离散数学第四章 二元关系

第四章二元关系离散数学陈志奎主编人民邮电出版社前言在日常生活中，我们都十分熟悉关系这个词的含义，例如夫妻关系，同事关系，上下级关系，位置关系等。在数学中，关系可表达集合中元素间的联系。在计算机科学中，关系的概念也具有重要意义。例如，数字计算机的逻辑设计和时序设计中，都应用了等价关系和相容关系的概念。在编译程序设计、讯息检索、数据结构等领域中，关系的概念都是不可缺少的，常常使用复合数据结构，诸如阵列、表格或者树去表达数据集合。而这些数据集合的元素间往往存在着某种关系。在算法分析和程序结构中，关系的概念起着重要作用。与关系相联系着的，是对客体进行比较，这些被比较的客体当然是有关系的。根据比较结果的不同，计算机将去执行不同的任务。2023/7/12PART01多重序元与笛卡尔乘积主要内容PART01PART01关系的基本概念PART02PART01关系的运算PART03PART01关系的性质PART04PART01关系的表示PART05PART01关系的闭包运算PART06PART01特殊关系PART07PART01关系型数据库PART082023/7/134.1多重序元与笛卡尔乘积定义4.1由两个元素x和y按一定顺序排列成的二元组叫作序偶或有序对，记作<x,y>，其中x是序偶的第一元素，y是序偶的第二元素。与集合不同，序偶是元素顺序相关的概念，即，而两个序偶相等的充要条件是两个序偶的第一元素相等且第二元素相等，即例如集合{1,2}和{2,1}表示同一个集合，而<1,2>和<2,1>则表示平面上不同的点，即不同的序偶。4序偶2023/7/14.1多重序元与笛卡尔乘积例4.1已知，求x和y。解：由序偶相等的充要条件可得解得x=3

,y=-2。应该指出的是，序偶<a,b>两个元素不一定来自同一个集合，他们可以代表不同类型的事务。例如，a代表操作码，b代表地址码，则序偶<a,b>就代表一条单址指令。5序偶2023/7/14.1多重序元与笛卡尔乘积把序偶的概念加以推广，可以定义n重序元。例如，三重序元是一个序偶，它的第一元素是一个序偶，一般记作<<x,y>,z>，为方便起见把它简记为<x,y,z>。依此类推，重序元是一个序偶，它的第一元素是(n-1)重序元，并可记作

。给定两个n重序元和，于是可有因此可把n重序元改写成，其中第i个元素通常称作n重序元的第i个坐标。6序偶2023/7/14.1多重序元与笛卡尔乘积定义4.2设A和B是任意两个集合。若序偶的第一元素是A的一个元素，第二元素是B的一个元素，则所有这样的序偶集合，称为A和B的笛卡儿乘积，记作AxB，即

7笛卡尔乘积2023/7/14.1多重序元与笛卡尔乘积由排列组合的知识不难证明，如果，，则。笛卡儿乘积运算具有以下性质。1．对任意集合A，根据定义有

２．一般来说，笛卡儿乘积运算不满足交换律，即

（当时）

8笛卡尔乘积2023/7/14.1多重序元与笛卡尔乘积笛卡儿乘积运算具有以下性质。3．笛卡儿乘积运算不满足结合律，即

9笛卡尔乘积2023/7/14.馆1多重动序元污与笛系卡尔猛乘积笛卡川儿乘引积运糠算具推有以组下性障质。4．笛队卡儿虑乘积美运算池对并途和交计运算拣满足疼分配辅率，悲即（1）（2）（3）（4）5撤.10笛卡蝇尔乘健积20妻23追/6棚/2鬼74.咽1多重踪蝶序元籍与笛决卡尔高乘积设概是搅加标亿集合惜，与A对应帐的指忧标集顿合是扰集合喊的干笛卡季儿乘体积可次以表亮示成例如写：对于n个集桐合的愉笛卡席尔乘外积来睬说，掠同理丸可有11笛卡祖尔乘奏积20脾23辰/6便/2鞋7PART01多重病序元是与笛凯卡尔礼乘积主要涉内容PA赏RT01PART01关系姜的基谎本概墙念PA挡RT02PART01关系宁的运镰算PA视RT03PART01关系扇的性爷质PA育RT04PART01关系畏的表饭示PA邪RT05PART01关系廉的闭揭包运融算PA京RT06PART01特殊串关系PA完RT07PART01关系植型数恩据库PA条RT0820甚23忍/6班/2挪7124.抚2关系笑的基漆本概毛念定义4.边3设浸且姓为n个任馋意集粗合，地若集晚合茶，则紧称R为反间的n元关沃系；当n蠢=坑2，则努称R为花到戚的厉二元哪关系帮，简雀称关系；若辩，则级称R为空关纹系；若哪，蛛则称R为全培关系跨；若毒，则变称R为A上的n元关凯系。例4.症4设集惜合安，全试给留出集杰合A上的逐小于蛛或等占于关我系，上大于斤或等状于关悉系。解：槐令集狭合A上的初小于元或等总于关耍系为想，大星于或齿等于轿关系延为伏，挨根据娘定义4.娇1应有良：1320恩23蹈/6灰/2顽74.焦2关系访的基愁本概稳念例4.脚5令根据驱上面休的定蚕义可给知，论是啄上相的一纹元关非系，基是银上呈的二不元关类系，晚是掌上的盾三元茂关系灯。若序笨偶忘属妄于约，则粮记作劲或狸，否酬则记后作圾或。1420火23烛/6额/2断74.戏2关系伤的基爹本概贱念定义4.踏4设痕为筋间的n元关汉系，迟为街间汇的n元关惊系，糟如果（1）n喜=概m；（2）若慌，则萝；（3）把极和罚作为饼集合纸看，药则称n元关碍系矩和m元关壳系垦相等魄，记金作奖。1520愈23僻/6螺/2孙74.鸽2关系康的基剪本概删念定义4.欣5对任望意集藏合A，定劫义A上的零全域林关系话和A上的姻等价垃关系苗为榴：1620友23贱/6广/2堂74.缝2关系键的基抢本概鲁念例4.袜7设据，求怀以下尤关系（1）（2）（3）（4）解：（1）（2）（3）（4）1720泻23化/6充/2终7PART01多重渗序元抱与笛载卡尔君乘积主要辩内容PA架RT01PART01关系系的基杆本概签念PA汗RT02PART01关系并的运哈算PA妙RT03PART01关系光的性据质PA钉RT04PART01关系艇的表族示PA脸RT05PART01关系艘的闭兼包运悠算PA晃RT06PART01特殊散关系PA碧RT07PART01关系温型数呼据库PA阵RT0820重23紫/6脊/2绿7184.辛3关系垮的运甜算关系银作为哭序偶若的集疫合，校集合伤的运狂算并伪、交涛、相创对补章、绝档对补祸和对睬称差校都可巧以作才为关万系的堪运算双。除膜此之雨外，湾关系止特有免的基鞭本运豪算还只有以南下七峰种。1920培23绸/6河/2类74.笨3关系沈的运圈算定义4.伸6设R是二悼元关肢系（1）R中所砍有序赠偶的颗第一户元素砖构成膛的集筑合称瓶为R的定聋义域待，记压作姥，翼其形容式化坏表示鼻为（2）R中所扑有序倡偶的损第二赶元素朵构成拖的集蛾合称丢为沉的值圾域，仅记作秒，遣其形瞎式化此表示失为（3）R的定究义域乔和值崭域的价并集凤称为R的域且，记件作给，粪其形昌式化循表示找为2020贱23房诚/6俩/2百74.炉3关系疾的运远算例4.孙8，则2120蓄23宽/6庭/2葬74.惨3关系假的运团算定义4.侄7设R是二柿元关冬系，干将R中每新个序纳偶的哭第一薄元素助同第与二元爪素交剪换后辅所得钻到的但关系廊称为R的逆关南系，简蛋称R的逆，记酒作肯，其怖形式饮化表繁示为定义4.富8设F，G为二剧元关任系，G对F的右合午成记作六，其好形式竿化定脾义为2220俊23昏/6悉/2岸74.槽3关系未的运抵算例4.护9设肃，城，则类似漫的也池可以岭定义捉关系污的左武合成溉，即2320州23度/6丧/2内74.纺3关系科的运雨算定义4.兽9设R是二脂元关方系，A是集渣合（1）R在A上的限制记作步，其伶形式坝化定夹义为（2）R在A下的像记作跪，其扒形式慢化定捏义为不难惩看出殊是R的子熔关系重，而仍是奖的子絮集。2420顷23棋/6看/2己74.狐3关系渴的运喊算例4.怎10设舞，时则为了探使关墓系运嚷算表牧达式扯更为签简洁告，我巧们对车关系挽运算什的优劝先级盛作了撞进一诱步规蜻定：虚首先俭，关惕系运权算中某的逆竿运算棋优先澡于其招他运良算，从而所忌有关漠系特倾有的天运算餐都优啦先于蚁其从摸集合脏继承鼠而得愿的运扬算，份最后统，对拒于没煎有规扇定优洞先权洒的运烘算以爆括号骑决定乌运算喇顺序堵。2520铸23帮/6败/2血74.赔3关系忍的运恋算定理4.桨1设F是任妥意关助系，渠则（1）（2）,定理4.舌2设F，G，H是任山意关狠系，针则（1）（2）2620若23耀/6絮/2服74.誓3关系公的运酷算定理4.婆3设F，G为任奏意关董系，妄则（1）（2）定理4.住4设R为A上的阵关系泡，则2720惊23冰/6夜/2担74.遣3关系惊的运哀算定理4.竖5设F，G，H为任棋意关散系，既则（1）（2）（3）（4）2820校23柔/6锡/2弊74.不3关系案的运杜算定理4.迫6设F为关劝系，A，B为集款合，滑则2920徐23迹/6厨/2疏74.进3关系朵的运誓算上述臣的对绣关系馋的合尸成运毒算可雕以推述广到容一般批情况漂。如楚果芹是康从会到乡丰的关百系，裹是镜从妇到谈的奖关系预，…，霸是从茫到衔的赶关系素，则痰无括戒号表介达式厕表状达了亦从安到岭的关获系。秩特别牲，当和鸦时，谷也就捷是说遇当集普合A上的西所有巷都是掘同样伐的关略系时总，A上的肿合成竟关系姥可表甘达成单，挂并称幻玉作关系R的幂。3020酸23畏/6始/2蒸74.翁3关系溪的运派算3120痰23爽/6轮/2始74.杨3关系肝的运惧算3220县23磨/6惹/2亭7PART01多重声序元啊与笛派卡尔以乘积主要脉内容PA吵RT01PART01关系咳的基锐本概掩念PA兆RT02PART01关系础的运尿算PA井RT03PART01关系浆的性议质PA目RT04PART01关系殖的表漆示PA粮RT05PART01关系悬的闭罗包运竹算PA苗RT06PART01特殊天关系PA险RT07PART01关系袍型数刮据库PA沈RT0820号23搂/6意/2恢7334.博4关系即的性氧质定义4.驻11设R为集裤合A上的珠二元筒关系（1）若爷对每园个浇，葵皆有阶，曾则称R为自反分的。其攀形式述化表换示为R是自颤反的（2）若槐对每拉个站，蕉皆有寇，干则称R为反自枕反的。其在形式裕化表萌示为R是反万自反转的（3）对燥任意形的惰，拨若膏，同则内，就誉称R为对称眉的。其超形式棒化表佛示为R是对茂称的（4）对识任意搁的淹，边若逆，没且怖，则x=藏y，就尝称R为反对特称的。其零形式原化表帝示为R是反奋对称伍的3420杏23童/6坑/2膝74.贷4关系烫的性保质定义4.隔11设R为集迅合A上的圾二元趴关系（5）对摄任意消的衰，刻若君且捏，互则葵就莲称R为可传烘递的。其暴形式抛化表市示为R是可施传递芝的（6）存怕在它，凝并且售而徒，已则称R为不可英传递味的。其镰形式封化表恩示为R是不利可传屈递的3520猪23宋/6江/2钳74.妥4关系巾的性旁质例4.员11考虑霞自然扶数集瓦合状上的裳普通回相等奔关系植“＝远”，晌大于嚼关系等“＞望”和私大于定等于至关系夜“≥呆”，拒则显跳然有（1）“半＝”智关系巡寿是自咽反的犁、对疼称的妄、反券对称下的、婆可传疏递的物。（2）“密≥”鞠关系桶是反鸟自反京的、皂反对膨称的睁、可闻传递园的。（3）“漆≥”魄关系鼓是自霜反的屑、反摊对称歼的、锋可传旧递的呀。例4.仆12空集R上的坐二元知空关刑系显风然是邀自反茅的、刻对称回的、招反对猾称的蜓、反刷自反汤的、扇可传闲递的是。3620室23戴/6锋/2廊74.概4关系视的性乒质定理4.面10设R为A的二粉元关服系，古则（1）R在A上自桥反当愧且仅罢当（2）R在A上反控自反磁当且直仅当（3）R在A上对夸称当抢且仅醋当（4）R在A上反临对称听当且虹仅当（5）R在A上可技传递曲当且桶仅当3720惨23炭/6瓜/2蔽7PART01多重为序元径与笛国卡尔陕乘积主要嗽内容PA霉RT01PART01关系统的基浅本概址念PA群RT02PART01关系愈的运巴算PA刊RT03PART01关系红的性蝇质PA伏RT04PART01关系校的表搏示PA首RT05PART01关系杀的闭静包运庸算PA烂RT06PART01特殊丽关系PA疲RT07PART01关系召型数牙据库PA汁RT0820雅23努/6驰/2弦7384.罪5关系如的表齿示定义4.尤12设A和B为任抽意的馅非空纳有限井集，R为任午意一纱个从A到B的二堪元关蓬系。肢以怕中陡的每堪个元危素为供结点萝。对桐每个皆画较一条样从x到y的有粒向边层，这阅样得艘到的许一个权图称哑为关计系保的关系尼图。例4.蔑14设借，延，从A到B的二迁元关厨系R为，于是蓄有39关系示图R的关忧系图20管23暑/6昂/2责74.葬5关系栽的表臭示可以颜看出碧关系市图明捏确地健反映惕了关耍系的惨某些跪性质菌。如串果关遇系柳是自发反的粗，则柿每个载结点永上都卫有一荷条从堆自身渔出发遥又指蹦向自塞身的爆环边拔；如巷果关嗓系是攀反自践反的饥，则亦任何准结点刊上部碰没有疼带环萍的边共；如份果一惕个关弊系萝既不膊是自无反的牙，也暂不是根反自吩反的妇，则糕在某业些结资点上裕有带牛环的壳边，王而在讯某些袖结点航上没春有带己环的睛边。如果两关系异是对脾称的改，则叠从一胶个结陵点到拖另一拌个结陪点间确必定享有往丽返两旦条弧天线。需如果摊关系歉是反碰对称米的，扩则在渗两个垃结点虏间只仔会存秃在单铁向弧浪线。40关系杀图20铅23由/6朴/2懒74.饼5关系宇的表饿示图4.被2给出浮了具歉有各控种性橡质的勉关系奥的关岛系图易。当金集合暑中元功素的娇数目件较大祥时，诊关系营的图浇解表磁示就甲不是桨很方义便了规，由联于计拘算机衔上表然达矩哭阵并课不困嘉难，荷所以蚊我们聚试图旦寻求猾关系呼的矩卡阵表灰示。41关系泛图20回23给/6倡/2锯74.跨5关系拉的表阔示定义4.刻13给定论两个掩有限处集合龙和韵，R是从X到Y的二努元关要系。帮如果种有则称雀是R的关系鼓矩阵，记帮作42关系地图20腔23辆/6榨/2按74.咳5关系熊的表饺示43关系匪图20盾23俊/6立/2岩74.专5关系帐的表嫌示44关系拾图20迁23司/6嚷/2春74.蒜5关系炊的表漫示45关系店图20洗23止/6茎/2肉74.扣5关系颗的表睬示46关系寺图20逼23劳/6裳/2晕7PART01多重诊序元弟与笛召卡尔华乘积主要阀内容PA惠RT01PART01关系吊的基派本概革念PA捕RT02PART01关系复的运忌算PA管RT03PART01关系认的性怀质PA宴RT04PART01关系课的表蚕示PA借RT05PART01关系鼓的闭伪包运套算PA励RT06PART01特殊唇关系PA械RT07PART01关系尤型数忘据库PA轰RT0820栗23痰/6迷/2嘴7474.傲6关系礼的闭小包运拐算前面肤我们授已经言介绍奶了如叠何使谊用关布系的物合成旺运算弊去构谅成新揉的关轰系，息下面烂我们错讨论堵如何姿由给仁定的坊关系R构成彼一个巷新的搁关系座并且乐和规应具陪有某犹些性阴质。把确构保这寄些性导质的绢那些或序偶稍补充舌到R中去黎就可挣构成针。给夜定一学个二输元关江系茧，世它规址定了述局部疮的性下质，阻希望兄求得厌的是颜具有趋全面闪性质要的另姑一个披二元倍关系床。厨例如挖，由R构成畅一个结可传驰递关肥系慌。在日稿常家秩族关匠系中蝴也有域类似诸的情功形。婆如果R是个俗父子控关系辫，则欢可能港是个岁祖先扰关系手；如穷果R是个宵子父腥关系摊，则渠可债能是贯个后舟代关所系。4820的23郑/6乒/2虾74.败6关系态的闭苗包运袄算定义4.宿14给定粘集合A，R是A上的壮二元碎关系水。如贩果有另另一役个关奥系诊满喘足（1）费是自肃反的亩（对祖称的沉、可栗传递恐的）疮。（2）愿。（3）对窄于任烤何自咏反的(对称服的、览可传弟递的)关系侦，如肯果有作，眼则凳，岔则称努关系胖为黄的自反坏的（菌对称攀的，厘可传敢递的腾）闭灶包。并造用铸表示师的自介反闭荒包，窗用壤表蓝示裙的对逮称闭腹包，悠用独表示的可菜传递术闭包兼。4920暗23加/6贴/2套74.毅6关系或的闭禁包运氏算定理4.赞11给定辰集合X，R是X上的沫关系穿。于娃是可罩有（1）R是自反软的当且旅仅当（2）R是对称胡的当且辱仅当（3）R是可传脏递的当且湿仅当定理4.棋12设R是琴Ａ环上的誓二元宵关系下，则梳有（1）（2）（3）5020肺23狱/6窑/2吐74.研6关系敌的闭摘包运描算不难揉看出标，整梁数集诸合Ｚ通中，连小于皱关系姐“哥＜”咸的自昆反闭悉包是兔“袄”，攀对称孝闭包朵是不阳等关肥系“浊”怠；恒睁等关贼系射的自膏反闭贺包是敌；对谨称闭皂包是滨；删不等乱关系助“耀”的蹈自反猜闭包厌是全屋域关疲系，权对称膨闭包钢是不令等关私系“岔”；当空关热系的岂自反资闭包处是恒千等关筑系拌，对柄称闭辟包是丙空关嫂系。5120闲23池/6百/2喷74.析6关系嗓的闭蔬包运鞭算例4.税20给定弦集合奖，居和晋是A上的益关系厉，试水求出仁和址，并哈画出厕相应智的关勒系图岁来。解：关系R，S及其宾传递洋闭包榆，臂的皂关系漂图如倦图4.笑6所示旦。5220肚23毒/6塔/2狐74.论6关系坛的闭爱包运旅算定理4.骄13设X是含霉有n个元洽素的脊集合民，R是X上的盈二元千关系序。于命是可粱有例4.狠21设集剂合慎，R是X中的希二元住关系缸，R的关睁系图湾如图4.愉7所示躬，试用画出R的可慈传递狠闭包谎的殿关系朽图。解：R的可感传递询闭包艇的关跟系图渠如图4.锯8所示蔽。53图4.按7群R的关待系图图4.狠8雷t吨(R质)的关探系图20劲23艺/6惹/2款74.扒6关系牙的闭深包运俯算定理4.胸15设A是集电合，R是集杀合A上的害二元男关系继。于贩是可京有（1）（2）（3）5420刑23徒/6仆/2毁7PART01多重羡序元截与笛胃卡尔地乘积主要吹内容PA并RT01PART01关系贞的基宰本概尺念PA视RT02PART01关系肯的运染算PA法RT03PART01关系碰的性伞质PA璃RT04PART01关系繁的表摘示PA锋RT05PART01关系驶的闭呼包运孟算PA偿RT06PART01特殊防关系PA泉RT07PART01关系斩型数幅据库PA挨RT0820鹊23靠/6杨/2弃7554.撇7特殊仇关系定义4.思15给定悬非空彩集合S，及恭非空为集合纠，订如果速有（1）（2）则称盏集合A是集塔合S的覆盖。例如搂，设勿集合版，热并且坦给定S的各四子集是的集涛合快和的；显跌然集语合A和集慎合B都是净集合S的覆啄盖。染即覆掀盖不地唯一。56集合室的覆属盖20救23葱/6摸/2扒74.膨7特殊聚关系定义4.康16给定皆非空毙集合S，及阳非空问集蛋，趁如果挂有（1）（2）冬或（3）则称肢集合A是集贱合携的一讨个划分。划训分中刷的元拉素浙称宋为划游分的类。如获果划械分是拳个有齿限集狮合，望则划亏分的秩是划加分的郑类的椒数目开。若兰划分拒是个妨无限祖集合共，则储划分窜的秩胸是无小限的滴。划拨分是步覆盖让的特仓定情睡况，拒即A中元触素互郊不相愚交的义特定寄情况肃。57集合嘉的划辩分20晋23宫/6叹/2匀74.废7特殊昆关系例如设者，都试考胜察S的各帜子集竖的下梢列集险合。显然裕集合A和B是S的覆住盖，滥当然C，D，E也都朱是S的覆烘盖；则同时C，D，E也还黎是S的划慰分，击并且C的秩善是2，D的秩滋是1，E的秩畏是3；而F既不蚂是覆惯盖也占不是霉划分叮；集帜合S的最反大划唤分是倾以S的单握个元蚊素为最类的烤划分队，如元上面紫的E；S的最济小划兄分是销以S为类缴的划赚分，稀如上匠面的D。58集合灶的划恳分和枕覆盖20旋23例/6杀/2腥74.亿7特殊叔关系定义4.伐17设A和用是非穿空集躺合S的两宁种划湾分，朴并可们表示难成如果统的每永一个泡类足，都可是A的某夜一个乐类谜的况子集塑，则箱称划雨分插是划瓶分A的加细，并软说成讯是雪加细旋了A。如袖果慰是A的加什细和革，狐则称严是A的真加蚊细。划分嚼全集E的过锡程，础可看及成是拢在表涨达全滔集E的文拆氏图嚼上划谨出分烈界线罪的过网程。大设A，B，C是全国集E的三禾个子解集。拆由A，B和C生成兽的E的划纤分的劳类，岭称为极小缩慧项或完全宵交集。对充于三晶个子迅集A，B和C来说惨，共排有甩个独极小葡项，廉分别应用意来表缸示。59集合滋的划农分和话覆盖20乌23耍/6壁/2档74.斤7特殊佣关系由图4.９可军知并且蜜是蹄互不拘相交挎的，一般描情况快，如翼果宪是全乒集E的n个子刮集，馋则由张这n个子凡集能殿够生征成拉个极补小项摆，分监别用雀来表炸示它来们。棉这些若极小瞒项互隶不相件交，鉴并且眯并起珍来等闯于全净集E。60集合梳的划字分和勾覆盖20件23顿/6画/2伞74.叔7特殊泊关系定义4.托18设X是任幸意集骑合,殿R是集剪合X中的准二元介关系棉。如爬果R是自斑反的芹、对畏称的音和可寄传递损的，搅也就李是说,如果炭有（1）（2）（3）则称R是等价独关系。如果R是集序合A上的忧等价押关系带，则R的定匀义域疯是耗集合A自身传，所毛以称R是定狱义于甚集合A上的浑关系狱。实缴数集臭合中奏数的犬等于馒关系株，全广集的晋各子最集间柴的相姨等关评系，暴命题钞集合在中等丛价命绕题间音的恒浩等关先系等碑，都帐是等上价关仍系。61等价宇关系20病23份/6土/2蚕74.伸7特殊岛关系例4.徐22给定季集合疫，R是A上的葱二元骄关系顽，并吴且R给定孩成，管试证搜明R是一款个等让价关移系，冈并画油出R的关竟系图炭和写滴出R的关趴系矩加阵。解：R的关兽系矩锡阵如割下：在图4.偶10中给膛出了R的关词系图宾。由R的关沉系矩脱阵和仿关系顾图可肢以看威出，R是等滑价关券系。62等价及关系R的关纤系图20恼23蹲/6痒/2玩74.码7特殊弹关系设继是赠正整何数集绞合，m是正慌整数乏。对味于超来说汤，娇可将R定义叹成这里昨，“旅”松等价卸于命静题“确当用m去除x和y时，吹它们舰都有盒同样扛的余湿数”危。故狂关系R也称芹为模m同余类关系。63等价奇关系20令23师/6版/2恒74.石7特殊坚关系定义4.贷19设m是个蒸正整即数和折。如梢果对厦于某肆一个脑整数n，有,则称x模等摇价于y，并烤记作整数m称为等价姓的模饼数。显然储，这浩里是瞎用“链”表呆示模m等价开关系R。定理4.酷17任何花集合存中破的模m相等没关系是一勿个等项价关梦系。64等价办关系20疏23哪/6袍/2显74.滥7特殊后关系定义4.猪20设R是集胶合A上的杠等价姨关系掀：对辜于任爱何浇来说乱，可秤把集拨合印规定飘成并称遣它是象由x关于R的等价闭类。为了救简单京起见自，有笼时也染把沉就写剂成岸或蚁。乳不难阿看出白，集股合应是腿由集番合A中与x有等热价关田系R的那悄些元勉素所榨组成择的。65等价玩类20走23幕/6钓/2尼74.证7特殊毁关系例4.孤23设心，R是A上的挨等价纸关系办，并亦把R给定挪成试画走出等赠价关门系图待，求停出A中各洲元素佩关于R的等亲价类聋。解：怜等价叨关系嘴如图4.泪11所示旨。由元等价春关系正图不胸难看项出图4.舰11等价蹲关系腊图66等价辆类20闭23远/6消/2杆74.书7特殊膨关系定理4.衣18设A是一洁个集岗合，R是A上的绸等价留关系轻。如蒸果侦，堵则定理4.谎19设R是集行合A上的轰等价狭关系陷。于沸是可勇有（1）对淡于所笑有的隶，或员者半或寺者仍。（2）67等价笨类20议23乒/6炸/2鸣74.墓7特殊积关系定理4.荐20设R是非泰空集淡合A上的捷等价冷关系稀。R的等处价类哪的集樱合是A的一挑个划折分。嫌根据残定理4.缩慧18和定布理4.已19就能曾够证算明此败定理控。此派定理截说明嫌非空骆集合锦的划借分和轨集合盯中的搞等价篮关系涛之间警，存浊在一浆种自煌然对者应关顶系。定义4.秀21设R是非硬空集辅合A上的红等价婚关系幅。以R的所啊有等钳价类坐作为省元素和的集仰合禁称猾为S关于R的商集，记苍作阴，也艳可写踢成68商集20觉23民/6肆/2似74.蚂7特殊纵关系下面目来考似察集宜合A中的体两个畜特殊脏等价算关系腔：全蜻域关豆系鼓和恒着等关裳系淋。圈显然茂这两金种关父系都晓是A上的粪等价搅关系筝。由愁全域顷关系挨所生韵成的咽商集要仅真包含艰一个拌元素A，而帅由恒狮等关贯系所盯生成菊的商浙集棒中的悼每个紧元素杀都是坛由A中的柿单个续元素条所组缓成的撒。络所对丛应的介划分握是A的最屑小划坊分，盘所对弓应的但划分私是A的最恭大划事分。焦这两狭种划漂分被德称为A上的平凡振划分。6920液23领/6锅/2册74.塔7特殊嗽关系例4.柿24令R是整值数集名合Z中的乖“模3同余夫”关售系，R可给牛定成试求Z的元保素所忽生成跪的R等价技类。解：俘等价娘类是70等价排类20抄23耻/6管/2膜74.秤7特殊笋关系定理4.啊21设C是非洪空集责合A的一乏个划骨分，除则由龄这个塌划分他所确潜定的柔下述隐关系R：必定诊是个滚等价尼关系嚷，并融称R为由悼划分C导出趟的A上的灭等价赏关系筋。71等价铸类20唯23妇/6移/2矩74.顺7特殊麦关系72等价薯类20搬23敬/6歼/2质74.索7特殊贩关系定义4.讽22给定馒集合A中的杜二元划关系R，如勉果R是自暖反的铜、对去称的鞭，则教称借是相容和关系。也浸就是少说，赵可以卧把鹅规定俱成：（1）（2）显然蜡，所病有的最等价亚关系邪都是终相容格关系蝴，但肯相容阅关系芹并不锅一定哀是等育价关衰系。努下面浪举例织说明乖相容朴关系缴。设集绪合届，A中的贩关系不难合看出R是自甩反的校和对抓称的钓，因龟此R是个昨相容艰关系浅。如辩果，古，则捉称x和y是相休容的蜜。73相容仅关系20译23艘/6燃/2均74.鄙7特殊庄关系令宜，爆，欣，樱，鼻。这王里洞并往且东但两，即岛该相轮容关爹系不银是可肺传递荡的。声把R写出滨来是乒：图4.机12给出首了该盏相容忌关系R的图夕。由于躬相容券关系抽的自朱反性筐和对揭称性球，关吗系图躺中的千所有较结点叠上都裁有环察边；的有相俭容关阶系的赚两个速结点芽间都刮有往泡返弧稳线。板如果帮找们绿删除鸟全部驻结点桐上的飞环边呈，并心且用角一条牛直线量取代爆两结外点间霞的两圾条弧多线，染这样监就可祸以把嘉图4.平12化简堤成图4.劫13。74相容雷关系20纸23马/6示/2丹74.观7特殊专关系还可祝写出最该关来系R的矩者阵如会下：由于款相容原关系童是自喇反的哈，因贫而矩谣阵对亮角线寒上的勤各元授素都数应是l；相孩容关赏系是枯对称勤的，怀所以料矩阵振关于释主对品角线纱也是阳对称敢的。墨这样煌，仅邻给出怀关系的矩阵味下部链的三象角形泛部分招也就碑够了辜。简瓶化后怪的关划系矩施阵如妨图4.絮14所示令别，妨和雄。在集节合缺，烦和奴中，与同一清个集继合内群的元即素都阴是相榜容的佩。这夜些集绞合的计并集挪就是蓬给定胃的集淹合X，亦蓝即添。绵因此川，集赖合粘定义梳了集虏合X的一忽个覆杂盖，劫但它驴不能剥构成胶集合杏的一旦个划察分。75相容芝关系20晌23阳/6轿/2优74.泉7特殊袋关系定义4.亭23设哭是集蒸合X中的窃相容满关系熄。假雄定防。如路果任葬何一躬个浓，久都与素其他惯所有骑的元督素有抢相容亡关系碑，而华中碗没有士能与A中所唤有元惕素都捎有相滚容关骨系的贱元素哭，则垮子集仆称为最大韵相容读类。寻找床最大历相容馋类的弓方法族有两航种：关系还图法和关系晶矩阵膛法。76最大凯相容丘类20止23滚/6赏/2纷74.惯7特殊伤关系关系体图法胸。关系箭图法懒的实直质在揉于寻隙找出翁“最来大完轻全多抗边形苹”。杠所谓徒最大凝完全萝多边则形，锄系指油每一息个顶舰点都奋与其嚼他所汽有顶贯点相旨连结督的多营边形淹。（1）集员合中旨仅关观系到默它自怕身的没结点乒，是宜一个铺最大徐完全城多边葛形。（2）不淘都与湿其它酷的结袜点相廉连接牢的一倦条直失线所垄连接寄的两侵个结段点构谜成一侍个最捧大完败全多进边形免。（3）三饲角形撑的三锣个顶滥点构未成一缓个最穗大完拉全多摸边形齐，对情角线淘相连卖的四规边形镰的四恳个顶袖点构帆成一袜个最吼大完纠全多艰边形丘，正遇五角暗星的拼五个做顶点推构成陕一个绞最大醒完全肠多边日形，宿正六容边形着的六毯个顶效点也孔是一惜个最椒大完邀全多右边形倦。一牲个最当大完介全多泊边形踢对应袍一个皂最大故相容傅类。77关系侦图法20缩慧23盈/6专/2樱74.殖7特殊恳关系例4.胃27在图4.拣15中，步给出垫了两聪个相盈容关树系图书。试早求出殃它们英的所飘有最剃大完轮全多深边形,并求前出与叉它们台相应蛙的最清大相偏容类绩。解：歼图（a）的菌最大服完全轨多边雀形有绪：四劈燕边形12奶34线段25，36和56；与忍它们尾相应独的最竹大相业容类松分别振是：{1，2，3，4}，{2，5}，{3，6)，{5，6}。图皇（b）的健最大殖完全度多边捎形有乒：三命角形12黄3，13盗6，35禽6和孤绒立结柱点4；与姨它们桶相对腊应的杠最大爆相容刻类分吨别是亡：{1，2，3}，{1，3，6}，{3，5，6}和{4哗}。图4.震15相容灰关系流图78关系减图法20什23扁/6稳/2威74.舟7特殊械关系关系明矩阵涂法。首先址制定烂简化歌了的朱关系带矩阵舌，继高之按冲下列保步骤猫求出逐各最国大相胁容类万。（1）仅烧与它产们自畏身有买相容孝关系眼的那羡些元锯素，厅能够脖分别县单独戴地构善成最贯大相舌容类膛，因半此从杠矩阵蒜中删束除这额些元诉素所晌在的营行和悉列。（2）从骗简化村矩阵叠的最趣右一童列开嫩始向毒左扫租描，伪直到刚发现测至少采有一垫个非贺零记卷入值候的列锹。该只列中榴的非海零记第入值船，表醋达了笼相应蕉的相姥容偶尤对。社列举夕出所墨有这惨样的匠偶对拉。（3）继仅续往蹦左扫跌描，期直到日发现痒下一狼个至舍少有皂一个回非零录记入此值的扯列。求列举神出对腿应于亿该列纹中所荐有非估零记大入值行的相忧容偶经对。谅在这储些后影发现录的相耀容偶寄对中轿，如掀果有旁某一喇个元昌素与泪先前伸确定男了的帜相容浮类中血的所创有元冶素都常有相谊容关渡系，乐则将仗此元花素合必并到饺该相凡容类亿中去雪；如炕果某跪一个常元素知仅与训先前走确定散了的扰相容贪类中独的部怒分元章素有贷相容定关系路，则至可用桨这些骑互为撞相容赏的元令素组渣成一矮个新核的相维容类焰。删盒除已碰被包孙括在躲任何步相容桃类中通的那察些相店容偶思对，堂并列腿举出此尚未回被包路含在橡任何惠相容插类中屿的所豪有相刺容偶理对。（4）重东复步丑骤（3），需直到李扫描争过简恰化矩韵阵的洪所有授列。最后桂，仅脾包含灾孤立穿元素愤的那坝些相捉容类配，也摄是最欧大相辅容类买。79关系锅矩阵劝法20最23愤/6魂/2香74.弟7特殊纠关系例4.有29与图4.古15（b）中病的相卫容关法系图涨相对退应的消简化鸣矩阵艳如下赞图所摧示，射试求宝各最抚大相员容类赔。解：逗这里饱结点4是个喉孤立您结点娱，故镇在矩汪阵中择删除择了相检应的两行和继列。趴根据圾步骤湖（2）和哪（3）可毕有：（a）{铸4已}（b）{券4嫂}，{申5，6区}（c）{骂4见}，{摄5，6己}，{什3，5冈}，{袖3，6凤}，合宇并后雅有{彩4侨}，{押3胃,邻5杆,貌6复}（d）{参4草}，{工3，5，6生}，{隔2，3行}（e）{晶4骑}，{放3，5，6贡}，{尸2，3外}，{减1，2槐}，{才1发,眨3原}，{佣1，6犯}，合蛾并后嘴有{煎4凳}，{遇3启,湾5燃,亿6豆}，{兴1，2，3客}，{礼1绝,阁3，6袖}这些内相容友类都参是最掘大相慢容类鼓。80关系熊矩阵兽法20栗23贝/6元/2双74.怀7特殊伯关系定义4.拨24设R是集哪合A上的寇二元慌关系六。如炭果R是自住反的哲、反肚对称通的和细可传皮递的如，亦趟即有（1）（2）（3）则称R是集许合A中的偏序挽关系，简幻玉称偏序。序序偶<A黎,≤应>称为偏序睁集合。这里踩用符颤号“仪≤”痒表示氏偏序化。这换样，计符号暗“≤况”就界不单掏纯意农味着山实数睁中的瓣“小助于或陪等于迹”关坑系。遥事实少上，徐这是翠从特忠定情卵况中追，借判用符洽号“块≤”皇去表悲示更门为普灯遍的躁偏序莲关系尚。对裙于偏旅序关百系来堡说，风如果参有生且x≤y，则鄙按不腹同情拍况称焰它是筑“x小于悲或等照于y”，槐“y包含x”，恭“x在y之前宜”等柴等。81次序描关系20产23东/6亿/2盾74.蛙7特殊馆关系设R是实顿数集睛合。探“小洪于或帖等于拼”关捕系≤乒是R中的莲偏序伸关系滥；这亿个关姐系的忧逆关旷系“调大于夹或等定于”烤关系售≥也销是话中的抓偏序赤关系晴。设讲是A的幂雷集，拘亦即X是A的子迅集的窝集和胀。X中的验包含演关系偶，是朋个偏禽序关桑系；天这个种关系宫的逆简关系江也是翁个偏拥序关养系。设咏是正透整数亮集合惩，且,当且斧仅当敞存在z，能雄使玻，才折有“x整除y”(可写阵成x|竞y)，换亭言之巡寿，“y是x的整薯倍数沫”。迹“整处除”挣和“犹整倍屡数”步互为国逆关鉴系，乔它们挠都是旨中忧的偏存序关纳系。82次序榨关系20凝23薪/6浊/2澡74.净7特殊楼关系例4.藏30设参，控≤是拘中摩的“姿整除恐”关书系。咐试表享达出悔“整拿除”幼和“献整倍瘦数”亿关系京。解：北“整决除”患关系喊≤可队规定昂成≤“整颂倍数抄”关奥系是命≥≥实数宾集合R中的势“小昼于“遇关系<和“批大于尖”关庄系>，都潜不是畜偏序端关系氧，因止为它献们都忽不是度自反弹的。较但它麦们是限实数灭集合绍中的欺另一哪种关外系——拟序必关系。83次序朴关系20便23悦/6妇/2赛74.蜜7特殊珍关系定义4.术25设R是集希合A中的厦二元探关系神。如统果R是反根自反妖的和器可传因递的袜，亦莫即有（1）（2）则称R是拟序著关系，并抓借用勿符号成“<”表批示铅。在上聋述定唉义中宇，没陕有明课确列舱举反鱼对称斑性的任条件伏，事碗实上鬼关系<若是翅反自份反的维和可雕传递具的，俘则一煮定是航反对火称的茶，否脉则会排出现邮矛盾蹈。这极是因纺为，贺假定x<斗y和y<能x，因米为<是可酷传递押的，易可得福出y<庸x，而<是反羞自反叉的，袖故<总是糟反对最称的板。根据肆偏序泡关系恳和逆级序关秃系的减定义库，不诉难得驼出实数胳集合吵中的摘小于抬关系<和大峰于关仁系>都是鹿拟序狮关系烤。子欠集的疯集合织中的川真包中含关犬系雄和谨都是市拟序栗关系伟。84次序瞎关系20棉23衬/6回/2砍74.帜7特殊绿关系定理4.滑22设R是集鹿合A上的乐二元欺关系嘉。于翁是可诞有（1）如仔果R是个胀拟序吸关系鞠，则悉是瓶一个杆偏序咐关系败。（2）如速果R是个肝偏序肃关系瓜，则待是个饲拟序指关系车。定理4.狂23设<怨A,≤>是个取偏序放集合胁。如破果对风于每尼一个蛮，或闹者狠或者达，蹄亦即则称宣偏序村关系扩≤是全序决关系简称全序，序欠偶<少A,≤>称为全序淋集合。A中具厦有全逢序关讽系的尽各元伶素，沸总能阔按线帆性次滋序烂排列象起来拾，这叶里当绘且仅局当i≤j，才帐有侮≤,故全壤序也税称为简单抹序或线性内序，因伪此，支序偶<彼A,≤>在这甩种情稿况下帜也被繁称为线性渔序集或链。85次序害关系20无23印/6运/2蛙74.善7特殊宫关系设≤兔是集骑合P中的浮偏序袋关系姿。对非于桌，繁如果芹有x≤y或y≤x,则A中的械元素x和y称为可比陡的。在脉偏序绍集合更中，圆并非僻任何趣两个眉元素x和y都存粥在有x≤y或y≤x的关彼系。兆事实科上，酸对于兽某些x和y来说忆，x和y可能碌没有坡关系秋。在奶这种牲情况低下，广称x和y是不可炕比的。正智是由涂于这佛种原踩因，贼才把求≤称捆作“档偏”浊序关拾系。荒在全椅序集产合中析，任调何两仁个元命素都晌是可治比的贡。设R是实凑数集贡合，a和b是R的元喷素。斜对于啄每一扮个实洒数a，设申和S是集摔合并慕且言≥0忽}。如负果a<尼b，则遣，职因此算是一危个全添序集邻合。手如果A是个荡含有聪多于烂一个眨元素技的集可和，朋则刘不是部一个即全序怨集合鼻。例告如，白设置，收于是86次序细关系20孙23熔/6炮/2种74.很7特殊雾关系设R是实烟数集须合且性。申假定R上的把关系当是否一般蹲的“调大于吩或等希于”陷关系复。对乳于P中的棒任何纵两个划序偶户和钉，鹿可以痒定义流一个湾关系S如果膨，泰则有,因此S是P中的传全序愤关系溜。并前称它知是字母帝次序始关系或字母亿序。例亦如，爽试考君察下昆列序远偶可以狸看出泳，这诞些序蚀偶之亩间有攀字母石次序膝关系笋。87次序蛋关系20卖23告/6可/2秒74.佣7特殊突关系定义4.扭26设<A捉,≤>是一物个偏马序集洒，如均果对链任何夜，x≤y和铅，而饥且不通存在悄任何携其他积元素款能注使x≤z和z≤y，即(屋x≤颈≤z≤暑成立坛，则控称元良素y盖覆x。在哈烛斯图巧中，穴用小楼圈表驱示每栽个元巴素。叮如果厅有歌，且x≤y和屿，则伯把表兵示x的小镇圈画坑在表锣示y的小书圈之位下。携如果y盖覆x，则将在x和y之间拥画上蛮一条闻直线陆。如嗓果x≤y和耀，凤但是y不盖副覆x，则涌不能然把x和y直接动用直侧线联婚结起恭来，鼠而是阔要经袋过A的一堵个或圣多个亏元素危把它孟们联坝结起谅来。字这样痛，所睛有的双边的旧方向焰都是槽自下酸朝上慨，故靠可略桑去边乱上的遭全部桑箭头毕表示浊。88偏序重集20怀23惹/6桌/2感74.争7特殊瓣关系例4.羞32设集朋合梳，≤瞎是X上的未偏序岛关系弹。并炎定义罪成：涉如果x整除y，则x≤y。试油画<鼻X接,≤>的哈坑斯图役。解：润在图4.托19给出拍了整吹除关某系的鸭哈斯宇图。例4.乐33设集蚊合斤，伤是它糊的幂帖集。侄的元封素间猾的偏痒序关泪系≤僚是包驰含关主系喘。偿试画随出袄≤>的哈廉斯图兔。解：股在图4.金19中给誓出了瓜≤岸的护哈斯词图89哈斯拣图图4.沸19整除雕关系冬的哈高斯图图4.观2020姨23脂/6魔/2获74.敲7特殊春关系定义4.里27设<P税,≤>是一飞个偏颂序集央合，驱并有租，（1）若技成立抹，则肿称元左素y为Q的最小厘元，通围常记上作0。（2）若努成立野，则锻称元删素y称为Q的最大白元，通彼常记坝作1。（3）若惊成立罗，则俭称元陷素y称为Q的极小地元。（4）若刺成立海，则糖称元禾素y称为Q的极大痕元。定理4.夏24设X是一汉个偏峰序集平合，爆且有恐。板如果x和y都是Q的最作小(最大)元,则9020吊23析/6僵/2自74.夸7特殊丸关系定义4.虽28设<P利,≤>是个蹄偏