高考数学复习18圆锥曲线经典难题之一类交点轨迹问题的通性通法研究

微专题18圆锥曲线经典难题之一类交点轨迹问题的通性通法研究

秒杀总结

交点轨迹问题的常用技巧：

1.两直线方程相乘消元

2.两直线方程相除，相当于两斜率比问题，平方转韦达结构可消元

3.定比点差法

4洞构

5.硬解坐标

典型例题

22

例1.（2022・全国•高三专题练习）已知双曲线「:,-2=1（。＞0力＞0）过点（4,13）,离心率为瓦，直线

/:x=9交x轴于点A,过点A作直线交双曲线「于M,N两点.

（1）求双曲线「的标准方程；

（2）若M是线段4N的中点，求直线MN的方程；

（3）设只。是直线/上关于x轴对称的两点，直线PM与QN的交点是否在一条直线上？请说明你的理由.

例2.（2022•全国•高三专题练习）已知抛物线C的顶点为原点，其焦点F（0,c）（c＞0）到直线/：x-y-2=0的

距离为逑.

2

（1）求抛物线（：的方程；

（2）设点尸（看,%）为直线/上一动点，过点P作抛物线C的两条切线尸A,PB,其中A,B为切点，求直线A8

的方程，并证明直线过定点。；

⑶过（2）中的点。的直线机交抛物线C于A,B两点，过点A,8分别作抛物线C的切线4,12,求心4

交点M满足的轨迹方程.

1

22

例3.（2022・全国•高三专题练习）已知椭圆C:£+3=l（a>b>0）的离心率为枭椭圆上的点到焦点的最

小距离为1.

（1）求椭圆C的方程；

（2）若直线/与椭圆C交于A,8两点，且OA，03（0为坐标原点），0/7,43于"点.试求点H的轨迹方程.

„1（4>人>0）的离心率为］

例4.（2022・全国•高三开学考试（理））椭圆E：,且过点（2&,2）.

（1）求椭圆E的方程;

（2）",瑞分别为椭圆E的左、右焦点，动点48在椭圆上（不含长轴端点），且关于y轴对称，尸为椭圆上

异于48的动点，直线处与尸8分别交y轴于M,N两点求证：直线与鹤的交点在定圆上.

过关测试

22

1.（2022•上海民办南模中学高三阶段练习）如图，A.8是椭圆C:三+二=1长轴的两个端点，M,N是椭

43

圆上与/、8均不重合的相异两点，设直线/初、BN、⑷V的斜率分别是勺、&2、k、.

⑴若直线MM过点（1,0）,求证：勺“为定值；

（2）设直线MN与x轴的交点为&0）（/为常数且f*0）,试探究直线NA/与直线8N的交点。是否落在某条定

直线上？若是，请求出该定直线的方程；若不是，请说明理由.

2

22

2.(2022•江苏南京•高三开学考试)在平面直角坐标系xQy中，已知椭圆C：「+与=1(°＞6＞0)的上顶点

CTb~

为A(0,2),离心率e=也，过原点O的直线(与坐标轴不重合)与椭圆C交于P,。两点，直线以，分别

2

与x轴交于A/,N两点，过点〃，N分别作直线以，Q(的垂线，设交点为R

(1)求椭圆C的方程；

(2)证明：点尺在定直线上运动.

3.(2022•山西•一模(理))在平面直角坐标系中，椭圆C：三+/=1(。＞6＞0)的离心率e=^，且

过点，手)，A,2分别是C的左、右顶点.

⑴求C的方程；

(2)已知过点G(l,0)的直线交C于M,N两点(异于点/,B),试证直线与直线N8的交点在定直线上.

4.(2022•河南•模拟预测(理))在直角坐标系xOy中，椭圆C:二+丁=1与直线/:犬=冲+1交于四，N两

4

点，P为的中点.

(1)若相＜0,且N在x轴下方，求tanNOPN的最大值；

(2)设48为椭圆的左、右顶点，证明：直线ZM的交点。恒在一条定直线上.

22

5.(2022•河南•模拟预测(文))已知椭圆C:=+4=1(a＞。＞0)的左、右顶点分别为A(-2,0),8(2,0),离

ab

心率为且直线/:x=my+l和C交于N两点

2

(1)当机=。时，求|MN|的值；

(2)设直线的交点为。，证明：点。恒在一条定直线上.

6.(2022・河南•温县第一高级中学高三阶段练习(理))己知椭圆C：1+与=1的离心率为业，其长轴的

crh23

两个端点分别为4(-3,0),5(3,0).

(1)求椭圆C的标准方程；

(2)点P为椭圆上除48外的任意一点，直线力P交直线x=4于点E,点O为坐标原点，过点。且与直线

8E垂直的直线记为I,直线8尸交y轴于点交直线/于点N,求N点的轨迹方程，并探究△8M0与△NA/O

的面积之比是否为定值.

3

7.(2022•广东珠海•高三期末)已知椭圆C:%，=l(a>b>0)的长轴长为4,左顶点力到上顶点8的距

离为㈠，厂为右焦点.

(1)求椭圆C的方程和离心率；

(2)设直线/与椭圆C交于不同的两点“，N(不同于48两点)，且直线8ML8N时，求尸在/上的射影

，的轨迹方程.

8.(2022•河北石家庄•一模)已知抛物线C：y?=2px(P>0),过点的直线/与抛物线C交于A,

B两点(A在B的左侧)，M为线段的中点.当直线/斜率为-1时，中点M的纵坐标为

(1)求抛物线(7的方程；

(2)若线段AM上存在点N,使得阿呢石加年M小求点N的轨迹方程.

9.(2022・贵州贵阳•一模(文))已知椭圆C：江+亡=1与直线/(不平行于坐标轴)相切于点

164

过点〃且与/垂直的直线分别交X轴J轴于A(m,0),,8(0,〃)两点.

(1)证明：直线等+乎=1与椭圆C相切；

164

(2)当点M运动时，点尸(机，n)随之运动，求点尸的轨迹方程.

10.(2022•全国•高三专题练习)设〃是椭圆C：£+?=1上的一点，尸、。、T分别为“关于y轴、原点、

x轴的对称点，N为椭圆C上异于"的另一点，且MN_LMQ,0N与P7的交点为E,当M沿椭圆C运动时，

求动点E的轨迹方程.

11.(2022•全国•高三专题练习)已知抛物线y2=4px(p>0),。为顶点，A,8为抛物线上的两动点，且满

足。如果于/点，求点M的轨迹方程.

22

12.(2022•全国•高三专题练习)为椭圆工+与=1上两个动点，且。QLOQz，过原点。作直线QQ

2h~h~

的垂线。。，求。的轨迹方程.

4

13.(2022・全国•高三专题练习)已知动点P与定点尸(1,0)的距离和它到定直线/:x=4的距离之比为3,记

P的轨迹为曲线C.

⑴求曲线C的方程；

⑵过点M(4,0)的直线与曲线C交于A8两点，R,Q分别为曲线C与x轴的两个交点，直线AR,8Q交于点

N,求证:点N在定直线上.

5

微专题18圆锥曲线经典难题之一类交点轨迹问题的通性通法研究

秒杀总结

交点轨迹问题的常用技巧：

1.两直线方程相乘消元

2.两直线方程相除，相当于两斜率比问题，平方转韦达结构可消元

3.定比点差法

4洞构

5.硬解坐标

典型例题

22

例1.(2022・全国•高三专题练习)已知双曲线「:,-2=1(。＞0力＞0)过点(4,13),离心率为瓦，直线

/:x=9交x轴于点A,过点A作直线交双曲线「于M,N两点.

(1)求双曲线「的标准方程；

(2)若M是线段4N的中点，求直线MN的方程；

(3)设只。是直线/上关于x轴对称的两点，直线PM与QN的交点是否在一条直线上？请说明你的理由.

【答案】⑴三-二=1

339

⑵x+y_9=0或x_y_9=()

(3)直线PM与0N的交点在定直线，理由见解析

【解析】

【分析】

(1)根据题意，列出方程组，结合02=储+从，求得。力的值，得出双曲线的标准方程，

(2)设"(%,%),则联立方程组，求得",N的坐标，即可求得直线的方程；

(3)设P(9,f),0(9,T),得到脑V:x=/ny+9,联立方程组，求得)1+必，必必，再由直线PM和QV的方程,

求得交点的横坐标，即可求解.

(1)

由题意得：二一兽=1,-=714,片+万、/

aba

解得片=3,b2=39,所以双曲线「的标准方程为t-f=l.

339

⑵

方法1：设则可空4)

1

22

二一空=1

339-

依题意有/-22解得无。二一4,y=±13

(%+9)为=]0

3x439x4-

所以直线MN的方程为x+y_9=0或x_y_9=（）.

2,

方法2：设直线MN的方程为》=左（工-9）,与双曲线的方程三-21=1联立得:

339

(13-*2)X2+18)12X-(8U2+39)=0.

当A=324A4+4(13-阴(81公+39)>0时

81标+39

设N(x2,y2),得为+々=—=----------------―,

13—K1-13-公

T7中心电+9由29公+39x；+9x,81fc2+39,,

又因为％=一］一，所以&=一13—m'=-下丁，解得“2=1•

此时△>（）,所以直线MN的方程为x+y-9=0或x-y-9=0.

（3）

方法1：设尸（91）,Q（9,-r）,

直线PM的方程为y-f=?/（x-9）,直线ON的方程y+r=,

联立两方程，可得2f=（=-入=］（x-9）①

x,-9j

转八（2）方法2可得々-9）+1_%（占一9）一「=乂斗+三一18）

一口口（2）方法2,可得&_9X|_9X2-9X,-9X,X2-9（X,+X2）+81

代人①得2=忧二Li.（X—日

A|-7IA|十X>I+O1

.81公+39）J18公）

故x=2中2-9（3+当）=（J］3J—（一］3―rJ」

x.+-1818k~.Q3

------v-1o

13-k2

所以直线PM与0N的交点在定直线x=g上.

方法2设直线的方程为x=，改+9,与双曲线的方程二-£=1联立得:

339

（13/7t2-l）y2+234n?y+1014=0.

设川（石方）,NH，%），P（9J）,Q（9l）,由根与系数的关系，得

234/7?1014

x+必"际了.二为二1

2

1PM：匕,=储(》-9),加：y+r=污(x-9),联立两方程，可得:

2「=卫一回(、一9)/"一回(>9)=丝当(3)

19一9X.-9)(四2)冲段

234m

=W-.!..f(x_9)=_2z(x_9),

m\3m2-\

解得X=；

所以直线PM与QN的交点在定直线X=；上.

例2.(2022•全国•高三专题练习)已知抛物线C的顶点为原点，其焦点尸(0,c)(c>0)到直线/：x-y-2=0的

距离为逑.

2

(1)求抛物线C的方程；

(2)设点？(%,%)为直线/上一动点，过点P作抛物线C的两条切线PA,PB,其中A,8为切点，求直线

的方程，并证明直线过定点Q;

(3)过(2)中的点。的直线〃?交抛物线C于A,B两点，过点A,B分别作抛物线C的切线心12,求心/2

交点M满足的轨迹方程.

【答案】⑴W=4y

(2)直线AB的方程为与x-2y-2%=0,证明见解析

(3)x-y-2=0

【解析】

【分析】

(1)利用点到直线的距离公式直接求得c值；

丫2丫2y

(2)设尸(天,与-2),设切点为区二)，曲线C:y=—,/=-,从而

442

£_2川+4%_8=0,由此能求出直线x°x-2y-2%=0,并能证明直线A8过定点。(2,2)；

⑶设A(±,乎)，85与)，从而求出交点竽)，设过Q点的直线为y-)+2,联立

ly=A-(.r-2)+2^得/_4履+弘一8=0,由此能求出点M满足的轨迹方程为x—y-2=0.

［厂=4>

(1)

设抛物线的方程为d=2py,

3

•••抛物线C的焦点尸（0,c）（c>0）到直线/：x-y-2=0的距离为手,

...|0一72|=半,解得c=［或c=_5（舍去），

V22

=1,p=2,

抛物线C的方程为f=4y.

⑵

丫21-2y

设P（%,%-2）,设切点为（x,丁），曲线C:y==,y'=~>

442

x2

则切线的斜率为WT%-2）_x,化简得/-2x0x+4x0-8=0,

x-%2

设g,争，85,苧），则巧是以上方程的两根，

则x,+x2=2XQ,x}x2=4x0-8,

X\2X2

44_X|+“2_/,

4B

-x,-x24-2

直线AB的方程为：)，_(=W(X7J，整理得y=Ex-A±+二，

42224

•.•切线以的方程为y得=5(f),整理得>=尹-4且点P(%,%)在切线E4上,

•••%=9%-(，即直线AB的方程为：y=,x-%，化简得5-2〉-2%=0，

242

XVy0=^-2,xo(x-2)-2^+4=O,

故直线AB过定点Q(2,2).

⑶

设A8,、)，BQ,5-),

过A的切线y=](x-M+f,过B的切线y=£(xf)+苧,

则交点M(工1工，等)

设过Q点的直线为y=©x—2)+2,

，-fy=Z(x-2)+2

联立〈2：，得Y-4丘+肽-8=0,

x=4y

xl+x2=4kf%%=8Z—2,

4

・・.M（2k,2k-2）,

y=x-2.

・・・点M满足的轨迹方程为x-y-2=0.

例3.（2022•全国•高三专题练习）已知椭圆。:.+£=1（。>6>0）的离心率为椭圆上的点到焦点的最

小距离为1.

（1）求椭圆C的方程；

（2）若直线/与椭圆C交于A,8两点，且04,08（0为坐标原点），于H点.试求点”的轨迹方程.

【答案】⑴三+汇=1;

43

e2212

（2）X2+/=y.

【解析】

【分析】

1r1

（1）根据题意椭圆上的点到焦点的最小距离得4-C=l,再根据离心率为:，得上=即可解得椭圆C的

2a2

方程.

（2）直线/与椭圆C交于A,B两点，设A（玉，x）,B（X2,y2）,根据题意求出轴时，点”（土栏,0）,

/_Ly轴，”（0,士栏）.当直线/的斜率存在且不为0时，设/:丁=履+〃?，联立直线与椭圆方程，韦达定理写

出％+々、玉々关于人与加的式子，再把,力的式子也用人与，"表示出来，再利用OAA.OB,知王9+,必=0,

代入得7M=12"+1）,再利用Oa_LAB得直线OH的方程为丫=-：彳，联立直线Q"与直线/,把左与制用x

与y表示出来，代入7疗=12（公+1）中，化简即可得到关于x与尸的方程，再结合①②即可得到答案.

（1）

C1

由题意知：e=—=—,a-c=\,a1=b2+c2，解得。=2,b2=3.

a2

r22

故椭圆的方程为工+匕v=1.

43

⑵

设4再，y）,3（毛，y2）,

（i）若/_Lx轴，可设〃（%,。），因Q4LOB,则4%,%）.由丘+丘=1,得需=2，即H（土栏,0）；

437V7

若/_Ly轴，可设4（0,%）,同理可得“（0，土源）；

（ii）当直线/的斜率存在且不为。时，设/：丫=丘+加，

5

y=kx+m

■y9（3+4公）/+8切ir+4>-12=0,

由三+x=i'消去y得:

43

1TbI8h"W-12

则%+*2=一晨而,为々=

3+4公

3m2-12k2

yy=（fcv,+m）（kx+tn）=k2xx+km（x、+x）+m2-

22t223+4公

3m2-l2k2

由OA_LO8,知g+y%=。.故小4-------—=0,

3+4攵2

即7加=12伏2+1)(记为①).

由QH_LA8,可知直线。〃的方程为y=-，x,

K

y=kx+mk=~-

y

联立方程组1，得<,（记为②）,

V=——X厂

Ikm=Fy

10

将②代入①，化简得V+丁若.

19

综合(1)、(2),可知点”的轨迹方程为/+y2=£.

例4.(2022•全国•高三开学考试(理))椭圆E：5■+，=1(〃>〃>0)的离心率为孝，且过点仅在2).

⑴求椭圆E的方程；

(2)6，鸟分别为椭圆E的左、右焦点，动点A,8在椭圆上(不含长轴端点)，且关于y轴对称，P为椭圆上

异于48的动点，直线均与尸8分别交y轴于M,N两点求证：直线M耳与叫的交点在定圆上.

【答案】⑴2+1=1

168

(2)证明见解析

【解析】

【分析】

(1)依题意可得4=0。且8=。，再根据椭圆过点(2应,2),即可求出c,从而得解；

(2)设A(X，M),尸仁,%),即可得到心、3P的方程，表示出用、N的坐标，从而得到加£、

NF1,两式相乘整理即可得到交点方程；

(1)

解：由£=变得°=缶，由—从，所以6=c,

a2

6

把点（2夜,2）代入方程得《+捺=1,所以,2=8，

22

所以椭圆E的方程为土r+匕=1.

168

⑵

解：设A（x”yJ,尸（如为），

1

由A尸方程：旷一y二必一,（*_&）,得“jo,汕二包，

%2-苦VX2~X\y

由BP方程：y-y=止弥+不），得N（o,&2i±四，

%+%I超+玉）

二岬的方程为"蒸舞卜+2月,①

可的方程为尸一翁［二/-2&），②

由①②相乘得/=聋言印，一8）,③

由A,P在椭圆上可得才=8吟，货=8吟，

代入③式可得：y2=-（x2-8）,

即直线M耳与Ng的交点在定圆£+尸=8上.

过关测试

22

1.（2022・上海民办南模中学高三阶段练习）如图，4、8是椭圆C:工+汇=1长轴的两个端点，M、N是椭

43

圆上与48均不重合的相异两点，设直线//、BN、ZN的斜率分别是占、自、

⑴若直线初V过点（1,0）,求证：4义为定值；

（2）设直线A/N与x轴的交点为«,0）（/为常数且20）,试探究直线ZM与直线8N的交点。是否落在某条定

直线上？若是，请求出该定直线的方程；若不是，请说明理由.

7

【答案】（1）证明见解析;

4

（2）是，x=—.

t

【解析】

【分析】

⑴设直线"N为：x=my+\,%（%，%），联立MV方程和椭圆方程，根据韦达定理和斜率计算

公式计算匕4即可;

（2）设仞V：x=my+t,M（XQJ,N（x?,%）.联立A/N方程和椭圆方程，求得根与系数关系.联立与BN

方程，消去外求解x,将根与系数关系代入化简即可求解.

（1）

设直线MN为：x=my+1,”（内,y），N（x2,y2）,

x=my-\-\

X2y2得，（3机2+4）/+6冲一9=0,

----F—=1

43

16m—9

・・y+必=—$—

13m2+4

.•i=上上=」一———”一「

%+2x2+2myx+3my2+3m'y%+3加(y+>2)+9

—9

=____________3瓶2+4_____________=__________2?_________=z2=_l

,(91"-9/M2-18/M2+27W2+36364

I3m-+4JI3m'+4J

火「B为定值;

4

⑵

设A/N：x=my+t,N®,%).

=1

43n(4+3m2)y2+6m/>+3产-12=0,

x=my+1

一6mt3产-12-6mt

.•k

则AM:y=):(x+2),BN:y=(x-2),

了2—2

//和8N方程联立得，”、(x+2)=一三(x-2),

x+2%,+2%(机y+f+2)%相)'跖+"+2)必

RJ--------=---------------=-------------------------=----------------------------

x-2X2-2x(m%+-2)K吵%+。一2)X

8

3广-12/_\（—Gmt

4+3加2'）（4+3m2

3产-12

+（，_2）,弘

4+3小

m（3t2-12）+（，+2）[-6皿一（4+3m2）y]

^（3/2-12）+（/-2）（4+3//12）^

222

3mt-\2m-6mt-12mt-（Z+2）（44-3/n）yi

m（3/_12）+（，_2乂4+3加卜1

22

-3mt-12mt-12〃z-«+2）（4+3m）y]

加（3尸一12）+（£-2乂4+3勿2）%

-3m（t+2）2-（r+2）（4+3m2）y

3机（，+2乂/一2）+«-2乂4+3〉）%

r+2-3机（/+2）-（4+3也%

t-23m（f+2）+（4+3〃/）y

_t+2

~2^7

x+2t+24

即------=------nx=—

x—22—t--------t

4

即直线ZM与直线8N的交点Q是否落在某条定直线x=包上.

22

2.（2022•江苏南京•高三开学考试）在平面直角坐标系xQy中，已知椭圆C：0+与=1（a＞方＞0）的上顶点

为AQ2）,离心率e=YZ,过原点O的直线（与坐标轴不重合）与椭圆C交于P,。两点，直线RI,0/分别

2

与x轴交于"，N两点，过点A/,N分别作直线双，。/的垂线，设交点为几

（1）求椭圆C的方程；

（2）证明：点7?在定直线上运动.

22

【答案】⑴一+一=1

84

（2）证明见解析

【解析】

【分析】

（1）由题意得到b=2,再由6=也，求得4=8,即可求得椭圆的标准方程；

2

QO7,2

（2）设直线PQ的方程为丫=匕，联立方程组求得不马二-「米，得至分别求得”和AQ

I+1+2k

9

的方程，求得M（二^\，。），N（二^,0）,结合MR_LAP,NG，AQ,求得MR和M?的方程，代入即可求解.

%-2y2-2

（1）

v-2v2

解：由题意，椭圆C：3+4=l（a>b>0）的上顶点为40,2）,可得b=2,

a-b~

由离心率6=立^,可得==1-4=:，解得/=8，

2cra12

22

所以椭圆的方程为二+幺=1.

84

⑵

解：由题意知，直线PQ的斜率存在，设直线PQ的方程为丫=辰，

\y=kx一c

联立方程组3+22=8,整理得（1+2公）/-8=0,

8

设P（A,X）,,必），可得h+工2=0,玉x?=-,

1।乙K

、8人2

则%+%=+々）=0,=-1+〃方，

又由4（0,2）,所以直线AP的方程为y-2=比心（x-0）,即y=2i二X+2,

王占

令〉=0,可得工=二^,即M（3y,0）,

y-2y,-2

同理可得：直线AQ的方程为y=»二X+2,点N（二^3,0）,

因为MR，AP,M?_LAQ,所以七匠=二、，心匠=二^

y-2y2-2

所以直线MR的方程为'=二、（*+/）,

可得x=

X-2y,-2一百y1-2

直线NR的方程为卜=言（，+色），可得-启,

1V.-22xy2-22x,整理得（上二7-2))_2菁2/

所以〒—yK

为,X-2y2-l

所以"用+2々、=-2x2yt+4X2+2Ky2-4玉

Xi%(y,-2)(y2-2)

4X+

所以何4-2玉-kXyX-,+2X2_-2kx2x}+22kx}x2-4x]

又因为必=乜，乂=埔，,・”(-2)

2x>-2x-4x+4X2

所以二一1•y=l

玉WMM+4

10

2中22XJX22X1X2

所以)丁|必+48旬~~~4-

--------J-4-----T

1+2/1+2公

h、j8，匚I、I—161+2Z~

因为=~~~~—y,所以y=--------------4,

-\+2k2,1+2/4

所以点R在定直线丫=-4上运动.

22/T-

3.(2022•山西•一模(理))在平面直角坐标系中，椭圆C：★■+*>匕>。)的离心率《=苧，且

，A,8分别是C的左、右顶点.

(1)求C的方程；

(2)已知过点G(l,0)的直线交C于"，N两点(异于点/,B),试证直线与直线N3的交点在定直线上.

丫2v2

【答案】⑴土+匕=1；

42

(2)证明见解析.

【解析】

【分析】

(1)将点的坐标代入椭圆方程得出关于〃、6的方程，结合离心率列出方程组，解方程组即可；

(2)设过点G的直线方程为x=my+l、)、%(马，必)，联立椭圆方程，利用韦达定理表示出M+必、)1%，

根据直线的点斜式方程求出直线与8N的方程，两式相除，化简计算可得直线与8N的交点的横坐

标为4,即可证明.

(1)

由题意知,

ca

—=--

a2

a-yplc

16।

/十方=、化简得13

〔正+赤=1

a2=b2+c2

解得&2=4,〃=2,故椭圆的方程为£+亡=1;

42

⑵

设过点G的直线方程为工=松+1,

x—my+1

<x2y2,消去X,得（加2+2）/+2冲-3=0,

—+—=1

42

2

A=4m+14-2）>0,设/V（x2,y2）,

11

—2m.—33

则X+乂必=1工，所以")'通=彳(%+%)

m+2m+22

又A(—2,0)，B(2,0),得砥.=卷，须N=-^,

X]+2/—2

所以直线4M的方程为y=—%(才+2),

直线BN的方程为y=±(x-2),两式相除，

X-,-2.

徨]=乂

&_2x+2(x,+2)y2_x+2

付1

x.+2y2x-2'(x,-2)y,x-2'

39

+

（七+2）），2=（四；+3）%缈跖+3%_5'|+万%+3>22^i2

33=3,

二13-

。2-2）凹（m），2-1）凹my%一,-+-

22/X+/%

即一-=3,解得x=4,

x-2

即直线AM与8N的交点的横坐标为4,

所以直线与8N的交点在定直线x=4上.

4.（2022•河南•模拟预测（理））在直角坐标系屹y中，椭圆C:±+/=l与直线/：》=叫用交于朋，N两

4

点，P为的中点.

（1）若加＜0,且N在x轴下方，求tan/OPN的最大值；

（2）设48为椭圆的左、右顶点，证明：直线ZN,8/的交点。恒在一条定直线上.

【答案】⑴一］4

（2）证明见解析

【解析】

【分析】

（1）利用三角形外角的性质，找到tanNOPN与直线"N,0P倾角的关系，从而找到斜率关系，联立直线

MN与椭圆得到韦达定理，然后利用两角和差公式以及均值不等式求解即可.

12

(2)利用坐标分别表示出直线/N,8M的方程，联立方程组可发现其两直线交点横坐标为定值.

(1)

设NH，%).

(1)记/的倾斜角为a,OP的倾斜角为夕，则NOPN=a—〃.

2m

x=my+1,%+%=--

由2得（m2+4）/+2机、一3=0,贝I卜/n+4

—3

乂必二^^，

+4

、八8十口r/4根m

所以=加（乂+%）+2=1-于是尸一^-一一j~7•故ZOP=一二•

--'m2+4I"+4/n2+4J4

，+%/、

所以tanZ.OPN=tan（a—尸）=_k—跳——=~~~|,

'产）1+3•&「I3{m4）3

4

]/??

当且仅当--=-丁，即加=-2时，取到“=”.

m4

4

所以tanNOPN的最大值为.

⑵

易知A(-2,0),B(2,0).由题意知心N=上不，原M=f,

X)+，X|-Z

所以直线/N的方程为y=*—(x+2),

直线8"的方程为〉=一卷一(》-2).

Xj-Z

令（x-2）="+2）,

X.—ZX。十N

2%（%-2）+2）（9+2）4〃叫％-2俳+6）1

解之得X=

%（々+2）-%（占-2）

3yl+y2

4殴%-2（%+»）+8乂

2%+（%+必）

所以点。恒在定直线工=4上.

22

5.(2022•河南•模拟预测(文))己知桶圆C:「+:=1(a＞。＞0)的左、右顶点分别为A(-2,0),8(2,0),离

ab

心率为迫直线/:x=my+l和C交于M,N两点、

2

⑴当小=0时，求网的值;

13

（2）设直线的交点为。，证明：点。恒在一条定直线上.

【答案】（1）|MN|=6

（2）证明见解析

【解析】

【分析】

（1）由题意可求出a，c,再由层=〃一,2,可求出从，从而可求出椭圆方程，将x=l代入椭圆方程中可求

出N两点坐标，进而可求出|MN|的值，

（2）设加（补%）,2区,丫2）,将直线方程代入椭圆方程中消去x,利用根与系数的关系，表示出直线AN的方

程和直线的方程，联立求出其交点的横坐标化简可得答案

（1）

设椭圆的半焦距为c（c>0）.根据题意，4=2,

因为£=正，所以c=6，

a2

所以y-2=4-3=】，

所以C的方程为£+丁=1,

4

当加=0时，Z：X=1,代入C的方程可得y=土孝,

所以|MN|=g.

⑵

x=my+l

x22，得（加+4）/+2缈一3=0,

二=1

12m

X+%=_24

设”（百,％）,%（工2，>2）,则｛m+

m~+4

因为后AN=1o=.।o，

X2+2f-2

所以直线4V的方程为y=+2）,

直线BM的方程为y=~^、（x-2）.

七一2

令93-2）=上方（》+2）,

%-2x2+2

14

2y2(%-2)+2y(%+2)=4〃5%—2*+

解之得X=

%(七+2)-%(阳-2)