巧用数组实现长整数的精确计算

巧用数组实现长整数的精确计算

摘要：本文阐述了利用数组实现长整数的算法

关键词：数组算法VB

Abstract：Usearraytorealizetheprecisecalculateoflongteger

Keywords：arrayarithmeticVB前言

我们都知道，计算机的一个最重要的功能就是进行科学计算。利用一些标准的数学函数和运算符号可以进行任何复杂的数学运算，数学运算对计算机来说当然也是十分轻松的事情。但由于计算机内存空间的限制等原因，计算机在计算很大的数据时，往往是用科学记数法表示。比如在和其他的一些高级编程语言中，计算机所能处理的长整数的范围是从-2,147,483,648到2,147,483,647。也就是说超出这个范围的整数计算机就不能处理甚至不能识别了，那时计算机就会把数据转换为科学记数法后再进行处理，比如，它表示乘以10的19次方。

假如我们需要知道两个很大的整数相乘的精确结果呢？看起来是很难实现，因为计算机不支持很长的位数计算。然而，我们只要愿意去做，拿一张纸和一枝笔一步一步地进行人工计算，最后总能得到精确结果.我们能不能把我们人工计算的方法告诉计算机，让计算机来完成这些计算工作呢？答案是肯定的。我们可以找出一个算法，让计算机来模拟我们人工计算的方式进行计算，并且也不会超出计算机的整数计算范围。本文就是通过对人工计算步骤的分析和模拟，最后找出一个算法，用高级语言实现长整数的精确计算。

2、人工计算步骤的分析和模拟

首先我们来分析一下人工进行乘法计算的过程。例如：347×78=27066

a347

b×78

c12776

c22429

c27066

为了便于说明，我们用a表示被乘数，用b表示乘数，用c表示结果。并且把个位数定义成第一位，十位数定义成第二位，依次类推。

人工计算过程为：

1.用b的第一位依次去乘a的各位，中间结果放在c1中，最后的c1要累加进结果c中，而且c1的第n位要累加到c的第n位。

2.用b的第二位依次去乘a的各位，中间结果放在c2中，最后的c2也要累加进结果c中，而且c2的第n位要累加在c的第n+1位。

3.假如b的位数很长的话，按上面的方式，用b的第m位依次去乘a的各位，中间结果放在cm中，最后的cm要累加进结果c中，而且cm的第n位要累加在c的第n+m-1中。

4.把c1、c2……cm都累加成结果c,最后c的值就是a乘b的积。

这里有一点要注意，当用b的第m位去乘a中的第k位时，有可能产生进位，这时的进位要累加在cm的第k+1位，也就是最后结果c中的n+m+k中。

3、程序算法：

现在我们来总结人工计算的算法，告诉计算机怎么按这个算法去计算。

前文已经提过，太长的整数计算机不能处理，所以我们首先要解决输入和输出的问题。我们知道，计算机不能处理很长的整数，但能处理很长的字符串。所以我们把输入和输出都转换成数字型字符串来处理。同时字符串没有数字计算的能力，所以我们还要把字符串分拆成一个一个的数字，这样计算机就既能计算，又能处理很长的数据了。

我们定义三个可变数组a(),b()和c()，其中a()存放被乘数的每一位，最低位放在a(1)中，同样地，b()存放乘数的每一位，c()存放结果。

由于c1、c2、一直到最后一个中间结果最终都要累加进结果c中，所以我们在程序中可以直接把中间结果cm直接累加到结果c()中，实际上c()中的每一单元都是一个累加器，当一个单元c(n)中的结果大于9时，我们把c(n)对10的余数放在c(n)中，把c(n)整除10的结果累加进c(n+1)中，这样就实现了进位处理。

用乘数b的每一位去乘被乘数a的各位时，我们设计一个循环，依次取出b的每一位。循环变量设为I，I从1递增到b1(最高位)，步长为1。

用b的任何一位数m去乘a的各位数，我们也设计一个循环，依次取出a的各位。循环变量设为J，J从1递增到a1(最高位)，步长为1。这样利用这个双重循环就可以计算到a和b的每一位。把结果都累加进c()中的相应位中，最后从高位到低位逐位输出数组c就得到我们所要的长整数乘积。

源程序

Dima(),b(),c()AsByte‘定义输入和输出数组

SubMain()

ts="整数乘法"

xx=InputBox("请输入被乘数：",ts)

Ifxx=""ThenEnd

yy=InputBox("请输入乘数",ts)

Ifyy=""ThenEnd

a1=Len(xx)‘取xx的位数

b1=Len(yy)‘取yy的位数

c1=a1+b1‘确定结果的最大位数

ReDima(a1),b(b1),c(c1)‘重定义数组

Fori=1Toa

a(i)=Mid(xx,a1-i+1,1)‘给数组a的每一位赋值

IfNotIsNumeric(a(i))Then‘检查输入的合法性

MsgBox"被乘数输入错误",,ts

End

EndIf

Nexti

Fori=1Tob1

b(i)=Mid(yy,b1-i+1,1)‘给数组b的每一位赋值

IfNotIsNumeric(b(i))Then‘检查输入的合法性

MsgBox"乘数输入错误",,ts

End

EndIf

Nexti

Fori=1Toc1‘结果数组c初始化

c(i)=0

Nexti

Fori=1Tob1‘取b中的每一位

Forj=1Toa1‘取a中的每一位

c(j+i-1)=c(j+i-1)+b(i)*a(j)‘相乘结果累加到c中的相应位

zz=c(j+i-1)

k=0

DoWhilezz=10‘c中的每一位进位检查

c(j+i+k-1)=zzMod10‘本位处理

c(j+i+k)=c(j+i+k)+zz“10‘进位处理

zz=c(j+i+k)

k=k+1

Loop

Nextj

Nexti

zz=""

Fork=c1To1Step-1

Ifc(k)0ThenExitFor‘去掉结果中的前导0

Nextk

k=IIf(k1,1,k)

Fori=kTo1Step-1

zz=zz+Trim(Str(c(i)))

Nexti

zz=xx+"X"+yy+"="+zz

ts="计算结果："+Str(a1)+"位X"+Str(b1)+"位结果为"+Str(k)+"位"

MsgBoxzz,,ts‘算式和结果输出

End

EndSub

以上程序在上编译通过，并且能正确计算254位乘254位的长整数，输出结果为508位长整数，精确到每一位。

5、结束语

理论上这个算法可以计算任意位数的整数乘法，本程序为了说明算法，只设计了一个模块，没有使用到窗体。使用的是vb中的标准输入输出函数。所以它能处理的结果位数位508位，因为超过254位的数据不能输入了。要增加处理位数，只需要增加一个窗体，把输入和输出放在窗体上就可以了，实际上还可以用多个字符串连接，这样能计算的位数就没有限制了，而且当所处理的位数超过数组的最大定义范围时还可以用多维数组。总之，只要采用一定的方法，可以计算任意长度的数字。

把本程序稍做修改，可以做成一个自定义函数，把两个输入参数作为函数的参数，在其他地方调用本函数就可以计算任何整数的阶乘，也可以计算任何整数的整数次方(n^m)。

本文给出的算法能给我们一种编程思路，也给我们一种启示，即只要我们充分利用计算机的功能和特性，有些看来是