湖南省株洲市城关中学高三数学文下学期期末试题含解析

湖南省株洲市城关中学高三数学文下学期期末试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.若复数，为z的共轭复数，则=（）A．i B．﹣i C．﹣22017i D．22017i参考答案：B【考点】复数代数形式的乘除运算；虚数单位i及其性质．【分析】利用复数的运算法则、周期性即可得出．【解答】解：==i，=﹣i，则=[（﹣i）4]504?（﹣i）=﹣i．故选：B．2.在实验室进行的一项物理实验中，要先后实施个程序，其中程序只能出现在第一或最后一步，程序和在实施时必须相邻，则实验顺序的编排方法共有(

)A．种

B．种

C．种

D．种参考答案：C3.直线与函数的图象恰有三个公共点，则实数的取值范围是

A．

B.

C.

D.参考答案：C4.已知的面积为2，在所在的平面内有两点、，满足,,则的面积为（

）A

B

C

D参考答案：B略5.

下列各组函数中，表示同一函数的是

（）A.

B．

C.

D.

参考答案：B6.（5分）已知函数f（x）=Asin（ωx+4φ）（A＞0，ω＞0，0＜φ＜）的部分图象如图所示，若将函数f（x）的图象纵坐标不变，横坐标缩短到原来的，再向右平移个单位，所得到的函数g（x）的解析式为（）A．g（x）=2sinxB．g（x）=2sin2xC．g（x）=2sinxD．g（x）=2sin（2x﹣）参考答案：D【考点】：函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．【专题】：三角函数的图像与性质．【分析】：由图象可得A，T，可解得ω，由图象过点C（0，1），可得sin4φ=，结合范围0＜φ＜，解得4φ=，可得解析式f（x）=2sin（x+），根据函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换即可得解．解：∵由图象可知，A=2，，∴T=4，解得，故f（x）=2sin（x+4φ），∵图象过点C（0，1），∴1=2sin4φ，即sin4φ=，∵0＜φ＜，∴0＜4φ，∴4φ=，故f（x）=2sin（x+），若将函数f（x）的图象纵坐标不变，横坐标缩短到原来的，所得到的函数g（x）的解析式为y=2sin（2x+），再向右平移个单位，所得到的函数g（x）的解析式为g（x）=2sin[2（x﹣）+]=2sin（2x﹣）．故选：D．【点评】：本题主要考查了三角函数解析式的求法，函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，属于基本知识的考查．7.设抛物线x2=4y的焦点为F，过点F作斜率为k（k＞0）的直线l与抛物线相交于A、B两点，且点P恰为AB的中点，过点P作x轴的垂线与抛物线交于点M，若|MF|=4，则直线l的方程为（）A． B． C． D．参考答案：B【考点】抛物线的简单性质．【分析】由题意，抛物线的准线方程为y=﹣1，M（2，3），P的横坐标为2，设直线方程为y=kx+1，与抛物线x2=4y联立，可得x2﹣4kx﹣4=0，利用韦达定理，求出k，即可得出结论、【解答】解：由题意，抛物线的准线方程为y=﹣1，M（2，3），P的横坐标为2，设直线方程为y=kx+1，与抛物线x2=4y联立，可得x2﹣4kx﹣4=0，∴4=4k，∴k=，∴直线l的方程为y=x+1．故选B．8.已知函数，动直线与、的图象分别交于点、，的取值范围是(

)

A．[0，1]

B．[0，2]

C．[0，]D．[1，]参考答案：C,所以，选C.9.设集合A＝{x|x>－1}，B＝{x|x≥1}，则“x∈A且x?B”成立的充要条件是(

)A．－1<x≤1

B．x≤1

C．x>－1

D．－1<x<1参考答案：D略10.函数的定义域是A. B. C. D.参考答案：B略二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.在等比数列中，a1=4，公比为q，前n项和为Sn，若数列{Sn+2）也是等比数列，则q等于

．参考答案：312.如果是实数，那么实数m=

.参考答案：略13.已知数列{an}满足a1=，an+1=（n∈N*），若不等式++t?an≥0恒成立，则实数t的取值范围是

．参考答案：[﹣9，+∞）．【分析】由数列{an}满足a1=，an+1=（n∈N*），两边取倒数可得：﹣=1．利用等差数列的通项公式即可得出an．不等式++t?an≥0化为：t≥﹣．再利用基本不等式的性质即可得出．【解答】解：由数列{an}满足a1=，an+1=（n∈N*），两边取倒数可得：﹣=1．∴数列是等差数列，公差为1，首项为2．∴=2+（n﹣1）=n+1，∴an=．不等式++t?an≥0化为：t≥﹣．∵+5≥2=4，当且仅当n=2时取等号．∵﹣≤﹣9．∵实数t的取值范围若不等式++t?an≥0恒成立，∴t≥﹣9．则实数t的取值范围[﹣9，+∞）．故答案为：[﹣9，+∞）．【点评】本题考查了等差数列的通项公式、基本不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．14.函数的零点个数为_____________.参考答案：【知识点】函数与方程B9【答案解析】2

令f（x）=0，得到解得x=-1；和，

令y=2-x和y=lnx，在同一个坐标系中画出它们的图象，观察交点个数，如图

函数y=2-x和y=lnx，x＞0时，在同一个坐标系中交点个数是1个，所以函数f（x）的零点在x＜0时的零点有一个，在x＞0时零点有一个，所以f（x）的零点个数为2；故答案为：2．【思路点拨】令f（x）=0，得到方程根的个数，就是函数的零点的个数；在x-2+lnx=0时，转化为y=2-x与y=lnx的图象的交点个数判断．15.若函数有三个不同的零点，则实数a的取值范围是________.参考答案：(3,+∞)16.抛物线y2=4x上一点A到它焦点F的距离为4，则直线AF的斜率为

．参考答案：

【考点】抛物线的简单性质．【分析】求出抛物线的焦点坐标，设出A，利用抛物线y2=4x上一点A到它焦点F的距离为4，求出A的横坐标，然后求解斜率．【解答】解：由题可知焦点F（1，0），准线为x=﹣1设点A（xA，yA），∵抛物线y2=4x上一点A到它焦点F的距离为4，∴点A到其准线的距离为4，∴xA+1=4，∴xA=3，∴yA=±2∴点A（3，），∴直线AF的斜率为，故答案为：．【点评】本题考查抛物线的简单性质的应用，直线与抛物线的位置关系，考查计算能力．17.（文）若平面向量满足且,则的最大值为

.参考答案：因为，所以，所以，设，因为，，所以，因为，所以当时，有最大值，所以的最大值为。三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.已知函数满足.（1）设，证明：是等比数列；（2）设是数列的前项和，求.参考答案：略19.（本小题满分12分）已知椭圆：的离心率为，焦距为，抛物线：的焦点是椭圆的顶点．（Ⅰ）求与的标准方程；（Ⅱ）若的切线交于，两点，且满足，求直线的方程．参考答案：见解析考点：圆锥曲线综合，抛物线，椭圆（Ⅰ）设椭圆的焦距为，依题意有，，

解得，，故椭圆的标准方程为；

又抛物线：开口向上，故是椭圆的上顶点，，

，故物线的标准方程为．

（II）显然直线的斜率存在．设直线的方程为，

设，，则，，

，

即

（）

联立，消去整理得，（）．

依题意，，是方程（）的两根，，

，，

将和代入（）得，解得，（不合题意，应舍去），

联立，消去整理得，，令，解得，经检验,符合要求．

故直线的方程为．20.如图，已知抛物线C：y2=4x，过焦点F斜率大于零的直线l交抛物线于A、B两点，且与其准线交于点D．（Ⅰ）若线段AB的长为5，求直线l的方程；（Ⅱ）在C上是否存在点M，使得对任意直线l，直线MA，MD，MB的斜率始终成等差数列，若存在求点M的坐标；若不存在，请说明理由．参考答案：【考点】直线与圆锥曲线的关系；直线的一般式方程．【分析】（Ⅰ）设l：x=my+1，A（x1，y1），B（x2，y2），则联立方程化简可得y2﹣4my﹣4=0，从而可得，从而求直线l的方程；（Ⅱ）设M（a2，2a），则kMA==，kMB=，kMD=，则=，从而可得（a2﹣1）（m+）=0，从而求出点M的坐标．【解答】解：（Ⅰ）焦点F（1，0）∵直线l的斜率不为0，所以设l：x=my+1，A（x1，y1），B（x2，y2）由得y2﹣4my﹣4=0，y1+y2=4m，y1y2=﹣4，，，∴，∴．∴直线l的斜率k2=4，∵k＞0，∴k=2，∴直线l的方程为2x﹣y﹣2=0．（Ⅱ）设M（a2，2a），kMA==，同理，kMB=，kMD=，∵直线MA，MD，MB的斜率始终成等差数列，∴2=+恒成立；∴=，又∵y1+y2=4m，y1y2=﹣4，∴（a2﹣1）（m+）=0，∴a=±1，∴存在点M（1，2）或M（1，﹣2），使得对任意直线l，直线MA，MD，MB的斜率始终成等差数列．21.（本小题共13分）某中学号召学生在今年春节期间至少参加一次社会公益活动（以下简称活动）．该校合唱团共有100名学生，他们参加活动的次数统计如图所示．（I）求合唱团学生参加活动的人均次数；（II）从合唱团中任意选两名学生，求他们参加活动次数恰好相等的概率．（III）从合唱团中任选两名学生，用表示这两人参加活动次数之差的绝对值，求随机变量的分布列及数学期望．参考答案：解析：由图可知，参加活动1次、2次和3次的学生人数分别为10、50和40．（I）该合唱团学生参加活动的人均次数为．（II）从合唱团中任选两名学生，他们参加活动次数恰好相等的概率为．（III）从合唱团中任选两名学生，记“这两人中一人参加1次活动，另一人参加2次活动”为事件，“这两人中一人参加2次活动，另一人参加3次活动”为事件，“这两人中一人参加1次活动，另一人参加3次活动”为事件．易知

；

；的分布列：012的数学期望：．