第九章 假设检验

第九章假设检验§9.1假设检验的基本概念§9.2两类错误§9.3一个正态总体的假设检验§9.4两个正态总体的假设检验CompanyLogo§9.1假设检验的基本概念和思想

一、基本概念(一)两类问题1、参数假设检验

总体分布已知,参数未知,由观测值x1,…,xn检验假设H0：=0；H1：≠02、非参数假设检验

总体分布未知,由观测值x1,…,xn检验假设H0：F(x)=F0(x;);H1：F(x)≠F0(x;)

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任何一个有关随机变量未知分布的假设称为统计假设或简称假设。一个仅牵涉到随机变量中几个未知参数的假设称为参数假设。这里所说的假设只是一个设想，至于它是否成立，在建立假设时并不知道，还需要进行考察。CompanyLogo

对一个样本进行考察，从而决定它是否能合理地被认为与假设相符，这一过程叫做假设检验。判别参数假设的检验称为参数假设检验。检验是一种决定规则，它具有一定的程序，通过它来对假设成立与否作出判断。CompanyLogo例1抛掷一枚硬币100次，“正面”出现了40次，问这枚硬币是否匀称？

若用ξ描述抛掷一枚硬币的试验，“ξ=1”及“ξ=0”分别表示“出现正面”和“出现反面”，上述问题就是要检验ξ是否服从P=1/2的0-1分布？CompanyLogo例2从1975年的新生儿中随机地抽取20个，测得其平均体重为3160g,样本标准差为300g。而根据过去统计资料，新生儿（女）平均体重为3140g。问现在与过去的新生儿（女）体重有无显著差异（假定新生儿体重服从正态分布）？若把所有1975年新生儿（女）体重视为一个总体，用ξ描述，问题就是判断Eξ=3140是否成立？CompanyLogo例3在10个相同的地块上对甲，乙两种玉米进行品比试验，得如下资料（单位：kg）

假定农作物产量服从正态分布，问这两种玉米有无显著差异?从直观上看，二者差异显著。但是一方面由于抽样的随机性，我们不能以个别值进行比较就得出结论；另一方面直观的标准可能因人而异。因此这实际上需要比较两个正态总体的期望值是否相等？CompanyLogo

这种作为检验对象的假设称为待检假设，通常用H0表示。比如，例2中的待检假设为：H0：Eξ=3140如何根据样本的信息来判断关于总体分布的某个设想是否成立，也就是检验假设H0成立与否的方法是本章要介绍的主要内容。CompanyLogo二、假设检验的基本思想：用置信区间的方法进行检验，基本思想是这样的：首先设想H0是真的成立：然后考虑在H0成立的条件下，已经观测到的样本信息出现的概率。如果这个概率很小，这就表明一个概率很小的事件在一次试验中发生了。而小概率原理认为，概率很小的事件在一次试验中是几乎不可能发生的，也就是说导出了一个违背小概率原理的不合理现象。这表明事先的设想H0是不正确的，因此拒绝原假设H0。否则，不能拒绝H0。CompanyLogo至于罪什么邪算是乔“概自率很叙小”兵，在徒检验既之前已都事户先指邪定。米比如孟概率怪为邮5江%，梦1%刮等，归一般违记作α。α是一走个事良先指兰定的捷小的殊正数网，称宁为显著掠性水挨平或检验泰水平。Co搬mp加an浅y耻Lo尸go§9孟.2两类座错误由于岛人们扎作出余判断拜的依蜘据是胸一个靠样本苗，也副就是准由部分来清推断殖整体桨，因芹而假悄设检零验不抱可能贵绝对功准确昏，它帜也可能犯旷错误什。其父可能瞒性的强大小盐，也俗是肯以统软计规忙律性酱为依棋据的，衬所可扛能犯症的错荷误有查两类鉴。第一筝类错伞误是颜：原乘假设嗽H。捐符合尿实际强情况书，而柿检验宫结果骂把它苹否定纷了，嚷这称禁为弃真疏错误。第二痒类错嫩误：堡原假共设H衡。不扇符合俗实际毒情况兽，而狱检验结果完把它纳肯定辽下来贞了，融这称亏为取伪岛错误。记α＝p{拒荷绝H0/H0真}=p{接展受H0/H0假}自然妻，人扮们希爱望犯棋这两缠类错猪误的嗓概率渡越小硬越好返。但蜓对于疤一定即的样尤本容嗓量n毙，社一般笑来说甚，不秀能同遗时做棒到犯壤这两余类错姿误的酿概率妹都很碍小，猜往往识是先桨固定垃“犯裳第一愈类错维误”满的概申率，抱再考啦虑如律何减浑小“估犯第梢二类妥错缸误”膛的概码率。抢这类擦问题役超出题本书滨的范矮围，备因此监不予耗介绍坊。Co功mp张an喇y撇Lo访go§9.贤3附一个它正态饲总体胜的假风设检鹿验设总自体为ξ~N湾(μ，σ2)。唇关于快总体急参数μ，σ2的假累设检赌验问侨题，婆本节灾介绍论下列栗四种蜓：⑴已案知方絮差σ2，检割验假项设H0：μ=μ0⑵未生知方限差σ2，检逮验假雷设H0：μ=μ0⑶未向知期太望μ，检温验假月设H0：σ2=σ02⑷未掏知期蝇望μ，检掏验假拆设H0：σ2≤σ02其中未H。帐中的μ0，σ02都是柱已知罚数。下面示将通航过具隶体例炕子，贼给出棒检验快规则Co路mp枕an响y伏Lo尺go单正涌态总南体的宴假设诵检验1、2已知改的情王形—绞U检化验根据粥假设H0：=0；H1：垒0,阳构造凯统计忘量计算尊,家比较疮大小旁,泳得出汤结论根据淘给定侨的检迅验水骄平α，查局表确搅定分与位数Co夏mp叹an泛y拌Lo央go例养1赢根仇据长甜期经珍验和痕资料计的分骗析，护某砖教瓦厂傻生产腿砖的龄“抗值断强滑度”ξ服从尤正闯态分凤布，堆方差σ2=1故.2敲1。贫从该驾厂产予品中围随机秩抽取笨6块疗，测现得抗没断强喉度如间下(衡㎏/得㎡)晃：32蹄.5叔6麦29水.6婆6筋31终.6舍4薪30脚.0夜0哀31缺.8担7谜31贷.0似3检验携这批坝砖的底平均歌强度购为3晴2.砍50背(璃㎏/木㎡)愈是口否成收立(α=0劈燕.0丛5)漏？解:（1甜）提弹出待浅检假障设H鸦。：μ=3舍2.薯50（2馋）根雅据H0选取挠统计就量在H0成立醋的条诉件下步U~似N(随0,傅1)(3冒)对仰于给庆定的耍检验铸水平α=0霸.0蜂5构堪造小停概率围事件Co蛇mp蔑an保y情Lo军go解:（1强）提炕出待护检假堤设H绒。：μ=3激2.弯50（2光）根星据H0选取抢统计图量在H0成立浑的条辨件下积U~庭N(律0,盆1)(3牛)对睁于给厨定的休检验喝水平床a=萝0.窝05羡构造行小概喇率事巴件(4呼)根俘据样系本观脾察值帖计算辆统计克量U亿的值查表饺确定驳分位蚁数∵|兰u|徐=3哀.0映5>桐1.辈96答=u0.疏02饲5(5敬)结苏论：鄙拒绝筹H0即不应能认些为这沟批产誉品的治平均渐抗断凡强度巨是3件2.丘50宜㎏露/㎡偏。Co差mp晒an副y逗Lo样go关于类方差样已知哈的正治态总霞体期盟望值μ的检朱验步东骤痛：(1忙)崭提出银待检弄假设刑H。遥:μ=μ0(μ0已知洗)（2燥）选逢取样帆本(Χ1,…枯,Χn)的屑统计昏量在H峡。成枯立的卖条件姓下所洋选统德计量旅U～押N（按0，鲁1）（3切）根吗据给兄定的色检验阔水平α查表先确定摔临界座值Uα/2，使P幼(|狡U|肠>Uα/2)=α；(4滥)根偿据样乒本观伍察值攻计算味统计辉量U页的值祝并与来临界经值Uα/2比较烟；(5振)下蹈结论喜：Co抖mp蚕an时y罪Lo察go若|U里|>μα/2，则逮否定袖H。借；若|U摸|<μα/2，则宰不能芽否定筹H。旧一般枯情况己就接培受H景。；若|U菌|=μα/2，或胁|μ|与μα/2很接摸近，异为了垮慎重愚，一般含先不库下结仇论，榆而要仙再进幼行一酒次抽计样检楼验。Co骂mp同an娱y已Lo潜go解:（1芬）提迟出待足检假道设H神。：μ=8横00（2务）根伞据H0选取倡统计森量在H0成立迈的条悼件下放U~兔N(挎0,睛1)(3贫)对用于给瘦定的娃检验底水平α=0已.0混5构滨造小旬概率及事件(4屿)根宅据样忙本观捞察值劳计算亚统计丈量U隙的值例虾2畜假霸定某据厂生凡产一绵种钢答索，剖它的脚断裂穿强度ξ（讨k萝g/远cm2）服威从正亭态分做布N浑(μ，4封02)棋。从讲中选鬼取一培个容润量为聪9的澡样本弹，得能否恩据此烈样本乔认为洽这批钳钢索牵的断洞裂强奶度为80龟0蛛㎏/秩c㎡嗽(α=0犬.0和5)屿?Co忠mp杰an朗y遭Lo守go解:（1视）提绍出待枯检假株设H安。：μ=8忽00（2主）根莫据H0选取尊统计妙量在H0成立狱的条耳件下危U~杯N(弱0,朴1)(3绵)对突于给并定的雾检验斧水平α=0你.0丛5构翁造小匙概率圈事件(4哲)根拜据样贷本观在察值叶计算订统计享量U绵的值查表饿确定轰分位铺数∵|抽u|那=1候.5哲<1默.9沈6=表U0.挤02跃5(5图)结善论：惰接受村H0即可慢以认猫为这膛批钢农索的励断裂沙强度净为8稳00誓㎏联/c捡㎡。Co朵mp越an你y像Lo记go2、2未知浅的情晃形—仅T裂检验双边叼检验矿:对旺于假拥设H0：=0；由p{估|T|别>t(n指激1)扇}吧=棉,得检丛验水题平为的专拒绝虾域为|T州|>t(n管1镇),附表纳四：p{兆|t(雕n)畏|>铸t}=笑,tCo信mp抚an组y伏Lo焰go关于斯方差溉未知叫的正府态总瓦体期瓣望值μ的检则验步费骤紧：(1筑)盲提出仿待检拍假设汪H。达:μ=μ0(μ0已知尘)（2融）选细取样准本(Χ1,…严,Χn)的浮统计斤量（3下）根演据给皱定的横检验渐水平α查表裹确定野临界欢值tα(n斯-1杂)，使P碌{|居T|洞>tα(n播-1)}滤=α；(4借)根乔据样绪本观欲察值忠计算兽统计磁量T变的值栽并与谋临界投值tα比较奏；(5款)香下华结论刮：确定欺拒绝号区域剪为|捉T|>t(n喇1晚),Co哲mp弄an森y组Lo恩go例3言从1释97骡5年赖的新块生儿辈中随随机地我抽取研20提个，秩测得剥其平昌均体砌重为音31任60隙g,禾样本滚标准印差为与30耀0g巧。而扁根据悔过去嘴统计鲁资料鄙，新贷生儿堤（女薄）平贪均体闹重为般31晨40凯g。脂问现刺在与给过去病的新谣生儿孕（女反）体孟重有疲无显征著差细异（燃假定河新生仔儿体锡重服给从正辅态占分布吴）？冷（α＝0轰.0枝1）解：方差σ2未知价的正昆态总傻体，梅检验伸期望μ(1正)捕提出后待检铁假设反H。淋:μ=μ0＝3剧14茄0（2蓄）因掩而选湿取统野计量（3态）根眠据给行定的锹检验虚水平α＝0臣.0轮1查铺表确刻定临界名值tα(n费-1耀)＝辉t0.煤01(1恋9)抽=2变.8吃61，使P侄{|例T|菌>tα(n坑-1)}窜=α；Co尖mp艘an锈y是Lo旅go（3描）根航据给聪定的非检验着水平α＝0块.0辉1查像表确常定临界债值tα(n再-1鼠)＝章t0.草01(1踏9)般=2辣.8隐61，使P寺{|沉T|怕>tα(n摔-1)}绿=α；（2源）因浩而选殃取统降计量(1篮)宵提出裕待检卵假设艺H。曲:μ=3荐14忌0确定供拒绝迁区域自为|照T|>t(n邀1壳),(4血)根穗据样浑本观哨察值贝计算队统计挣量T岸的值凡并与焦临界太值tα比较充；<2炊.8斤61俘=半t0.林01(1懂9)即可饱以认织为现投在与财过去废的新拼生儿革(女掘)体歇重没颜有显烤著差堵异.(5事)接雪受H0Co怨mp揪an历y快Lo遣go3.柴单总政体方哈差σ2的双恰边假港设检坐验假定未知甚,双边赤检验叼:对凡于假雅设Co叶mp磨an攀y输Lo袜go得水净平为的庙拒绝鱼域为Co捡mp隔an雁y视Lo袭go例4市某炼彼铁厂边的铁援水含繁碳量ξ在正妻常情归况下瘦服从梦正态矮分布粉。现对填操作企工艺址进行侦了某杰些改狸进，趴从中羊抽取功5炉陪铁水咬测得含碳疑量数够据如业下：香4缝.4假21抵4.说05弓2界4篮.3蹈57卡4.扬28角7牢4披.6秩83据此扯是否盛可以注认为献新工闷艺炼鼠出的叼铁水垂含碳必量的忧方差哑仍为0.厌10临82（α＝0尘.0脾5）渴。解提（1野）阻建立甘待检万假设（2局）选碑取统型计量(3墙)对鸡于给乱定的宰检验畜水平α=0踏.0茎5构皮造小仅概率喉事件Co趁mp屈an川y犯Lo特go解幕（1渗）穷建立身待检咏假设（2盾）选佳取统乏计量(3跪)对姑于给胃定的伤检验烤水平α=0富.0等5，冷构造筐小概左率事伞件1－α得水未平为的扩拒绝求域为Co该mp附an域y仅Lo雀go解傲（1轿）尾建立冻待检遵假设（2朋）因拔而选扇取统仆计量(3扣)对尤于给铲定的导检验蹦水平α=0姻.0中5，再构造达小概坝率事贵件得检么验水土平为＝弄0.斜05励的拒流绝域翁为Co搁mp涨an隔y旁Lo却go得检竹验水国平为＝肆0.努05至的拒携绝域处为(4侧)根野据样呈本观盯察值跨计算聪统计差量χ2的值查表身确定群分位都数（5技）结往论：牵拒绝捕H0即新链工艺厌炼出舒的铁顿水含帆碳量灿方差例不能乔认为妹是0窜.1派082Co淘mp甩an爹y常Lo投go即新薯工艺垃炼出多的铁都水含活碳量题方差状比0深.1寺082大拒绝亲H0Co猴mp丛an征y畜Lo烫go4.振单总脾体方伟差σ2的单择边假紧设检挽验（1恳）提装出待谨检假甜设H纪。：（2助）根芬据H0选取筑统计名量(3痕)对物于给宣定的浅检验柳水平α=0菠.0版5,虎构造罪小概片率事码件(4拦)根粮据样号本观戴察值坊计算性统计长量χ2的值与分储位数得检江验水徒平为＝务0.蜂05奶的拒血绝域童为（5址）作芦结论杆：比较Co巨mp徒an垦y城Lo幕go例5睡机墙器包处装食积盐，悬假设章每袋膝盐的罢净重物服从技正态脉分布霞，规双定每跪袋标威准重招量为恶50腥0g嚼，标桂准差和不能咳超过冰10种g。锤某天主开工赞后为魄检查房诚其机摧器是花否正菌常，吧从装恳好的蚁食盐蒜中随馒机抽丸取9窗袋，雀测其痰净重植(单庭位：辱g)搞为49片7秃5脏07祸51铺0赌4密75森48立4五4迷88陕52岂4潮4惰91迷51漆5问这怨几天少包装案机是醒否工固作正挺常(α=0染.0差5)爷？解软设ξ为一疼袋食按盐的担净重侮，依此题意赌，ξ～N郑（μ，σ2）需检苹验假拥设蚊H0：=0已知μ0=5限00茫,σ0=1愤0观,湾n=愈9Co派mp乓an耐y扩Lo瓜go（3翅）根络据给酱定的书检验浅水平α＝0极.0舱5查枯表确震定临界印值tα(n揭-1德)＝礼t0.朝05(8晚)=械2.血30柴6，使P判{|扎T|际>tα(n楼-1)}经=α；（2愉）因踢而选丛取统叛计量(1漏)淘先究提备出待蜂检假帐设H霞。:μ=5棉00确定许拒绝卡区域梢为|靠T|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