时间序列的平稳性及其检验

关于时间序列的平稳性及其检验1第1页，讲稿共127页，2023年5月2日，星期三2主要内容确定性时间序列模型随机时间序列概述时间序列的平稳性及其检验随机时间序列分析模型协整分析和误差修正模型第2页，讲稿共127页，2023年5月2日，星期三3时间序列和时间序列模型时间序列：各种社会、经济、自然现象的数量指标按照时间次序排列起来的统计数据。一个时间序列数据可以视为它所对应的随机变量或随机过程（stochasticprocess）的一个实现（realization）时间序列分析模型：解释时间序列自身的变化规律和相互联系的数学表达式确定性的时间序列模型随机时间序列模型第3页，讲稿共127页，2023年5月2日，星期三4第一节、确定性时间序列模型事物变化的过程有一类是确定型过程，可以用关于时间t的函数描述的过程。例如，真空中的自由落体运动过程，电容器通过电阻的放电过程，行星的运动过程等。滑动（移动）平均模型加权滑动平均模型二次滑动平均模型指数平滑模型第4页，讲稿共127页，2023年5月2日，星期三5(1)滑动平均模型第5页，讲稿共127页，2023年5月2日，星期三6(2)加权滑动平均模型作用：消除干扰，显示序列的趋势性变化；并通过加权因子的选取，增加新数据的权重，使趋势预测更准确第6页，讲稿共127页，2023年5月2日，星期三7(3)二次滑动平均模型对经过一次滑动平均产生的序列再进行滑动平均第7页，讲稿共127页，2023年5月2日，星期三8(4)指数平滑模型第8页，讲稿共127页，2023年5月2日，星期三9（5）二次指数平滑模型在一次指数平滑模型的基础上再进行指数平滑计算，即构成二次指数平滑模型。同样可以构成三次指数平滑模型。第9页，讲稿共127页，2023年5月2日，星期三10第二节、随机时间序列概述第10页，讲稿共127页，2023年5月2日，星期三11经济量预测的方法一、根据一定的经济理论，建立各种相互影响的经济变量之间的关系模型，根据观测到的经济数据估计出模型参数，利用模型来预测有关变量的未来值。这种方法的优点在于精确地考虑到了各经济变量之间的相互影响，有理论依据，但是由于抽样信息不完备，经济模型和经济计量模型不可能真正准确地反映了经济现实，因而得到的结果不可能是相当准确。二、利用要预测的经济变量的过去值来预测其未来值，而不考虑变量值产生的经济背景。这种方法假定数据是由随机过程产生的，根据单一变量的观测值建立时间序列模型进行预测。这种方法在短期预测方面是很成功的。第11页，讲稿共127页，2023年5月2日，星期三12随机过程与随机序列第12页，讲稿共127页，2023年5月2日，星期三13随机过程离散型连续型平稳的非平稳的宽平稳过程严（强）平稳过程第13页，讲稿共127页，2023年5月2日，星期三14时间序列分类随机过程的一次实现称为时间序列，也用{xt

}或xt表示。

与随机过程相对应，时间序列分类如下：

第14页，讲稿共127页，2023年5月2日，星期三15从相同的时间间隔点上取自连续变化的序列（人口序列）

时间序列离散型连续型（心电图，水位纪录仪，温度纪录仪）

一定时间间隔内的累集值（年粮食产量，进出口额序列）

第15页，讲稿共127页，2023年5月2日，星期三16随机过程与时间序列的关系随机过程:{x1,x2,…,xT-1,xT,}第1次观测：{x11,x21,…,xT-11,xT1}第2次观测：{x12,x22,…,xT-12,xT2}

第n次观测：{x1n,x2n,…,xT-1n,xTn}第16页，讲稿共127页，2023年5月2日，星期三17例1某河流一年的水位值，{x1,x2,…,xT-1,xT,}，可以看作一个随机过程。每一年的水位纪录则是一个时间序列，{x11,x21,…,xT-11,xT1}。而在每年中同一时刻（如t=2时）的水位纪录是不相同的。{x21,x22,…,x2n,}构成了x2取值的样本空间。

第17页，讲稿共127页，2023年5月2日，星期三18例2要记录某市日电力消耗量，则每日的电力消耗量就是一个随机变量，于是得到一个日电力消耗量关于天数t的函数。而这些以年为单位的函数族构成了一个随机过程

{xt},t=1,2,…365。因为时间以天为单位，是离散的，所以这个随机过程是离散型随机过程。而一年的日电力消耗量的实际观测值序列就是一个时间序列。

第18页，讲稿共127页，2023年5月2日，星期三19说明自然科学领域中的许多时间序列常常是平稳的。如工业生产中对液面、压力、温度的控制过程，某地的气温变化过程，某地100年的水文资料，单位时间内路口通过的车辆数过程等。但经济领域中多数宏观经济时间序列却都是非平稳的。如一个国家的年GDP序列，年投资序列，年进出口序列等。

第19页，讲稿共127页，2023年5月2日，星期三20随机时间序列模型自回归模型（AR）移动平均模型（MA）自回归—移动平均模型（ARMA）第20页，讲稿共127页，2023年5月2日，星期三21时间序列模型的例子第21页，讲稿共127页，2023年5月2日，星期三22时间序列模型的例子第22页，讲稿共127页，2023年5月2日，星期三23时间序列模型的例子第23页，讲稿共127页，2023年5月2日，星期三24第三节、时间序列的平稳性及其检验一、基本概念第24页，讲稿共127页，2023年5月2日，星期三25回忆：经典回归模型的假定第25页，讲稿共127页，2023年5月2日，星期三26经典线性正态假定：进一步的说明如果满足假定1-3，回归系数的OLS估计量是无偏的如果满足假定1-5，回归系数OLS估计量的方差估计是无偏的，而且OLS估计量是最优线性无偏估计量如果满足假定1-6，模型的t检验和F检验是有效的第26页，讲稿共127页，2023年5月2日，星期三27经典线性正态假定：进一步的说明在大多数情况下，时间序列很难满足经典线性正态模型假定，特别是误差项条件均值为0、无序列相关以及正态性的假定。因此，就需要用大样本来做渐进处理。第27页，讲稿共127页，2023年5月2日，星期三28大样本条件下的普通最小二乘估计假定这些假定比有限样本下的假定弱得多第28页，讲稿共127页，2023年5月2日，星期三29大样本条件下的普通最小二乘估计如果满足假定1-3，回归系数的OLS估计量是一致的如果满足假定1-5，回归系数OLS估计量是渐近正态分布的，模型的t检验和F检验是渐近有效的第29页，讲稿共127页，2023年5月2日，星期三30经典回归模型与数据的平稳性经典回归分析暗含着一个重要假设：数据是平稳的。数据非平稳，大样本下的统计推断基础——“一致性”要求——被破坏。如果X是非平稳数据（如表现出向上的趋势），则一致性条件不成立，回归估计量不满足“一致性”，基于大样本的统计推断也就遇到麻烦。第30页，讲稿共127页，2023年5月2日，星期三31有趋势的时间序列线性趋势指数趋势tt第31页，讲稿共127页，2023年5月2日，星期三32伪回归（spuriousregression）如果时间序列是有趋势的，那么一定是非平稳的，从而采用OLS估计的t检验和F检验就是无效的。两个具有相同趋势的时间序列即便毫无关系，在回归时也可能得到很高的显著性和复判定系数出现伪回归时，一种处理办法是加入趋势变量，另一种办法是把非平稳的序列平稳化第32页，讲稿共127页，2023年5月2日，星期三33数据非平稳的问题在现实经济生活中，实际的时间序列数据往往是非平稳的，而且主要的经济变量如消费、收入、价格往往表现为一致的上升或下降。这样，仍然通过经典的因果关系模型进行分析，一般不会得到有意义的结果。第33页，讲稿共127页，2023年5月2日，星期三34时间序列分析模型方法时间序列分析方法由Box-Jenkins(1976)年提出，以通过揭示时间序列自身的变化规律为主线而发展起来的全新的计量经济学方法论。它适用于各种领域的时间序列分析。时间序列分析已组成现代计量经济学的重要内容，并广泛应用于经济分析与预测当中。第34页，讲稿共127页，2023年5月2日，星期三35时间序列模型不同于经典计量模型的两个特点⑴这种建模方法不以经济理论为依据，而是依据变量自身的变化规律，利用外推机制描述时间序列的变化。⑵明确考虑时间序列的非平稳性。如果时间序列非平稳，建立模型之前应先通过差分把它变换成平稳的时间序列，再考虑建模问题。第35页，讲稿共127页，2023年5月2日，星期三36假定某个时间序列是由某一随机过程生成的，即假定时间序列{Xt}（t=1,2,…）的每一个数值都是从一个概率分布中随机得到，如果满足下列条件：1）均值E(Xt)=是与时间t无关的常数；2）方差Var(Xt)=2是与时间t无关的常数；3）协方差Cov(Xt,Xt+k)=k

是只与时期间隔k有关，与时间t无关的常数；则称该随机时间序列是平稳的（stationary)，而该随机过程是一平稳随机过程（stationarystochasticprocess）。

平稳的概念第36页，讲稿共127页，2023年5月2日，星期三37两种基本的随机过程白噪声（whitenoise）过程随机游走（randomwalk）过程

第37页，讲稿共127页，2023年5月2日，星期三38白噪声一个具有均值为零和相同有限方差的独立随机变量序列et称为白噪声(whitenoise)。如果et服从正态分布，则称为高斯白噪声。由于Xt具有相同的均值与方差，且协方差为零,由定义,一个白噪声序列是平稳的。注：白噪声源于物理学与电学，原指音频和电信号在一定频带中的一种强度不变的干扰声。第38页，讲稿共127页，2023年5月2日，星期三39由白噪声过程产生的时间序列

第39页，讲稿共127页，2023年5月2日，星期三40日元对美元汇率的收益率序列第40页，讲稿共127页，2023年5月2日，星期三41随机游走（randomwalk）“随机游走”一词首次出现于1905年自然（Nature）杂志第72卷PearsonK.和

RayleighL.的一篇通信中。该信件的题目是“随机游走问题”。文中讨论寻找一个被放在野地中央的醉汉的最佳策略是从投放点开始搜索。

第41页，讲稿共127页，2023年5月2日，星期三42随机游走（randomwalk）随机时间序列由如下随机过程生成：Xt=Xt-1+tt是一个白噪声。该序列有相同的均值E(Xt)=E(Xt-1)，但方差与时间有关而非常数，是一非平稳序列。第42页，讲稿共127页，2023年5月2日，星期三43证明假设Xt的初值为X0，则易知:X1=X0+1X2=X1+2=X0+1+2

……Xt=X0+1+2+…+t

由于X0为常数，t是一个白噪声，因此:Var(Xt)=t2Xt的方差与时间t有关而非常数，它是一非平稳序列。第43页，讲稿共127页，2023年5月2日，星期三44随机游走对X取一阶差分（firstdifference）:Xt=Xt-Xt-1=t由于t是一个白噪声，则序列{Xt}是平稳的。如果一个时间序列是非平稳的，它常常可通过取差分的方法而形成平稳序列。第44页，讲稿共127页，2023年5月2日，星期三45由随机游走过程产生时间序列

第45页，讲稿共127页，2023年5月2日，星期三46日元对美元汇率（300天，1995年）第46页，讲稿共127页，2023年5月2日，星期三47时间序列模型的主要分类

自回归过程移动平均过程第47页，讲稿共127页，2023年5月2日，星期三48自回归过程

如果一个线性过程可表达为

xt=1xt-1+2xt-2+…+pxt-p+ut

,

其中i,i=1,…p是自回归参数，ut

是白噪声过程，则称xt为p阶自回归过程，用AR(p)表示。xt是由它的p个滞后变量的加权和以及ut相加而成。与自回归模型常联系在一起的是平稳性问题。

第48页，讲稿共127页，2023年5月2日，星期三49移动平均过程如果一个线性随机过程可用下式表达xt

=ut+1ut–1+

2ut-2+…+qut–q

=(1+

1L+

2L2+…+qLq)ut=L)ut

其中

1,2,…,q是回归参数，ut为白噪声过程，则上式称为q阶移动平均过程，记为MA(q)。之所以称“移动平均”，是因为xt是由q+1个ut和ut滞后项的加权和构造而成。“移动”指t的变化，“平均”指加权和。

第49页，讲稿共127页，2023年5月2日，星期三50随机游走随机游走过程是1阶自回归AR(1)过程的特例:Xt=Xt-1+t

||>1时，该随机过程生成的时间序列是发散的，表现为持续上升(>1)或持续下降(<-1)，因此是非平稳的；=1时，是一个随机游走过程，也是非平稳的。只有当-1<<1时，该随机过程才是平稳的。第50页，讲稿共127页，2023年5月2日，星期三51时间序列的平稳性检验1、博克斯-皮尔斯（Box-Pierce)Q统计量平稳过程的一个显著特征是自相关函数随时间间隔k的增大而衰减，因此，对时间序列的样本自相关函数是否显著地不为零，来检验序列的平稳性。第51页，讲稿共127页，2023年5月2日，星期三52检验样本自相关函数及其图形随机时间序列的自相关函数（autocorrelationfunction,ACF）：k=k/0

k是时间序列滞后k期的协方差，0是方差实际上，对一个随机过程只有一个实现（样本），因此，只能计算样本自相关函数（系数）（Sampleautocorrelationfunction）。第52页，讲稿共127页，2023年5月2日，星期三53样本自相关函数随着k的增加，样本自相关函数下降且趋于零。但从下降速度来看，平稳序列要比非平稳序列快得多。第53页，讲稿共127页，2023年5月2日，星期三54平稳序列的判断krkkr

k0011平稳序列的自相关函数非平稳序列的自相关函数迅速下降到零缓慢下降第54页，讲稿共127页，2023年5月2日，星期三55相关图和Q-统计量Bartlett曾证明:如果时间序列由白噪声过程生成，则对所有的k>0，样本自相关系数近似地服从以0为均值，1/n为方差的正态分布，其中n为样本数。第55页，讲稿共127页，2023年5月2日，星期三56Q-统计量确定样本自相关函数rk某一数值是否足够接近于0是非常有用的，因为它可检验对应的自相关函数k的真值是否为0的假设。可检验对所有k>0，自相关系数都为0的联合假设（H：1=2=…=k

），这可通过如下QLB统计量进行：其中：rk是残差序列的k阶自相关系数，n是观测值的个数，p是设定的滞后阶数。近似~2（p）第56页，讲稿共127页，2023年5月2日，星期三57Q-统计量H0：序列不存在p阶自相关；H1：序列存在p阶自相关。如果各阶Q-统计量都没有超过由设定的显著性水平决定的临界值，则接受原假设，即不存在序列相关，并且此时，各阶的自相关和偏自相关系数都接近于0。反之如果在某一滞后阶数p，Q-统计量超过设定的显著性水平的临界值，则拒绝原假设，说明残差序列存在p阶自相关。第57页，讲稿共127页，2023年5月2日，星期三58Q-统计量由于Q-统计量的P值要根据自由度p来估算，因此，一个较大的样本容量是保证Q-统计量有效的重要因素。

第58页，讲稿共127页，2023年5月2日，星期三59EViews软件中的操作方法在方程工具栏选择View/ResidualTests/correlogram-Q-statistics。EViews将显示残差的自相关和偏自相关函数以及对应于高阶序列相关的Ljung-BoxQ统计量。如果残差不存在序列相关，在各阶滞后的自相关和偏自相关值都接近于零。所有的Q-统计量不显著，并且有大的P值。第59页，讲稿共127页，2023年5月2日，星期三60第60页，讲稿共127页，2023年5月2日，星期三61

虚线之间的区域是自相关中正负两倍于估计标准差所夹成的。如果自相关值在这个区域内，则在显著水平为5%的情形下与零没有显著区别。本例1～3阶的自相关系数都超出了虚线，说明存在3阶序列相关。各阶滞后的Q-统计量的P值都小于5%，说明在5%的显著性水平下，拒绝原假设，残差序列存在序列相关。第61页，讲稿共127页，2023年5月2日，星期三62时间序列的平稳性检验2、根据序列的时间路径图和样本相关图判断3、单位根检验第62页，讲稿共127页，2023年5月2日，星期三63二、平稳性检验的图示判断第63页，讲稿共127页，2023年5月2日，星期三64平稳性的简单图示判断给出一个随机时间序列，首先可通过该序列的时间路径图来粗略地判断它是否是平稳的。一个平稳的时间序列在图形上往往表现出一种围绕其均值不断波动的过程。而非平稳序列则往往表现出在不同的时间段具有不同的均值（如持续上升或持续下降）。

第64页，讲稿共127页，2023年5月2日，星期三65第65页，讲稿共127页，2023年5月2日，星期三66txttxt第66页，讲稿共127页，2023年5月2日，星期三67

例9.1.3:

表9.1.1序列Random1是通过一随机过程（随机函数）生成的有19个样本的随机时间序列。

第67页，讲稿共127页，2023年5月2日，星期三第68页，讲稿共127页，2023年5月2日，星期三69第69页，讲稿共127页，2023年5月2日，星期三70序列1容易验证：该样本序列的均值为0，方差为0.0789。从图形看：它在其样本均值0附近上下波动，且样本自相关系数迅速下降到0，随后在0附近波动且逐渐收敛于0。由于该序列由一随机过程生成，可以认为不存在序列相关性，因此该序列为一白噪声。第70页，讲稿共127页，2023年5月2日，星期三71序列1根据Bartlett的理论：k～N(0,1/19)，因此任一rk(k>0)的95%的置信区间都将是:可以看出:k>0时，rk的值确实落在了该区间内，因此可以接受k(k>0)为0的假设。第71页，讲稿共127页，2023年5月2日，星期三72序列1从QLB统计量的计算值看，滞后17期的计算值为26.38，未超过5%显著性水平的临界值27.58，因此,可以接受所有的自相关系数k(k>0)都为0的假设。因此，该随机过程是一个平稳过程。第72页，讲稿共127页，2023年5月2日，星期三73序列2由一随机游走过程Xt=Xt-1+t生成的一随机游走时间序列样本。其中，第0项取值为0，t是由Random1表示的白噪声。第73页，讲稿共127页，2023年5月2日，星期三74第74页，讲稿共127页，2023年5月2日，星期三75序列2图形表示出：该序列具有相同的均值，但从样本自相关图看，虽然自相关系数迅速下降到0，但随着时间的推移，则在0附近波动且呈发散趋势。样本自相关系数显示：r1=0.48，落在了区间[-0.4497,0.4497]之外，因此在5%的显著性水平上拒绝1的真值为0的假设。该随机游走序列是非平稳的。第75页，讲稿共127页，2023年5月2日，星期三76例9.1.4

检验中国支出法GDP时间序列的平稳性。表9.1.21978~2000年中国支出法GDP（单位：亿元）

第76页，讲稿共127页，2023年5月2日，星期三77第77页，讲稿共127页，2023年5月2日，星期三78判断图形：表现出了一个持续上升的过程，可初步判断是非平稳的。样本自相关系数：缓慢下降，再次表明它的非平稳性。从滞后21期的QLB统计量看：

QLB(21)=146.23>32.67=2

0.05

（21）拒绝：该时间序列的自相关系数在滞后1期之后的值全部为0的假设。

结论:1978～2000年间中国GDP时间序列是非平稳序列。第78页，讲稿共127页，2023年5月2日，星期三79例9.1.5

检验§2.5中关于人均居民消费与人均国内生产总值这两时间序列的平稳性。

原图样本自相关图第79页，讲稿共127页，2023年5月2日，星期三80判断从图形上看：人均居民消费（CPC）与人均国内生产总值（GDPPC）是非平稳的。从滞后14期的QLB统计量看：CPC与GDPPC序列的统计量计算值均为57.18，超过了显著性水平为5%时的临界值23.68。再次表明它们的非平稳性。就此来说，运用传统的回归方法建立它们的回归方程是无实际意义的。不过，第三节中将看到，如果两个非平稳时间序列是协整的，则传统的回归结果却是有意义的，而这两时间序列恰是协整的。第80页，讲稿共127页，2023年5月2日，星期三81三、平稳性的单位根检验

（unitroottest）第81页，讲稿共127页，2023年5月2日，星期三821、DF检验考虑一阶自回归模型：第82页，讲稿共127页，2023年5月2日，星期三831、DF检验第83页，讲稿共127页，2023年5月2日，星期三841、DF检验根据值的不同，可以分三种情况考虑：（1）若＜1，则当T→∞时，→0，即对序列的冲击将随着时间的推移其影响逐渐减弱，此时序列是稳定的。第84页，讲稿共127页，2023年5月2日，星期三851、DF检验（2）若＞1，则当T→∞时，→∞，即对序列的冲击随着时间的推移其影响反而是逐渐增大的，很显然，此时序列是不稳定的。（3）若=1，则当T→∞时，=1，即对序列的冲击随着时间的推移其影响是不变的，很显然，序列也是不稳定的。

第85页，讲稿共127页，2023年5月2日，星期三861、DF检验第86页，讲稿共127页，2023年5月2日，星期三87DF检验所以式中的参数>1或=1时，时间序列是非平稳的;相对应的是>0或

=0。针对Xt=+Xt-1+t

零假设H0：=0备择假设H1：<0可通过OLS法下的t检验完成，但在零假设（序列非平稳）下，即使在大样本下t统计量也是有偏误的（向下偏倚），呈现围绕小于零值的偏态分布，t检验无法使用。第87页，讲稿共127页，2023年5月2日，星期三88DF检验第88页，讲稿共127页，2023年5月2日，星期三89

因此，可通过OLS法估计：

Xt=+Xt-1+t并计算t统计量的值，与DF分布表中给定显著性水平下的临界值比较。第89页，讲稿共127页，2023年5月2日，星期三90

问题的提出：

在利用Xt=+Xt-1+t对时间序列进行平稳性检验中，实际上假定了时间序列是由具有白噪声随机误差项的一阶自回归过程AR(1)生成的。前面所描述的单位根检验只有当序列为AR(1)时才有效。如果序列存在高阶滞后相关，这就违背了扰动项是独立同分布的假设。在实际检验中，时间序列可能由更高阶的自回归过程生成的，或者随机误差项并非是白噪声，或者时间序列包含有明显的随时间变化的某种趋势（如上升或下降），这样用OLS法进行估计均会表现出随机误差项出现自相关（autocorrelation），导致DF检验无效。在这种情况下，可以使用增广的DF检验方法（augmentedDickey-Fullertest），即ADF检验来检验含有高阶序列相关的序列的单位根。

2、ADF（AugmentDickey-Fuller

）检验第90页，讲稿共127页，2023年5月2日，星期三91ADF检验是通过下面三个模型完成的：即通过在模型中增加的滞后项△Xt，以消除残差的序列相关性。在检验回归中包括常数，常数和线性趋势，或二者都不包含。第91页，讲稿共127页，2023年5月2日，星期三92H0：=0，即存在一单位根H1:<0实际检验时从模型3开始，然后模型2、模型1。何时检验拒绝零假设，即原序列不存在单位根，为平稳序列，何时检验停止。否则，就要继续检验，直到检验完模型1为止。检验原理与DF检验相同，只是对模型1、2、3进行检验时，有各自相应的临界值。ADF检验第92页，讲稿共127页，2023年5月2日，星期三93不同模型使用的ADF分布临界值表2.202.182.172.162.162.162.612.562.542.532.522.522.972.892.862.842.832.833.413.283.223.193.183.182550100250500〉500-2.62-2.60-2.58-2.57-2.57-2.57-3.00-2.93-2.89-2.88-2.87-2.86-3.33-3.22-3.17-3.14-3.13-3.12-3.75-3.58-3.51-3.46-3.44-3.432550100250500〉5002-1.60-1.61-1.61-1.61-1.61-1.61-1.95-1.95-1.95-1.95-1.95-1.95-2.26-2.25-2.24-2.23-2.23-2.23-2.66-2.62-2.60-2.58-2.58-2.582550100250500〉50010.100.050.0250.01样本容量统计量模型ststat第93页，讲稿共127页，2023年5月2日，星期三94续表：不同模型使用的ADF分布临界值表2.392.382.382.382.382.382.852.812.792.792.782.783.253.183.143.123.113.113.743.603.533.493.483.462550100250500〉5002.772.752.732.732.722.723.203.143.113.093.083.083.593.423.423.393.383.384.053.873.783.743.723.712550100250500〉500-3.24-3.18-3.15-3.13-3.13-3.12-3.603.50-3.45-3.43-3.42-3.41-3.95-3.80-3.73-3.69-3.68-3.66-4.38-4.15-4.04-3.99-3.98-3.962550100250500〉50030.100.050.0250.01样本容量统计量模型statbt第94页，讲稿共127页，2023年5月2日，星期三95ADF检验标准1）只要其中有一个模型的检验结果拒绝了零假设，就可以认为时间序列是平稳的；2）当三个模型的检验结果都不能拒绝零假设时，则认为时间序列是非平稳的。模型适当的形式就是在每个模型中选取适当的滞后差分项，以使模型的残差项是一个白噪声（主要保证不存在自相关）。第95页，讲稿共127页，2023年5月2日，星期三96ADF检验注意的问题（1）必须为回归定义合理的滞后阶数。①渐进t检验。该种方法是首先选择一个较大的m值，然后用t检验确定系数是否显著，如果是显著的，则选择滞后项数为m;如果不显著，则减少m直到对应的系数值是显著的。②信息准则。常用的信息准则有AIC信息准则、SC信息准则，通常采用AIC准则来确定给定时间序列模型的滞后阶数。在实际应用中，还需要兼顾其他的因素，如系统的稳定性、模型的拟合优度等。第96页，讲稿共127页，2023年5月2日，星期三97ADF检验注意的问题（2）可以选择常数和线性时间趋势，选择哪种形式很重要，因为检验显著性水平的t统计量在原假设下的渐进分布依赖于关于这些项的定义。①如果在检验回归中含有常数，意味着所检验的序列的均值不为0，一个简单易行的办法是画出检验序列的曲线图，通过图形观察原序列是否在一个偏离0的位置随机变动，进而决定是否在检验时添加常数项；第97页，讲稿共127页，2023年5月2日，星期三98ADF检验注意的问题②如果在检验回归中含线性趋势项，意味着原序列具有时间趋势。同样，决定是否在检验中添加时间趋势项，也可以通过画出原序列的曲线图来观察。如果图形中大致显示了被检验序列的波动趋势随时间变化而变化，那么便可以添加时间趋势项。第98页，讲稿共127页，2023年5月2日，星期三99例9.1.6

检验1978~2000年间中国支出法GDP序列的平稳性。1）经过尝试，模型3取了2阶滞后：通过拉格朗日乘数检验对随机误差项的自相关性进行检验：LM（1）=0.92，LM（2）=4.16，小于5%显著性水平下自由度分别为1与2的2分布的临界值，可见不存在自相关性，因此该模型的设定是正确的。第99页，讲稿共127页，2023年5月2日，星期三100ADF检验从的系数看，t>临界值，接受存在单位根的零假设。时间T的t统计量小于ADF分布表中的临界值，因此接受不存在趋势项的假设。需进一步检验模型2

。第100页，讲稿共127页，2023年5月2日，星期三101

2）经试验，模型2中滞后项取2阶：LM检验表明模型残差不存在自相关性，因此该模型设定是正确的。从GDPt-1的参数值看，其t统计量为正值，大于临界值，不能拒绝存在单位根的零假设。常数项的t统计量小于AFD分布表中的临界值，不能拒绝不存常数项的零假设。需进一步检验模型1。第101页，讲稿共127页，2023年5月2日，星期三1023)经试验，模型1中滞后项取2阶：

LM检验表明模型残差项不存在自相关性，因此模型的设定是正确的。从GDPt-1的参数值看，其t统计量为正值，大于临界值，不能拒绝存在单位根的零假设。可断定中国支出法GDP时间序列是非平稳的。第102页，讲稿共127页，2023年5月2日，星期三103例9.1.7

检验§2.5中关于人均居民消费与人均国内生产总值这两时间序列的平稳性。

1)对中国人均国内生产总值GDPPC来说，经过尝试，三个模型的适当形式分别为：第103页，讲稿共127页，2023年5月2日，星期三104第104页，讲稿共127页，2023年5月2日，星期三105

三个模型中参数的估计值的t统计量均大于各自的临界值，因此不能拒绝存在单位根的零假设。

结论：人均国内生产总值（GDPPC）是非平稳的。第105页，讲稿共127页，2023年5月2日，星期三106

2）对于人均居民消费CPC时间序列来说，三个模型的适当形式为：第106页，讲稿共127页，2023年5月2日，星期三107第107页，讲稿共127页，2023年5月2日，星期三108

三个模型中参数CPCt-1的t统计量的值均比ADF临界值表中各自的临界值大，不能拒绝该时间序列存在单位根的假设，因此,可判断人均居民消费序列CPC是非平稳的。第108页，讲稿共127页，2023年5月2日，星期三109四、单整、趋势平稳与差分平稳随机过程第109页，讲稿共127页，2023年5月2日，星期三1101、单整d阶单整（integratedofd）序列：一个时间序列经过d次差分后变成平稳序列，记为I(d)。一阶单整（integratedof1）序列：一个时间序列经过一次差分变成平稳的，记为I(1)。

I(0)代表一平稳时间序列。I(d)在金融、经济时间序列数据中是最普遍的，而I(0)则表示平稳时间序列。第110页，讲稿共127页，2023年5月2日，星期三1111、单整非单整（non-integrated）：无论经过多少次差分，都不能变为平稳的时间序列。现实经济生活中，只有少数经济指标的时间序列表现为平稳的，如利率等;大多数指标的时间序列是非平稳的，可通过一次或多次差分的形式变为平稳的。如一些价格指数常常是2阶单整的，以不变价格表示的消费额、收入等常表现为1阶单整。第111页，讲稿共127页，2023年5月2日，星期三112例9.1.8

中国支出法GDP的单整性。经过试算，发现中国支出法GDP是1阶单整的，适当的检验模型为：第112页，讲稿共127页，2023年5月2日，星期三113例9.1.9

中国人均居民消费与人均国内生产总值的单整性。

经过试算，发现中国人均国内生产总值GDPPC是2阶单整的，适当的检验模型为：

第113页，讲稿共127页，2023年5月2日，星期三114

同样地，CPC也是2阶单整的，适当的检验模型为：第114页，讲稿共127页，2023年5月2日，星期三115

⒉趋势平稳与差分平稳随机过程虚假回归或伪回归（spuriousregression）：如：用中国的劳动力时间序列数据与美国GDP时间序列作回归，会得到较高的R2，但不能认为两者有直接的关联关系，而只不过它们有共同的趋势罢了，这种回归结果我们认为是虚假的。为了避免这种虚假回归的产生，通常的做法是引入作为趋势变量的时间，这样包含有时间趋势变量的回归，可以消除这种趋势性的影响。第115页，讲稿共127页，2023年5月2日，星期三116

引入作为趋势变量时间的做法，只有当趋势性变量是确定性的（deterministic）而非随机性的（stochastic），才会是有效的。如果一个包含有某种确定性趋势的非平稳时间序列，可以通过引入表示这一确定性趋势的趋势变量，而将确定性趋势分离出来。

⒉趋势平稳与差分平稳随机过程第116页，讲稿共127页，2023年5月2日，星期三