第三章 排队模型

第三章排队论排队现象与排队系统;排队模型与系统参数;排队系统时间参数分布规律;排队系统的生灭过程与状态转移方程;排队系统分析;单服务台负指数分布模型多服务台负指数分布模型排队系统优化分析;11、排队现象与排队系统一、排队现象到达顾客服务内容服务机构病人诊断/手术医生/手术台进港的货船装货/卸货码头泊位到港的飞机降落机场跑道电话拨号通话交换台故障机器修理修理技工修理技工领取修配零件仓库管理员上游河水入库水闸管理员2（1）由于顾客到达和服务时间的随机性，现实中的排队现象几乎不可避免；（2）排队过程，通常是一个随机过程，排队论又称“随机服务系统理论”；3二、排队系统（一）排队服务过程排队系统顾客源排队结构顾客到来排队规则服务规则顾客离去服务机构。。。4（二）排队系统的要素及其特征1、排队系统的要素：（1）顾客输入过程；（2）排队结构与排队规则；（3）服务机构与服务规则；52、排队系统不同要素的主要特征：（1）顾客输入过程顾客源(总体)：有限/无限;顾客到达方式：逐个/逐批;(仅研究逐个情形)顾客到达间隔：随机型/确定型;顾客前后到达是否独立：相互独立/相互关联；输入过程是否平稳：平稳/非平稳；(仅研究平稳性)顾客到达时刻i相继到达间隔时间ti6（2）排队结构与排队规则顾客排队方式：等待制/即时制(损失制);排队系统容量：有限制/无限制;排队队列数目:单列/多列;是否中途退出:允许/禁止;是否列间转移:允许/禁止;(仅研究禁止退出和转移的情形)7（3）服务机构与服务规则服务台(员)数目;单个/多个;服务台(员)排列形式;并列/串列/混合;服务台(员)服务方式;逐个/逐批;(研究逐个情形)服务时间分布;随机型/确定型;服务时间分布是否平稳:平稳/非平稳;(研究平稳情形)112c…12c…12c…8服务台(员)为顾客服务的顺序:

a)先到先服务(FCFS);b)后到先服务(LCFS);c)随机服务;d)优先服务;9排队镰模型祝与系劲统参旨数一、枪排队梨模型(一长)排服队模境型表谨示方杰法1、D.冈G.说Ke卡nd熟al危l(浑19尘53肚)表示顾法X脚/易Y寺/容Z——退依据术排队政系统糠3个秋主要骑特征逼：（1洋）X顾客内到达驶间隔遗时间更分布较；（2敬）Y服务熔台（碍员）旱服务馋时间灰分布弄；（3助）Z服务娃台（堆员）禁个数（单照个或克多个毛并列迅）；102、毛国际富排队阔论标祝准化乔会议拜(1鲁97陈1)督表示肌法X州/尝Y鼓/姑Z角/快A吉/岩B厘/厘C（1迎）A系统瓶容量喉限制握；（2谈）B顾客创源（梅总体棍）数扮目；（3萍）C服务笔规则显（FC舅FS泽，L凶CF嫁S等）缺；——误略去饿后三姥项，宋即指战“X/佣Y/弯Z///F暗CF罚S”；——勒这里咏仅研遮究FC袄FS的情段形；11(二厉)到痰达间煎隔和我服务组时间顿典型露分布（1炭）技泊松找分布M侧；（2辩）阶负指泳数分姿布M介；（3帐）k阶爱臣尔朗忠分布Ek；（4吼）厦确定流型分授布D；（5替）一般庙服务包时间芽分布G；——M/右M/狡1，行M/摆D/陶1，巷M/Ek/1细；——欲M/俘M/卫c，度M叛/M蓄/c寺//m苹，——效M/落M/妈c/马N/，。屋。。(三扁)排表队模趴型示虑例12二、柜系统沃参数(一辉)系抽统运掠行状遵态参殿数1、抛系统控状态N(丛t)——齐指排边队系重统在锐时刻t时的班全部柏顾客标数N(纠t)肉，包括色“排腾队顾梳客数搭”和哀“正灿被服误务顾祥客数板”；——纤系统橡状态剑的可驴能值例如下附：（1棵）系锹统容分量无球限制小，N(善t)=0商，1奋，2窃，…凑;(2盘)慌系统熟容量垮为N时,N(债t)睡=粗0,假1,宋2,被…,赚N;(3它)斧服务俊台个粉数为c/损失国制,N(念t)深=悬0,萌1,位2,短…,巾c;一般佳,系疲统状踪蝶态N(谊t)是随危机的挎。132、摊系统救状态攀概率：(1斗)瞬痒态概辆率Pn(t堆)——喜表示煌时刻鹿系统衔状态N(价t)=n的概放率;(2撑)稳态级概率Pn——Pn=Pn(t爽);——差一般坦，排絮队系挥统运惩行了肃一定蛮长的挥时间后隶，系僻统状暑态的辛概率活分布蚊不再省随时悠间t变化闸，即栋初始少时刻杀（t=浴0）系统绑状态毙的概率狭分布牛(Pn(0缘瑞)，n赖》0乱）的影些响将悬消失赞。14(二效)系尤统运侵行指馆标参简数——毛评价浸排队谱系统胖的优肿劣。1、有队长恒与排你队长(1匆)队长:系统期中的箩顾客蒙数（n）么；期望渐值Ls=n*持Pn(2尺)排队役长:系统惠中排唱队等膝待服仇务的扛顾客沟数;期望尾值Lq=Lq=Ls-[正被霞服务材的顾跳客数]152、挽逗留电时间捉与等免待时互间(1买)逗留职时间:——鸟指一富个顾从客在殊系统莲中的艰全部白停留朗时间；期望嗽值，张记为Ws(2莲)等待队时间:——桃指一乱个顾蜡客在臭系统门中的元排队亏等待支时间帜；期望春值，僻记为WqWs=Wq+E[服务固时间摘]163、拾其他贪相关翻指标(1耻)忙素期:指从鸣顾客安到达串空闲讽服务叶机构艰起到是服务机构败再次绢空闲蹦的时岭间长膨度；(2应)忙乘期服未务量辜：指一失个忙功期内种系统劫平均握完成服务辆的顾亿客数银；(3衡)损抬失率诱:指顾种客到肿达排午队系暑统，羊未接逃受服侦务而离纯去的套概率伟；(4绵)服絮务强悬度：慎=魂/c齿；173、要排尽队系纳统时挥间参灶数分课布规偿律一、女顾客赢到达繁时间热间隔员分布(一炭)泊妈松流赛与泊嘴松分侍布如果是顾客茂到达耐满足榴如下太条件提,则馅称为泊松倾流:(1长)王在不判相互蔽重叠驰的时疼间区促间内朽，到单达顾油客数相互兼独立京(无后智效性凝).(2讯)浸对于吸充分理小的危时间堡间隔南内，窑到达1个说顾客娱的概类率与t无关木，仅存与时辱间间习隔成正硬比徒(平稳特性)：(3藏)疮对于甲充分抵小的禁时间福间隔元，2雅个及捐以上顾略客到场达的惧概率泪可忽躺略不霉计帐(普通谦性)。18对泊蔬松流暂，在都时间羽t系集统内完有n影个顾备客的北概率茂服从罩如下林泊松茄分布E[睛N(锅t)流]=t接;拦V趟ar干[埋N(陡t)贿]=t兵;—抵—单欢位时删间平姥均到补达的梨顾客掀数；19若顾拼客到爹达间退隔T埋的概杂率密片度为则称启T服况从负斗指数壁分布效，分危布函弹数如柿下：若顾惹客流蕉是泊州松流低时，炸顾客疑到达恳的时炎间间慢隔显然利服从挤上述跟负指练数分焰布(W化HY底);E[粗T]沸=1逆/;籍V必ar土[循T]忽=1壤/2;[T教]=较1/(二劈燕)泊峰松流贷到达道间隔泰服从习负指小数分男布20二、猜顾客川服务氏时间摄分布(一竿)负仪指数荡分布(1坝)割对一惜个顾仙客的梦服务饮时间Ts，等价吐于相规邻两津个顾哥客离开求排队删系统促的时际间间浙隔。吐若Ts服从辉负指殿数分搬布，其概珠率密脂度和驱分布高函数貌分别原为则E[Ts]=随1/;腊V队ar英[Ts]=净1/嫌2;[Ts]=台1/(2红)E[佛Ts]=炎1/型：每个弊顾客报的平季均(祸期望坏)服魔务时孙间；:单位健时间复服务旬的顾统客数卡，平戴均(讯期望飘)服尊务率泼；21(二齿)爱禁尔朗拘(Er祖la欠ng怨)分布(1暂)梢设v1,v2,…井,vk是k个相锤互独叛立的划随机减变量缎,服划从相同识参数泛1/k的负幻玉指数条分布旁,则桂:T=属v1+v2+…湖+vk的概率宵密度捎为称T服从k阶爱惩尔朗负分布田。(2矛)E[T]=权1/;秧V区ar纳[T]=压1/重(k2欠)(3制)T的意蝇义之称一:k个串状联服饿务台纽奉的总观服务橡时间涂！224挺、排缴队系棚统的编生灭逆过程秀与状租态转性移方豪程一、少排队架系统拘的生掠灭过正程(一培)生法灭过算程的蛛背景鹿与定黑义设某饼系统播具有哪状态逮集S=亮{0晋,1让,2谋,…根},或S=挠{0旬,1查,2挑,…父,k获},N(党t)表示便系统钉在时冒刻t口(t待>=被0)的状微态。若在N(现t)踢=n的条喇件下箱，随骗机过系程{N(友t)满,t昌>=塌0}满足以下嗓条件划:(1寄)N(朽t+t)转移滴到“n+见1”的概振率为n(t)李;(2沙)N(铃t+t)转移萝到“n-绵1”的概样率为n(t)贪;(3矩)N(返t+t)转移寸到服其他盲状态坦“S-福{n峰+1筐,n纹-1猪}”的概率为o(t)(高阶匪无穷戴小)餐;则称随机白过程禽{N(腿t)愚,t培>=哗0}为生帝灭过纹程。n脖，n盗，t(？)23(二耀)生病灭过赏程状胃态变宣化的月性质(1决)在无均穷小t内,暖系统撑或生悉长1约个;邮或灭奸亡1紫个;颠或既不生虑长又泽不灭告亡（概率辉:1妈-n(t)源-n(t)添）;(2皇)系比统生谱长一浇个的窑概率n(t)与t有关通，而格与t无关;与系训统当港前状鉴态n有关申，而察与以躬前的地状态惹无关源；(3刚)系税统灭父亡一盆个的纪概率n(t)与t有关楼，而壮与t无关;与系州统当焦前状夏态n有关先，而医与以遗前的据状态炉无关场；——咬马尔督可夫勒性质24(三紧)没排队薄系统程的生叛灭过临程顾客央到达硬——挡“生类”；顾客尸离开勿——忌“灭膛”顾客弯到达顾客铃离去n，n，(1砌)生需灭过肤程示粪意25若排剑队系答统具嫌有下蜂列性叮质:(1势)唯顾客匪到达臭为泊臭松流谱，时则间间辞隔服东从参数为n的负决指数搅分布飞;(2四)轧顾客社服务档时间建服从墓参数就为n的负排指数分肾布;则排铜队系涨统的悔随机怎过程射{N(云t)壤,t句>=愚0}具有说马尔可衰夫性薄质,包为一个雹生灭己过程幅.(2味)生激灭过科程定禽义26二、蛛排队盟系统赤的状活态转纳移方饰程(一邀)垦排队葱系统便状态桶的概榜率及驼其分设布(1全)瞬贴态概族率Pn(t晒)——械表示俭时刻猜系统棒状态N(氏t)=n的概千率;(2稳)稳态班概率Pn——Pn=Pn(t饰);一般值，稳山态概曾率Pn的分穷布，萝是分裕析计眨算排队回系统怒运行释优劣池的基蚁础。27(二追)文排队誉系统蓬状态限概率净的微丛分差竿分方证程推导眯过程移：P膛32章3——甜求解原可得拥瞬态点概率Pn(t嗽)28(三赴)具排队幼系统素状态腾转移破方程——葛求解糟可得屋稳态误概率Pn令则——缎排队辛系统批状态蓬转移朗方程29(四毕)行排队邪系统义状态零转移落图在任意状态n达到稳态平衡的条件：产生该状态的平均速率=该状态转变成其他状态的平均速率（流入=流出）303132333435三、邮排丙队系纤统稳答态概侨率Pn的求壮解3637对一府般排偏队系买统，故均有东下式妇成立其中席有效再到达海率为四、雪排校队系针统性诱能参傲数的岸一般桂关系——啊Li挖tt悟le公式3839G/菜G/崇1和部G/封G/兵c队枝列单位茧时间λ个客活户到帖达，魄一个胀服务克器单着位时观间能卷够服演务μ个客捉户，斗客户缘瑞到达亿时间涛间隔叶和服传务时欧间任无意分页布，苹1个碗或者略c个旁服务技器，无限签等待诉位。G是/G负/1响或者是G/咽G/漆c。定义ρ>1炉：客百户不绘断累败积，问越来秋越多ρ<1趟：排争队系朱统达皆到平唇稳态滨，系未统不币随时匹间变誉化ρ=1神：除苗非客捏户到今达和为离开棒时间蚀固定爪且匹因配，戏否则战无稳沸态。3940一些央定义4041Li香tt炕le赛等式樱(送Li酒tt巡寿le谱’s陡l顺aw蹄)Li搬tt百le别等式凉（L遇it誓tl省e’剑s筑fo理rm彩ul慈a）系统桥规模动=客鸟户达挤到率氏×客户呜在系腿统中呆消耗舟时间“系炉统”歪可以善是整援个排耀队系户统，逆也可堆以是枝一个堆队列对于剖队列亚，这个卸结果隆适用离于排存队模监型，响与客梢户到乳达模菊式和很服务灰模式狐无关尊！41单服骡务器割G/时G/商1排队纹系统客户遥在系杆统时券间=排掠队时恶间+戴服务悦时间正在亦接受好服务块的客拒户数同时愿，服务异器繁傲忙的影概率回为餐pb=1伪-p0=λ/μ（略P0无顾绣客概椅率）42单服碰务器烛，稳宵态下λ/μ不可爬能大茶于1。4243多服曲务器蓄G/粘G/刮c排队线系统每台律服务氧器繁园忙的活概率挠为pb=λ/cμ共c好个服父务器纷，平晴均λ/μ个客桑户接歌受服姻务，粮平均腊每个虑服务史器λ/cμ个客盗户，宽或者烟单位张时间斗中λ/cμ服务左器繁约忙λ/μ很重呜要。挑定义ρ=λ/μ为一珠个排青队系陶统的提交尿负载（o驼ff正er乞ed勤l坚oa劣d）(服屑务强爽度)：服务掀器完絮成一顺个客得户服聚务的芒时间野平均轧到达浇的客碌户数挽量434444例：播某快蹈餐店否在高眨峰时条每小菌时到熄达4唤0位烘客人洪，每买个客哲人平远均在筋柜台机用5运.5分钟慰点餐招。至贵少需击要设法置多岸少个疤柜台县？每小幸时到秋达40赖位客境人，猎假设付有c倡个柜浅台，固则柜观台繁忆忙概缺率λ/cμ=4惨0/破c×劝(6刊0/膨5.蓝5)测<1c>隙40体×5新.5续/6非0，寸客人免才不掀至于蚂在柜劲台累递积c至吴少为甜4454546例西某公凯司安齐排接路线员酿接听畅顾客脆电话士。由花于人愁手不酿够，吃顾客太必须捧等待没才能芬被接至听。短公司法希望贫顾客抹平均竟等待缺时间趴为7臣5秒瞒，估家计每羊分钟袋打进民3个票客户胶电话嗓。问绢需要旁多少胳线路滋用于梳保持献电话茶等待辈？λWq=Lq，Lq=3冤×7川5/罗60剪=3盛.7矮5，需要赞4条帝线路4647例森考虑从一个疤M/菊G/钟1/刊K排买队系铲统，皇其阻羽塞概饥率为错pK=0桨.1佛，并症且λ=μ=1待，L影=5驰。计致算λef头f，W朋，Wq，p0和ρef拢f。47生灭记过程煮（B总ir泪th墨-a斑nd询-d之ea香th嚼p脏ro蜓ce缺ss沉）考虑既一个子群体事（比讯如，贝海岛原上的区海鸟瓶群）逐，群群体数率量取狮决于剧两种氏事件去，出纪生和哀死亡些。当美群体便个数尊为n搅时，λn表示喜此时写的出携生率怒，即银在一廉小段平时间压h，翻出生一个个体羊的概退率为λnh+腥o(蚕h)横；μn表示西此时阅的死魂亡率沙，即沸在一虏小段合时间紫h，汇死亡一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正进促入系苗统的禽顾客沉数为80由Li煌tt祖le公式载，可汇以求腾得平均方逗留哈时间焦、平副均等艺待时乔间81平均掏服务被强度这是尺实际龄服务乳强度紧，就袍是服嚼务台早正在密为顾隔客服秆务的皱概率档．而不是溉服务层强度苏，因忘为有腐一部窝分顾客烫失掉哈了。例一个攀理发衔店只莲有一伟个理万发师掩，有3个空永椅供数等待王理发斧的人绑使用祝．设彩顾客释以最衡简单迹流来甚到，赞平均猜每小犯时5人．地理发志师的灭理发昂时间慌服从马负指倒数分良布，昏平均姐每小笔时6人.试求L，Lq，W，Wq．解＝5(人／线小时)，贵＝6(人／谜小时)k＝4，82用公渠式(7伟.2纸.1甘0)，(7稿.2屿.1酷1)，(7难.2完.1禽2)，(7谅.2必.1贵3)得到晌．83例给定揭一个M／M／1/浓k系统迅，具绩有＝10(人／茫小时)，＝30互(人／迎小时)，k＝2．管做理者围想改恭进服务泳机构昂．方案迫甲是快增加询等待袭空间病，使k＝3．方案怕乙是艳将平均严服务帮率提声高＝40(人／宫小时)．设服控务每际个顾贿客的平均兆收益纱不变猴．问瓜哪个变方案伙获得讯更大纽奉收益辈，当增加渡到每小卧时30人，四又将舅有什拼么结键果?解翅由吗于服爪务每认个顾勿客的怒平均织收益季不变盒，因制此服浓务机四构单位拼时间势的收重益与现单位港时间争内实案际进依入系山统的活平均主人数nk成正插比(注意苦，不接考虑驶成本)．方案吩甲：k＝384方案叫乙：k＝2因此披扩大获等待葵空间门收益劫更大捡．当增加裳到30人／替小时年时，这时蔬方案绢甲有85而方惕案乙求是把提高辩到＝40人／舞小时＝30塞(人／厘小时)时，提高签服务股效益忍的收型益比扩大届等待染空间洒的收耗益大贞．所以慕当3．M／M／c／系统现在绘来讨蚊论多界个服础务台运情况勾．假设抵系统哑有c个服饿务台隔，顾客系到达维时，驱若有草空闲沉的服振务台璃便立哈刻接璃受服另务．茶若没体有空漫闲的坏服务从台，侦则排巾队等仔待，等到陕有空崇闲服宝务台亭时再吃接受营服务症．与高以前赖一样屈，假艘设顾飞客以美最简觉单流旱到达弄，参糕数为服务雀台相概互独蓝立，挺服务吹时间辫都服尝从参煌数为的负街指86数分春布．当系统泡中顾脱客人慈数时，这些疤顾客目都正阿在接喇受服务枕，服班务时诊间服嫩从参娃数为的负指知数分滚布．可坡以证瞎明顾客晴的输煌出是典参数万为n的最竞简单哲流．如翠果n＞c，那森么只有c个顾竟客正污在接真受服龟务．宪其余鞭在排缓队，顾客付的输冬出服从摧参数感为的最沸简单茫流．用N(布t)表示t时刻滚排队货系统伞内顾帽客人颗数与的推徒导方讲法类观似，林可以疗证明也是刚一个过生灭过程盈。87由(7叛.1网.3蹄)得到88先计塔算平均蔑等待汉队长Lq，只有罚系统占的顾雀客数时，眉才有n抖-姥c个顾僻客在施排队屯等待羽服务弟。所以89平均登忙的塘服务谋台数接为90平均役逗留衰的顾瘦客人鸦数为平均炼等待类时间先为平均危逗留痕时间垃为91例一个都大型渔露天摩矿山奴，考呜虑建惕设矿纯石卸贯矿场堤，是疼建一雅个好准呢?还是推建两穿个好赛．估雁计矿鉴车按敌最简艰单流屋到达顺，平记均每瓜小时销到达15辆，兼卸车括时间任也服竟从负发指数收分布栽，平暂均卸击车时呜间是3分钟损，每波辆卡文车售山价8万元畅，建救设第船二个愈卸矿指场需鲁要投漆资14万元尿．解平均跳服务山率翁＝20织(辆／私小时)平均湖到达灾率豪＝15昨(辆／滤小时)在卸产矿场尾停留增的平稀均矿肆车数建两嚼个卸寺矿场凯的情贝况：92p0因此脱建两都个卸翼矿场怠可减膀少在仅卸矿民场停饱留的锅矿车箭数为竭：3一0.异87＝2.兆13辆．刘就是确相当君于平花均增通加2.窗13辆矿仔车运洲矿石舰．而犬每辆思卡车庆的价朽格为8万元云，所旧以相付当于劣增加2.烧13它×8＝17访.0怕4万元仗的设鞠备。万建第抛二个渣卸矿艺场的薪投资葛为14万元是，所奸以建码两个戴卸矿说场是策合适瓶的．例有一港个系统乖，假轻定每很个顾礼客在系统洞停留钻单位显时间柱的损喷失费割用为c1元，材每个绒服务徐设备铲单位游时间劈燕的单柿位服汁务率孩成本原为c2元．吗要求匠建立眠几个填服务芬台才绩能使差系统石单位趁时间猾平均妇总损浙失费秆用最静小．解单位灵时间兼平均他损失恳费为93要求涌使F达到痰最小悉的正龄整数足解c*通常腊用边功际分摄析法减：找我正整珍数c*，使刃其满瞒足由得到所以同样鞋，由得到94因此c*必须毛满足长不等秆式取c＝1，2，--杰-，计巾算L(调c汤)怎-L切(服c+风1)之差阅，若落在之间员，c*就是皆最优网解例某公阀司中壁心实档验室领为各矮工厂锻服务接．设或做试压验的旅人数符按最玩简单嘉流到订来．脊平均篇每天48旁(人次物／天)，c1＝6(元)．作具试验断时间即服从潮负指妥数分适布，巧平均租服务忧率为＝25墙(人次精／天)，c2＝4(元)．求冲最优虫试验映设备c*，使却系统携总费菊用为摧最小赔．解城＝48小(人次侄／天)＝25民(人次法／天)95按M／M／c／计算p0，L(备c)等(注意抖以下治公式闭只对成立)将计梨算结哄果列毅成下住表96所以亏取c*＝3，总搬费用炕最小谜。97有限共源排丝式队系辈统对于杠顾客总来源道是个探有限足集合沃的随敲机服略务系况统．污如果宅一个赵顾客谦加入泳排队践系统亮，这底个有昏限集简合的鼻元素锋就少窜一个凑．当岸一个饼顾客赞接受狗服务悉结束要，就辩立刻龟回到坦这个蒸有限酷集合绵中去线．这启类排练队系误统主愉要应应用在冈机器集维修青问题盼上，倒有限羽集合黑是某塞单位秋的机忘器总培数，溪顾客累是出闷故障周的机暑器，是服务各台是肚维修新工。1．M／M／c／m／m系统工人厘就去锐维修乘，修牺好以同后，滥继续撑运转骄．如雁果维寇修工档都在慕维修蛇机器胃，那告么出库故障腊的机爹器就顶停在啄那里跳等待贷修理汪．进哥入系牙统的泛顾客炎是等网待修壮理和蚂正在态维修笋的机屠器．项服务再台是叼维修衔工。用机远器及厨维修绍工来茶代替席顾客恰及服血务台绕的名爽称．劈燕假定有c个维凑修工米共同氧看管台机窃器．暑机器佳出故日障后98同一屋负指邻数分效布，萌平均筛修复申时间射为设每请台机裹器的宁连续朱运转震时间嫂服从绍同参歼数的乱负指傻数分肝布，每台圆机器国平均槽运转默时间随为这说培明一吹台机隶器单陆位运瓜转时间伍内出姑故障割的平差均次销数为维修蓝工的担维修贡时间撞都服舌从用N(纲t)表示t在系栽统的侨机器镰数(正在欢接受裳维修酬和等探待维邪修的北机器)．这块时输同入与拜系统寸的状叠态有颜关．详当系才统有n台停坑止运明转的卫机器返时，励正在拿运转核的机捐器数爽为m准-怖n，单剧位时据间内淡平均末出故霞障的恳次数豪为(m嚼-量n)输出伴情况捧与M／M／c／相同磨，所利以参至数为99由生社灭过杏程求钞平稳卸解的泄公式勒，不难宜验证仍为留一生渐灭过气程，贫其状各态空间为得到现在扁来求握排队升系统雹的几可个数袄量指弊标10劳0平均性发生听故障雨的机断器数平均腰等待胳维修妙的机排器数平均源正在维工作往的维炉修工层人数平均赛运行载的机微器数10士1这公政式是侍很容比易理虚解的傍．所界有的及机器m分成酷三类赛：正狭在运规行的a，正征在维处修的c，等贴待维险修的Lq在统钟计平蚁衡条朽件下棍单位辰时间染发生布故障堡的平予均次挎数为即单顷位时诊间平闸均发割生故静障的离机器集数等歇于正候在运灾行的盯机器妄平均面发生劲故障矮次数.10冠2由Li注tt钥le公式晃可得抽机器败的平均编停工洽时间和平均舍等待维修检时间分别临为在实帐际应否用中令，看个一个越排队匙系统陶的好灰坏，趋往往途看它陵的机点器停轿工造顶成的淘损失延及工悬人空劲闲程异度等．痕所以违下列讯指标僚是很解有用凡的．工人谋操作患效率p(伏c)＝平均委工作苹人数总工月人数工人玻损失蛋系数q(馆c)＝平均泄空闲驴工人赶数总工家人数10屿3机器盛利用展率u(怪c)＝平均散工作表机器去数总机列器数机器度损失赚系数r(务c)＝等待播维修稠机器窝数总机许器数例设有2个工补人看航管5台自吃动机货，组按成M／M／2／5／5系统串，(次／大运转分小时).求平线均停宴止运球转机乔器数L、平既均等想待修轧理数Lq以及乎每次舅出故窝障的求平均傍停止迟运转归时间W、平瓣均等爸待修议理时晕间Wq.(次／邀小时)，解由(7很.3艇.1龙)，(7坑.3捡.2谦)有10深4由(7彼.3焰.3色)，(7眨.3执.4嚼)有由(7恳.3价.5罚)，(7异.3古.6廉)有W＝0.颤28洞(小时)，Wq＝0.崭03赌(小时)看管6台机运器．庄方案朗二：3个工苏人共佛同看良管20台机梨器．映试比液较两务个方税案的弄优劣鸣．例设某尼厂有孙自动只车床帆若干蜂台，妖各台花的质肆量是石相同的，洋连续忘运转堵时间绩服从培负指优数分刷布，晌参数甚为，工偶人的初技术也响差不燃多，踪蝶排除灭故障妥的时搁间服青从负荡指数愚分布险，参播数为设有两什个方绣案．属方案剪一：3个工坚人独临立地幸各自解方案拒一．因臭为是甜分别润看管虑．可戚以各侄自独场立分工析，渐是3个M／M／1／6系统及．由敲上面教的公脖式可职求出10泪5方案刻二．m＝20，c＝3，可求猴得机器醒损失椒系数潮、修都理工裳人损忍失系贿数都挣小于份方案星一，所以康方案拦二较个好。事实勺上，证对给娘定的正整保数c，m在本析节初翅的假设展下，吉我们唐能证累明如额下一戏般的坑结论辫：c个工紫人分竟别独名立地栏各自糖看管m台机咸器时款，修毁理工榜的损诵失系说数q(胡1)与机断器损白失系吗数r(区1)分别程大于c个工汪人共圣同看逗管fm台机留器的骄相应穿量q(鸡c)，r(胡c)．这辜个结快果是糕很直图观的肚，当c个工名人独知自看10球6管时协，工散人A单独屈看管m台机越器，言某个缠时候给可能滨有多露于1台机泰器发弹生故惯障，菠他只答能在1台上稀排除伸故障届，其赌它的列等待彩维修欢．但农可能飘工人B看管m台机柔器全仙处于恋正常供运转壶状态猫．如狗果是递共同蛙看管煌。B就可原以去法排除A看管临的等饶待维缝修的纲机器帅，从仅而降谋低损忠