第九章 投资组合理论

第九章投资组合理论7/2/2023广东金融学院投资学精品课程内容简介：一、风险资产组合1、2种风险资产的组合2、N种风险资产的组合（可行集）3、最优风险资产组合的确定（有效边界）二、加入无风险资产后1、资本配置线2、最优风险资产组合的确定3、最优资产组合的确定三、资本资产定价模型（CAPM）1、资本市场线2、模型的推导3、解释和应用四、套利定价模型7/2/2023广东金融学院投资学精品课程马柯维茨的资产组合理论马柯维兹(HarryMarkowitz)1952年在JournalofFinance发表了论文《资产组合的选择》，标志着现代投资理论发展的开端。马想为什么投资者并不简单地选内在价值最大的股票，他终于明白，投资者不仅要考虑收益，还担心风险，分散投资是为了分散风险。同时考虑投资的收益和风险，马是第一人。当时主流意见是集中投资。马的贡献是开创了在不确定性条件下理性投资者进行资产组合投资的理论和方法，第一次采用定量的方法证明了分散投资的优点。他用数学中的均值方差，使人们按照自己的偏好，精确地选择一个确定风险下能提供最大收益的资产组合。获1990年诺贝尔经济学奖。7/2/2023广东金融学院投资学精品课程托宾的收益风险理论托宾(JamesTobin)是著名的经济学家、他在1958年2月TheReviewofEconomicStudies发表文章，阐述了他对风险收益关系的理解。1955-56年，托宾发现马克维茨假定投资者在构筑资产组合时是在风险资产的范围内选择，没有考虑无风险资产和现金，实际上投资者会在持有风险资产的同时持有国库券等低风险资产和现金的。他得出：各种风险资产在风险资产组合中的比例与风险资产组合占全部投资的比例无关。这就是说，投资者的投资决策包括两个决策，资产配置和股票选择。而后者应依据马克维茨的模型。即无论风险偏好何样的投资者的风险资产组合都应是一样的。托宾的理论不仅使凯恩斯理论有了更坚实的基础，也使证券投资的决策分析方法更深入，也更有效率。7/2/2023广东金融学院投资学精品课程一、风险资产组合

（一）2种风险资产的资产组合假定投资两种风险资产，一是股票D，一是债券E。投资者会根据期望收益与方差的情况，考虑自己的风险厌恶程度决定两种资产组合的比例。假定投资债券的资金为wD，投资股票的部分为1-wD记作wE，rD为债券收益，rE为股票收益，组合收益rp为rp=wDrD+wErEE(rp)=wDE(rD)+wEE(rE)p2=w2DD2+w2EE2+2wDwECov(rD,rE)7/2/2023广东金融学院投资学精品课程显然如果两资产协方差为负，方差将变小。由于有Cov(rD，rE)=ρDEDE将它代入上面的方差公式，则有：

P2=wD2D2+wE2E2+2wDwEDEρDE

A.ρ=1时，可简化为：P2=(wDD+wEE)2或P=wDD+wEE组合的标准差恰好等于组合中每一部分证券标准差的加权平均值。B.当ρ＜1时，组合标准差会小于各部分证券标准差的加权平均值。C.当ρ=-1时，该式可简化为：P2=(wDD―wEE)2组合的标准差为：P=|wDD―wEE|。此时如果两种资产的比例恰当，标准差可以降低到0，7/2/2023广东金融学院投资学精品课程当ρ=-1时,标准差可以降低到0的资产恰当比例如下：由于需要有：wDD-wEE=0，所以有：wD=E/(D+E)wE=D/(D+E)=1-wD

以上的三种情形的分析表明，当ρ=1时，标准差最大，为每一种风险资产标准差的加权平均值；如果-1ρ＜1，组合的标准差会减小，风险会降低；如果ρ=-1，在股票的比重为wD=E/(D+E)，债券的比重为1-wD时，组合的标准差为0，即完全无风险。7/2/2023广东金融学院投资学精品课程证券D、E组合在R-平面的映射（组合线）的形状取决于二证券收益率的相关程度。如下图：

RE

=-1=0.5=1

=-0.5=0

DO7/2/2023广东金融学院投资学精品课程（二）N种风险资产的组合一般地，对于3个风险资产A,B,C，可行集合是ABC，比方说，其可能的组合Q可以看做B,C的组合Z，与A的再组合。如图所示：ABCZσE(r)Q7/2/2023广东金融学院投资学精品课程N个资宇产同哈样可洪以组闲合。薯如图扎（不狂考虑征卖空件）性质：可明行集钥合必窜然是爪向外浪凸的盼。(用反惰证法板证明冠！）σE(r)6/畜27习/2丧02效3广东率金融它学院留投趴资学绑精品图课程可行固集合：上饺面所勿说的拼是可体行集定合，贷即通稍过改野变风蓝险资剥产的叹投资浩比例切，所秋有可环能实栋现的配风险枪资产搞的组券合。有效助边界：对隐于给贿定期呈望收疯益，样拥有细最小尾方差亮的风尸险资继产的马组合革。或幕者说脱，对叙于给毁定方埋差，堡拥有咳最大橡期望书收益票的风哗险资久产的陆组合体。结论夺：有暗效边愧界是盏可行犁集合陶的左配上边滨缘。思考查：为酸什么劈燕？（根级据均怜值-方差北准则晚而来勿）6/殖27肤/2掘02深3广东懂金融伶学院拣投番资学烛精品仿课程（三质）没哨有引省入无搞风险氧资产数的情泡形下海最育优风要险资武产的反确定一句盈话，烈没有涌无风疏险资膛产的仆情形役下，援最优罗风险者资产亚组合稿是有顿效边子界与僵效用舅无差篇别曲睛线群锣的切直点。σE(r)有效边界无差别曲线最优风险资产组合6/堪27京/2陵02我3广东歌金融程学院底投杜资学耕精品姜课程二、宁引入浙无风掌险资院产后（一红）资碌本配揭置线例题沃：假定晴风险告资产咐的期多望收绢益为E(rP)旅=9束%庭，标准领差为P=2烧1%覆，无风院险资稿产组腿合F的收蜂益率咏为rf=3庙%。风险火资产腥的风犹险溢填价为E(rP)–rF=9唉%-喝3%陕=6唤%。令投浸资于利风险由资产耻的比妥例为y，投资枯于无脑风险攻资产顷的比报例为圈（1-y)糠，整个旧资产档组合C的收仗益率念为rC，那么捏有：rc=y岭rp+(捏1-尚y)同rf资产捡组合C的期祸望收搬益为泻：E(rc)=3%光+y(旧9%叼-3爪%)序=3戒%+络6%全y资产匪组合C的风单险由拘于P=2庙1%恳，有：σC=y扯σp=2距1%铺y6/听27庄/2财02抓3广东企金融盟学院娘投嫩资学般精品叮课程因此，资游本配勺置线绵的方摄程式洒为：E(rc)=3靠%+坝(2企/7奖)*σCPσrf=3%E(rp)=9%σP=21%E(r)6/马27段/2闷02本3广东疗金融首学院德投沙资学义精品届课程资本川配置庸线的俩意义如果催选择昏将全小部投龙资投传向风炎险资肌产，反期望详收益筑与标慨准差网就是E(rp)=习9%猾，P=2挪1%匙。如果杆选择杆将全驼部投包资投变向无妇风险轨资产俱，期唤望收惭益与悔标准访差就滥是E(rp)=祝3%采，P=0厨。从线失上可粮直观趁地看击到，只风险匀增加先，收肉益也脂增加打。由燥于直英线的检斜率侨为6/菊21处=0坚.2菌9，每舒增1单位馋风险计，可织获0.母29单位斥收益典。即候每增1单位舞收益拿，将汪增3.腔5(谎21处/6努=3莫.5盲)单位伯风险违。资本纷配置虽线的仰斜率毒也称社为酬牺报与掏波动散性比央率。一般砍认为叫这个当值较纲大为姓好，狗因为聪它越够大，泰资本倡配置求线就受越陡均，即刘增加丈一单释位风档险可喇以增招加更桐多的请期望启收益双。6/创27云/2摩02糠3广东邪金融瓜学院虫投水资学替精品舱课程（二馅）最优嫂风险报组合纹的确峡定在风例险组岔合里消增加轮无风搏险资遍产，悠那么巨，每穿种风想险组泪合和抚无风滋险资牵产可独以形条成资苹本配仪置线层。上贺面已裙经提滤到，撕资本轻配置亿线的拳斜率昏大比盖较好恐，因喂此，责当资披本配刻置线俊与有如效边瞧界相聋切的春时候瓣最优斧，切原点就药是最里优风异险组绕合。E(r)最优风险资产组合P6/品27群/2勤02雁3广东而金融土学院砍投阵资学墓精品卧课程（三畏）最煤优资烘产配卸置上面倡确定顽了最扒优风别险资狱产的种组合痛，即柔，投阴资于秧各种闯风险涌资产鸦的适摄当的窄比例伙。那壶么，悟投资头于风筛险资距产组蛮合和港无风街险资徐产的塔比例馋又应寄该如况何确汗定呢督？最优灿风险菠资产桶组合爆和无联风险警资产滴形成牙了一物条资师本配挥置线刮，它泡与个暴人的欠效用秒无差腹别曲誓线群已的切叹点，闲就是袖最优坑的资粘产配添置。个人朽的风旬险喜硬好不日同，涉意味招着无召差别猾曲线名群不及同，磁切点良亦不案同，播即，抢个人灾最优功资产泪配置债不同阀。6/残27汽/2拒02摊3广东匀金融探学院司投夏资学沈精品矮课程无差锈别曲隐线群最优嘱风险尿资产割组合最优挡资产拣组合资本览配置寺线E(库r)6/铜27最/2毛02敏3广东够金融规学院氏投荷资学信精品榆课程小结注：1、只恼有风扯险资疑产的屡时候坐，确迈定可循行集凡合和篮有效奖边界知。（勺取决绩于个盈人对疼风险搂资产拨的期摘望值者和标沸准差胳的判才断）2、加锤入无晚风险魂资产从后，垂确定聪最优漆风险错资产电组合架。（资芬本配溜置线扛和有戏效边牲界的治切点午）3、确震定最别优资吊产组伟合。（资劈燕本配希置线钻和无填差别泥曲线堂的切谱点）（取灶决于裳个人眼对风刻险的射厌恶莫程度匀）看似践简单控，其址实最轰优资迫产组伞合的信确定弟非常我复杂纳。原际因很垃多，疑比如晨说效妙用函者数的已确定蹈，风曾险资绿产的酿参数党估计葱等。对于戏风险殿资产娃（比蚊如股斤票）吼，需伶要估破计其坦方差-协方毯差矩狗阵，究需要局估计仅的参刘数是悬非常黑庞大搞的。狸比如脑有10毫00只股朝票，稳其方冈差-协方沙差矩侨阵是10辩00栽×1颠00骑0矩阵血，需蹈要估槽计50博05仗00个参齐数，王计算册量及寺其大不。这赶是其档局限针性。绢也是棕以下CA蹦PM模型速及单珍因素细模型吐得到腰发展焰的动游因。6/刻27帐/2蓬02花3广东拳金融盐学院瞧投裁资学臣精品码课程追加1：最优诉风险有资产肠组合缠的确锹定（2种）目的繁是找加出wD，wE值，拣以获发得斜封率最勺大的臭资本酬配置虏线。茶因此迅，目庄标函描数就匠是斜怕率，畜即SP，有：Sp=[赔E(rp)-rf]/顽σp只要炉满足早权重帖和=1，就可浸以求盐斜率绣的最撕大值泛，有Ma较x挎Sp=[续E(rp)-rf]/骗σp因为冤∑wI=1污，将[E(rp)=wDE(rp)+wEE(rE)]代入祥，有Ma贫x扎Sp=[wDE(rp)+wEE(rE)-rf]/蒸σp将P2=招wD2D2+皮wE2E2+2wDwEDEρE代入竞上式谜，有Ma触xSp=[扭wDE(物rp)+抽wEE(虑rE)-镇rf]/胃[wD2D2+wE2E2+2已wDwEDEρE]用1睁-wD代替wE，有：Ma咏xSp=[wDE(茫rp)+盾(1弟-wD)E柴(rE)-送rf]/螺wD2D2+(基1-等wD)2E2+2灯wD(1规-wD)DEρE用wD对Sp求导德，令辛导数哄为零匀，有wD={赖[E彻(rD)-亮rf]E2-[液E(卸rE)-陪rf]C惜ov欧(rD,rE)}躺/[混E(御rD)-注rf]E2+[葡E(愚rE)-锤rf]D2-[抓E(挂rD)-宰rf+E让(rE)-劫rf]C屋ov视(rD,rE)}wE=1吃-wD6/骑27着/2停02弱3广东斑金融唐学院描投龄资学坦精品牵课程追加2：最优图资产敬组合指的确饮定投资田于风吵险组蛾合的帮比例陕是y，无风有险资录产为茫（1-y)征。U=睡E(趟r)酬-0保.0稀05σ2最大券化效闭用，禁即关油于效博用函赵数对y求导叫等于0。所以匀，y*娇=[夺E(rp)-rf]/把0足.0牺1A膀σ2p，6/算27彻/2列02狡3广东败金融砌学院伴投唯资学现精品热课程例题股票E(rE)为2密0%，方型差为15拆%，债逐券E(rD)为1捷0%，方仰差为10桌%。股也票与香债券贵的ρ=脂-0务.5闻。无风偿险资邪产收舒益为6.皱5%。由于塘有：Co裁v(rD，rZ)=绿ρDEDE有Co拣v(rD，rZ)=溜-0崭.5匙(3风.1靠62湿)(钩3.托87载3)焦=-遵6.良12湾3把上以例中尼的数努据代吗入，软得到邪的解赶为wD={叼[1伯0-穿6.庙5]懂15惠-[石20岁-6女.5除](扛-6休.1抛23县)}素/[亦10没-6麦.5妖]1顿5+琴[2府0-屑6.口5]棵10刷-[梅10换-6刃.5稿+2联0-承6.玩5]瓜(-携6.主12登3)懂}=益4傍6.蚕7%wE=1金-0云.4洪6.月7=环53杜.3妥%这一飘最优尸风险踪蝶资产要组合屠的期嘱望收满益与哑标准联差分馅别为E(rP)=完(0册.4穿67碌×1触0)野+(瓦0.健53真3×流20枝)=许15折.3硬3%2mi蚕n=(担0.摔46淡72×1胡0)阀+(水0.颈53役32×1舱5)词+(愁20.熄46棵70.欲53甲3-6犯.1朽23挠)乏=3爆.3老9%这个辟最优奴资产甜组合行的资正本配独置线认的斜罚率为SP=[已E(rB)-rf]/B=(坝15期.3伤3-称6.恨5)洋/1葛8.园4=形0.冒486/扩27嗽/2芳02贝3广东虾金融瞧学院先投炕资学先精品枣课程风险型资产筋与无资风险拐资产正的比肢率为伟：y*象=[锁E(rp)-rf]/允0雕.0犯1A嫂σ2p，假定A=拥4，投资猾者投置资于相风险机资产弄组合咸的投鸽资比抢例为y=耕[E绞(rp)-案rf]/课0.钥01扛Aσ2p=席(1泄5.瘦33贡-6侍.5芬)/暖(0同.0另1×止4×虽3.篮39鞋)=尺65灶.1抗2由于壤风险柿太小棍，应添将其泳资产抱的10睛0%全投乐向风稳险资决产。灯只有A大于26泰1的时越候，歌投资胃者才饶愿意烦同时咳投资早于风出险资雨产和菜无风块险资雾产。述假定A=殃30燥0，有y=孟(1饰5.愚33丝式-6闹.5兔)/服(0获.0总1×协30凯0×摘3.屠39嗓)=唐86顽.8保2%另1-冬y=描13艘.1禾2%即投息资者趴只有侨在如厉此厌文恶风近险的裤情况青下，板才会朝将其凡投资沈资金按的86样.8裂2%投向由股票叨与债亲券，13饥.1畅2%投向幻玉国库度券。另由于挽债券越在风承险资保产中卧的比嫁例为46谜.7航%，股蚀票在术风险欧资产泰中的干比例凳为53商.3择%，因鞋此，填在全寻部投困资资直金中欠应有(4慨6.问7%壤×8即6.恼82尼%=之)4外0.龟55洞%投资院于债耻券，(5属3.竞3%甚×8屯6.泽82淋%=产)4刚6.书28亭%投资霞于股浊票，唇剩下绸的13桐.1叨2%投向庸国库刚券。6/陈27行/2驾02妨3广东政金融厌学院巡寿投址资学衫精品殊课程三、谎资本峰资产唐定价模型一、报假设鞠和结伴论模型迷的假珠设条部件：（1）市场晚中存田在着匀大量面投资猜者，盲投资广者是全市场阅证券餐价格紧的接岩受者灭，证统券市事场是保完全壳竞争睬的市阀场；（2）所遥有投退资者神的证芦券持杏有的宇起止淋期都吵是相兼同的砍；（3）投祥资者转只在即公开黎的金撕融市材场上呀投资点；（4）所呈有的转投资辱者都绕是理掀性的丛，都确是风莲险厌绑恶者酒，都纱寻求绸投资号资产叙组合岂的方庆差最贩小化议；（5）同宣质期郑望：蚁所有策投资形者对拜证券辩的评露价和跟经济伸形势隙的看能法都屠一致妙。另外冤，还粘假定纳金融驰工具盟是可坛以无挺限分菊割的绩、无聚通货尊膨胀作、无劈燕交易秧费用真、无垄税收犯。6/遥27座/2片02扰3广东庭金融湿学院己投狠资学筒精品兴课程归纳扛起来恢，3大假潮设：1、每善个投粱资者锣同质带：即闸对经词济形伙势以套及每分个风系险资鸟产的扎预计旺都是电一样帖的，漠也就柳是说资，对采每个全风险弊资产奏的期腐望收讯益和扰标准趣差的胸预计章是一幸样的附。2、每残个投蚁资者法都是婶按照陵马柯慌威茨权的投喝资组激合理狸论进诉行投此资。3、市闪场是郑没有拦摩擦赖的。假设军条件张下的幼推论伟：1、分室离定窜理：由于须每个鄙投资为者同妄质，物也就逃是说刊每个尿投资寇者的悟有效爽集合慰相同梯，有阶效边司界也各相同培。通砍过资宗本配珠置线忠而决婶定的言最优辨风险斤资产胞也是威相同葡的。最优每风险低资产爱组合播的确刑定与嘱个人厨对风怨险的址厌恶钩程度鲁无关薄。6/速27坑/2料02羽3广东液金融话学院车投吼资学喷精品授课程2、上面赶已经屠知道璃每个波投资质者的横最优教风险雅资产济组合牵相同钢。可喜以证布明，挖市场响资产茂组合唤就是带最优贴风险庸资产土组合泛，因饺此，雀市场宾资产些组合揪位于休每一淡投资搜者的足最优在资本唯配置游线之吩上。3、资砌本市婚场线资本藏市场黑线是高可能告达到隐的最秘优资券本配源置线虏。(从无占风险印利率致出发轰通过吓市场机资产奶组合M的延乳伸线)投资鼻者之么间的墙差别铜只是珠他们把投资采于最偿优风慰险资碎产组卧合与续无风宇险资老产的僵比例算不同混。即惩最优塑资产满组合公的决斧定不犬同，纪它取念决于讲资本扁市场臭线与士每个续人的俩无差良别曲姿线的宽切点误。（供因而妨与个谅人的悉风险汽喜好男有关枝）资本齿市场钱线的钟数学笑表达最式：6/极27圆/2附02付3广东会金融处学院真投淡资学悲精品忍课程4、资蜓本资美产定帽价模辽型个别杨资产令的风淘险溢汉价与涌市场亏资产袭组合钢的相脚关证加券的质贝塔手系数马也成叙比例暴关系泡。这弟里，浊贝塔(β)用来迟测度腊由于允市场兵证券蝇收益狭变动须引起浓的个猛股收泰益变思动的谢程度演，贝踪蝶塔的扯定义犁为：βi=[Co红v(rI，rM)]醋/σ2M贝塔荐反映治了系赤统风拾险对忙个股荷收益至的效对应。个别横资产尘的期投望收肠益等章于市反场的团无风热险收局益率很加上邻个股律的风衰险溢策价。龙其数眯学表记达形需式为E(ri)=rf+{敢[Co俯v(rI，rM)]俯/σ2M}[怨E(臭rM)-垒rf]=rf+βi[E径(rM)-rf]这就愧是最自一般枕的资川本资躬产定迁价模魄型，句即CA臭PM模型蛾。其含咸义是经个股饼的期超望收悦益等由于市义场的信无风摩险利拨率加优上市怖场风神险溢蒜价乘巷以反返映个章股风袖险溢啊价与编市场孝风险障溢价菜的系方数关户系的β值。6/企27窑/2洪02较3广东远金融成学院期投淋资学举精品欠课程总结遗：由CA集PM的假刑设，首先沿，可跌以推喜导出智：每朵个投窝资者验的最铁优风容险资川产组婆合相前同，兔都是妖市场钥风险决资产被组合留。所凝以有味，资羊本市混场线拍的成舅立。其次键，通光过资捡本市拴场线狡，可穗以推可出CA拒PM模型梁。（知资本龙资产钥定价步模型感）6/牧27昂/2纳02伞3广东焦金融辈学院牢投检资学吃精品惨课程二、CA咳PM模型罢的推警导（一压）资忌本市梳场线引的推店导：1、所有挖的投肌资者份均持炉有市卸场资薪产组浅合：所有届投资枪者的余风险叶资产兴组合浪都是掀从无丑风险贩证券忠收益牵率引造出的却与有亚效率定边界旷相切淹的资宫本市乎场线较的切浊点。2、市场听资产荷组合纹是最朽优的平风险振资产丽组合钢：可由事此导瞧出共岩同基凑金原周理。6/世27幸/2摆02葱3广东暖金融密学院轧投秤资学他精品弄课程（二弊）市挎场风麦险组衬合的堤风险继溢价惑的确渴定对于棒投资钢者i，投资前于市虚场风械险组秒合的考权重形为yi，投资格于无风耀险资威产为谅（1-yi）。对于识所有粮的投混资者瓣，投买资于垦无风号险的剂权重锁的和寇为0，即您投资于以市场京风险现组合蒜的权塔重的荡和是N。所以唯有：其中曲，6/粒27暂/2资02风3广东创金融千学院饱投闹资学迟精品证课程（三关）CA柄PM的推脚导资本智市场项线的件表达颜式：下面倒我们扑由资挽本市住场线伪来推鲜导CA奔PM翼。不失社一般桨性，点我们塘假设i是市症场里控面的闻某种喉风险睡资产叨，我嗓们让i和市检场组炭合M进行续再组乳合，衡得到筑组合H。组合H必然绞在可祝行集石合里肤面，使（为炕什么淋？）那么侦，组歼合H的集旧合（宽双曲镜线）宁经过M点，饥也必仰然和爽资本因市场张线相毅切！郊！意乎味着锅，组花合H在M点的啄切线鞭就是民资本闭市场路线！冤！（扰如图弯！）由此蛙，我器们如鞋下可语以推旦出CA无PM席。6/宏27设/2扣02斑3广东寺金融肥学院梅投截资学公精品妄课程ii和M的组合H6/为27确/2骨02仗3广东旷金融丸学院遍投初资学倒精品滤课程组合H的期墙望收么益和踢方差扁：(证券I的比赤例是wi）组合H在M点（wi=0们）的切怖线的散斜率早是：6/牺27晒/2辫02县3广东辟金融贝学院拾投妖资学乱精品谅课程上面获是组朵合H在M点的切线建的斜栋率，某它应怎该等银于下拨面的槐资本炎市场沫线的翅斜率福：以上2个斜有率相取等，搭整理扎可以巴得到颈：6/破27惭/2语02皱3广东铜金融锻学院久投县资学棒精品匆课程（四）CA讯MP的一锐般形涂式假定屠有一怜任意搜资产膝组合P，组合P中股夺票k的权作重为wk，k基=1浪,2浴,…驶n。那么嚷，有颠：w1E(稼r1)源=浙w1rf+享w11[E找(rM)鸭–rf]+罢w2E(疯r2)药=廊w2rf+校w22[E五(rM)阵–rf]+探…获……魂……风…+wnE(rn)上=wnrf+wnn[E绪(rM)煮–rf]——拌——椅——趴——恶——炕——夫——绕——俯——E(rP)煤=rf+P[E劣(rM)大–rf]就是CA登PM模型薄的一邮般形山式。距如果舒资产蓄组合肢是市辨场资胶产组揭合时窄，模周型的甲表达咱就为芝：E(rM)血=rf+M[E