一元一次方程知识点归纳

一元一次方程知识点归纳

一元一次方程是含有未知数的一次方程，其中未知数的次数为1。在学习一元一次方程前，我们需要先夯实基础，掌握等式的概念和性质。等式是用等号（“=”）表示相等关系的式子。需要注意的是，等式可以是数字算式、公式、方程、运算律、运算法则等，因此可以表示不同的意义。与等式不同的是，代数式不含等号，它只能作为等式的一边。例如，5x+3=7-2x就是一个等式。等式有两个重要的性质。第一，等式两边同时加（或减）同一个数（或式子），结果仍相等。例如，如果a=b，那么a±c=b±c。第二，等式两边同时乘同一个数，或除以同一个不为0的数，结果仍相等。例如，如果a=b，那么ac=bc；如果a=b（c≠0），那么a/c=b/c。需要注意的是，等式的性质不能同除以相同的数，因为不能作为除数或分母。等式性质还有两个延伸。第一个是对称性，即等式左右两边互换，所得结果仍是等式。例如，如果a=b，那么b=a。第二个是传递性，即如果a=b，b=c，那么a=c，也叫做等量代换。含有未知数的等式叫做方程。方程有两个条件，一是必须是一个等式，二是必须含有未知数。例如，x+2=1就是一个方程。方程和等式的区别在于，方程一定是含有未知数的等式，而等式不一定含有未知数。方程和等式的关系是从属关系，且有不可逆性。解方程就是求出方程中未知数的值。例如，解方程x+2=1，可以得到x=-1。解方程的过程需要运用等式的性质，将方程变形，使得未知数的系数为1，从而得到未知数的值。方程是一种特殊的等式，它包含未知数，使得等式左右两边相等的数值相同。方程的解就是使得方程成立的未知数的值。解方程是求方程的解的过程，需要通过变形等操作来得到具体的数值。检验一个数是否是方程的解，可以将这个数代入方程中，如果等式成立，则这个数是方程的解。方程可能有无解、一个解或多个解，解方程的依据是等式的基本性质。在列方程解应用题时，寻找等量关系是关键。可以从关键词中找等量关系，对于同一个量，从不同的角度用不同的方法表示，得到等量关系，也可以运用基本公式或不变量来找等量关系。利用方程的解求待定字母的方法是将方程的解代入方程，得到关于待定字母的方程，从而解决问题。一元一次方程是只含有一个未知数，未知数的次数都是1，等号两边都是整式的方程。它的标准形式是ax+b=0，其中x是未知数，a、b是已知数，并且a≠0。在解一元一次方程时，需要将方程进行变形，使得未知数的系数为1，然后通过移项等操作得到未知数的具体值。下列方程中，哪些是一元一次方程？哪些不是？(1)5+4x=11；(2)2x+y=5；(3)x^2-5x+6=0；(4)(5+x)/2=3x/2+1。移项移项是指将等式一边的某项变号后移到另一边。例如，解方程3x-2=2x+5时，可以在方程两边先加2，再减去2x，得到3x-2+2-2x=5+2，即x=7。需要注意的是，移项时要改变所移动的项的符号，不移动的项不能变号。同时，在移动时，最好先写左右两边不移动的项，再写移来的项。去括号与去分母解一元一次方程的最终目标是得到“x=a”的结果。为了达到这个目标，需要根据去括号和去分母的法则进行化简。在解含有括号的一元一次方程时，可以根据方程的结构特点利用一些方法和技巧去括号，以简化运算。例如，可以先去外再去内，或者整体合并去括号。在去分母时，需要将方程两边同时乘以所有分母的最小公倍数，并注意不要漏乘不含分母的项。当分母是小数时，需要将分母化整。例2：下列各题中的变形为移项的是（B）。A.由(1/(x+2))=1/2，得x+1=1/2；B.由5x-3=7x+5，得7x+5=5x-3；C.由-x-5+2x=6，得2x-x-5=6；D.由x-5=8-x，得x+x=8+5。例3：下列方程去括号正确的是（C）。A.由2x-3(4-2x)=6得2x-12+6x=6，合并同类项得8x-12=6，移项得8x=18，系数化为1得x=9/4。B.由2x-3(4-2x)=6得2x-12-6x=6，合并同类项得-4x-12=6，移项得-4x=18，系数化为1得x=-9/2。C.由2x-3(4-2x)=6得2x-12+6x=6，合并同类项得8x-12=6，移项得8x=18，系数化为1得x=9/4。D.由2x-3(4-2x)=6得2x-3+6x=6，合并同类项得8x-3=6，移项得8x=9，系数化为1得x=9/8。正确选项为A。四．解一元一次方程的一般步骤步骤：1.去分母：在方程的两边同乘各分母的最小公倍数。2.去括号：先去小括号，再去中括号，最后去大括号。3.移项：把含有未知数的项移到方程的一边，其它各项都移到方程的另一边。4.合并同类项：把方程化为ax=b(a≠0)的形式。5.系数化为1：在方程的两边都除以未知数的系数a。温馨提示：1.解一元一次方程的五个步骤，有些可能用不到，有些可能重复使用，不一定按顺序进行，根据方程的特点灵活运用。2.在解方程的各个环节有各自不同的注意事项，分别如下：（1）分子是多项式的，去分母后要加括号；（2）不要漏乘不含分母的项；（3）括号前的数要乘括号内的每一项；（4）括号前面是负数，去掉括号后，括号内各项都要变号；（5）移项时不要漏项；（6）将方程中的项从一边移到另一边要变号，而在方程同一边改变项的位置时不变号；（7）按合并同类项法则进行，不要漏乘且系数的符号处理要得当；（8）未知数的系数为整数或小数时，方程两边同除以该系数；未知数的系数为分数时，方程两边同乘该系数的倒数。（2）间接设未知数：根据已知量推出未知量的表达式，再设为未知数。（3）双重设未知数：先设一个未知数表示一个量，再设另一个未知数表示另一个量，建立它们之间的关系式。三．常见应用题型及解法（1）等量关系类：根据题目中的等量关系列方程，解方程求未知数。（2）比例关系类：根据题目中的比例关系列方程，解方程求未知数。（3）速度、时间、距离类：根据速度、时间、距离之间的关系列方程，解方程求未知数。（4）工程类：根据题目中的工程量关系列方程，解方程求未知数。（5）货币类：根据货币数量和面值之间的关系列方程，解方程求未知数。四．注意事项（1）注意单位的转换，统一单位后再列方程。（2）注意题目中的约束条件，如非负、整数等。（3）注意题目中的特殊条件，如某个量等于另一个量加上一个定值等。（4）注意解方程的过程中要化简、合并同类项、移项变号等基本操作，避免漏项、漏号等错误。1.间接设未知数：对于某些应用题，直接设所求量为未知数可能不太容易列出方程，因此可以间接设一个或多个与所求量有关的量作为未知数，从而求出所求量。2.设辅助未知数：如果直接设未知数和间接设未知数都不可行，可以设定某个量为辅助未知数，辅助未知数只是题目中量与量之间关系的一种桥梁，一般情况下，在解方程时不需要求出这个量。温馨提示：①直接设未知数的方法原则是使分析条件更方便，列方程更简单，这样可以更容易得到方程，同时还要兼顾所得到的方程求解时难易。直接设未知数的好处是容易选取未知数，并且在解方程时可以直接得到问题的解。②如果题目中涉及的几个量存在某种数量关系或某种比例关系，多采用间接设未知数的方法。间接设未知数是在直接设未知数、分析条件或列方程感到困难的时候才采取的方法。其优点是列出方程和解方程的过程都比较容易。③如果应用题涉及的量较多，各量之间的关系又不明显，若能设立适当的辅助未知数，把不明显的关系表示出来，就可以顺利地列出方程或方程组。例1：通讯员原计划5小时从甲地到乙地，因为任务紧急，他每小时比原计划快3公里，结果提前1小时到达，求甲、乙两地间的距离。解法一：直接设未知数。设甲、乙两地间的距离为x公里。利用速度间的关系作相等关系：原计划速度+3=实际速度，得x/(55-1)+3=x/5，解得x=60。解法二：间接设未知数，设原计划的速度为x公里/小时，则实际的速度为(x+3)公里/小时。利用路程关系作相等关系：原计划的路程=实际的路程，得5x=(5-1)×(x+3)，解得x=12，甲、乙两地的距离为5x=5×12=60公里。答：甲、乙两地的距离为60公里。例2：一只船在逆水中航行，船上的一只救生圈掉入水中，5分钟后，发现救生圈落水，船掉头去追赶救生圈，几分钟能够追上救生圈？（船掉头的时间忽略不计）解析：（设辅助未知数）设船在静水中的航行速度为a米/分，水流速度为b米/分，t分钟后船能够追上落水的救生圈。根据题意，得(a+b)t-bt=5b+5(a-b)。at=5a，t=5。答：5分钟后船能够追上落水的救生圈。三．一元一次方程应用题的常见类型类型内容题中涉及的数量关系及公式等量关系注意事项增长量增长量=原有量×增长率和、差、倍分问题现有量=原有量+增长量现有量=原有量-降低量长方体长方体体积=长×宽×高等积变形问题圆柱体积=πrh^2弄清“倍数”关系，理解“多”“少”关系，是解决配套问题的关键。在这个问题中，我们可以设生产螺栓的工人数为x，生产螺母的工人数为y。根据题目中的配套比，我们可以列出方程：50x=20y×2又因为总工人数为120，所以有：x+y=120解方程得到：x=64，y=56因此，每天安排64名工人生产螺栓，56名工人生产螺母，可以使每天生产出来的产品配成最多套。二．利用比例关系解决配套问题除了可以使用一元一次方程外，我们还可以利用比例关系解决配套问题。比例关系指的是两个或多个量之间的比值关系。在配套问题中，我们可以根据配套比例，列出相应的比例关系，从而解决问题。例2：某公司需要生产1000个产品，每个产品需要使用3个零部件A和2个零部件B，若已知零部件A和零部件B的配套比为2:1，那么需要生产多少个零部件A和多少个零部件B？首先，我们可以根据配套比例得到零部件A与零部件B的比例为2:1。因此，设生产零部件A的数量为2x，生产零部件B的数量为x。根据每个产品所需的零部件A和B的数量，我们可以列出比例关系：3:2=2x:x解方程得到：x=500因此，需要生产1000个产品，就需要生产1500个零部件A和1000个零部件B。二．利用列表法解决增长率、数字等问题为了解决复杂的问题，可以使用表格来确定等量关系。首先找出已知量和未知量，然后使用含有已知量或未知量的式子来表示中间的量，这些量起到桥梁作用，同时使用表格显示等量关系。例如，已知甲、乙两种商品的原单价和为100元。由于市场变化，甲商品降价10%，乙商品提价5%。调价后，甲、乙两种商品的单价和比原单价和提高了2%。现在要求甲、乙两种商品的单价各是多少元。三．利用图示法解决行程、工程等问题对于工程、行程等问题，经常使用图示来表示题目中各量之间的关系，揭示潜在的条件，使问题清晰明了，能够迅速列出方程，解决问题。例如，甲、乙相距40km，甲先出发，1.5小时后乙再出发。甲在后，乙在前，两人同向而行。甲的速度是8km/h，乙的速度是6km/h。现在要求甲出发多久后追上乙。又例如，一项工程需要甲队单独做10小时完成，乙队单独做15小时完成，丙队单独做20小时完成。开始时三队合作，中途甲队另有任务，由乙、丙两队完成，从开始到工程完成共用6小时。现在要求甲队实际做了多少小时。四．列一元一次方程解决销售利润问题常见的数量关系是利润=售价-进价。在解决销售利润问题时，需要注意打几折就是按原价的百分之几十出售，同时要分清利润与利润率的关系，利润率=（售价-进价）/进价。例如，书店里每本定价10元的书，成本是8元。为了促销，书店决定让利10％给读者。现在要求该书应打多少折。五．列一元一次方程解决比赛中的积分问题解决比赛中积分问题时，需要注意问题中积分多少与胜负的场数相关，同时也与比赛积分规定有关。需要先规定胜一场积几分，平一场积几分，负一场积几分。这类问题中的基本等量关系有：比赛总场数=胜场总数+平场总数+负场总数，比赛总积分=胜场总积分+平场总积分+负场总积分。例如，某班一次数学小测验中，出了选择题和填空题共20道，总分为100分。现在从中抽出5份试卷进行分析。现在要求某个同学得了70分，他答对了多少道题。另外，有一个同学H说他得了86分，另一个同学G说他得了72分，现在要判断谁在说谎。六．列一元一次方程解决储蓄问题解决储蓄问题需要明确以下概念：本金是顾客存入银