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文档简介
人教A版(2019)必修第一册第五章5.5三角恒等变换课时
训练七
学校:.,姓名:
一、单选题
sin80°+l
1.)
sin250-l
_V2B.@
A.C.-2D.2
22
,,711+cos2a1-cos2a等于()
2.若ac万,不则
2-2
A.cosa-sinaB.cosa+s\na
C.-cosa+sinaD.-cosa-sina
3.已知sin(2+ajcos兀
~~a»则sin,a+cos'a:()
17
AZB.1D.
,318
4.已知函数/(X)=V3sincoxcoscox+cos2,(69>0,xG/?),若函数f(x)在区间
(],万)内没有零点,则。的取值范围()
(。,书B.(0,■,弃I
A.
12612
C.(。,1]D.
5.德国著名的天文学家开普勒说过:“几何学里有两件宝,一个是勾股定理,另一个是
黄金分割.如果把勾股定理比作黄金矿的话,那么可以把黄金分割比作钻石矿.”黄金三角
形有两种,其中底与腰之比为黄金分割比的黄金三角形被认为是最美的三角形,它是一
个顶角为36。的等腰三角形(另一种是顶角为108的等腰三角形).例如,五角星由五个
黄金三角形与一个正五边形组成,如图所示,在其中一个黄金“WC中,型=道二1
AC2
根据这些信息,可得sin126。=()
☆
Al-2>/503+有„1+行c4+石
A.----D.-----C.----u.-------------
4848
ia
6.已知a是第四象限角,且sina+cosa=g,则tan£=()
A.--B.--C.1D.2
7.已知函数/(x)=l-2sin2x+2百sinxcosx在[0,上的最大值为2,则实数,"的
最小值为()
nc乃
A.-B.一
36
8.函数〃x)=sin2x-;是()
A.周期为"的偶函数B.周期为乃的奇函数
C.周期为2万的偶函数D.周期为2万的奇函数
二、多选题
rrjr
9.若关于x的方程2Gcos2x-sin2x=百-加在区间上有且只有一个解,则〃?的
4o
值可能为()
A.-2B.-1C.0D.1
10.已知函数/(x)=J5(cos2x-g1-3sinxcosx,贝!!()
A.Ax)在[-乃叫上有两个零点
-2乃1
B.Ax)在一石兀上单调递增
TT
C./(X)在―,71的最大值是1
D./(X)的图像可由y=-Gsin2x向右移动£得到
11.已知函数/(x)=l-2cos2(ox+?)(0>O),下面结论正确的是()
A.若毛,4是函数f(x)的两个不同的极值点,且阮-司的最小值为%则。=1
B.存在。e(O,l),使得f(x)往右平移2个单位长度后得到的图象关于原点对称
C.若/(X)在[0,2句上恰有6个零点,则。的取值范围是
(21「乃)-
D.若GE0,不,则在上单调递增
I3」L64」
12.已知函数f(x)=cos2x_2sin(]-x卜os(5+xj,贝ij()
A.f(x)的最大值为3B./(x)的最小正周期为乃
试卷第2页,共3页
C./(x)的图象关于直线X=g对称D./(x)在区间―379r,工7T上单调递减
OOO
三、填空题
13.若35布£一5布£=5/15,。+力=/,则sina=,cos2^=
14.函数/(x)=6sin2x+2cos2x在区间一亲看上的最大值为
16.已知sin[\+a)=仔,贝ij<:0$(署一2。)=
四、解答题
17.已知函数/(x)=Ksin(0x+Q)+2sin2(美!皆]-1(O>0,0<夕<勿)为奇函数,且
/(x)图象的相邻两对称轴间的距离为
⑴求的解析式与单调递减区间;
(2)已知f(x)在-会朝时,求方程2/2(x)+G“x)-3=0的所有根的和.
18.设函数/'(x)=*cos(2x+?)+sin::x
(I)求函数/(x)的最小正周期;
7T7T1
(H)设函数g(x)对任意xeR,有g(x+3)=g(x),且当xe[0,]]时,5(x)=--/(%);
求函数g(x)在[-肛。]上的解析式.
19.已知函数f(x)=cos?x+J5sinxcosx-g(xeR)
(1)求/(x)的最小正周期;
TTTT
(2)讨论f(x)在区间-iI上的单调性;
参考答案:
1.C
【分析】利用诱导公式和降累公式化简即得解.
sin80°_4_-_1___co_s—1_0_+_1_______—co2sx1_0_0+__1____
【详解】解:由题得sin”。-1-1—coslO.--cos10-1
---------------1
2
故选:C
2.D
【分析】利用降次公式化简求得表达式,求得正确答案.
71
【详解】依题意ae5"
1-cos2a/;-;-।I।.i
-----------=vcos-a-\lsin~a=|cos6Z|-|sina|=-cosa-sina.
故选:D
3.D
【分析】先由sin+a}os71=;得sin2a=-g,再通过降幕公式化简得
~~a
sin4«+cos4«=*2-3Sin22a,代入即可求解.
2
6.Y
TTTT|12
【详解】*sin(-a)cos(--a)=-,cosa+——sina—,即(sina+cosa)2=—,
+2
21
l+2sinacosa=一,所以sin2a=——,
33
22
.J-cos2a、2,l+cos2a、21+cos2a2-sin2a17
sin4a+cos4a=(-----------)+(-----------)=
2222一而
故选:D.
4.B
【分析】化简)(x)解析式,根据/(X)在区间(],万)内没有零点列不等式并进行分类讨论,
由此求得。的取值范围.
01
【详解】函数/(x)=gsin69COSCOX+COS-COX——
2
A/3.C1+cos2a)x
=——sin2cox+--------------
222
=sin(269x+-),
6
函数“X)在区间内没有零点,《上乃—g=工Ng,0<042,
22226y2
答案第4页,共9页
一<X<7T,CD71H---<26yxH----<2①兀H----,
2666
左端点G4十一,0<69<2,—<69^-+—<——,
6666
右端点2G乃4—,0<<y2,一<ICDTI4—W--—,
6666
7171,
一<(071+—<717T<0)71+—<271
666
所以或,
兀A冗,冗
—<Z.CD7C+—<717t<2。4十一K2%
1666
5,/I
0<69<—-<CD<—
666
即或,
5,JI
0<^y<——<co<—
121212
所以U.
I"」|_612_
故选:B
5.C
【解析】计算出cos72=^],然后利用二倍角公式以及诱导公式可计算得出
4
sin126°=cos36°的值,即可得出合适的选项.
【详解】因为金。是顶角为36。的等腰三角形,所以,ZACB=721
则加入小2BC#>-1,sinl26=sin(90+36)=cos36,
cos72=cosZACB=--=---------')
AC4
而cos72°=2cos236-1,所以,cos36=
故选:C.
【点睛】本题考查利用二倍角公式以及诱导公式求值,考查计算能力,属于中等题.
6.A
【解析】由题求出sina=—13,cosa=4-,再求atan]得解.
【详解】Vsina+cosa=~^sin2a4-cos2a=1,a是第四象限角,
..34
..sina=——,cosa=—,
55
.a
sin—2sin2-
a71-cosa]_
则M1tan—=------=2
2a3.aasina3
cos—2sincos
222
答案第5页,共9页
故选:A.
【点睛】方法点睛:三角恒等变换常用的方法:三看(看角看名看式)三变(变角变名变式).
要根据已知条件灵活选择方法求解.
7.B
【分析】先对函数化简变形得f(x)=2sin(2x+与,然后由x€[0,m\,得2x+白,2m+刍,
6666
再由其最大值为2,所以可得2加+£..[+2时,从而可求出,〃的范围,进而可求出,”的最小
62
值
【详解】解:函数/(x)=l-2sin2x+2\/3sinxcosx=cos2x+\[3sin2x=2sin(2x+—),
6
因为x£[0,m],所以2x+[w[£,2rn+刍,
666
因为函数的最大值为2,所以2帆+5.[+2",k..0,且&eZ,
62
解得加..£+%%,%..(),且女EZ,
6
所以机的最小值为m,
6
故选:B.
8.A
【分析】利用降幕公式化简函数解析式,再根据余弦函数的图像与性质即可逐项分析求解.
【详解】/(A-)=!Z^£_1=_1COS2A-,
故以X)的最小正周期为兀,为偶函数.
故选:A.
9.AC
7[71
【分析】整理换元之后,原问题转化为cosz=-,f77在区间-§,万上有且只有一个解,即
y=cosr的图象和直线>£只有1个交点.作出简图,数形结合可得结果.
【详解】26cos2;c-sin2x=\/J-机整理可得cos(2x+V)=-葭,
令1=2x+g,因为冗£-,则--
6L46」[_32_
所以cosr=-?在区间上有且只有一个解,即y=cost的图象和直线>=只有1
个交点.
答案第6页,共9页
>77m1
由图可知,-1=1或0,,-£<5,解得机=-2或一l<〃4,o.
【分析】利用降幕公式、二倍角公式,辅助角公式化简整理,可得/*)=KCOS(2X+(
根据余弦型函数的性质,逐一分析各个选项,即可得答案.
一3sinxcosx=^^(22』
【详解】f(x)=cosx-l)-sin2x
)2
=^-cos2x--sin2x=\/3
cos2x+—,
22I3j
A选项,令/(幻=百(:0$(2苫+?)=0=2工+(=%乃+/=》=与+专(《€2),
jr2njr
B选项,令一7+2k兀<2x+y<2k]=一一-kri<kTr^kGZ),
所以/(x)的单调递增区间卜|-夸+•=工-奈+.任冈卜,
令七0,可得一个递增区间为-多,-2乃,且-亭,-《兀u-?,-:万,所以B正确;
3o333o
TT7TI7T
C选项,因为X€§,7t,所以2X+§€TV,—
所以当2X+£=2乃,即x=。万时,/(1^-)=>/3cosf2x1^+^k73,所以C错误;
36o163yz
D选项,y=-6sin2x向右移动J,贝lj
6
y-—V?sin2^x——=—V3sin^2x——=>/3sin■—2x)=y/3cos(2x+—,所以D错误.
故选:AB
答案第7页,共9页
【点睛】解题的关键是熟练掌握恒等变换公式、余弦型函数的性质,并灵活应用,综合性较
强,属中档题.
II.BCD
(分析】A选项由归-wlmin=g即可求出。;B选项先平移得到g(x)=sin(2s+L萨乃
由上弃乃=%乃即可求解;c选项求出整体的范围,再由6个零点得到不等式求解;D选项
6
求出整体的范围,再由单调递增得到不等式求解.
【详解】/(x)=-cos(20x+g)=sin(2Ox+?
对于A,kfL4",•'噌=2/,0=g,错误;
对于B,平移后g(x)=sin(2s+^^关于原点对称,则片"野,在
ty=^e(0,l),正确;
左=0时,
冗,冗口工3541
对于C,XG[0,27l\,2cox+^e一,4。4+一,64«44+<7)=>GW,正确;
66624?24
0)71+4〉兀
7171COTT71COTT71-亍+不_一万,2
对于D,XG~6y~4,2Gx4---G------+-,----+—=>g工§,・co>Q,
63626COTT7171
-----1——<—
26~2
,正确.
故选:BCD.
12.BC
【分析】首先利用诱导公式和二倍角公式、辅助角公式化简/(制,再利用正弦函数的性质逐
一检验四个选项的正误即可求解.
【详解】f(x)-cos2x—2sin—x)cos(/+x]=cos2x-2cosx-(-sinx)
=cos2x+2cosx-sinx=cos2x+sin2x=0sin(2x+?]
所以/(x)的最大值为Q,故选项A不正确;
/*)的最小正周期为丁=夸=",故选项B正确;
因为2吟++尹氏解得:k=o,所以直线X=g是人幻的图象的对称轴,故选项C正
O
确;
答案第8页,共9页
令2+<2x+—<—+GZ),解得:三+k兀<x<--i-k7r^keZ),
24288
所以/(X)在区间"和「学单调递减,在-生,?上单调递增,故选项D不
OOOOOO
正确,
故选:BC.
..3M4
]J♦-------
105
【分析】先通过诱导公式变形,得到a的同角等式关系,再利用辅助角公式化简成正弦型函
数方程,可求出a,接下来再求夕.
【详解】[方法一]:利用辅助角公式处理
Va+/?=^,/.sin=cosa,gp3sinaf-cosa=V10,
即时乎sina-坐cosa]=®令sin”巫,cos匹亚,
lio10)1010
则VT5sin(a-6)=V15,a-e=g+2fcr,keZ,即。=6+1+2左万,
・•.)n3V10
・・sina=sin夕+——卜2k兀=cos0--------,
I2)10
则cos2/7=2COS2/?-1=2sin2a-1=^.
故答案为:诙;
105
[方法二]:直接用同角三角函数关系式解方程
Va+/7=y,sin=cosa,即3sina-cosa=ViU,
又sin?a+cos?e=1,将cosa=3sina-代入得10sin%—65/iUsin<z+9=0,解得
3710
sina--------,
10
cc4
则cos2/?=2cos~£-1=2sin-a-1=—.
故答案为:曲;5.
105
14.3
【分析】先通过降嘉公式和辅助角公式将函数化简为〃x)=2sin(2x+?)+l,然后求出
答案第9页,共9页
2x+£IT的范围,最后求出函数的最大值.
6
【详解】由题意,/(x)=A/5sin2x+2x_!^^=Gsin2x+cos2x+l=2sin(2x+?)+l,而
71717171
XG,贝iJ2x+ge,所以函数的最大值为2sing+l=3.
666622
故答案为:3.
6?
【分析】“给值求值”问题,找角与角之间的关系
=V2
【详解】sin[a-?=-sin
一3
V2
所以sin
3
715
所以sin2a=cos=1-2sin2
59
故答案为:,
9
16.
33
葛-2a)变形,再以二倍角公式进行代换求值即可解决.
【分析】先利用诱导公式对cos
工2a71
【详解】COS—+2a|=-cos2|—+a
6612
=-l-2sin2(^+a)
故答案为:
71,37T,
17.(l)/(x)=2sin2x,二+攵万,二一+4乃,kGZ
44
⑵W
0
【分析】(1)将函数变形为/(x)=2sin(ox+9-2,由函数的周期及奇偶性可求解:
(2)解方程得/(x)=-g或/")=必,即sin2x=-乎或sin2x=包,利用正弦函数的性
答案第10页,共9页
质可求解.
(1)
/(x)=>/5sin(0x+0)+2sin[^:^^[-l=>/Jsin(0x+o)-cos(s+9)=2sin(5+0-7
TT
•・•/(x)图象的相邻两对称轴间的距离为-,
••・/(X)的最小正周期为7=乃,即可得①=2,
TTTT
又/(X)为奇函数,则°一--=卜冗,keZ,又0<。<4,:.甲=二,
66
故/(x)的解析式为f(x)=2sin2x,
jr7i34
令万+2k7v<2x<q+2k兀,GZ,^—+k7r<x<—+k7i、kGZ
・.・函数/(%)的递减区间为丁+%肛—r+“4,kQZ.
44
(2)
'「XE—,•*•2xe——,.\sin2xG[—1,1],f(x)e[—2,2]
方程”2(x)+石/")-3=0可化为[/(X)+6][2/(X)-百]二。,
解得fM--A/3或/(x)=~^~9即sin2x=一^^或$由2工=
当sin2x=一立时,2x=-g或2x=寻或2x=野
2333
/a7V,、2%*_57t
==—Sgx=—
636
当sin2x=@时,2%+2工2=7,所以玉+%,=1
42
综上知,在一七黑时,方程2严⑴+同⑺-3=0的所有根的和为
(7T245万、41\7C
——十——+——+—=---
(636J26
——sin2x(--<x<0)
77
18.(I)7=4;(IDg(x)={
—sin2x(-乃<x<--)
22
[详现军]/(x
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