椭圆及其标准方程

关于椭圆及其标准方程第1页，讲稿共24页，2023年5月2日，星期三第2页，讲稿共24页，2023年5月2日，星期三生活中的椭圆（一）认识椭圆第3页，讲稿共24页，2023年5月2日，星期三课题：椭圆及其标准方程（一）

张渚高级中学：夏良中第4页，讲稿共24页，2023年5月2日，星期三（二）动手试验

(1)取一条一定长的细绳

(2)把它的两端用图钉固定在纸板上

(3)当绳长大于两图钉之间的距离时，用铅笔尖把绳子拉直，使笔尖在纸板上慢慢移动，画出一个图形第5页，讲稿共24页，2023年5月2日，星期三结合实验以及“圆的定义”,思考讨论一下应该如何定义椭圆？反思：F1F2M第6页，讲稿共24页，2023年5月2日，星期三（三）概念透析F1F2M平面内到两个定点F1、F2的距离的和等于常数（大于|F1F2|）的点的轨迹叫椭圆。这两个定点F1、F2叫做椭圆的焦点两焦点之间的距离叫做焦距。1、椭圆的定义如果设轨迹上任一点M到两定点F1、F2的距离和为常数2a，两定点之间的距离为2c，则椭圆定义还可以用集合语言表示为：P={M||MF1|+|MF2|=2a（2a>2c）}．第7页，讲稿共24页，2023年5月2日，星期三（1）平面曲线（2）到两定点F1，F2的距离等于定长（3）定长﹥|F1F2|反思：椭圆上的点要满足怎样的几何条件？平面内到两个定点F1、F2的距离的和等于常数（大于|F1F2|）的点的轨迹叫椭圆。这两个定点F1、F2叫做椭圆的焦点两焦点之间的距离叫做焦距。第8页，讲稿共24页，2023年5月2日，星期三绳长＝第9页，讲稿共24页，2023年5月2日，星期三绳长＜第10页，讲稿共24页，2023年5月2日，星期三

注：定长所成曲线是椭圆定长所成曲线是线段定长无法构成图形第11页，讲稿共24页，2023年5月2日，星期三OXYF1F2M2.椭圆方程的建立步骤一：建立直角坐标系,步骤二：设动点坐标步骤三：列方程步骤四：化简方程求曲线方程的步骤:第12页，讲稿共24页，2023年5月2日，星期三解：取过焦点F1、F2的直线为x轴，线段F1F2的垂直平分线为y轴，建立平面直角坐标系(如图).

设M(x,y)是椭圆上任意一点，椭圆的焦距2c(c>0)，M与F1和F2的距离的和等于正常数2a(2a>2c)

，则F1、F2的坐标分别是(c,0)、(c,0).（想一想：下面怎样化简？）由椭圆的定义，代入坐标OxyMF1F2(四)方程推导第13页，讲稿共24页，2023年5月2日，星期三则方程可化为观察左图，你能从中找出表示

c、a的线段吗？即a2-c2有什么几何意义？（）第14页，讲稿共24页，2023年5月2日，星期三焦点在y轴：焦点在x轴：2、椭圆的标准方程:1oFyx2FM12yoFFMx

F1（-c，0）、F2（c，0）

F1（0，-c）、F2（0，c）

第15页，讲稿共24页，2023年5月2日，星期三注意理解以下几点：①在椭圆的两种标准方程中，都有的要求；

②在椭圆的两种标准方程中，由于，所以可以根据分母的大小来判定焦点在哪一个坐标轴上；③椭圆的三个参数之间的关系是，其中大小不确定．第16页，讲稿共24页，2023年5月2日，星期三分母哪个大，焦点就在哪个坐标轴上，反之亦然。注意：（五）尝试应用1、下列方程哪些表示的是椭圆，如果是，判断它的焦点在哪个坐标轴上？第17页，讲稿共24页，2023年5月2日，星期三变式一:将上题焦点改为(0，-4)、(0，4)，结果如何？变式二:将上题改为两个焦点的距离为8，椭圆上一点P到两焦点的距离和等于10，结果如何？ 已知两个焦点的坐标分别是(-4,0)、(4,0)，椭圆上一点P到两焦点距离的和等于10；（五）尝试应用2、写出适合下列条件的椭圆的标准方程当焦点在X轴时，方程为：当焦点在Y轴时，方程为：第18页，讲稿共24页，2023年5月2日，星期三例1、写出适合下列条件的椭圆的标准方程两个焦点的坐标是（0，-2）和（0，2），并且经过点P解：因为椭圆的焦点在y轴上，设它的标准方程为∵

c=2，且c2=a2

-b2

∴4=a2-

b2……①又∵椭圆经过点P∴……②联立①②可求得：∴椭圆的标准方程为

(法一)xyF1F2P（六）典例分析第19页，讲稿共24页，2023年5月2日，星期三(法二)

因为椭圆的焦点在y轴上，所以设它的标准方程为由椭圆的定义知，所以所求椭圆的标准方程为求椭圆的标准方程的步骤：（1）首先要判断焦点位置，设出标准方程（先定位）（2）根据椭圆定义或待定系数法求a,b

（后定量）第20页，讲稿共24页，2023年5月2日，星期三课堂练习1．写出适合下列条件的椭圆的标准方程：（1）a=4,b=3,焦点在x轴；（2）a=5,c=2,焦点在y轴上．2．椭圆的焦距是

，焦点坐标为

；的弦，则的周长为

．若CD为过左焦点第21页，讲稿共24页，2023年5月2日，星期三分母哪个大，焦点就在哪个轴上标准方程相同点焦点位置的判断不同点图形焦点坐标探究定义a、b、c的关系xyF1F2MOxyF1F2MO