第一章 数学物理方程的解法

2023/7/21数学物理方法概论主讲教师：白璐联系电话：n之——（微分几何）2023/7/22

课程特点：

数学物理方法是物理学类、电子信息科学类和通信科学类的重要公共基础课和工具。主要特色在于数学和物理的紧密结合，将数学用于实际的物理和交叉科学的实际问题的分析中，通过物理过程建立数学模型，通过求解和分析模型，对具体物理过程的深入理解。提高分析解决实际问题的能力。2023/7/23

课程内容：第一章：微分几何（4）第二章：线性空间（4）第三章：渐近方法（5）第四章：格林函数法（5）第五章：积分方程的解法（5）2023/7/24

课程学习目标：1、掌握微分几何、线性空间的相关定义和本征函数集的应用；2、掌握数学物理方程常规解法的技巧，以及特殊函数的应用；3、掌握格林函数在数学物理方法求解中的应用，掌握积分方程的数值求解方法，学习数值渐近方法。4、学习和提高编程分析实际问题的能力。2023/7/25

学习要求：按时到课，完成作业，及时复习。考核方法：30%平时+70%期末（闭卷）推荐用书：《数学物理方法》王一平主编，电子工业出版社《微分几何的理论和习题》利普舒茨著，上海科学技术出版社《微分几何》梅向明黄敬之编，高等教育出版社《物理学中的数学方法》拜伦著，1982年，科学出版社2023/7/26第一章微分几何

微分几何的产生和发展是与数学分析密切相连的，在这方面做出突出贡献的有瑞士数学家欧拉，法国的蒙日，德国的高斯、克莱因等。

在波的辐射、传播、散射、反射等应用领域常遇到对物体几何形状的分析，而微分几何所阐明的概念和方法，在这一方面成为有力的工具。经近300年的发展，已逐渐成为数学上独具特色，应用广泛的学科。2023/7/27第一章微分几何

微分几何是采用微积分的方法研究几何图形的学科。本章重点讨论曲面理论的基本原理。

微分几何中，由于运用数学分析的理论，就可以在无限小的范围内略去高阶无穷小，一些复杂的依赖关系可以变成线性的，不均匀的过程也可以变成均匀的，这些都是微分几何特有的研究方法。

学习本章的重点是掌握微分几何基本概念理解空间曲面的定义、定理及重要几何量的计算方法。2023/7/2第一章微分几何

微分几何涉及用微积分方法了解空间形状及其性质。

微分几何解决问题的一般思路是：

参数方程定义几何体求导

从微积分导出能说明几何学某些性质的几何量给定某些微分量求解

确定几何体几何量满足的条件（微分方程）微分方程的解集即几何体82023/7/29第一章微分几何1、三维空间中的曲线；2、三维空间中的曲面；3、曲面的第一、二基本形式；4、曲面的曲率；5、测地线；6、张量简述。20溪23醒/6堂/2们710：推荐载用书搂：《数益学物滔理方唐法》座王一苍平主坛编，虑电子抢工业俭出版熟社《微分浆几何滥的理洒论和净习题》利普翼舒茨技著，朱上海吉科学秒技术减出版澡社《微分活几何沙讲义》陈省卖身面陈维剪恒著，北京容大学出腾版社《微分凯几何》梅向疮明旬黄敬税之编岛，高辣等教示育出登版社第一丑章块微分答几何20师23贺/6只/2肢711§1.礼1三维书空间鱼中的问曲线在E3中De亦sc况ar摘te娃s直角激坐标嘱系O-黄xy佛z下运动瓶质点证的位化置为其中佛为单索位正递交基档向量圾．空间须曲线兆定义：区间(a,b)上点t在映配射：t(x(t),y(t),z(t))下像少的集支合曲线C的表沿示：§1.静1.惑1曲线舟的表娃示式中t称为C的参数C可用趁向量留形式纽奉的参评数方播程表紫示为或写独为分表量形丧式的误参数贝方程一、惧曲线廊的表坟示20何23担/6餐/2淡712§1.启1三维定空间坛中的紧曲线假定命所研丹究的剪曲线予至煎少是t的一映阶连艳续可侮微函欧数。§1.应1.祸1曲线朽的表雨示二、感正则定义：如果革给定秋参数惊曲线C:草,t(a,b)．若喘，眨则称tt0的对初应点却为C的一惹个正则辣点．若荒，症则称tt0的对污应点息为C的一区个奇点；若曲付线上抄所有神点正备则，劣则称C为正则吊曲线，并铃称参访数t为正则要参数．几何命意义鞋：视参沉数曲平线为客动点穷轨迹毕，正进则点苹的几窃何意戚义则榴是当烤参数主在该给点处梳作微舌小变伯动时筹动点别的位万置同比时作挡真正催的变暮动．20闹23伏/6边/2帆713§1.堂1三维怜空间塔中的泡曲线§1.行1.烛1曲线烈的表捞示例1若参腰数曲填线C:乐,tR，则其供几何围图形饲仅仅欠表示舰一点萄，而害不是秘正常筝的曲赤线，泊此时车所有衰的参箭数值个对应版于图伯形实览体的洞同一桨点．岔这是金非正碌则曲获线的邻极端石例子梁．例2半径宇为a，螺永距为2πv的圆柱赚螺线蛾，如挣视为杂动点丝式的轨绞迹，粱表示盈为(t)(aco乖s警(wt)距,asi惭n颠(wt)安,vt)惑,tR，其中沸三个崖常数a0狗,w0和v0分别宾为动皆点运盈动的笔圆周厕半径线、角非速率悠和向唉上速聋率．嚷此时(t)(awsi泉n(wt)蔽,awco混s(wt)衫,v)0，说明待该参萄数化禁使之失成为图正则即曲线拾。或者停称该掌曲线身是（－,类）上阁的正糟则曲鞋线。20衫23劲/6肚/2舰714§1.香1三维绵空间饿中的跳曲线§1.锋1.遣1曲线档的表揉示例3半立宇方抛践物线轨光滑负曲线(t)(t3,t2,违0)供,tR，则(t)(3t2,迅2t,尸0)，故此遥时其再奇点幻玉有且或仅有疮一个谢：r(0读)．该曲沸线是（－,黄0）和（0,舍）上洲的正活则曲鸦线。同一毯条曲晴线可桥有不昆同的矩参数弹表示浸。如羞果曲丙线C为(t)，用t＝t(t1)引入歉新参研量t1，则(t)(t(t1))＝1(t1)，为蜓保障t,t1一一巾对应鼠且为居使t,t1增加拥的方戚向均逝相应刊于曲替线正锻向，党要求三、廊同一侵曲线飘的不爬同参钢数表伪示曲线C上一浇点如缎取参遥数t时为录正则役点，初则在之取t1表示晴时也失为正况则点20银23见/6卫/2杀715§1.银1三维恢空间碍中的雄曲线§1.猴1.裂1曲线凯的表乓示可以及选取致弧长属作为榆曲线稀的参幸数并院能够线方便型地确悄定曲罢线的切线．是曲序线切苍矢量帮的长攀度。注意全：弧长定是代警数量价；弧长谈只依搬赖于立曲线文上所凡选取乳的始肿末点挣，而婚与参律数的雨选择生无关竹；对正错则曲考线可纺选取抬弧长s作为仗表示撇曲线晴的新今参数病，这孕时切日矢量为一昨单位予矢量擦。四、咬正则阴曲线初的意岛义设曲丛线C:(t)挑,t(a,b)正则威，则唤曲线洗从参帝数t0到t处的程弧长莫为其中20牺23斤/6图/2李716§1.动1三维归空间仆中的脑曲线§1.柄1.烦1曲线嘱的表属示选取泼弧长旁作为蛮参数校的曲腿线称夸为单位受速率装曲线。单位冈速率职曲线速的意碧义类比隶：空间格曲线——质点带在空斤间的侍运动语轨迹参数t——时间——质点爽的运直动速盒度——质点蚕经历赠的路停程选取刮弧长救作为否曲线访的参江数的船好处底是曲脂线上冤每一看点的莲切向使量都浪是单员位向曲量。20巾23肌/6顷/2六717§1.朽1三维学空间润中的歪曲线§1.些1.粗1曲线波的表旦示t为正蚂则参梦数，且斤有

ds

=

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t0)．点(a,演0,换0贯)对应稼于参购数t＝0，故边从点(a,涌0,茄0斧)计起达的弧惨长参唯数s(t)s(0咐)车=tsq龄rt鲜(a2w2+v2)故一稍个螺买纹对夜应于预参数t取值遮区间处为[t0，t0+|2π/ω|]的长评度为s(2π/ω)s(0疏)押=型|2π/ω|颂sq吉rt沫(a2w2+v2)例4圆柱螺线参数化为(t)(acos(wt),asin(wt),vt),tR，其中三个常数a>0,w

0和v

0．试求其从点(a,0,0)计起的弧长参数，并确定其一个螺纹的长度．解：因20逢23纪/6颗/2急718§1.签1三维剪空间引中的常曲线§1.馆1.声2空间乖曲线妖的重椒要几犬何量一、聋曲线脊的曲甘率考虑廊单位戚切向筒及其洪方向淡相对趴于弧辜长的鬼变化孔率．定义娱：曲率曲率反和曲掩率矢组量的先定义交不依剪赖于哪正则绩参数环的选磨取．曲率历的意麻义——表征铁了曲炼线的刺切向怕量相建对于母弧长箭的转沈动速之度。其值亲的大乏小代犹表了曲线茎的弯掌曲程法度。20么23浆/6螺/2挺719§1.拼1三维促空间衡中的墓曲线§1.昼1.伏2空间犬曲线月的重诵要几暴何量定义曲率届半径性；曲妥率矢坝量．其中详，马是残与座正长交的那单位炕矢。渣且指谣向曲牛线的嘱凹向隆。曲率——曲率峰半径——曲率妥矢量——20尾23纱/6算/2丘720§1.内1三维漆空间滚中的议曲线§1.协1.拴2空间棚曲线五的重涨要几咏何量一、疤曲线略的曲波率密切面方程——如果密切面上的点用定义

密切平面——曲线

(s)在s点的所构成的平面

表示，则位于密切面内，即命为曲品线在s处的绳从法挖向单霜位矢臂，它竹是密抢切面阀的法久线。20懒23钉/6反/2璃721§1.贪1三维对空间并中的削曲线§1.纺1.支2空间混曲线恰的重弯要几掘何量从切汁面曲线(s)在s点的描述想曲线卸密切攀面方诉向变丽化引踏入挠率密切拿面所构六成的作平面法平箭面二、咽曲线滚的挠筋率由上式所确定的函数称为曲线在s点的挠率

挠率的拴绝对盯值表欢示了康曲线思的密僵切面饶（或巡寿从法胶矢量活）随s的旋前转速帝率20糕23普/6希/2思722§1.膀1三维趣空间谎中的长曲线§1.异1.悔2空间盆曲线率的重禁要几归何量1）当钻曲线配以弧林长为芒参数坟表示伪时，不即三、锻曲线舒的曲战率挠温率的吗计算穴公式曲率挠率2）当佣曲线傲以一成般参振数t表示曲率挠率20尽23供/6值/2饲723§1.亲1三维袭空间腰中的遭曲线§1.历1.啄2空间兴曲线将的重匀要几倾何量例5对曲歌率非萌零的尾曲线C而言替，C为平省面曲忽线的任充要钟条件如是其茂挠率陕函数沸恒等栽于零摆．证明傲：只饭要证蒜明“退从法税向量完恒等所于常棉向量傅”等体价于珍“挠元率函落数恒仍等于批零”铺，而这疯由(s)，即罢可得谱证．如果身曲线禁的挠挑率恒匀为零俩，则(s)常矢更量。鱼于是由此库得设s0是曲彩线上钢任一隆点，侧则由出上式穷得可见(s)位于压通过s0，法准线为止的膛平面经上，讽即其醉是一行平面穷曲线怎。还可批类似紫证明寒曲率天恒为装零的朴曲线孔为直摘线。20缠23缺/6测/2炕724§1.位1三维度空间低中的河曲线§1.悔1.叹2空间鸦曲线摸的重料要几雹何量物理欣意义：挠率户是刻菜划曲社线弯唤曲状植况的孤又一束个重愁要的钩几何吸量，萝因而负又可遭称之邮为曲粱线的第二以曲率；由于花挠率兵体现宁了密门切平晴面的刑扭转妹状况会，通苍常说艺它表妻示了盆曲线念的扭曲循程度．当挠股率非膜零时杨，称证其倒敏数为挠率激半径20滚23弟/6垫/2鸡725§1.皂1三维嘉空间哄中的灵曲线§1.攀1.怠2空间嚼曲线婶的重崖要几律何量曲率学、挠率的喂意义：沿曲拒线的促变化哭告诉榜我们缝曲线申自身档在空游间中驴是如福何旋障转弯糕曲的的变们化又有由微烟分垄决定领。由把的定狡义所以填曲率乎描述江了植方向忌的变毯化。因为善是三往维空灯间R3中三稼个相幻玉互垂小直的杂单位母向量烟。故R3中任一次向量网都是殊它们篇的线碌性组窄合，甩如果港，宋如能肺确定a,宁b,愈c则也何就确每定了20朽23嫁/6接/2冷726§1.腔1三维洞空间概中的愧曲线§1.羽1.老2空间颜曲线观的重盏要几获何量同理的表票达式产中仅辉剩一饰个非触零系肆数，头既然她不能劝用已填知量墙刻画怕它，就把虫它定躁义为挠率。因为所以由为零因为所以定义为曲袄线的朱挠率独，则20神23坟/6牙/2棵727§1.写1三维完空间雄中的事曲线§1.胜1.器3曲线侦在一浸点邻交近的趴性质一、Fr碑en家et标架在曲首线上慈与自皆身几宵何属酱性密盟切相师关的脆标架垒场．Fr裂en寸et标架——按照幕标架族运动巷的一拘般规斥律，良对于性无逗齿留点航的曲记线r，其Fr映en舅et标架馅关于陷曲线级弧长s的运览动公挂式（休作微勇小位战移时亩的变加换公铅式）诊为这组钻公式名称为Fr迹en益et公式防（曲线定论基刷本方皱程），它誉包含斤了曲线披几何浆的最脱基本赠信息毯：弧盾长，尸曲率节，挠稠率20脑23替/6纤/2烧728§1.俭1三维想空间塌中的暂曲线二、妄曲线首在一埋点邻陷近的说性质在明购确了Fr院en伏et公式臂之后剩，Fr吊en董et标架决关于帅弧长段的各产阶导繁向量问在Fr梢en华et标架铲下的奇分量堤就都哀可以姿用曲枕率、编挠率讽以及极它们捉的各虾阶导稍数等舒几何甚量具钱体表幼示出锦来。一阶着近似二阶铁近似三阶仇近似(践Fr呀en驻et近似)意义：如果挠率正，系随s的增沈加曲首线沿斜法线降的正包方向兵穿过仆密切衡面，反之宏则反馆向穿赛过；该曲怀线段跳近似物于一糕段圆涉柱螺肌线，挠率正，削右螺俗旋，豪负，然左螺霜旋§1.叛1.招3曲线鲁在一灯点邻混近的烛性质20渴23惜/6倚/2浸729§1.项2三维始空间挽中的肤曲面一、忽曲面参数u,漆v在二肃维区厘域D内变假化时舞，依考赖于谁两个哀参数烘的矢迈量设端点漠的轨穗迹确抓定出祝的曲换面可泉表为是D中任墙一固秤定点§1.肌2三维育空间摸中的涛曲面固定让在D中变动得曲线曲线参数曲线网如果即点魄处u曲线贴的切环向量橡与v曲线般的切真向量冬不平醉行，疮则称该米点为夕曲面禾上的正则替点。反钱之为债奇点忧。由症正则夜点所济构成的曲症面称怨为正则池曲面。20尽23载/6革/2尖730二、驶正则藏坐标碑网对正请则曲掀面，摘在点(u0,v0)处若兵根据ru和rv的连庙续性侨，则粪存在夕该点旨的一酱个邻姨域，许使得杨在此物邻域布内§1.科2三维阿空间顺中的涂曲面于是挣在这饿块曲跑面上造每一阁点有满惟一匹的一钥条u曲线盗和一口条v曲线迎，且这必两条捐曲线辉不相冠切。具这样浅的两斤族曲网线构捞成正则舱坐标吵网。例6球面席方程眠可表尿示为因为故当且仅当时为零。即除球面上南北极外，球面上的经线(等于常数)和纬线(等于常数)构成正则曲线网。§1.散2三维口空间档中的纠曲面20土23前/6革/2破731一、竹切平昂面曲面彩在某芬点处幸所田构成候的平赶面为梦曲面疤在该狮点的切平帜面的切赠平面剑上的命点，妻则如果孟用§曲面劳的切饰平面欣与法此向量上式螺即切平渠面方秧程。表示菌曲面§1.庙2三维名空间爽中的令曲面20蝴23有/6醉/2野732二、铁法向衡量曲面涝的切惭平面脏的法适线称裕为曲灵面在输切点我处的法线。曲面执的单车位法本向量猫为§曲面牛的切荷平面混与法哈向量正负浙号取绣决于疗法线叨正方蛇向的饰选取季。在哲电磁掩理论珍与天跟线工气程中研究崇反射向面或起波面跃时，易总取抬其正守向指的向波障源。曲面锁法向染量也茎满足盘参数俗变换虚下的僵不变讨性。乌如果吼在一牛种参羊数描述反下某斧点为富正则逝点，软则在饲另一寨种参绢数描葬述下绍一定体也是分正则的集。§1.纤2三维娘空间皱中的炒曲面20督23静/6师/2板733一、蚊一些罗常见裹的曲值面1)椭圆红锥面§曲面支举例2)椭圆鞭抛物急面3)椭球针面4)双曲茧抛物缠面5)单叶厉双曲撑面6)双叶狼双曲丑面§1.责2三维载空间橡中的饥曲面20泼23甜/6铸/2凡7341)椭圆秤锥面§曲面玩举例§1.炸2三维唯空间弃中的食曲面pr动og爽ra畅m葵tu节o_匀yu垃an身_z塞hu钓ius脾e昂ms陪im收slin单te吸ge半r吓i,槐jre礼al猜*8布x炮,y酒,z茂,t盯he创ta始1,赴th切et弊a2饥,fop羡en若(1倒0,草fi策le息="并1椭圆大锥面.t列xt颤")wr述it艇e(技10则,*灾)"易x降",蜻"荒y幼"军,"伙z小"wr闭it企e(途*,葱*)尘"请输郑入两坟个张窜角(用角蛇度表译示)："re丑ad夹(*削,*终)t奇he韵ta诸1,代th斧et跃a2do探i权=0截,5掏0do倍j东=0迎,3倾60矮,5z=块i*没(5左./慢50阵.)x=幅z*塞dc泄os遮(f嘉)*娘dt珍an圣(t饲he掌ta盲1)y=专z*绕ds才in微(f娘)*牌dt旺an件(t希he颈ta男2)wr径it仅e(旨10货,1萍1)宁x,纱y,公zen志d姜doen傲d蹦do11皆f腿or兽ma瓶t(骂1x落,3费(f倒9.盼5,莲5x之))en射d20妻23怕/6闹/2室735§曲面心举例2)椭圆驶抛物什面§1.乖2三维怎空间厨中的屠曲面a=森2,歇b从=3x=奥-摄15谎:0兼.1核:1汉5;y=蚕-来20福:0老.1铃:2臭0;[X宣,Y图]骂=晨me高sh颗gr闲id抬(x瓣,y庙);Z=须(X顿./劣2)挺.^灰2厅+鄙(Y降./衬3)颠.^爽2;su灯rf区c(肾X,牲Y遗,握Z)茫;sh稀ad坊in榨g绝in狂te纯rp须;%h剧id喊de详n血onxl盘ab野el贫('岂x'俘);坐y创la均be洁l(霸'y振')舞;z苹la牵be耗l(布'z今')邮;co谅lo新rm村ap蝇d皆ef芽au高lt甚;ti符tl王e(灭'椭圆哥抛物伞面')倡;ax超is扑e脂qu悼al弄;20萝23液/6钟/2帅736§曲面惕举例3)椭球垂面§1.湿2三维龄空间厕中的奏曲面xc桥=0虚;y丙c=窜0;若zc僻=0暑;xr章=5澡;y天r=敲4;质zr兰=3仆;[X糠,Y朋,Z铺]=飞el田li托ps骨oi杨d(魂xc馋,y六c,林zc墓,x纯r,互yr询,z杰r,主10跟0)葬;su悟rf顽(X导,爸Y,救Z岭);sh隔ad钉in尘g望in爪te脏rp破;co赢lo室rm志ap秀c货op啄pe牙r;ti狸tl惠e(夺'椭球朱面')阔;ax箱is贪e默qu尾al奖;20忠23巾/6赞/2汉737§曲面辫举例§1.传2三维修空间券中的索曲面4)双曲尾抛物亮面X=仁-1棒0:械0.惹1:屋10荒;Y=兼-1糖5:谈0.藏1:它15遵;[x死,y辉]=盆me衬sh佣gr么id繁(x她,y眼);Z=雅(x塘./登2)欲.^予2-股(y抱./狱3)兴.^自2;Su库rf林c(屿x,溪y,朽z)阶;Sh躁ad辫in宇g库in咐te宵rp叮;Xl桨ab乖el拳(‘哀X’慕);梦yl戚ab染el支(跟‘y个’)冶;yl秤ab姥el碧(‘铲z’团);Co答lo乡丰rm栽ap木j周et土;a=据2,锈b=欧320反23烂/6闻/2崭738§曲面跪举例5)单叶前双曲砍面§1.庆2三维叙空间根中的鄙曲面pr遮og均ra相m睬da费n_迈ye评_s采hu衔an戚g_榴qu馅_m奶ia拔nus殿e更ms蔬im扰slin蒜te眉ge巾r际i,显jre肌al穴x狠,y李,z爆,t航he翅ta爬,f易ai男,a感,b肉,uop装en慕(1巷0,顷fi押le及="难5单叶村双曲厕面.t规xt康")wr眉it埋e(为10捡,*东)"臂x博",务"欣y跟"截,"大z早"wr葡it启e(隐*,猫*)淘"请输占入三携个参屯量：(a帽,b桃,c剥)"re脂ad风(*铁,*照)a雅,b弃,c!a含=2斩.d山0!b扯=2扇.d早0!c己=2校.0do背u节=-销2,渗2,胡0.保1do牙j特=1削,3豪60警,5x=窃a*样co帖sh院(u以)*刻co匠s(旺fa撤i)y=外b*牌co乖sh辫(u取)*彻si做n(劈燕fa瓣i)z=待c*触si脑nh续(u容)wr弃it鸭e(天10蹈,1驼1)爆x,稀y,互zen挂d峡doen奸d款do11潜f楚or山ma喉t(副1x联,3颤(f福9.爆5,狠5x洽))En柱d20红23乱/6抹/2瓣739§曲面筹举例6)双叶疑双曲址面§1.渡2三维屡空间掌中的早曲面这里赢取pr勤og滚ra衔m歉sh债ua掏ng凑_y饲e_互sh吓ua犯ng矩_q圣u_墨mi条anus看e销ms站im户slin尸te虽ge颤r耕i,章jre艺al桶x叫,y些,z纲,t群he取ta档,f限ai锻,a担,b饼,uop神en窃(1注0,貌fi过le培="涨6双叶蛾双曲停面.t煎xt俭")wr奇it坛e(餐10替,*洗)"嫁x链",刺"群y狗"风,"杨z雁"!w须ri题te戴(*币,*层)"请输桌入二魔个参香量：(a趣,b恼,c症)"!r亲ea源d(男*,乐*)战a,艳b,肌ca=榆2.攻d0b=古2.烦d0c=习2.贯0do晋u惜=1浸,3迈,0鄙.1do宣j或=1身,3缸60进,5x=替a*违si哪nh云(u拼)*窜co命s(凳fa没i)y=弄b*别si躬nh绒(u旬)*灾si颗n(毯fa遍i)z=糕c*找co殿sh底(u咽)wr称it徒e(兼10闻,1羡1)您x,桂y,伸zen城d隐doen旧d娘doc=女-2do塔u肿=1摩,3核,0期.1do和j歼=1灵,3归60亚,5x=款a*混si将nh智(u核)*藏co伏s(未fa径i)y=多b*删si碌nh承(u菌)*钩si沫n(予fa挑i)z=简c*马co饮sh爆(u出)wr折it鉴e(赏10犯,1衔1)闯x,且y,收zen筹d夕doen孩d筑do11逗f错or裤ma惑t(庸1x简,3志(f影9.滋5,杂5x国))En订d20梨23部/6桑/2冶740二、艇旋转含曲面将xo村z平面抹上的际曲线§曲面愉举例绕z轴旋谦转一标周，贸该曲亿线扫它过的窑轨迹粗为旋烦转曲闪面其参邮数方粪程为因为§1.拘2三维竿空间牌中的难曲面20妨23徒/6刊/2奴741一、孕曲面勾第一临基本授形式设C：§1.蛇3曲面叉的第滋一二拆基本浩形式为曲际面上蛋一条垃曲线卖，桥即若用s表示C的弧付长，宿则则曲面倍第一正基本宣形式它们够是曲熔面上帐点的总函数昨对给壶定点旗为常洁数。殃但与耐曲面姿参数鸭选取尖有关脂。第一洗基本庆量§1.克3曲面劲的基剃本形主式20饶23踢/6体/2杏7421)计算脆弧长§1.投3曲面培的第兵一二某基本叫形式P为曲候面上命任一歇点，2)确定吼曲面地上两会曲线破的夹冒角PC2C1二、曲面第一基本形式的应用曲面舅上相孔交于P的两灶条曲什线切筒向量闷分别达为则C1,C2在P点处辣的夹惧角为§1.狼3曲面贱的基号本形艇式20亡23雾/6窝/2纵743§1.仆3曲面融的第扯一二禽基本阔形式二、撒曲面强第一洁基本热形式吸的应堂用曲线C1,C2在P点处地正交教的充拖要条绢件为如果丸曲线C1,C2分别缓为曲斩面上盏的u曲线拔和v曲线起，则为两克参数叠曲线排夹角谎的公悉式。3)确定厘曲面略块的牧面积设给净定曲职面曲面杀块的烤面积证为§1.痕3曲面固的基拔本形猎式20慎23限/6劈燕/2筛744§1.酸3曲面翼的第宿一二倘基本渔形式例7写出爸平面腰、旋怀转曲耻面的握第一咏基本浆形式揪。解：估对平稼面第一笨基本念形式怎为对旋窑转面第一完基本铜形式侄为§1.尽3曲面尊的基窜本形摸式20尤23成/6爆/2组745§1.积3曲面擦的第争一二饰基本殃形式曲面棍的第锣二基刮本形君式L,衰M,未N是曲触面上境点的台函数蹄。在班给定银点是蔑常数阻。但咳与参数京的选击取有方关。三、论曲面陵第二叉基本基形式§1.虎3曲面河的基算本形权式20朱23避/6济/2瓦746§1.仔3曲面和的第套一二崇基本去形式例8求旋美转曲乒面的棉第二喉基本秀量。解：故第事二基遇本量气为对旋和转面因为§1.苦3曲面扔的基鹅本形纽奉式20椅23坏/6漆/2叫747§1.鹊4曲面车的曲弦率§1.毯4曲面赢的曲助率对给瞒定点联，Ⅰ、Ⅱ为已增知。曲线日的曲购率k仅取赶决于潜它在P点的砌切线敏方向满（du：dv）及曲线弹的主凭法线臣与曲挥面法昼线的作夹角贝。设P(u,约v)是曲坦面上滋一给滔定点以。C是该熄曲面甩上过P点的概任一宾曲线宏。C在P点的史切矢倘量和自曲率跟矢量爱为一、恋曲面距上曲隙线的午曲率设是曲面在P点的法向量，则在方向上的投影为20那23摊/6销/2岁748§1.冒4曲面繁的曲碗率考虑裹曲面嚼经过P点沿肃某固孙定切梦线方枝向的股曲线削的曲膏率。把曲唯面上谦曲线攻在某史点的疏曲率敞矢在旷曲面卸法向客量上拾的投乱影称惠为曲线暂在该缴点的法曲曲率若用削曲线C的密否切面窝去截让曲面帮，则厉截线聋是一披平面灾曲线闭，由于殖曲面祖上过系给定俩点的剥任意榆两条肯曲线渴只要栽在该选点具惕有相同录的切荒线方撕向和浑主法淡线方福向，续则曲喜率相凑同，廉因此像该曲线脆与曲戏线C曲率刃相同租，即研龟究曲面低上的妨曲率可转稍化为子研究平面伞曲线例的曲虎率。二、仓曲面遇的法分曲率也称厅为曲蜜面沿秘方向du：dv的法曲会率§1.航4曲面苦的曲秋率20舒23守/6残/2限749§1.持4曲面重的曲减率曲面绿上给置定点禾处的耕法曲彻率一美般与du：dv有关芝。定义：如秧果曲掌面上音某点配沿各辣个方叶向的界法曲好率均妨相等剩，则称按此点锄为脐点。三、杯主曲邪率和王主方妖向曲面阴上某戏点为袍脐点伞的充要则条件是曲旋面在技该点链处的炊第一刑、二婚基本耕量成疾比例京。定义：对葱于曲浴面上静的非螺脐点夜，称彻法曲勾率的怠极值揭为曲考面在窄该点的主曲帆率。是尘法曲索率取允极值爪的方融向称侄为主方才向。对于头脐点尿，一溪切方躲向共币同的快法曲合率可所以称浓为主纤曲率剃，任看一方向贱可视举为主聚方向疫。§1.畏4曲面电的曲沉率20慌23隐/6盛/2次750§1.笼4曲面裹的曲赖率定理2：曲脆面上默两个半非脐暮点的非主方流向是西正交哪的。定理1：对于遍曲面萌上的灶非脐捕点，绿有两萌个主厚曲率佣，两敬个主顶方向群。如果具曲面房诚上某灶条曲芝线，易它的冷每一稠点的扇切线照方向北都是摧曲面化在该点的馅一个院主方汤向，漠则称出这条喇曲线惠为曲率庆线。证明：F=熄M=近0是参哈数曲寻线为配曲率公线的场充分迹必要稿条件转。若参溉数曲苦线是种曲率原线，男则四、狮曲率竖线应满穿足曲甚率线泛方程由于逼曲率回线正且交，镰而参律数曲侧线又浓是曲再率线配，故F=闷0,从而M=何0反之灿亦可脚得证亮。§1.塘4曲面分的曲绵率20汉23膛/6领/2闻751§1.腥4曲面糕的曲窃率解：例9求曲项面贴上的带曲率眯线。所以§1.犁4曲面烈的曲胃率20粒23组/6溪/2船752§1.弟4曲面府的曲购率将EF弟GL没MN代入董曲率夕线方卧程再用去除陡等式省两边饮，得由此刷得或其解鼠代表烘一族恶同心夸圆。代表骂过原愧点的优直线耻族。uv平面内上的禽这两袍族曲法线在筐所讨聋论曲菜面上斩的像林就是督曲面摧上的孔曲率薯线原点枝处为撇脐点倘。§1.岭4曲面币的曲拼率20滩23里/6耳/2丸753§1.考4曲面尊的曲稼率如果眼选择伸曲面营上的副曲率碍线网症作为佛新参笼数的围参数幸曲线坟网。航则F=近M=帖0,u曲线筹和v曲线捏均为驱曲率众线。母曲面稻上任律一点别的法羽曲率设k1，k2分别萄对应献于主秆方向dv＝0和du＝0的主枕曲率炉，则k1＝L/驻Ek2=N草/Gdu:dv方向仅上的区法曲扑率写澡为矢犯量形脆式即五、代法曲文率随器方向确的变洽换规宪律设此榆方向援与u曲线默切线仔方向访的夹绞角为§1.笑4曲面棉的曲凉率20士23梳/6史/2该754§1.酷4曲面渴的曲签率于是己由法娘曲率隙的表坑达式谱可得上式弯为法跟曲率网随方达向变不化的浪公式惜，如寄果k1<k2，则这表头明主丽曲率涂是法贞曲率扫的最湾大值自和最贯小值灰。§1.卷4曲面脸的曲比率20终23辜/6攀/2邮755§1.候4曲面德的曲心率主曲琴率与穿高斯肯曲率锈与平浸均曲殊率之接间的闸关系扎为六、撑高斯桃曲率购与平望均曲溉率定义：曲高面上陪任一住点的工两个刊主曲咏率之踪蝶积定谊义为该点绪的高斯稿曲率痒。定义：两痰个主献曲率廊的代策数平忧均值即称为平均赚曲率。分别都用kG和kM表示§1.升4曲面下的曲吸率20盆23桌/6甘/2挤756§1.挡4曲面体的曲湿率根据吸高斯绍曲率鼠对曲巷面上闯的点盆进行伶分类华：1)kG>0花,椭圆岸点两个填主曲贺率同是号。这法截养线朝璃同向颠弯曲志，即乘曲面烫在该霞点邻金近的悠点位毁于切拔平面冬同侧带。2)kG<0岂,双曲挣点两个谁主曲茎率异强号。助两条移法截礼线中批一条鹅朝法慰向量慕方向菊弯曲筹，另精一条和朝法鸦向量甚反方裕向弯果曲。即曲翅面在苗该点巩附近膨曲面次处于浅切平标面的香两侧兵。3)kG=0抛物自点两主险曲率巡寿中至虚少有炉一个厘为零猜。如果愉另一伤主曲肾率也颤为零刘，这袭样的匙点为全平点坚。如果羊另一赶主曲造率大阁于零离，则友除一割个方铜向外凶，一些切法泻截线弟都朝车切平偷面同找侧弯仍曲。§1.述4曲面循的曲萄率20哗23衣/6判/2载757§1.伐4曲面垃的曲荐率§1.迎4曲面泊的曲然率例求旋蛾转曲猛面的高斯晶曲率和平均弯曲率。解：20世23铁/6倍/2侵758§1.誉4曲面淋的曲球率§1.钥4曲面岁的曲油率若取xo叨z平面况上最秒初的帅曲线谜为,即取东坐标z作为盛最初领的曲线浆的参献数，槽则有于是20喝23