助聊天软件与同伴和老师之间进行交流．课前设有四个环节：设计导学案、录制教学视频、学生自主学习、教师制定个别辅导计划．课中设有五个环节：合作探究环节、释疑拓展环节、练习巩固环节、自主纠错环节、反思总结环节．翻转课堂在咱们好多学校现有的条件下，可操作性不是太强，我感觉在我这节课中只是采用这种形式，展现的还是我校现在实行的小班化教学条件下，先学后教、通过问题串展开小组讨论、合作探究、构建学习共同体的教学模式．我在教学中，让学生课前先观看视频进行预习、并把其中所涉及的问题写在导学案上，学生是带着问题进课堂，在课堂上引导学生以小组为单位主动、充分地讨论和探究，学生的学习能力得以提高．可能由于莱西一中的学生在有很多人听课的情况下过于内敛，他们在课堂上显得交流的不够热烈，也不习惯主动举手回答问题，但他们确实是很用心地在思考问题，因为你如果随便叫一个同学，他们回答的还是很到位的，这大概是也是他们的优点：踏实、不张扬．为了充分调动起他们的积极性，我在课堂上为学生的探索提供的有效帮助是：当学生不会讨论时，我可以通过问题设置指导他们学；当学生遇到疑难时，我要通过问题引导他们从什么角度去想；当学生思路狭窄时，我要启发他们怎样去拓宽．面对学生一时难以完成的过高要求，可以通过生生交流、师生交流得出解决办法．这样及时引导，避免了花时多、收效微的后果，也保护了学生的积极性．在整个探索过程中，有效地培养了学生学习的主动性，并使得学生合作交流、自主探索的方向更明确，学生学得生动活泼，也能如期达到教学目标．由于莱西一中实物投影