高中数学5-5-1第2课时两角和与差的正弦、余弦、正切公式（学案）

5.5.1三角恒等变换

第2课时两角和与差的正弦、余弦、正切公式

【学习目标】

课程标准学科素养

1.能根据两角差的余弦公式推导出两角和与差的正弦、正切公式和两角和1.逻辑推理

的余弦公式.2.数学运算

2熟.练掌握两角和与差的正弦、余弦、正切公式的特征.

3能.灵活运用公式进行化简和求值.

【自主学习】

两角和的余弦公式及两角和与差的正弦、正切公式

名称公式简记符号条件

两角和的余弦cos(a+4)=________________C9+ma,夕GR

两角和的正弦sin(a+y?)=________________S(a+.)

a,夕GR

两角差的正弦sin(a一4)=________________S(a-/)

两角和的正切T（a+夕）a,0,a土阱

tan(a+4)=____________

兀

/GZ)

两角差的正切T(a-)

tan(g一4)=____________

注意：在应用两角和与差的正切公式时，只要tana,tan/?,tan（a+夕）（或tan（a—』））中任一个的

值不存在，就不能使用两角和（或差）的正切公式解决问题，应改用诱导公式或其他方法解题.

总结：公式的结构特征和符号规律

对于公式C（af），C（a+/?），可记为“余余正正，符号异

对于公式S（a-6），S（a+0）,可记为“正余余正，符号同

对于公式T（a_0），%+B），可记为“分子同,分母异

【小试牛刀】

1.思考辨析（正确的画y”，错误的画'”）

（1）把公式cos（a—/0=cosacosW+sinasin£中的夕用一夕代替，可以得到cos（a+』）.（）

⑵两角和与差的正弦、余弦公式中的角a,夕是任意的.（）

（3）对任意的a,4角，都有tan（a±/O=；：田:吗.（）

厂r1+tanatanp

（4）tan七+目能根据公式tan（a+份直接展开.（）

（5）tana-tan夕，tana+tanQ,tan（a+夕）三者知二可表示或求出第三个.（）

2.cos75°cos15°—sin75°sin15°的值等于()

A.1B.C.0D.1

4

3.若tana=3,tan则tan(a一夕)等于()

A.1B.—1C.3D.—3

4.sin45°cos15°—cos45°sin150=.

【经典例题】

题型一给角求值

点拨：给角求值问题涉及两角和与差公式的正用和逆用，sin(a+p)=sinacos^+cosasinp

为正用，sinacos0+cosasm(a+p)即为逆用。公式的逆用是三角式变形的重要手段,

有时还需把三角函数式的系数0,坐，坐等均可视为某个特殊角的三角函数值，从而将常

]3兀兀71

数换为三角函数使用.例如：5cosa一手sini=sin4cosa-cos^sina=sin(g—a).

注意：在利用两角和差的正切公式时要注意常值代换：如ta4=1,1@谈=坐，1@吟=小等.

还要注意tan(j+«j=1+tana(TI1—tan。

；--7,tan7-a

1—tana14,1+tan«*

例1求下列各式的值：

1+tan75°

(1)sin14°cos160+sin76°cos74°；(2)sin古一小cos专;

1-tan75°,

【跟踪训练】1求下列各式的值：

(l)cos105°；(2)cos75°sin135°+sin45°cos15°；

门、1-tan27°tan330sin47°-sin17°cos30°

I"tan270+tan33°⑷cos17°

题型二给值求值

点拨：解题时要注意已知角与所求角之间的关系，恰当地运用拆角、拼角技巧，同时分析角之

间的关系，利用角的代换化异角为同角，具体做法是：

1.当条件中有两角时，一般把“所求角”表示为已知两角的和或差.

角的拆分方式如下：a=（a+夕）一夕=夕一0—a）,a=—J+—0=一，■——壮，

2a=（a+夕）+（a一夕）,2夕=（a+夕）一（a一夕），仔+a）+（£+.）=]+（a+份,售+a[+（g一夕[=]+（a

一份等.

2.当已知角有一个时，可利用诱导公式把所求角转化为已知角.

例2（1）已知cosa=；,aC（O,。sin4=一1,夕是第三象限角.求sin（a+/7）,sin（a—夕）的值；

(2)已知sin(午+a)=卷，cos(?一夕)=|,且0<a<?<"等,求cos(a+£).

【跟踪训练】2⑴若si-二cosa=3'tan（a-0=2,则tan0-2a）=.

⑵已知cc£（O,三），sin（a—£）=：,则sina的值为_________.

263

题型三给值求角

点拨：给值求角的方法

一般先求出该角的某个三角函数值，再确定该角的取值范围，最后得出该角的大小.

至于求该角的哪一个三角函数值，这要取决于该角的取值范围，然后结合三角函数值在不

同象限的符号来确定，一般地，若若角的取值范围是（0,习，则选正弦函数、余弦函数均可；

若角的取值范围是（一,引，则选正弦函数；若角的取值范围是（0,兀），则选余弦函数.

例3⑴已知sina=gsin0=^，且a,夕G（0,小求角a+4的大小.

（2）若a,4均为锐角，且tana=2,tan£=3,则a+尸等于（）

A.7T37T-5H—77T

4

跟踪训练】3设a,夕为钝角，且sina=亭，cosQ=—噂，则a+4的值为（）

•3兀-5兀-7兀_5兀一7兀

A彳B彳C彳D彳或彳

题型四正切公式的变形应用

点拨：T（“坳可变形为如下形式:

tana±tan£

tana±tany?=tan(a±y?)(1+tanatan^);l+tanatany?=

tan(a±^)

例4(1)求值：tan10°+tan50°+Stan10°tan50°.

⑵若锐角a,4满足(1+小tana)(l+/tan£)=4,求a+4的值.

【跟踪训练】4在△ABC中，tanA+tanB+小=，5taiL4tanB,则C等于()

AB

-3TC.o7D.1

【当堂达标】

1•已知c°sa书0<«<?则sin3+9=()

4

小企

c.——

10

1

2.]sinl5。一彳0^15。的值为()

A.乎B.—乎C.1

3.在△ABC中，A=g,COS8=*M则sinC等于()

A挈B.—乎C*D.邛

4.已知sin。-cos夕=3，cosa-sinQ=g,贝Usin(a+£)=.

5.计算(1)£]辞,。；(2)tan230+tan37°+V3tan23°tan370.

6,已矢学a＜尊Ov夕4cos住+a[=一sin年+H)=亮求sin(a+4)的值.

7.已知：a£(0,5P£(一去0),且cos(a—£)=,,sin£=一喟，求角a的大小.

_1兀兀、

8.己知tana=2,tan^=—y其中0<a</,夕<兀.求:

(l)tan(a一夕)；

(2)a+£的值.

【参考答案】

【自主学习】

cosacos^—sinasin夕sinacosQ+cosasin/5sinacos/?—cosasin夕

tana+tan/tana-tan1

1—tanatan§1+tanatan§

【小试牛刀】

l.(l)d(2)4(3)X(4)x(5)4

2.C3.A4.^

【经典例题】

例1解：(1)原式=sin14°cos16°+sin(90°—14°)cos(90°—16°)

=sin14°cos160+cos14°sin16°

=sin(14°+16°)=sin30°

=2-

(2)原式=2[sin吉一坐cos

c.兀

=—2sina

=—

tan450+tan75°

⑶原式=1-tan45N75。

=tan(45°+75°)

=tan120°

=­y[3.

【跟踪训练】1解：（1）原式=cos（6（F+45。）

=cos60°cos45°—sin60°sin45°

-X-X

2222

4

⑵原式=sinl5°cos450+sin45°cosl5°=sin(15°+45°)=sin600=w.

⑶原式tan270+tan3g；-tan(27°+33°)-tan60°一"P

l-tan27°tan33°

h-sin(17°+30°)-sin17°cos300

(4)原式=---------向下---------

sin17°cos300+cos17°sin30°—sin17°cos30°

cos17°

=sin30。

例2解：(l)・.・cosa=g,a£(0,今

Jsina=yj1-cos2a=y\/2.

3

•「sin夕=一小用是第三象限角，

I----------4

/.cos6=—yj1—sin2^=一亍

/.sin(a+£)=sinacos夕+cosasin夕

=|V2X(-1)+|XH)

3+8地

sin(ot-Q)=sinacos夕一cosasinp

24'3

3-8小

15

(2)V0<a<J<^<y,

・3IT3ITIITITnr\

・・—<—+a<n，--<—一£〈0.

4424/

又：sin(斗+a)=卷，cos(卜夕)=：,

/.cos(^+a)=—II，sin=~

.•.cos(a+/?)=sin碎+(a+.)]

=sin哼+a)-(：-0]

=sin(乎+a)cos(：一』)—cos(乎+a)sin《一份

533

=­x

1365

【跟踪训练】2(1)1解析:••_s_in_a_+__c_o_s_a___ta_n_a_+__1__

•sina-cosatana—1

/.tana=2.

又tan(a—/?)=2,

/.tanQ5-2a)=tan©—a)—a]

——tan[(a-/3)+a]

tan(a—£)+tana4

1—tan(a—^)-tana3*

⑵立磐解析：由题意可知，因为a£(0,勺，所以a—汨(一g5

62663

所以cos(夕一5)=J]_siM(a—%)=手'

rn,i../TT,7T./71、ITI/7T.n1\/3,2\[21V3+2V2

贝1Jsina=sin(a--+-)X=sin(a--)cos-+cos(a--)Xsin-=-xy+—x-=―--.

例3解：(l)・・・sina=g,sin4=察，且a,夕仁(0,》

/.cosa=V1-sin2*5a=竺，cosQ=5/1—sin2p=,

/.cos(a+4)=cosacos/?—sinasinQ

2<53V10V5Vio5V505y/2V2

51051050102’

又由已知可得a+S6(0,又.•.a+Q=*

tana+tanp2+3

⑵B解析：tan(a+/Q==-l.

1-tanatanp1-2x3

因为ae(o,尸e(o,小则a+夕e(o,兀),故a+K=

【跟踪训练】3C解析：•.《6为钝角，sina=9，

2^5

-5

由cos尸=一*俱，得sin/3=q1-cos2/，=[]-

V5V10_V2

5X10-2-

7TE

又\•兀<仁+夕<2兀，.故选C.

i/力,tan100+tan50°

例4解：(l)4tan60o=tan(100+50°)=]_tanl(Han50。'

tan100+tan50°=tan60°(l-tan10°tan50°),

J原式=tan60°(l-tan10°tan50°)+^3tan10°tan50°

=小一小tan10°tan50°+小tan10°tan50°=小.

(2)V(1+V3tana)(l+小ta印)

=1+6(tana+tan.)+3tanatan夕=4,

tana+tan^=^/3(l—tanatan^?),

,tana+tan/5r-

••tan(a+p)=~~~7=v3.

11—tanatanpv

又,：a,£均为锐角,/.0°<a+^<180°,

：.a+/i=60°.

【跟踪训练】4A解析：根据题意可知，tanA+tanB=^/3tanAtanB—^3,

by,tanA+tanB

所以tan(A+B)=-^———-73r

1—tanAtanBv

因为C=TI—A—B,故tan(A+B)=—tanC,

所以tanC=V3，

7T

因为在三角形中0<C<7t,故C=,故选A.

【当堂达标】

1.B解析：由cosa=-，0<。<一,得sina=|,

52

所以sin(a+》=曰sina+jcosa=jx|+y-x

2.B解析：原式=sin30°-sin15°—cos30°-cos15°

=—(cos30°-cos15°—sin30°-sin15°)

=-cos(30°+15°)=—cos45°=一多・

Vio

3.A解析：VcosB=•••3为锐角

10，

sinB=yj1-cos2B=^^^.

兀71

又VsinC=sin[兀—(A+B)]=sin(A+B)=sin4cosB+cos4sinB

=啦®也3®_8下_2小

-2X10+2X10-20-5

591.

4.五解析：由sina—cos^=5两边平方得

sin2a—2sinacos^+cos2/?=^,①

由cosa—sin^=g两边平方得

cos2a—2cosasin^+sin2/?=§,②

①+②得：(sin2a+cos2a)—2(sinacos夕+cosasin^)+(cos2/7+sir?,)=(+/.