高一物理：与斜面（曲面）结合的平抛运动

与斜面（曲面）结合的平抛运动

经典必考题

题型一顺着斜面平抛

宇航员站在某质量分布均匀的星球表面一斜坡上P点，沿水平方向以初速度”。抛出一个小球，测

得小球经时间f落到斜坡另一点。上，斜坡的倾角为a,已知该星球的半径为R,引力常量为G,

4

V=-nRi

球的体积公式是3。求：

（1）该星球表面的重力加速度g;

（2）该星球的密度；

（3）该星球的第一宇宙速度。

【解题技巧提炼】

（1）落到斜面上，已知位移方向沿斜面向下（如图）

处理方法：分解位移.

x=v（）f

tan

X

可求得/=2votane.

g

（2）物体离斜面距离最大，已知速度方向沿斜面向下（如图）

处理方法：分解速度

vo>B尸g，

tan0=-

vo

/votan6

g.

从斜面上某点水平抛出，又落到斜面上的平抛运动的五个规律（推论）

（1）位移方向相同，竖直位移与水平位移之比等于斜面倾斜角的正切值。

（2）刚落到侧面时的末速度方向都平行，竖直分速度与水平分速度（初速度）之比等于斜面倾斜

角正切值的2倍。

f2votan^|

（3）运动的时间与初速度成正比in。

_2votan£|

（4）位移与初速度的二次方成正比

（5）当速度与斜面平行时，物体到斜面的距离最远，且从抛出到距斜面最远所用的时间为平抛运

动时间的一半。

题型二对着斜面平抛

如图所示，倾角为37。的斜面长在斜面底端正上方的。点将一小球以w=3m/s的速度

水平抛出，与此同时由静止释放斜面顶端的滑块，经过一段时间后，小球恰好能够以垂直于斜面

的速度在斜面P点处击中滑块。（小球和滑块均可视为质点，重力加速度g取10m/s2,sin37°=

0.6,cos37°=0.8）,求：

（1）抛出点O离斜面底端的高度；

（2）滑块与斜面间的动摩擦因数

【解题技巧提炼】

垂直撞在斜面上，已知速度方向垂直斜面向下（如图）

陲扇口、'』

v

0

处理方法：分解速度.

Vx=VO

tan0=-=—

gt

可求得

gtan8

题型三与圆弧面有关的平抛运动

(多选)如图所示为一半球形的坑，其中坑边缘两点/、N与圆心等高且在同一竖直面内。现甲、

乙两位同学分别站在“、N两点，同时将两个小球以刈、也的速度沿图示方向水平抛出，发现两

球刚好落在坑中同一点0，已知NMO0=6O。，忽略空气阻力。则下列说法正确的是()

A.两球抛出的速率之比为1：3

B.若仅增大匕，则两球将在落入坑中之前相撞

C.两球的初速度无论怎样变化，只要落在坑中的同一点，两球抛出的速率之和不变

D.若仅从M点水平抛出小球，改变小球抛出的速度，小球不可能垂直坑壁落入坑中

【解题技巧提炼】

1.落点在圆弧面上的三种常见情景

(1)如图甲所示，小球从半圆弧左边沿平抛，落到半圆内的不同位置.由半径和几何关系制约时

间f：A=1g/2,R±\lR2-h2=vot,联立两方程可求

(2)如图乙所示，小球恰好沿3点的切线方向进入圆轨道，此时半径08垂直于速度方向，圆心

角a与速度的偏向角相等.

(3)如图丙所示，小球恰好从圆柱体。点沿切线飞过，此时半径O0垂直于速度方向，圆心角。

与速度的偏向角相等.

2.与圆弧面有关的平抛运动，题中常出现一个圆心角，通过这个圆心角，就可找出速度的方向及

水平位移和竖直位移的大小，再用平抛运动的规律列方程求解.

题型四斜抛运动

在篮球比赛中，投篮的投出角度太大和太小，都会影响投篮的命中率。在某次投篮表演中，运动

员在空中一个漂亮的投篮，篮球以与水平面成45。的倾角准确落入篮筐，这次跳起投篮时，投球点

和篮筐正好在同一水平面上(图)，设投球点到篮筐距离为9.8m,不考虑空气阻力，g取lOiWs?。

(1)篮球进筐的速度有多大？

(2)篮球投出后的最高点相对篮筐的竖直高度是多少？

【解题技巧提炼】

3.研究方法：运动的合成与分解

(1)水平方向：匀速直线运动；

(2)竖直方向：匀变速直线运动.

4.基本规律(以斜上抛运动为例，如图所示)

(1)水平方向：V0A=V()COS0,尸"=0；

(2)竖直方向：voy=vosin0,F”=mg.

【技巧点拨】

对斜上抛运动从抛出点到最高点的运动，可逆过程分析为平抛运动，分析完整的斜上抛运动，还

可根据对称性求解某些问题.

对点变式练

题型一顺着斜面平抛

跳台滑雪是一种勇敢者的滑雪运动，运动员穿专用滑雪板，在滑雪道上获得一定速度后从跳台飞

出，在空中飞行一段距离后着陆。现有某运动员从跳台4处沿水平方向飞出，在斜坡6处着陆，

如图所示。测得外间的距离为40m,斜坡与水平方向的夹角为30。，试计算运动员在。处的速度大

小和在空中飞行的时间。不计空气阻力，g取lOm/s?。有兴趣的同学可以计算一下运动员在空中

离坡面的最大距离。

题型二对着斜面平抛

如图所示，一个小球从高〃=10m处以水平速度为=10m/s抛出，撞在倾角0=45。的斜面上的p点,

已知"C=5m,重力加速度大小取g=10m/s2。求

（1）P，C之间的距离；

（2）小球撞击尸点时速度。

P->VO

题型三与圆弧面有关的平抛运动

（多选）如图所示，a,b两个小球分别从半圆轨道顶端和斜面顶端以大小相等的初速度同时水平

抛出，已知半圆轨道的半径与斜面的竖直高度相等，斜面底边长是其竖直高度的2倍，则（）

abv0

A.一定是b球先落在斜面上

可能是a球先落在半圆轨道上

C.当时，一定是a球先落到半圆轨道上

题型四斜抛运动

以抛射角为30。、大小为10m/s的初速度从水平地面上抛出一个小球，不计空气阻力，取重力加速

度大小g=10m/s;则小球的射高和射程各为多大？

变式综合练

一、单选题

1.如图所示，一名运动员在参加跳远比赛，他腾空过程中离地面的最大高度为3成绩为43假

设跳远运动员落入沙坑瞬间速度方向与水平面的夹角为a,运动员可视为质点，不计空气阻力，则

有（）

2_

A.tana=2B.tan«=lC.tana=2D.tana=4

2.网球运动员训练时，将球从某一点斜向上打出，若不计空气阻力，网球恰好能垂直撞在竖直墙

上的某一固定点，等速反弹后又恰好沿抛出轨迹返回击出点。如图所示，运动员在同一高度的前

后两个不同位置将网球击出后，垂直击中竖直墙上的同一固定点。下列判断正确的是（）

A.沿轨迹1运动的网球击出时的初速度大

B.两轨迹中网球撞墙前的速度可能相等

C.从击出到撞墙，沿轨迹2运动的网球在空中运动的时间短

D.沿轨迹1运动的网球刚要撞墙时的速度小

3.如图所示为四分之一圆柱体0/8的竖直截面，半径为R,在8点上方的C点水平抛出一个小

球，小球轨迹恰好在D点与圆柱体相切，OD与0B的夹角为60,则C点到B点的距离为（)

RR3R

A.4B.2C.4D.R

4.如图所示，一个半圆形轨道放置在水平地面上，轨道半径为R,。点为其圆心，从轨道最左端"

点正上方的某处水平抛出一个小球，小球落在半圆轨道上时速度恰好沿汽。方向，乂。与水平方向

的夹角为60。，则小球抛出时的高度为（）

币RV33。

A.丁B.MC,丁D,也R

5.如图所示，以9.8m/s的水平初速度vo抛出的物体，飞行一段时间后，垂直地撞在倾角为30。的

斜面上，这段飞行所用的时间为（）

6.如图所示，倾角。=30的斜面45,在斜面顶端8向左水平抛出小球1、同时在底端/正上方

与B等高处水平向右抛出小球2,小球1、2同时落在尸点，尸点为斜边Z8的中点，则（）

A.小球2一定垂直撞在斜面上

B.小球1、2的初速度可以不相等

C.小球1落在P点时与斜面的夹角为30,

D.改变小球1的初速度，小球1落在斜面上的速度方向都平行

二、多选题

7.如图所示，足够长的斜面上有。、b、c、d、e五个点，ab=bc=cd=de,从。点水平抛出一个

小球，不计空气阻力，当初速度为丫时，小球落在斜面上的°点，落在斜面上时的速度方向与斜面

的夹角为名当初速度为2V时，则（）

A.小球落在斜面上时的速度方向与斜面的夹角大于e

B.小球落在斜面上时的速度方向与斜面的夹角也为°

C.小球可能落在斜面上的c点与d点之间

D.小球一定落在斜面上的e点

8.如图所示，一固定斜面倾角为仇将小球A从斜面顶端以速率w水平向右抛出，小球击中了斜

面上的P点；将小球B从空中某点以相同速率出水平向左抛出，小球恰好垂直斜面击中。点.不

计空气阻力，重力加速度为g,下列说法正确的是（）

A.若小球A击中P点时速度方向与水平方向所夹锐角为0,则tan®=2tane

B.若小球A击中P点时速度方向与水平方向所夹锐角为9,则tane=2tanO

C.小球A、B在空中运动的时间之比为2tan*:l

D.小球A、B在空中运动的时间之比为tan?e：l

9.竖直平面内有一半圆轨道，W为水平直径，将三个半径远小于轨道半径的小球a,b,c以不

同的初速度从也点水平抛出，a,c球在轨道上的落点在同一水平面上，b球恰好落在轨道最低点,

如图所示，不计空气阻力，在小球从抛出到碰到轨道的过程中，下列说法中正确的是（）

b

A.三小球运动时间关系为4<%<4B.三小球运动时间关系为《='c

C.三小球的初速度关系是匕D.c球的初速度是a球的2倍

10.某同学在水平篮球场地上做斜抛运动实验，若在水平地面上将小球均以初速度大小10m/s抛

出