函数的单调性与最值

按Esc键退出返回目录2.2函数的单调性与最值按Esc键退出返回目录按Esc键退出返回目录 知识梳理

1.函数的单调性(1)单调函数的定义

增函数减函数定义一般地,设函数f(x)的定义域为I,如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量x1,x2.当x1<x2时,都有

,那么就说函数f(x)在区间D上是增函数当x1<x2时,都有

,那么就说函数f(x)在区间D上是减函数按Esc键退出返回目录图象描述自左向右看图象是

自左向右看图象是

(2)如果函数y=f(x)在某个区间上是

或

,则称y=f(x)在这一区间具有(严格的)单调性,这一区间叫做y=f(x)的单调区间.逐渐上升的逐渐下降的增函数减函数按Esc键退出返回目录2.函数的最值前提设函数y=f(x)的定义域为I,如果存在实数M满足条件对于任意x∈I,都有

;存在x0∈I,使得

.对于任意x∈I,有

;存在x0∈I,使得

.结论M为最大值M为最小值按Esc键退出按Esc键退出按Esc键退出返回目录返回目录返回目录 基础自测 1.下列函数中,在(0,3)上是增函数的是(

).A.f(x)= 

B.f(x)=-x+3C.f(x)= 

D.f(x)=x2-6x+4答案：C2.下列函数f(x)中满足“对任意x1,x2∈(0,+∞),当x1<x2时,都有f(x1)>f(x2)”的是(

).A.f(x)=ex

B.f(x)= C.f(x)=(x-2)2

D.f(x)=ln(x+3)答案：B按Esc键退出返回目录3.若函数f(x)=x2-2x+m在[3,+∞)上的最小值为1,则实数m的值为(

).A.-3

B.-2C.-1

D.1答案：B4.若奇函数f(x)在区间(0,+∞)上是增函数,又f(-3)=0,则不等式 <0的解集为(

).A.(-3,0)∪(3,+∞)

B.(-3,0)∪(0,3)C.(-∞,-3)∪(3,+∞)

D.(-∞,-3)∪(0,3)答案：B按Esc键退出返回目录5.函数f(x)= +2在[3,4]上的最大值为

,最小值为

. 思维拓展：1，2，3 按Esc键退出返回目录一、函数单调性的判断【例1-1】下列四个函数中,在(0,+∞)上为增函数的是(

).A.y= B.y=-log2xC.y=x2-2xD.y= 解析:画出各函数图象,由图象可知,选D.考点探究突破练习：针对训练1按Esc键退出返回目录【例1-2】讨论函数f(x)= (m<0)的单调性.

解:函数定义域为{x|x≠2},不妨设x1,x2∈(-∞,2)且x1<x2,f(x2)-f(x1)= -= 

=∵m<0,x1,x2∈(-∞,2),且x1<x2,∴x1-x2<0,(x2-2)(x1-2)>0.按Esc键退出返回目录∴ >0,即f(x2)>f(x1),故函数f(x)在区间(-∞,2)上是增函数;同理可得函数f(x)在区间(2,+∞)上也是增函数.综上,函数f(x)在(-∞,2),(2,+∞)上均为增函数.请做[针对训练]5按Esc键退出返回目录方法提炼1.判断或证明函数的单调性,最基本的方法是利用定义或利用导数.利用定义的步骤是:设元取值→作差(商)变形→确定符号(与1比较大小)→得出结论;利用导数的步骤是:求导函数→判断导函数在区间上的符号→得出结论.2.两个增(减)函数的和函数仍是增(减)函数,但两个增函数的差、积、商的函数单调性不确定,同样两个减函数的差、积、商的函数单调性也不确定.按Esc键退出返回目录二、函数的单调区间的求法与单调性的应用【例2-1】定义在R上的偶函数f(x)满足:对任意的x1,x2∈[0,+∞)(x1≠x2),有 <0,则(

).A.f(3)<f(-2)<f(1)

B.f(1)<f(-2)<f(3)C.f(-2)<f(1)<f(3)

D.f(3)<f(1)<f(-2)解析:由题意得,在[0,+∞)上 <0,故f(x)在[0,+∞)上单调递减,且满足n∈N*时,f(-2)=f(2),3>2>1>0,得f(3)<f(-2)<f(1),故选A.答案：A请做[针对训练]3按Esc键退出返回目录【例2-2】已知f(3x+1)=9x2-6x+5,(1)求函数f(x)的解析式;(2)写出函数f(x)的单调区间.解:(1)令t=3x+1,则x= ,代入已知,得f(t)=9 -6× +5,∴f(t)=t2-4t+8,即f(x)=x2-4x+8.(2)由(1)知抛物线的对称轴为x=2,开口向上.由图象性质知,增区间为[2,+∞),减区间为(-∞,2).练习：求函数的单调区间.按Esc键退出返回目录方法提炼求函数的单调区间与确定单调性的方法:(1)利用已知函数的单调性,即转化为已知函数的和、差或复合函数,求单调区间.(2)定义法:先求定义域,再利用单调性定义.(3)导数法:利用导数取值的正负确定函数的单调区间.(4)图象法:如果函数是以图象形式给出的,或者函数的图象易作出,可由图象的直观性写出它的单调区间.按Esc键退出按Esc键退出按Esc键退出按Esc键退出按Esc键退出返回目录返回目录返回目录返回目录返回目录三、求函数的最值【例3-1】函数

在区间[0,4]上的最大值M与最小值N的和为

.解析:函数y=x+2在其定义域上是增函数,所以x=0时有最小值N=0,x=4时有最大值M=8,M+N=8.答案：8

请做[针对训练]2按Esc键退出返回目录【例3-2】已知定义在区间(0,+∞)上的函数f(x)满足f( )=f(x1)-f(x2),且当x>1时,f(x)>0.(1)求f(1)的值,并判断f(x)的单调性;(2)若f(4)=2,求f(x)在[5,16]上的最大值.按Esc键退出返回目录解:(1)令x1=x2>0,代入得f(1)=f(x1)-f(x1)=0,故f(1)=0.任取x1,x2∈(0,+∞),且x1>x2,则 >1,由于当x>1时,f(x)>0,所以f >0,即f(x1)-f(x2)>0,因此f(x1)>f(x2),按Esc键退出返回目录所以函数f(x)在区间(0,+∞)上是单调递增函数.(2)∵f(x)在(0,+∞)上是单调递增函数,∴f(x)在[5,16]上的最大值为f(16).由f =f(x1)-f(x2),得f =f(16)-f(4),而f(4)=2,所以f(16)=4.∴f(x)在[5,16]上的最大值为4.补充练习按Esc键退出返回目录方法提炼1.求函数值域与最值的常用方法:(1)先确定函数的单调性,再由单调性求值域或最值.(2)图象法:先作出函数在给定区间上的图象,再观察其最高、最低点,求出最值.(3)配方法:对于二次函数或可化为二次函数形式的函数,可用配方法求解.(4)换元法:对较复杂的函数可通过换元转化为熟悉的函数,再用相应的方法求值域或最值.按Esc键退出返回目录(6)导数法:先求导,然后求在给定区间上的极值,最后结合端点值,求出值域或最值.(5)基本不等式法:先对解析式变形,使之具备“一正二定三相等”的

条件后,再用基本不等式求出最值.按Esc键退出返回目录2.对于抽象函数的单调性的判断仍然要紧扣单调性的定义,结合题目所给性质和相应条件,对任意x1,x2在所给区间内比较f(x1)-f(x2)与0的大小,或 与1的大小(f(x)>0).有时根据需要,需作适当的变形:如x1=x2· 或x1=x2+x1-x2等.按Esc键退出返回目录四、函数的单调性与不等式【例4】已知定义在R上的函数f(x)满足:①f(x+y)=f(x)+f(y)+1,②当x>0时,f(x)>-1.(1)求f(0)的值,并证明f(x)在R上是单调增函数;(2)若f(1)=1,解关于x的不等式:f(x2+2x)+f(1-x)>4.按Esc键退出返回目录解:(1)令x=y=0得f(0)=-1.在R上任取x1>x2,则x1-x2>0,f(x1-x2)>-1,又f(x1)=f[(x1-x2)+x2]=f(x1-x2)+f(x2)+1>f(x2),所以,函数f(x)在R上是增函数.(2)由f(1)=1,得f(2)=3,f(3)=5.由f(x2+2x)+f(1-x)>4得f(x2+x+1)>f(3),又函数f(x)在R上是增函数,故x2+x+1>3,解之,得x<-2或x>1,故解集为{x|x<-2或x>1}.练习：限时作业5第11题按Esc键退出返回目