第一章 概率论的基本概念2

第一章概率论的基本概念§1随机试验§2样本空间、随机事件§3频率与概率§4等可能概型（古典概型）§5条件概率§6独立性§5条件概率一、条件概率二、乘法定理三、全概率公式四、贝叶斯公式设解:问题(1)的样本空间为问题(2)的样本空间为已经发生的条件限制了的样本空间.相对于原问题即问题(1),称为缩减样本空间,{任取一个两位数能被2整除}{任取一个两位数能被3整除},即由已知例在所有的两位数10到99中任取一个数,(1)求此数能被2或3整除的概率(2)若已知此数是偶数,问这个数能被3整除的概率一、条件概率

例在所有的两位数10到99中任取一个数,(1)求此数能被2或3整除的概率(2)若已知此数是偶数,问这个数能被3整除的概率一、条件概率

容易求得称作是已知发生的条件下,发生的条件概率,记为.从以上数据上看,有ABAB定义1对事件,若则称为事件B在条件A[发生]下的条件概率.相对地,有时就把概率等称为无条件概率.此公式很重要，虽然我们是从特殊的例子得到的，但对于古典概率、几何概率问题，可以证明这个公式都是正确的。因此，我们就把这个公式作为条件概率的一般定义：

A发生的条件条件概率件下B发生的用文氏图解释：条件概率P(B|A)是在(即投点落在A之内)问B发生的概率(即点落在B内)确知A发生的条件下也就是说,在已知点投在A内的条件下,点也落在B内的概率.显然,已知点投在A内,点也落在B内,则点只能落在AB内.AB从而定理2条件概率的性质：（1）非负性（2）规范性（3）可加性事件，则有特别地特别地证明:略.在计算条件概率时,一般有两种方法:(1)由条件概率的公式;(2)由P(B|A)的实际意义,按古典概型用缩减样本空间计算.例1一盒中混有100只新、旧乒乓球，各有黄、白两色，分类如下表。从盒中随机取出一球，若取得的是一只黄球，试求该黄球是新球的概率。解:设A={取到一只黄球},B={取到一只新球}.10由已知有30于是,则条件概率公式,有2040新球旧球黄球白球例2已知级某种朱动物挽自出演生能王活过冷20畏岁的夸概率掌是0锄.8脂，能炒活过脑25遮岁的妥概率窝是0摧.4窗。问敬现龄渴20腔岁的忌该种励动物帝能活屿25掩岁的逗概率安是多变少？解：以表示某该种动物“能活过20岁”的事件；以表示某该种动物“能活过25岁”的事件；由已槐知,脖有：于是址，所尖求概打率例2已知罢某种升动物守自出渣生能葱活过贼20昼岁的兄概率练是0词.8敏，能兴活过多25陵岁的钱概率节是0悔.4粒。问绵现龄料20果岁的番该种塔动物末能活刺25干岁的乓概率饺是多姑少？条件晒概率耻是概终率论台中最参重要道的概俭念这赠一，愧作为圾一项摩描述母与计兼算的仿工具告，其种重要悠性首财先表童现在怎当存容在部娃分先青验信粱息（痛如A已发雀生，推在这事里即澡动物满已活废过2靠0岁飞）可嗽资利管用时滩，可朽归结糕为条孟件概除率而庄对概侍率作浮出重晒新估奥计（愈如这狠里P(B|溪A)=御0.单5而不幻玉是P(B)=0.还4了）岁。另外压，条切件概牛率也尸是计蛮算某开些概骗率的撤有效浪工具吉。例3设A,B是任浆意两犬个随屡机事拨件,迫又知蛾且则下啄列结德论中虏一定是成立浇的是(A踩)(B因)(C穿)(D快)例4设A,偿B为随缝机事抱件，角且，则述必有(A惧)(B研)(C叼)(D颠)(2才00芦6)例5设A,B是两咐个随故机事介件,帆且则必和有(A语)(B阴)(C秩)(D真)例6设A,B是两毕个随巨机事典件,则根据胃条件眼概率膨公式忆：我们粒有：定理拌3乘吓法院定纠理二、钳乘法毯定理乘法预定理决的推信广:(1园)辣若P(AB)>0,的则有证明亭:由乘宅法定慌理,催有(2)若,则有证明戏:由乘梳法定啦理,理有证毕阳.乘法驳定理睁的推师广:(1减)迹若P(AB)>0,挤则有例7一批匠零件茧共1扎00款件，俭已知亚有1谨0个克是次拨品，针现从速中任斥意逐次取低出一剩个零织件（漂取出学后不箭放回拐），梅问第脆三次犯才取僻得正搜品的概率相是多执少？解：设“第次取出的零件是正品”，则所塌求概端率为由乘割法公密式，待有例8享设袋蛛中装尸有r只红秒球，t只白甚球。嫌每次狗自袋岁中任喘取一歉只球毁，观益察其上颜色绿然后装放回扫，并外再放脾入a只与钟所取皮出的蝴那只牺球同哀色的脸球。围若在保袋中春连续极取球晶四次礼，试胳求第义一、调二次在取到仁红球哗且第娘三、偿四次肚取到肌白球理的概孩率。解：设由已舅知有法一肚：例9春对成某种谈产品圣要依逃次进皱行三梢项破叛坏性女试验薪。已卸知产畅品不砖能通过第迹一项奔试验迹的概透率是泉0.住3；五通过含第一侍项而朝通不佛过第桶二项预试验费的概率少是0涛.2临；通浩过了拒前面庆两项焦试验踢却不返能通邀过最犬后一浑项试眨验的纷概率是腊0.渠1。怜试求岗产品精未能疗通过工破坏仔性试拐验的奥概率抹？于是鸡，又代入臣上式仇，得由已脖知，勺有“产品未能通过第项破坏性试验”，“产品未能通过这三项破坏性试验”，例9叮对大某种繁产品阻要依喉次进砍行三棋项破岂坏性躺试验余。已色知产葵品不白能通过第衡一项探试验灰的概次率是细0.盐3；移通过绵第一添项而女通不峡过第橡二项允试验泛的概率皱是0阵.2臣；通肠过了诸前面难两项爬试验挣却不俭能通收过最嫂后一迈项试吼验的饼概率是径0.蹈1。障试求贡产品貌未能摄通过及破坏遇性试砌验的屿概率蜂？解：设由已盐知有法一颗：于是掀，又代入群上式音，得由已数知，盾有“产品未能通过第项破坏性试验”，“产品未能通过这三项破坏性试验”，法二而:利用落对立疯事件皱性质鼻，有发生即为中至少有一发生，故有解:设“工厂同时启用两套报警系统时,能正确报警”，“第套报警系统能正常工作”，显然津有由已天知有由加拍法公芳式：例1露0播为蒜安全疑起见轰，工流厂同谈时装根有两普套报叛警系她统1领，2驱。已知每剑套系暖统单浮独使前用时辩能正社确报袍警的看概率雀为0语.9根2和赚0.减93馅,又已演知第毁一套乏系统值失灵做时第墓二套贤系统肯仍能惠正常钳工作猪的概期率为0白.8横5。倘试求仪该工唤厂在轧同时类启用牺两套瓶报警隔系统略时，思能正醋确报警镜的概差率是馆多少该？又于是由加法公式：例1简0折为躬安全尘起见痕，工浙厂同攻时装丈有两谷套报虎警系检统1图，2益。已知每浴套系阵统单摇独使护用时造能正料确报满警的再概率敬为0严.9敌2和已0.哑93茶,又已肝知第掘一套肤系统名失灵嚷时第循二套邻系统鉴仍能暮正常恭工作巷的概纳率为0派.8岛5。河试求耽该工怠厂在续同时紫启用鹊两套棚报警简系统开时，赖能正捆确报警颈的概他率是如多少亚？三、邮全概贵率公孔式1、全划分泼（完糖备事亭件组烧）设S为E的样本空间，为E的一组事件，若（1）（2）则称为样本空间S的一个划分（或完备事件组）。2、赛几点剃说明到:若为样本空间的一个划分，那么这，在皂每次事件中必有一个且仅有一个发生。任意事件A与其对立事件构成最简单的完备事件组。（1萄）试验竹中,（2蜜）设试验E的样本空间为（3）则构成一个完备事件组。证明麻:证毕资.(利伴用乘痒法公先式)设S为E的样错本空梯间，A为E的事年件，为S的一个划分，且则有2、搅全概显率公费式由构成完备事件组，有全概泥率公鼠式的脆文氏纸图解流释：A即从而代有将事送件A分解哈为若弯干个粥互不圣相容飘的较由简单画事件李之和矩。例1巴1袋中房诚有大饮小相释同的a个黄臂球,b个白融球.悟现做座不放楚回的窜摸球指两次等,求馋第2汗次摸劲得黄防球的测概率赢?解：“第1次摸到黄球”,“第1次摸到白球”设则显洞然有记A=“概第2饭次摸寻到黄伍球”恐，由全絮概率袜公式膏，有黄被球白别球个榨数第一想次后aba-温1bab-今1抽签外与次尼序无偏关!例1非2盒中淹放有协12叫个乒陶乓球首,其轧中9叼个是悠新的即,3侄个是妇旧的荡.第稍一次诱比赛著时,射从中含任意箭地取版出3耍个来捎用,芹用毕夜仍放给回盒选子中哥(新后球用算后成面了旧箱球)的,第止二次垄比赛还时再案从盒略中取御出3弦个球档来用烤,求瘦第二早次取极出的亏3个根球均讲为新显球的茅概率悦?例1犬2盒中脾放有帅12像个乒露乓球浴,其帽中9稠个是伤新的表,3望个是千旧的待.第啊一次鹿比赛鞠时,惕从中举任意冬地取忽出3姻个来投用,抓用毕乳仍放配回盒隔子中足(新狐球用利后成旦了旧距球)俯,第留二次渗比赛咏时再傍从盒窄中取像出3催个球助来用她,求济第二颗次取株出的唯3个展球均慎为新曾球的扔概率币?解:第二话次取执球时璃,盒蝇中有菜几个干新球祝未知悬,这昌是与卵第一摘次取云球的A=“峰第二回次取仅出3指球全岭是新懒球”“第一次取出3球中有k个新球”,按全堤概率扭公式贡,有是:各种有可能偏结果微有关旧,可顽设例1装2盒中杨放有壮12猫个乒洒乓球淘,其超中9肥个是宇新的暂,3梅个是授旧的报.第红一次妖比赛赏时,贺从中油任意射地取肠出3亮个来貌用,巧用毕贯仍放鸟回盒反子中充(新敏球用题后成谜了旧衣球)铺,第童二次甜比赛酷时再掀从盒邮中取州出3哄个球副来用顷,求弃第二础次取搜出的钱3个锁球均吓为新留球的臭概率中?新碗球旧磨球第一肥次摸次球后第一但次摸艇球前93第一踢次摸杨的球0393128421750366例1僵3吃某芝工厂辨有四油条流与水线炕生产从同一船产品渣,群已知么这四舒条流肃水线美的产涛量分智别点济到总斥产量促15介%,堡20搂%,锻30胸%和社35重%,作又知寸这四拴条流般水线梅的次掘品率雨依次且为0步.0抚5,容0.午04誉,0辆.0赤3绒及0称.0寺2.维现从项该工缴厂的腿这一获产品秆中任蠢取一欠件,沈问取漠到次同品的版概率戏是多些少?解:设A=“透任取蛮一产谅品,店结果葱为次姨品”右,“任取一产品,结果是第k条流水线的产品”,由已国知条在件,马可得于是柿,由兰全概缠率公裹式,姻有例1责3身某绪工厂孝有四悠条流牧水线泰生产俊同一吵产品碑,降已知鼠这四爬条流开水线展的产掌量分现别点颤到总叛产量慢15因%,例20秋%,巷30隐%和愁35秀%,巧又知固这四移条流扭水线顽的次戚品率励依次夏为0达.0桶5,锯0.论04班,0糟.0泡3鹿及0插.0曲2.基现从仙该工决厂的反这一蒸产品效中任因取一弱件,交问取徐到次察品的博概率纽奉是多柿少?解:设A=“任取一产品,结果为次品”,“任取一产品,结果是第k条流水线的产品”,由已知条件,可得于是,由全概率公式,有补例挖1(逃05研)从数馆1,感2,减3,妄4中证任取脖一个矿数,坦记为X,再沸从1歇到X中任挠取一摄个数析,记糊为Y,则补例今2(票97优)袋子揪中有扣50表个乒昼乓球农,其怖中2穷0个旦是黄屠球,贤30确个是励白球箩,今露有两鹅人依絮次地炭从袋醒中各瞧取一撒球,梁取后翼不放舍回,河则第仿二个类个取拐得黄伤球的弟概率税为9.踏25根据社条件晒概率经公式验：我们织有：定理磁3乘吵法溪定号理二、伯乘法米定理证明丑:证毕体.(利燃用乘阁法公揭式)设S为E的样暗本空揪间，A为E的事泡件，为S的一个划分，且则有2、议全概痒率公平式由构成完备事件组，有例1米3旗某秒工厂刺有四耻条流肾水线斜生产较同一走产品摧,循已知纷这四侵条流牧水线日的产饱量分出别点扔到总腥产量窄15陪%,鼻20什%,汁30叶%和挥35灶%,逮又知芳这四均条流氧水线沈的次金品率饱依次端为0革.0患5,蚀0.角04晴,0念.0毕3幕及0态.0泳2.经现从杜该工株厂的椅这一巷产品未中任腾取一窜件,另问取齿到次秃品的数概率兔是多住少?四、浴贝叶侍斯公禁式若取矩到的芳是次段品，肯求此徐次品席是由花第一固条流隶水线羊生产木的概柄率。设满足下面条件(1)(2)则对股任一虫具有慨正概利率的掉事件Ａ,有且贝叶浑斯公她式四、帖贝叶侵斯公竖式设满足下面条件(1)(2)则对任一具有正概率的事件Ａ,有且贝叶斯公式四、朗贝叶断斯公错式设满足下面条件(1)(2)则对任一具有正概率的事件Ａ,有且贝叶斯公式证明场:由条颂件概鹊率的样定义翁,有上式复分子凉应用攻乘法烫公式蕉:分母流利用齿全概厅率公及式：即得推。四、依贝叶旬斯公根式设满足下面条件(1)(2)则对任一具有正概率的事件Ａ,有且贝叶斯公式从推导上看,这个公式平淡无奇,其之所以著名,主要在于它的现实解释上:概率是在没有进一步信息(不知事件A是否发生)的情况下,人们对各事件发生可能性大小的认识,现在有了新的信息(已知A发生),人们对事件发生可能性理应有新的估价.四、棉贝叶舌斯公要式设满足下面条件(1)(2)则对任一具有正概率的事件Ａ,有且贝叶斯公式这种慢情况公在日裙常生接活中走也屡虎见不冤鲜:上原以捆为不程大可决能的卡事,深可以产因为颈发生示了某小种事叼件而厌变得喂可能菊,或牺者相村反.黑而贝编叶斯绘公式除则从齐数量覆上刻蜂画了就这种公变化彼.例1语3(盘续)某工合厂有眨四条倡流水诞线生喘产同咐一产书品,国已知岁这四芳条流筋水线舱的产达量分那别点投到总相产量慰15特%,蔬20绸%,架30菌%和朱35墙%,饭又知蜜这四钻条流棕水线释的产涉品不伤合格据率依稿次为吨0.前05贸,0蚀.0床4,流0.在03番及0青.0龄2.篮现从聋该工双厂的泻这一洁产品毯中任婚取一走件,锦问取份到不堪合格批品的趴概率拖是多跃少?解:设A=“任取一产品,结果为次品”,“任取一产品,结果是第k条流水线的产品”,由已知条件,可得由全概率公式求得若取轨到的绕是次件品，挎求此变次品要是由挤第一希条流唐水线筒生产己的概抄率。于是配，由球贝叶稻斯公堤式，溜有例1掌3(坑续)某工过厂有吸四条谊流水愁线生旺产同膝一产判品,匪已知踪蝶这四耽条流灶水线熄的产除量分江别点肌到总荡产量叹15伏%,男20街%,丛30齐%和难35怒%,道又知碎这四尤条流巩水线缓的产哭品不叶合格创率依沈次为钓0.由05猫,0池.0材4,踪蝶0.复03曲及0涂.0闭2.榆现从有该工价厂的里这一冈产品译中任质取一删件,洗问取钞到不拦合格方品的蕉概率是是多台少?解:设A=“任取一产品,结果为次品”,“任取一产品,结果是第k条流水线的产品”,由已知条件,可得由全概率公式求得若取孙到的绢是次领品，异求此萄次品侵是由危第一挪条流泄水线仰生产捕的概未率。同理验，有例1灾3(置续)某工晴厂有恭四条傲流水锡线生台产同真一产从品,锁已知供这四见条流傲水线枕的产朋量分讨别点怀到总巷产量名15圆%,波20典%,哥30夜%和昏35斥%,捡又知拐这四毫条流应水线答的产据品不剥合格讯率依茧次为乞0.血05主,0冬.0摊4,秒0.踏03嘉及0妖.0治2.冰现从削该工锣厂的福这一揉产品叮中任练取一漫件,列问取术到不已合格哥品的闹概率讲是多鸽少?解:设A=“任取一产品,结果为次品”,“任取一产品,结果是第k条流水线的产品”,由已知条件,可得由全概率公式求得若取雕到的绿是次视品，态求此尿次品懂是由利第一炕条流蓄水线副生产签的概扬率。同理秩，有例1贷3(塔续)某工粪厂有奋四条蛇流水馋线生穴产同朽一产您品,住已知歪这四刷条流插水线乒的产担量分战别点菠到总扶产量役15嫁%,刚20顿%,朝30州%和岩35区%,天又知筝这四茧条流坦水线波的产避品不宰合格寒率依暴次为领0.腔05肚,0狐.0止4,信0.曲03昼及0平.0辆2.则现从盼该工婶厂的衣这一尾产品匪中任仗取一祖件,泻问取包到不鞭合格书品的益概率懒是多掩少?解:设A=“任取一产品,结果为次品”,“任取一产品,结果是第k条流水线的产品”,由已知条件,可得由全概率公式求得若取民到的小是次阳品，浑求此慈次品贴是由体第一傍条流己水线辅生产欠的概竿率。同理巾，有例1哨3(牙续)某工荒厂有射四条首流水拘线生浆产同逐一产炉品,辈已知左这四豪条流窄水线迫的产肢量分阿别点晃到总腥产量堡15带%,他20慰%,挑30让%和骆35哄%,割又知墨这四摘条流巷水线扮的产岛品不浆合格筐率依讯次为丹0.粘05念,0皱.0鞠4,爷0.僻03畜及0业.0渡2.乡丰现从革该工鸦厂的扮这一脖产品挣中任校取一印件,蜓问取甚到不男合格肌品的妻概率双是多计少?若取捧到的若是次惑品，富求此席次品感是由杠第一惩条流弦水线庄生产献的概天率。若将“抽检一件产品”说成一次试验,那么是在试验之前就已经知道的概率,所以习惯上称为先验(先于试验)概率,这是过去已掌握情况的反映,这试验将出现的结果提供了一定的信息.在本例中,条件概率反映了在试验以后,对A发生的各种“原因”(即不合格品的来源)的可能性的定量描述,通常称为后验概率.在统枝计学料中,裹依靠毫收集咽的数弟据(旗相当属于这救里的铃事件A)去劲寻找肢感兴挂趣问艺题的拾答案悄.这戴是个“由偿结果讨找原绢因”性质鱼的过拿程.依据毯贝叶歼斯公的式的壁思想尽发展竖的一痕整套斜统计择推断饰的方白法,要称“贝慌叶斯精统计才”.例1捏4用血船清甲漫胎蛋勺白法怠普查除肝癌照.令C=“受检牛查者孔患肝薯癌”A=漂“受检拆查者枕的甲垫胎蛋荐白检略验结逐果呈吉阳性伯”检验院方法动虽相科当可影靠但滑还不第尽完他善,瓣已知愉有其中表示“受检查者的检验结果呈阴性”,而表示“受检查者又设缩慧人群晶中患辉肝癌婶的概悬率已凳知为现若痰有一倍人被搭此检时验法坚诊断东为阳原性(萍患肝仆癌)西,求赏此人皱确患筐肝癌同的并不疯患肝轻癌”雹.概率解:由贝王叶斯柿公式歪可得一种法直观团的解巾法:平均颈10柴00元0个晕人中懒,有肝癌患者人,为清妖楚起厕见,劲列勾表如呆下肝癌腔患者未患丛肝癌石者总和阳性阴性总和10捷00敞0499率9689梨96好.610吓03昨.4因此差已检素出阳酒性条共件下卵(总眠共1旬00醋3.览4人面),撇患有夏肝癌蒙(3丸.8袜人)杂的条件区概率娘为对发链病率基很低善,检嫂查费其用又赵很高要的某屡些疾沿病,帐随便层用普参查的做只法是缩慧不可乏取的亿.例1亦5(涌市场志问题铁)督某灰公司剃计划它将一貌种无阻污染慈副作河用的肺净化丧设备钳投放写市场赌.公历司市向场部杠事先焦估计状该产求品畅蛾销的款概率汇是0文.5鹿,一门般为耍0.帜3.败滞销旷为0陕.2腾.为蹈测试薯销路女,决找定先毯进行亭试销滩,并丛设定往了以醒下的甲标准长:若冶产品筝畅销钳,则浙在试桨销期已内卖莫出7均00滤0到孟10奔00窝0台超产品兄的概敞率是瓜0.残9;慢若产洽品的仿销路靠一般拼,则倡在产夸品的惑试销筋期内具卖7银00蔽0到关10携00谨0台培产品打的概揭率是酷0.河6;筐若产脱品滞到销,朗则在进试销鞭期间耕能卖翁出7壮00拾0到脚10衔00稍0台爱产品型的概垮率是榴0.旦2.若在目试销消期满悄后,剩实际番卖出毫产品抖是9恶00醉0台敢.问气该产丑品是鲁(1赶)“逼销路与为一滋般”隙;(散2)当“畅扔销”折;(甩3)稻“畅秧销或庆销路拼一般贿”的驱概率饭各是威多少胸?解:记由题矿意知求解:记由题惠意知求由贝豪叶斯疗公式元,有(1拥)解:记由题忆意知求由贝顺叶斯节公式昌,有(2四)解:记由题屈意知求(3跌)由两两互斥及,可得:人不数发秘病77阵5052咏5070饺0075哲0042债0035芬00例16(贝叶斯决策)假定具有症状S的疾病有三种.现从20000份患有疾病的病史卡中,统计得到下列数据:试求当一个具有症状S的病人前来就诊时,他患有疾病的可能性各有多大?若没有其他可资依据的诊断手段的情况下,诊断该病人患这三种病中的哪一种较为合适?出现灰症状S的人颤数解:设A=“索患者删出现瓶症状S”,=“患者患有疾病”,每观则察一驱张病穴卡可掘看成教是作旧了一压次试就验,字由于衬统计眠的病美卡A于是暂,由犁统计桃数字汽,得很多馒,威根据序频率候的稳咳定性吵,用首频率织来近叫似代朗替概肃率是类可行播的.人缘瑞数发缓病77些5052味5070洪0075它0042何0035裳00例16(贝叶斯决策)假定具有症状S的疾病有三种.现从20000份患有疾病的病史卡中,统计得到下列数据:试求繁当一哲个具熄有症崖状S的病气人前堂来就章诊时妻,他焰患有读疾病的可晓能性公各有顶多大善?若类没有超其他住可资袋依据袄的诊宇断手蚂段的煤情况业下,股诊断泻该病培人患竞这三断种病条中的纠哪一筋种较誓为合根适?出现接症状S的人露数A例16(贝叶斯决策)假定具有症状S的疾病有三种.现从20000份患有疾病的病史卡中,统计得到下列数据:试求当一个具有症状S的病人前来就诊时,他患有疾病的可能性各有多大?若没有其他可资依据的诊断手段的情况下,诊断该病人患这三种病中的哪一种较为合适?人数发病775052507000750042003500出现症状S的人数A于是云,有人数发病775052507000750042003500出现症状S的人数A同理记有:人数发病775052507000750042003500出现症状S的人数A人数发病775052507000750042003500出现症状S的人数A或人弊数发控病77腐5052链5070尚0075观0042套0035恩00例16(贝叶斯决策)假定具有症状S的疾病有三种.现从20000份患有疾病的病史卡中,统计得到下列数据:试求当一个具有症状S的病人前来就诊时,他患有疾病的可能性各有多大?若没有其他可资依据的诊断手段的情况下,诊断该病人患这三种病中的哪一种较为合适?出现锅症状S的人坡数A因此烧,在层没有稼别的刑可资肝依据蕉的诊润断手胶段下秧,有说明在出现症状S时,患有疾病的可能性最大.因此岔认为肥该病人患有疾病的判断较为合理.这种芬根据后验纠概率做出柄判断荡的方叨法称厨为贝叶屈斯决锡策.0.吹49弃340.因27示630.垄23辜03§6红独狐立包性一般斧情况绕下即事考件A的出坐现对近事件B发生乘的概贼率是擦有影标响的聪。但在一、使两个硬事件孩的独直立性即事秩件A的出房诚现对众事件B发生蚀的概宗率没胜有任奸何影套响。某些宵情况裳下，升可能希也有从而戒有这表原明不妹论A发生凯还是验不发日生，存都对B发生街的概抖率没有构影响知。此伸时，葡直观忌上可厘以认伟为事肺件A与事疯件B没有任何奖“关燥系”反，或变者说A与B独立偷。引例塔一围袋子袖中装叉有4糊个白女球、竿2个也黑球邪，从彻中有脑放回始取两宫次，每次患取一通个。论事件A辆={第隶一次节取到魄白球拆}，B弄={第中二次词取到白球魔}，蛙求P（B）及P（B|耳A）？解：容易义求出P(AB)=P(A)P(B)定义事2对事件，若则称事件与事件是相互统计独立的，简称独立的。注：(1福)必然怜事件忍及不情可能询事件符与任妖何事牲件都己是独嘱立的齿。不能把同时嘴发生崭，而臣独立足性则垫表示畅他们鉴彼此匙不影我响。(2驰)事件轻的独聚立性浪与互凶斥是利两码灿事，马互斥析性表纤示两脂个事类件(4盛)实际化使用歉时往薄往从直观酒上去挣判断事件独立案性，窗从而鲁利用各碰事件筋的概验率计卸算事迟件的决积的乐概率存。P(AB)=P(A)P(B)(3苍)判断侵事件浇的独箩立性冬一般饱有两犁种方错法:B:秤由问斧题的锻性质匙从直棚观上旱去判辣断.A:智由定图义判谦断,牺是否华满足铸公式言;在实逆际应外用中慰,往储往根自据问虑题的足实际痒意义非去判敢断两畏事件矛是否或独立漏.事件A、B分别谢表示旷甲、形乙两第人患恭感冒画。例如如果错甲、撕乙两眉人的馅活动轰范围剪相距谨甚远千，就驴认为A、B是相还互独拖立的浇。如果有甲、料乙两娇人同贝住一景个房啦间，肿那就盘不能壁认为A、B相互卵独立验。(1减)若塑抽取例是有带放回数的,发则A1与A2独立愈.又如浩：因为甘第二竞次抽纷取的悼结果不受光第一负次抽虎取的珍影响灶.(2佣)若公抽取瘦是无繁放回犹的，航则A1与A2不独它立.因为启第二寺次抽亡取的驾结果陈受到携第一狭次抽古取的召影响姥.一批产品共n件,从中抽取2件,i=1,2设Ai

={第i件是合格品}请问目：如股图的俭两个斗事件晋是独兰立的昌吗？即:厘若A、中B互斥振，且P(A)>圆0,P(B)>产0,则A与B不独袋立.反之灭，若A与B独立腥，且P(A)窜>知0,P(B)害>摔0,A、B不互符斥.而P(A)汤≠0镜,P(B)筑≠0故A、哪B不独姐立我们革来计必算：P(AB)=毕0P(AB)≠P(A)P(B)即例２设随雅机事附件Ａ与Ｂ互不练相容标，则下姨列结撤论中统一定馋成立彼的有（Ｂ）（Ｃ）（Ｄ）（Ａ）能否素在样很本空连间S中找牢两个迷事件非,它村们既级相互扔独立阴又互垮斥?问题驾：这两个事件就是S和因为故与S独立且互斥.不难发现，与任何事件都独立.定理虽1若，则事件与独立的充分必要条件是或定理贝2若事件与事件独立，则下面三对事件均独立：证明沾：从而独立。类似可以证明的独立性。解：依题岸意，原有故即有亦有于是从而例1寸（2侮00狠0年旧数一久）设两袖个相盈互独龙立的疯事件A和B都不核发生音的概率为洁1/冶9，A发生B不发素生的详概率掠与B发生A不发偿生的刺概率傅相等偿。求P（A）？例2前商店繁经销悬的某再种商统品1茶00昏件,还经理评声称野其中栽只有纵5件侵带不毅影响效故果的巴小缺度陷.爆工商目部门括对这粉批商毛品进摩行抽参检时凭,采绘用有秆放回每次好抽一皂件检促查的慌重复写抽样后检查脂法.瞒试云问在沙接连黎抽检宽两件诞这种商品舰时“四第一蕉件查睡出带门缺陷波”与针“第仗二件盆查出辟带缺既陷”违这两特个事吩件是日否独谷立?宾被抽触检的特这两河件产针品皆恢是有佳缺陷潜的概完率是钻多少心?解:设=“第i件商品查出是带缺陷的”,按古前典概谅率计怕算法店,可拖直接岁算出烤:于是铃,有故知是相互独立的.二、碑多个机事件董的独穷立性1、舌三个芦事件常的独请立性定义怕3若事忍件A，灯B，研C满足嘴下面财三个郊条件则称宜三个悼事件A，亚B，城C是两灿两独暗立的纸。若A，震B，蜻C还满大足则称选此三句事件A，必B，柄C是相棵互独悲立的贵。由定苏义知下，三鹊个事坛件相漂互独氧立一仿定两烛两独俊立。问题说：三个猎事件劫两两射独立早是否餐一定挂相互恳独立摆呢？例3谋（伯徒恩斯器坦反符例）一个喷均匀纹的正博四面惕体,葬其饭第一辆面染拢成红色,第环二面乒染成挣白色固,第低三面阻染成规黑色限,而冶第四不面同性时染胆上红、城白、痕黑三慰种颜链色.估现以A,额B饱,俘C分别牵记投圆一次购四面洞体出无现红,肢白,葬黑颜飘色朝宾下的糕事件泉,问A,往B,惰C是否毫相互竟独立盈?解：由于携在四耗面体仇中红业,速白,粪黑脱分别装出现战两面躲,因此又由躬题意将知故有从而A,俱B,桨C两两夕独立足，但不肥相互槽独立腿。定义若事节件A1，A2，…兰，辽An中任讲意两骄个事押件相固互独抽立，定义2、n个事启件的叛独立封性则称两两独立。即对胞于一转切1≤i碍<璃j≤充n,有设为n个事件，若对于任意

,及都有则称相互独立。定理差6设是n个相互独立的事件，则有（1）将中任意个事件换成其逆事件，所得的n个事件暗都是联独立计的。事件都是相互独立的。数对多乐个事破件的摘独立壶性，秃具有饰两个粪事件凉的独墓立性辰相同撇的性规质：（3按）证明验：（2）对满足条件的任意正整例4要验网收一猜批（和10盾0件项）乐贿器。棋验收舒方案躁如下谢：自色该批喝乐器夫中随乘机地说取3来件测伪试（评设3浸件乐浆器的捞测试军是相若互独沉立的液），祸如果讨3件紫中有抬一件犹在测推试中册被认毕为音蛾色不猛纯，现则这搭批乐菜器就娱被拒布绝接袄收。蹄设一为件音箩色不毯纯的锋乐器夫经测辱试查寻出其罪为音哲色不腰纯的裳概率辩为0抵.9黎5；郑而一电件音逮色纯排的乐鬼器经糟测试段被误欲认为份不纯目的概宰率为光0.置01李。如盼果已尝知这倘10桥0件们乐器殊中恰夹有4炒件是蚁音色熄不纯廊的。将试问晓这批挥乐器桶被接紫收的多概率件是多怠少？例4否某工遭人看刚管甲绝、乙麦、丙嚼3台怪机床厅。在暖1小狭时内截这3走台机鲜床需娃要照管剃的概蹄率分寄别为桌0泳.2醒，0骄.1拘，0客.4求。各嫂台机畏床需抬要照脆管是无相互霉独立的叫，且警当一欢台机狗床需挪要照舒管时珍，时跳间不瓦会超弱过1塘小时城。试斯求在1小互时内捕，机垂床因父得不方到需货要的麻照管痰而被铁迫停赶机的穗概率饺？解:设用A(B或C)分挎别表拿示“止在1忙小时北内甲价(乙济或丙唇)机桑床需赛要照裳管”的事搜件.则由袜题设级知A,龟B,协