第一章函数极限与连续

研究的基础函数极限连续—研究对象—研究方法—研究桥梁第一章函数、极限与连续在某一变化过程中始终保持相对静止状态的量称为常量；时时处于变化着的量称为变量。前者记为a,b,c等；后者记为x,y,t等。1.1函数函数的概念一、常量与变量设在某个变化过程中存在两个变量x和y,若对于某一非空数集中的每一个x值,按照某一确定的关系f都有唯一一个实数y与之对应,则称变量y是变量x的函数,记为二、函数的概念[定义1]自变量因变量使函数有意义的x取值范围称为函数的定义域，通常用D表示。y的取值范围称为函数的值域，通常记为R,即二是在定义域范围内,变量x与y有确定的对应关系,这两个要素决定值域R。理解：函数的定义有两个要素：一是自变量x必须有明确的定义域D；如果两个函数相等,则这两个要素必须完全相同。思考：两个函数是否相等？例1求下列函数的定义域：解：即因此f(x)的定义域为:例3已知函数求。解：

令x+1=t，则x=t-1，将其代入原式，即得例2已知函数,求解：

邻域:所谓邻域是指如果x0是实数轴上一点，δ为正实数，则适合开区间x0-δ<x<x0+δ的x的全体称为点x0的邻域，记为单调增加函数和单调减少函数统称为单调函数。1.1.2函数的特性一、单调性设函数f(x)的定义域为D,如果在D中某一个子区间I中任意取两个值x1和x2,当x1<x2时,有f(x1)<f(x2)(或f(x1)>f(x2)),则称函数在区间I上是单调增加(或单调减少)的。单调哈增加柏函数肚对应秤的曲良线随讯自变验量x会的逐驳渐增谨大而派上升辨；单茧调减赵少函狱数对耐应的烟曲线沃随自板变量肚x逐难渐增仆大而剥下降澡。单调没函数链图像围的特墓点是议：设函兰数f歪(x柏)的呆定义伸域为椒D,狮如果促对D节内任腥意一装点x然(-牺x∈丧D)杆,都色满足茫f(争x)扇=f际(-干x)广,则掀称函蜜数f虾(x段)在喘D内蚕是偶脚函数弊;若候函数青f(运x)智对定刺义域幸D内羡任意统一点藏x，占都满紧足f挡(x勤)=恋-f谋(x但),推则称势函数余在D装内是演奇函菠数。二、误奇偶樱性函数瓜y=颜x2是在届其定透义域晶(-粮∞,现+∞循)上赢是偶吼函数肠;函破数y夕=s跌in神x是飞在其煎定义屑域(乓-∞壶,+小∞)枯是奇墨函数恒;函队数y帽=s忧in重x+长co命sx颜在其艺定义斩域晨(枯-∞丽,+嗽∞)猜上非朵奇非普偶.偶函博数yxox-x奇函聪数yxox-x偶函肚数的风图像遵是关鞭于y辟轴对要称奇函脚数的雪图像悔是关饼于原饺点对得称设函沫数y球=f坝(x家)的订定义秩域为佣D,净如果削存在经一个忠正数击M,趁使得突对于软D中驳某一虾个子京区间章I内陆任意生一点饿x,确总有堵|f块(x哨)|未≤M奇(即卸-M禽≤f产(x穿)≤凯M)再,则势称函无数在挣I上填是有树界的司，否立则是块无界醉的。三、灯有界环性oyxM-My=水f(竹x)I有界(2拔)函坟数有辨界与滴否是患和I励有关兄的.(1混)当珠一个善函数来有界缝时，太它的菊界是洒不唯锈一的窗.注意鸡:如s趁in镇x妇、c躬os乳x对膜区间(-网∞,案+∞丝式)上耕任意一点x,存在M=1,使得所以法它们灵在区赵间(-语∞,叼+∞具)上纹都是协有界筛函数够。ln牲x在区区间(0脾,+嘱∞)晒上为枯无界树函数她,因凭为找不到那样一个正数M,使成立。如f猾(x波)=禁1/灶x在鸦开区准间(0朴，1园)上当是无界的夫,但跑在闭裁区间从[1桌,2蔑]上辟却是解有界加函数象,因为览在此区间讯上能态找到双M≥穷1,坑使当齿x∈比[1缺,2喜]时,成立。设函部数的溜定义恒域为家D,摧如果咐存在扒一个截非零袋常数锐T,躺使得特对于侧任意脏一点批x∈笼D,汗f(茶x+达T)逢=f它(x权)恒形成立叙,则浙称f现(x嚷)在稻D上循为周棋期函忍数,领T称墓为f傲(x服)的晚周期求.通症常所蚂说的塘周期絮是指厕最小射正周剩期.四、接周期纳性周期凡函数局的图代像特扑点是驴在这丛函数璃的定愉义域剃内,皇每个滴长度倒为周企期T季的区复间上闲,函遭数所他对应棒的曲仆线有独相同集的形失状。xyT/彼2-T扇/23T摆/2-3袋T/燥2o1.沈1.尚3帖初等柿函数一、绝基本沾初等勾函数基本域初等肝函数堂通常奔是指梯幂函厉数、恋指数原函数菊、对茎数函党数、航三角烈函数刘和反职三角村函数结。(1)幂函数α是寇常数遍,取该值不装同函竟数的躲定义卖域不买同y=梁xy=催1/孕xy=扶x2(2)指数函数0<冰a<预1a>臭112341-1(3)对数函数a>对10<熊a<证1(1征,0寺)1345678223-123(4侍)拆三角萍函数正弦函数余弦函数正切函数10-1鼠0-2搜020(5念)由反三纱角函园数反正弦函数反余弦函数反正切函数二、咱复合愧函数例如自由落体运动的动能,其中m为质点的质量,v为质点的速度,而,其中g为重力加速度.我们称是由两个函数和复合而成的t的复合函数,v称为中间变量,t称为自变量。例如倚,函缺数合函趋数但函扁数可定锣义复不能殊构成煤复合恰函数觉.设函馋数y晃=f晴(u图)和挨u=真φ(诉x)哨，且风u=笑φ(泽x)捆的值唐域全浪部在横y=项f(君u)亩的定度义域为内，挥则称屈y=链f[璃φ(兔x)堆]是哗由这恨两个畜函数晨经过界中间盛变量笋u而早构成艰x的梨复合乐函数锡，其卫中x拔为自里变量熄，简舞称函侵数y载=f缴[φ习(x丹)]饰是x止的复厅合函扯数。【定振义2克】例如,函数可分解为函数又如函数也可分解成：理解勉：1.蹦两个颗函数本复合纽奉要满肿足复恐合条口件；2.闪中间等变量捆可以宋多个汪；3.签复合残函数危分解吨不唯项一。【定售义3地】由常担数和算基本跃初等布函数杂经过派有限橡次的他四则膜运算捕和复夺合运裤算而昏构成蹦并可外以用冤一个龙式子辜表示石的函厚数称巴为初脂等函未数。三、掘初等槐函数例如多项式函数双曲正弦函数、双曲余弦函数等等驳都是捉初等鞠函数友。又如泊,可表仅为故为量初等恢函数和.非初合等函责数举墙例:符号勺函数当x>张0当x=糖0当x<浑0在定厘义域仔内不顶同的佳区间粱上,贡由不映同解为析式借所表明示的协函数纸称为碎分段叫函数芽。1.各1.戒4皂分段需函数滨和反泪函数一、缸分段忌函数分段成函数及通常屡不是室初等利函数气,不给过,致在不民同段糕内的蓄表达而式,叶通常猾由初絮等函议数表正示。二、者反函前数在一般情况下，如果y=f(x)在某个区间上有定义且是单调函数，就能保证它的反函数存在；

【定义4】设函数f(x)的定义域为D,值域为R,若对于任意一个y∈R，有唯一一个x∈D，使f(x)=y成立,则x与y的对应关系在R上定义了一个新函数,称为函数y=f(x)的反函数,记为。若把函数y=f(x)称为直接函数,则直接函数的定义域(或值域)恰好是它的反函数的值域(或定义域)。一般习惯上自变量用x表示,因变量用y来表示,这时y=f(x)的反函数就可以写成。例如,在定义域(-∞,+∞),上是单调函数,它的值域是(0,+∞),所以它的反函数存在,其定义域是(0,+∞),即y∈(0,+∞),值域是(-∞,+∞)。如函数的反函数一般不写成,习惯上写成.函数与其反函数的图形关于直线对称.例如它,与对豪数函煎数互为配反函寄数,它们厌都单毅调递僵增,其图处形关伯于直同线对称录.指数宰函数y=f(x)的图像与其反函数的图像相同,但与不同。内容汁小结定义姜域对应执规律2.仪函数盲的特灶性单调报性,盛奇偶烧性,缝有界绍性,午周期爹性3.图初等歇函数葬的结距构1.砍函数播的定碰义及翻函数罪的二筹要素且备用第题证明证:令则由消去得时其中a,b,c为常量数,且为奇麦函数悄.为奇薪函数瞒.1.设1.闹2花函数狐的极悉限引例多:设有卵半径爽为r短的圆食,逼近躺圆面能积S栏.如图挨所示触,可福知当n无限尘增大许时,无限狭逼近蔬S款.用其批内接钢正n筝边形饭的面旗积刘徽(约诵22狗5挥–筋29谅5年牺)我国她古代捷魏末赛晋初扭的杰帐出数泪学家宜.他撰赴写的码《重差》叙对《顾九章话算术级》中案的方伶法和滥公式守作了杠全面累的评注,指出鞠并纠目正了返其中款的错坏误皱,在数险学方旨法和己数学理论趋上作箱出了宏杰出困的贡谅献慕.他的吼“榴割卵圆术惯”浪求是圆周蚂率“苏割之患弥细鸭,拨所划失弥煌小,割之认又割斥,习以度至于慌不可骂割描,则与填圆合友体而融无所检失矣融”它包宜含了“用踩已知张逼近集未知度,择用镜近似奥逼近任精确似”的重化要极限嫩思想斑.的方被法汉:数列启极限当自变量按自然数1,2,3,…依次顺序增大时,函数值按一定的法则排列的一列数称为数列,记为。例4认以亡下例钱子均胜为数结列:1.尚2.唤1枣数列剪极限注意旬：1.数列对应着数轴上一个点列.可看作一动点在数轴上依次取2.数列是n的函数对于数列,如果当n无限增大时,数列无限接近某一个确定常数A,则称A为数列的极限,或称数列收敛于A,记为,否则称数列发散。【定贷义5侦】趋势公不定收敛发散又如银,收波敛例5讨论数列的极限。解:给定数列,即2,4,8,…,,…，当时，的数值无限增大，即它不趋向于一个确定的常数，所以数列是发散的。1.泼2.银2链函数酬极限一、时,函数f(x)的极限自变量变化过程的六种形式:对,注:Y=0为的水平渐近线.引例如果当x绝对值无限增大(记为)时,所对应的函数f(x)值无限趋近于某一个确定的常数A，则称A为函数的极限，记为或直线y=A为曲线的水平渐近线几何河意义雀:【定洋义6之】注意治：如有水平渐近线y=π/2．有水平渐近线y=－π/2．y=巡寿ar慌ct宴an阴x,天x∈(-∞腔,∞燥)如又如义：都有水平渐近线f(x)及g(x)都有水平渐近线再如签，二、时,函数f(x)的极限

【定义7】设函数f(x)在点x0的某个邻域(x0点可以没有定义)内有定义，如果当自变量x无限接近点x0(但)时,函数值无限接近某一个确定的常数A,则称A为函数f(x)的极限,记为或如果仅从x0点的左侧趋于x0,记,这时的极限称为f(x)在点x0的左极限,记为类似可以定义右极限,记为。当时,函数f(x)极限存在的充分必要条件是函数f(x)的左右极限同时存在且相等.即.如果贡函数仇f(地x)菌的左还右极艇限至乘少有戚一个辣不存旋在或继这两政个极裁限都叙存在游但不葛相等枕,这滴时函扁数f巡寿(x抗)的侍极限具就不浙存在翁。定理例6设函数试讨论f(x)在点0的极限。解：所以烘函数指f(农x)讨在点站0极宋限不蚁存在净。左极哈限:右极龄限:定理小结悉：思考逆与练匆习:1.访若极罩限存在愿,是否牧一定跃有？2.惊设函赛数且存在震,则一、无无穷踢小量再的概穴念1.学2.隆3疯无穷招小量[定义8]如果,则称f(x)为(或)时的无穷小量,简称无穷小,此时也称函数f(x)收敛于0。言简胡之,们以零务为极团限的崇函数门称为低无穷走小量翠.如时,都是无穷小;当时,是无穷小;当时,是无穷小.注意黎：1)虚无淘穷小但量是召指无宽限接艇近于埋零的咏一个裤变量带,不掌能把太很小化的数咸作为利无穷冈小量仆。4)此概念对数列极限也适用,若,称数列为时的无穷小。3)丧无穷会小量磁与自政变量个变化者过程扰有关怎。2)说逐良渐增井大的戴量也库可能尤是无周穷小龙量。二、骄无穷元小量惰定理【定鄙理2兰】有限万个无祸穷小鲜量的乌代数抬和仍输为无情穷小魂量.【定欧理3粮】有界搅函数削与无说穷小名量乘公积仍雪为无圈穷小冲量.如说明:无击限个枝无穷知小之遭和不疤一定租是无蓄穷小庸!

【定理1】在自变量的同一变化过程（或）中,的充分必要条件是,其中.当再如谁:,函剂数时为娘无穷味小;【推屋论1星】常数限与无疯穷小汗量的钱乘积涌仍为犬无穷半小量富。【推范论2乱】无穷币小量途与无隆穷小问量的俱乘积总仍为册无穷钱小量解。例如葵:例如罩:三、皆无穷皂大量【定义9】如果当（或）时,无限增大(即）,则称f(x)为(或)时的无穷大量。类似可以定义:和如时,1/x、1/sinx都是无穷大量；时,lnx是无穷大量；时,tanx是无穷大量；无穷扫小与杠无穷翼大的层关系若若为无穷大,为无穷小;为无穷小,且则为无穷大.则在(或时),注意忆：(1您)无糖穷大斩是变废量,结不能遥与很葬大的尊数混拘淆;(2让)无阔穷大第是一贺种特略殊的洞无界皱变量激,但龄是无特界变益量未平必是厨无穷该大.内容床小结1.毁无县穷小栗与无佩穷大皮的定独义;2.锈无红穷小蚀定理拳;3.祸无翁穷小耻与无遵穷大坐的关级系.一、匙极限谋的四镜则运父算法杰则1.辱2.许4区极旁限的玻运算则有设【定奴理4觉】其中B≠0证明析:由无阿穷小新运算歇法则举,得其中由定项理1框可得恭:【推陶论3傲】(C裙为常施数)【推凳论4扛】(n说为正岗整数绸)1.影设n辜次多变项式则结论律:例7求解:例8求

解:例9求

解:由无主穷小琴量和稍无穷划大量裕之间监的倒数关蔑系,反得一般央有如击下结音果：为非途负常尤数)例10求

解:内容土小结1.为极怕限运泰算法幕则(1曲)可无穷吧小运喘算法计则(2撇)射极限密四则淘运算耕法则注意魔使用桑条件2.职求分首式函顿数极腔限求忽法时,态用代结入法(分住母不悔为0怎)时,爪对型,阶约去流公因集子时,宿分子撞分母绵同除栗最高届次幂思考旅及练熊习1.是否湖存在畅?隔为阔什么炕?答:先不时存在昆.否则出由利用荐极限束四则寨运算哗法则元可知存在萍,与已脏知条击件矛盾被.解:原式2.问3.求解法片1原式链=解法仁2令则原式梯=4.试确定常数a使解由:令则故因此二、茧两个祸重要俱极限【定理5】（两边夹定理）如果函数满足下列条件：(1)自变量x在点x0的某个邻域（可以不考虑点x0）内,不等式成立。(2)。则函数f(x)的极限存在且。例11证明因为对任意实数,都有成立又因时，均为无穷小，由定述理5善和定民理1较知，证:证明圆扇逗形AO规B的面诞积即△A龙OB的面瞎积＜＜△松AO柱D的面统积当x现<0暗时,姜－x牛>0鸡,所坑以例12求解:例13求解:鸡原式江=例14求练习暴：求解:梳令则因此原式解：令则2.当n须逐渐疑增大汪时，欧数列齐的变阵化趋硬势见读表1拒-4辟。从表优1-良4看颈出，当n俗逐渐菊增大仿时，也逐渐增大，当时，即,当占n为探任何破实数竹时，结论蚂仍成渴立,尾即则令即例15求解:例16求解:2.多两办个重炭要极笋限或注:代表相同的表达式内容风小结1.爹数慕列极禁限存宜在的堵夹逼猛准则函数蛛极限储存在痛的夹序逼准稼则思考哑与练浙习填空省题(晴1猴～4匆)作业损:4(4吊)爹,疏(5脾)1.兴2.幸5疏无振穷小绵量的拒比较都是棋无穷稿小,引例应:但不存饼在,法不可败比.极限岔不同失,反酸映了秧趋向伴于零傍的“爪快慢稻”程洗度不料同.而【定沾义1炉0】中,设在自变量同一变化过程为无穷小,且若则称是比高阶的无穷小,记作若则称(x)是比(x)低阶的无穷小;若,则称(x)与(x)的同阶无穷小;特别当c=1时,称(x)与(x)是等价无穷小,记作例如绿，即当x→0时,x2是比3x的高阶无穷小.当x→0时,sinx与3x是同阶无穷小.当x→0时,sinx是比x2的较低阶无穷小.当x→0时,sinx与x是等价无穷小.即～例如,当时～～故时,是关帆于x晨的高胖阶无悼穷小挎,～且又如寇,当x谜→3夸时,布x2-9窜与x者-3永是同阶恒无穷活小.内容绝小结1.烈无弱穷小擦的比岂较设,阶对同逮一自溉变量贯的变某化过紧程为辜无穷长小,摧且是的高阶无穷衡小是的低阶无穷分小是的同阶无穷般小是的等价无穷怠小是的k阶无穷稿小～～～～～作业详:常用菜等价盒无穷仪小:1.筒3厘函数玻的连鲜续性1.为3.据1冷函数金的连叼续性设函徐数y屠=f津(x袋)在懂点x0的某严一邻虹域内鞭有定若义,厌当自荷变量院由点券x0变到宴另一搏点x撇时,纪称x株-x0值为桌自变宵量的羞增量树,记屋为Δ歌x=票x-看x0,相蹦应地析f(改x0+Δ滑x)旅-f辫(x0)值晶为函饱数的舞增量败,记字为Δ昼y=团f(拣x)葬-f萍(x0).【增汽量定俭义】因为,故有【定沾义1盟1】设函数y=f(x)在x0点的某一邻域内有定义,在x0点给自变量以增量Δx=x-x0,相应地函数的增量Δy=f(x)-f(x0)=f(x0+Δx)-f(x0),如果,则称函数y=f(x)在点x0连续,并称点x0为函数f(x)的连续点.【定染义1管2】设函数y=f(x)在点x0的某一邻域内有定义,若当时,函数f(x)的极限存在且等于f(x0),即则称函数y=f(x)在点x0连续.即函称数在点(1坏)在点即(2工)仙极限(3叹)连续筑必须编具备杆下列图条件法:存在丑;有定震义,存在强;。由函数在一点x0处的连续定义及,有例17验证函数y=sinx在区间上是连续．在区间上任取一点x,当x有增量，证：对应厚的函提数增陆量为辫：当时，是无穷小量,且为有界函数,根据定理３可知仍为无穷小量,从而有,所以函数y=sinx在区间上连续．同样可证:函数在内连续.【定档义1粒3】设函数y=f(x)在点x0的左邻域内(x0+,x0］内有定义,若,则称函数y=f(x)在点x0处左连续。同理侨可定技义函铜数f亩(x漏)在抖x0点右誉连续硬，即函数茅f(守x)孙在x０点连燥续的元充分腐必要约条件愧是它妨在x０点即漏左连给续又雷右连镰续，堡即如例7中,函数在x=0点有定义,但所以不存在。左连匙续。秒如图败所示役。因此析f(强x)钥在0链点不楚连续和,但若f(x)在区间（a,b）上每一点都连续,则称f(x)在(a,b)上连续;如果f(x)在x=a点右连续,而在x=b点左连续,则称f(x)在区间[a,b]上连续．例如辽,在上连争续,块即:(有且理整却函数秒)又如险,有骆理分君式函透数义域情内连诸续。在其合定只要都有1.赢3.返2星间断犯点如果幸函数撑y=办f(赵x)刃在点跟x0处不怒连续允,则映称x0点为种情现况之返一时后,点厌x0为函逐数f隙(x暴)的抛间断移点:(1阶)函车数f片(x浆)在无定肺义锅;在在(2傅)函途数f墓(x涛)不存棋在;(3君)函更数f报(x废)存在误,但虽有怕定义渠,但虽有筑定义授,且f(铅x)加的间昼断点奏或不旷连续眼点。根据饭定义廊12互可知莲,当附函数仿f(些x)土在点润x0有下响列三例18函数在x=1点无意义,所以x=1是此函数的间断点,见图.如例7中,函数在x=0点有定义,但所以不存在,因此x=0是该函数的间断点,如图客所示球。例19函数在x=0处有定义,但,所以x=0是f(x)的间撤断点递,所傅以x万=0魂是f舅(x弃)的盾间断甚点,嚷如图亲所示膀。为其护无穷竹间断西点铜.为其侮振荡索间断穴点宪.例如:显然为其亏可去妄间断晚点。(4恋)(5)为其与跳跃贴间断杨点。内容浅小结左连六续右连躲续在点连续的等价形式2.哑作业日：思考蒜与练除习1.抓讨撕论函宝数x垄=圈2杂是第傲二类天无穷演间断祥点。的间泼断点抢。2.鉴设时，提示凝:为连续挡函数赞。答案沈:掏x加=魔1碑是焰第一卵类可乎去间它断点叫,一切勤基本诱初等厅函数萝在其驶定义坊域内淘都是巾连续屿的。1.排3.散3逐初等摔函数事的连刃续性一、出基本姑初等梦函数沟的连偏续性二、屈连续仔函数国的运衬算【定理6】设函数f(x)、g(x)在点连续,则f(x)g(x)在点连续；f(x).g(x)在点连续；当时,f(x)/g(x)在点连续。例如,在内连续。在其定义域内连续。三、塑复合爱函数倒的连谢续性【定理7】设函数当时极限存在且等于,即;函数y=f(u)在相应点连续,即,则复合函数当时的极限也存在且等于,即。【推论5】设函数,当时连续,即,函数y=f(u)在相应点连续,则复合函数当时连续,即:理解垒：例20求极限。解：连续,根据定理7有函数可看作由复合而成,因为,而在相应点例21讨论函数的连续性。解：函数可看作由复合而成,因为在上连续,在上连续,根据推论5得在上连续。

练习1:求解:原式练习裤2:求解:物令则原式说明五:当时,燃有是由连续函数在上连续.练习4：讨论的连续性解：因此复合而成,练习3求解：初等伤函数正在其较定义单区间像内是民连续休的,植所谓仆定义宁区间谣是只重包含絮在定雹义域齐内的胆区间筒。四、香初等殊函数任的连搬续性例22求函数的连续区间,并求当时,f(x)的极限。解：续区帜间就桥是它涨的定居义区译间,命f(挤x)象在(船-∞各,-醒1)忙及在因为是初等函数,所以f(x)的连(-神1,占1)居∪(职1,扩+∞谈)上兼有定诸义,哭故f共(x润)的识连续害区间为(湿-∞胳-1肥)∪总(-溪1,都1)激∪(课1,窜+∞挎).顾又因滴为x研=0宫为f粪(x熄)连续区间内一点,所以,即函数y=f(x)在区间上单值,单调增加(或单调减少)且连续,则其反函数在对应的区间上也单值、单调增加(或单调减少)且连续。例如苹,在上连体续单环调递摊增,谈其反函数在[－1,1]上也连续单调递增.在上连而续大单调缠递斩增,其反总函数在上也垮连续乎单调仗递增候.又如到,在(-∞,+∞)内单调且连续在(0,+∞)内单调且连续。1.小初等吐函数洞仅在特其定撇义区畅间内锯连续珍,在死其定霸义注意京:2.泥初等田函数铺求极筑限的钞方法泛代入幕法:域内兽不一勤定连专续;x∈草定义放区间侧。内容姥小结基本景初等羊函数绪在定萍义区冷间内择连续连续桥函数来的四著则运辈