数学建模中的差分法

差分方程模型一差分方程1差分：设函数，记为，当t取遍非负整数时，函数值可以排成一个数列，则差称为函数的差分，也称一阶差分，记为，即二阶差分同理，可定义三阶差分等。二阶及二阶以上的差分称为高阶差分。差分的性质：2差分方程：含有未知函数及表示未知函数的几个时期值的符号的方程。如3差分方程的阶方程中含未知函数附标的最大值与最小值的差数。不同形式的方程可互相转化。4差分方程的解如果一个函数代入差分方程后，方程两端恒等，则称此函数为该方程的解。例一阶线性方程有解类似于微分方程可定义初值条件，特解等。二差分方程平衡点的稳定性1对于一阶线性常系数差分方程满足方程的解，称为上方程的平衡点。即平衡点为由于方程（1）平衡点的稳定性问题可转化为下面方程零点的稳定性。方程（2）的解可表示为可得到下面的稳定性结论。当且仅当时，方程（2）的平衡点（零点）是稳定的，从而方程（1）的平衡点稳定。对于n维向量常数矩阵A构成的方程组称其为一阶常系数线性齐次差分方程组。结论1若r(壤A)稿<1，则酬其平灯衡点沃是全遍局渐辰近稳鬼定；若r(佳A)>干1，则泼其平隐衡点馆是不革稳定禁的；若r(蛇A)=匠1，稳朱定性故不确逆定。A的特着征根局的集赛合称为累矩阵A的谱回，称为矩副阵A的谱惰半径豪。2对于悉二阶邻线性奸常系馋数差律分方功程平衡果点为为了义得到奸（4）零智点的傻稳定赖性我们最求解悼方程月（4）。写出动特征篇方程解出田特征火值通解登为其中差常数顺由梨初值搞条件纤确定课。当且愉仅当时，妨方程菠（4）的贴平衡起点是催稳定网的。结论2非齐职次线担性方防程（5）的捞稳定警性可屠转化供为齐棚次方程（4）来球研究伐。对于n阶线范性方比程平筑衡点的稳定严的条堂件是足特征临根3一阶潜非线任性差疼分方兴程平衡挠点扬通路过求抵解方闹程而得裂到。研究增稳定哥性的玩方法住之一言是研仔究其些对应饮的线捕性部股分的沉稳定袄性。将方辈程（6）的持右端驶在蔑点作例泰勒尸展开眯只取游一次状项，旗（6）近惊似为也是治（7）平咽衡点稳。当结论3时，赤方程枪（6）与匙（7）平衡铃点的让稳定床性相划同。结论4当时，轿方程奏（7）平厌衡点丙是稳米定的钳；当时，池方程威（7）平铸衡点僻是不挤稳定旱的。三沃常跑微分杨方程旱向差房诚分方啊程转虹化（故数值遥解）1稳Eu扇le根r方法求初脏值问政题的您近似温解。只要六给定尝就可威求得先把抽自变姻量所米在的钞区间n等分难；例1从采出馆发并耕取欲，求凶下列祥初值蛮问题的近碑似解昌。解继续幼下去释，自蓝变量厅使用屯等间劣隔值滤，并颈生成本其n个值静，令步数n可任栗意大抛，但n太大河，会吵有误曾差积视累。优点樱：容中易编壤程计拆算。例2从惯出眉发并腔取膏，求锻下列纯初值烂问题的近基似解等。解解Ma炉lt子hu潮s模型的离源散形半式例3对于鸽方程闲组的劝情形罚，Eu胀le暖r方法符同样这可用裤。先把验自变辆量所距在的桥区间n等分阿；步数n可任迫意大化，但n太大食，会猎有误升差积变累。对捕炮食模说型用Eu主le僚r法求闻出前永三次删逼近傻，初蒙始条假件为解第一屑组点骗：第一玩组点首：第二篮组点托：第三哲组点腹：继续库下去吧，就坛可生相成数蹈值解组表颜。如果某方程性组为马自治瓦系统碌，在雕相平伍面上贷就可肤得到近似芒的轨策线图协。上机济练习1：对捕秃食模凯型用Eu辩le顾r法，志在相早平面教上画枣出轨段线的讲近似汽图，辛观察疾其变谷化情疑况。2Ru溉ng跪e-音ku棍tt冲a型方铺法也是出用来误求初库值问他题的徒近似耍解，哀但比Eu每le浇r方法仰收敛嚷更快至。先把经自变杯量所个在的紧区间n等分氧；Eu湾le热r方法常取单步辅方法眠。四吨差顶分方桨程模战型举怕例1差分许形式Lo仁gi毁st治ic模型离散侍化变形令b=r+绢11）平鉴衡点序及其锣稳定夹性求平鹅衡点纷：平衡朋点为根据殿稳定授的条躺件当b<抬1，只毛有一椒个稳驶定的沃平衡么点，当1<那b<锤3，纳变赢成不轮稳定回的，浙而贝成取为稳渗定的棉，当b>昆3时，吊是良不稳选定的芒平衡尤点。2）数绩值计闪算（挥上机狂练习2）初值郑取b道=1熄.7，2.幻玉6，3.哨3，3.驱45，3.柿55，3.股57k时=丢1,提2,准…,尚10鬼0观察宗的变遵化趋瞎势。出现因倍周呜期收贡敛现浆象。一般及地，描一阶猾自治州的非税线性摧差分茶方程3）混朴沌与漆分岔若x*满足则称x*为不歼动点砖，1-周期杠点。若x*满足则称x*为2-周期唯点。4-周期互点，8-周期染点等忽，倍缝周期臣分岔惊。练习匙：竞句争猎摊兽模娃型斑点往猫头洽鹰和炼红隼匀在其怀栖息够地为立生存奔而斗齐争。生假定吨没有溪其他竟种群防存在定的情遥况下挖，每勤个单没种群预都可滋以无蝴限地天增长俊，即势在一庸个时倒间区盾间里区（如格一天饲）其揪种群肤量的绿变化伍与该轻时间强区间创开始宗时的垂种群屠量成技正比援。而夫第二大种群洽的存赌在降低恐了另领一种歌群的在增长衫率。湿假定纤这种更增长怨率的前减少漂与两倍种群警的数俯量之办积成级正比照。试建初立数待学模吴型考伴察两恼种群渴的演赞化规茶律。一抖建炸立模凑型根据匹题意扭，建思立差资分方纵程组二押模劲型求旷解求平好衡点在平佳衡点风处两养种群飘的种许群量爆不会倾发生蚁变化滚。即如独果一另开始模它们赌数量慈为15槽0和20遍0时，议那么京每天霜数量厨都保简持不惊变。数值权计算肤在平纱衡点惨附近江的情叮形猫头鹰隼情形1151199情形2149201情形31010xyxyxy115119911157.31188.4821221.05113.182151.15198.6012159.12185.7322240.2597.033151.36198.1413161.40182.3423264.9779.574151.64197.6014164.25178.1824296.8861.275152.00196.9615167.83173.1025338.0643.276152.49196.1716172.34166.9326391.0527.007152.05195.2017178.04159.4727458.7013.988153.79194.0018185.26150.5328544.035.359154.71192.5319194.42139.9129649.911.1310155.87190.7220106.11127.4830779.170.00情形1xyxyxy114920111142.87212.002192.88325.632148.85201.4012141.16215.022281.21326.833148.64201.8613139.04218.822367.98412.754148.37202.4114136.42223.622453.52480.455148.01203.0715133.20229.692538.51573.166147.55203.8816129.24237.412624.14700.977146.98204.8817124.41247.272712.05877.418146.26206.1218118.53259.93283.871119.59145.37207.6619111.42276.29290.311446.610144.25209.5720102.92297.6130-0.081879.7情形2xyxyxy110101145.7595.942128.61565.92211.912.81250.51115.942218.14703.32314.1316.341354.75139.01239.01888.80416.7220.771458.09165.49242.801139.4519.7226.311560.10195.91250.171474.9623.1433.171660.34231.1426-0.041916.8727.0141.581758.47272.5827831.2851.811854.22322.4928935.9264.111947.58384.26291040.8078.742038.81462.9730情形3三皂结逃论对初剃始点樱极其求敏感脊，这百样的浩平衡赤点是托不稳话定的愤。栖息宽地共品有35快0头猫友头鹰矮和隼畏。1）如脉果有15秩0头猫饿头鹰思，那粪么我奔们预总测猫头纲鹰永漏远停撇留在晌这个寨数量雁上。2）如枕果从滋栖息库地移用走一趋头猫谈头鹰贤，那出么我们另预测突猫头巴鹰将撞会灭恳绝。3）如担果在示栖息桌地安拦置15伙1头猫胆头鹰陈，那么我订们预脑测猫铃头鹰忙将会炭无限乘增