刚体定轴转动课件

刚体的定轴转动1.刚体的平动

连接刚体中任意两点的线段在运动中始终保持平行。一、刚体的平动和转动

特点:

刚体上所有点的

运动轨迹、

都相同,

可用质点运动来描述。★刚体

—★

说明：1.刚体是理想模型。2.在外力的作用下,其上任意两点均不发生相对位移。受力而不形变的物体。§5-1刚体的运动

将刚体的运动看作其质心的平动与相对于通过质心并垂直运动平面的轴的转动的叠加。3.刚体的一般运动

刚体上各点都绕同一转轴作半径不同的圆周运动，在相同时间内转过相同的角度。2.刚体的定轴转动特点：⑴刚体上各点在垂直转轴的平面内作圆周运动；⑵刚体上各点的均相同。二、定轴转动的描述参考平面

—

与转轴相垂直的平面。

2.

运动方程—

位矢与

ox

轴夹角。

★规定：

定轴转动只有两个转动方向

位矢沿ox

轴

逆时针方向转动时角位置

为正，反之为负。1.角坐标参考方向参考平面5.角加速度6.角量与线量的关系4.角速度3.角位移xO(P.103)xO三、力矩对于定轴转动,力矩的方向可用正、负号表示之。对O

点力矩:大小:方向:1.力矩的定义右手法则：伸出右手四指垂直拇指，让四指指向的方向，经小于的角度转向的方向，拇指指向的方向。O和所决定的平面(3)合力矩的大小等于各力矩的代数和。

若力F不在参考平面内,M

=?？2.讨论:例：(4)

刚体内各质点间内力对转轴不产生力矩。(1)与转轴垂直且通过转轴的力不产生力矩。(2)

与转轴平行的力对转轴不产生力矩。O2dO3.力矩的计算举例例1：水平桌面上匀质细杆长

l

，质量

m，绕一端垂直轴转动，已知摩擦系数为μ

，求：细杆受的摩擦力矩Mf

。解：方向：例2：水平桌面上匀质薄圆盘半径R

，质量

m

，绕中心垂直轴转动，已知摩擦系数为μ

，求：圆盘受的摩擦力矩

Mf

。解：选细圆环，半径

r

，宽

dr

方向：四、转动定律

(重点）（p100）1.刚体定轴转动的转动定律2.转动定律的推导

(5-15)刚体上任意质元

位矢合外力合内力由牛顿定律:故只列切向分量式：两端同乘得：自然坐标系中，法向分力的力矩为零，

对组成刚体的所有质元求和得：刚体的合外力矩合内力矩

=0由此得出：其中：—

称刚体的转动惯量—

转动定律(5-15）两端同乘得：()J3.讨论⑸

均对同一转轴,具有瞬时性，M

指合外力矩。转动定律

—

刚体所受合外力矩=刚体转动惯量×角加速度。

⑴

J

一定，则，M是改变刚体转动状态的原因。⑵

M

一定，则，J

是刚体转动惯性大小的量度。⑶M=0，则

α

=0，ω=

常量，刚体保持转动状态不变。⑷

M=常量，则

α

=常量，刚体做匀变速转动。

五、转动惯量J⑵质点组⑶质量连续分布的刚体1.J

的计算⑴单个质点线分布面分布体分布—质量线密度

—质量面密度

—质量体密度

O●⑴刚体的总质量；3.决定

J

的三个因素

2.

J

的单位

⑶转轴的位置。⑵质量分布；

同一刚体对不同转轴的转动惯量不同，凡是提到转动惯量，必须指明它是对哪个轴的才有意义。★结论：

J

的意义：刚体转动惯性大小的量度。(1)

转轴过中心与杆垂直取质元：(2)转轴过棒一端与棒垂直5.J

的计算举例

讲义P.97

例5-2

例题1:计算匀质细杆的

J

。dmdm取质元：

Rm其中：例题2:均匀细圆环的

J

(质量m，半径R，轴过圆心垂直环面)。dm取细圆环例题3:匀质薄圆盘的J

(质量

m

，半径

R

，轴过圆心垂直盘面)。

讲义P.98例5-3

其中：适用情况:6.平行轴定理说明：⑴两轴平行；⑵

JC

为刚体绕质心轴的转动惯量；⑶

d

为两平行轴间的距离。dCACACA(5-7)例：匀质细杆⑴力矩和转动惯量必须对同一转轴而言。

⑵

选定转轴正方向,以确定力矩、角加速度、角速度的正负。

⑶当系统中既有转动物体，又有平动物体时,用隔离法解题。对转动物体用转动定律建立方程,对平动物体则用牛顿定律建立方程。★注意：六、转动定律的应用（重点）

1.隔离法分析研究对象，建立坐标系。2.对刚体列转动定律方程，对质点列牛顿定律方程。3.列出辅助方程。解:隔离法列出运动方程从以上各式解得T2T1m1gm2gm2m1辅助方程：①②③④T1T2mOm2m1am例题4:一轻绳跨过定滑轮如图所示，绳两端分别悬挂质量为

的物体，且，滑轮可视为质量为m半径为R的匀质圆盘，轴处摩擦力矩为，绳不可伸长且与滑轮间无相对滑动，求重物的加速度及绳中的张力。若忽略

Mf

，则：

前面例题已求出圆盘所受的的摩擦力矩：解:设的方向为正由转动定律

得：

∴是匀变速转动，由ROm令得：例题5:一质量为m半径为R的匀质圆盘，以角速度绕垂直于盘面的中心轴旋转，如图所示。今将该圆盘置于水平面上，其间的摩擦系数为，问圆盘转动多长时间停止。例题6:物理练习二填空题1解:⑴因为是变力矩,与方向相反。当时，⑵令

得：由得：由得：轴转动,转动惯量为,在时角速度为,此后飞轮经历制动过程,阻力矩的大小与角速度的平方成正比,比例系数为大于0的常数,当时,飞轮的角加速度,从开始制动到所经历的时间飞轮绕中心垂直练习题：质量为m的物体悬于轻绳的一端，绳绕在一轮轴上，如图所示。轴水平，轮半径为r，物体由静止释放，在时间t内下降距离为h，试求整个轮轴的转动惯量J（用m、

r、t和h表示）

解：联立（1）—（3）解得：代入（4）式得：七、力矩的功（p98）

⑴反映力矩的空间累积结果。2.总功：1.元功3.说明:⑵恒力矩的功⑶合外力的功=

合外力矩的功。⑷合内力矩的功=0。

(5-11)八、刚体的转动动能

(P.94)

刚体分为质元定轴转动时各质元动能：刚体的转动动能=

各质元动能的总和：—

刚体的转动动能1.是刚体上所有质元动能之和。★

特点:(5-5)2.因转动而存在，可使刚体反抗阻力矩做功。九、刚体定轴转动的动能定理

(P.100)

由转动定律—合外力矩对刚体所做的功=

刚体转动动能的增量。得刚体的转动动能定理(5-14)★

说明：

1.定理描述了力矩作用的空间累积效果,适用于定轴转动的刚体。2.定轴转动刚体的机械能=势能+转动动能。（其中h

为刚体质心到势能零点的垂直高度）3.系统(刚体+质点)

的动能定理为4.系统仅保守力做功,机械能守恒。解：前面已求出摩擦力矩利用转动动能定理求转过的角度。恒摩擦力矩做负功，固有即：得转过的圈数：例1:一质量为m，长为L的匀质细杆，在水平面内绕端点O的铅直轴转动，如图所示，若初始角速度为，杆与水平面的摩擦系数为μ。求（1）细杆所受的摩擦力矩Mf；（2）若细杆只受此摩擦力矩的作用，它转动多少圈能静止？另解:前面已求出摩擦力矩

利用转动定律求转过的角度,根据转动定律:利用公式:则有:转过的圈数：

例题2P1095—10

解：（1）开始摆动时，重力矩为：根据转动定律：（2）解法一取杆为研究对象，外力矩为重力矩，在任意位置θ总功：根据动能定律：解法二取杆+地球为系统，系统满足机械能守恒的条件取竖直位置为势能零点，则有：

例题3:在长为l，质量为m的匀质细杆的一端，固定一质量为m的小球，可绕过杆的另一端的水平轴O在竖直面内转动，如图所示，若轴处无摩擦，试求（1）刚体绕轴转动的转动惯量；（2）若由水平位置释放，当杆与竖直方向成θ角时的角速度为多大？此时小球的法向加速度为多大？

O解：⑴⑵由转动动能定理得⑶§5—3定轴转动刚体的角动量及守恒定律一.

质点的角动量

(P.84)

大小：方向：右手法则

单位：注意：与参考点有关二.做圆周运动的质点对圆心的角动量大小：方向：角动量=转动惯量×角速度。(4-5)刚体角动量：

定轴转动时刚体上各质元绕同一轴做圆周运动，所以各质元的角动量可写为：三.刚体定轴转动的角动量

(P.103)

定轴转动刚体的角动量

=刚体对该轴的转动惯量×角速度。方向：大小：总角动量★注意:是对同一轴而言。(5-17)四、刚体对转轴的角动量定理

(P.104)

由转动定律得1.冲量矩—⑴恒力矩冲量矩⑵变力矩冲量矩2.角动量定理

（重点）角动量定理

—

系统所受合外力矩的冲量矩=

系统角动量的增量。(5-21)力矩与其作用时间的乘积。3.说明⑴反映力矩的时间累积效应—改变系统角动量。⑵恒力矩作用的角动量定理：⑶对定轴转动而言，规定了正方向后角动量定理可写为：★

注意：

本身有正有负。(5)

角动量定理不仅适用于质点、刚体，也适用于非刚体和系统。(6)

式中所有的角量(

)都是对同一轴而言。角动量定理(4)角动量的变化由和两个因素决定。3.角动量守恒的两种情况：★说明：2.角动量守恒定律是一条普适定律。五、角动量守恒定律

(重点p104）

守恒条件

守恒式或

1.对质点而言：，则⑴刚体定轴转动时,如果不变,则不变；⑵如果改变,则也改变，=常量；或(5-22)常矢量。常矢量mmJ

花样滑冰运动员通过改变身体姿态即改变转动惯量来改变转速。人和转盘的转动六、碰撞指相互作用时间极短，1.完全弹性碰撞质点系：

动量守恒，机械能守恒刚体：

角动量守恒，机械能守恒系统：角动量守恒，机械能守恒2.

非完全弹性碰撞

质点系：

动量守恒刚体：

角动量守恒系统：角动量守恒3.完全非弹性碰撞—

碰后系统获同一速度或角速度机械能不守恒！遵守的定律与2

相同。角动量定理和守恒定律应用举例例1：物理练习二填空题3

已知：解：轮子受恒力矩作用，由角动量定理得：求：一个能绕固定轴转动的轮子,除受到轴承的恒定摩擦力矩外,还受到恒定外力矩的作用,若,轮子对固定轴的转动惯量为,在内,轮子的角速度由增大到,则.

一匀质细杆长为L

，质量为M，可绕通过O点的水平轴转动，当杆从水平位置自由释放后,它在竖直位置上与放在光滑水平面的质量为m

的小滑块相撞,碰后m的速度为v.求:相撞前后杆的角速度。解:除重力外,其余内力与外力都不作功，故机械能守恒：⑴杆自由摆落的过程。①例题2:有两个物理过程：得：COMLm

碰撞时间极短,冲力极大,系统对O

轴的角动量守恒，设顺时针为正：②⑵碰撞过程得：杆以角速度与滑块相碰碰后杆的角速度变为，滑块获得水平向左的速度。