高一上学期数学人教A版（2019）必修第一册三角恒等变换课时训练七

人教A版（2019）必修第一册第五章5.5三角恒等变换课时

训练七

学校:.,姓名:

一、单选题

sin80°+l

1.）

sin250-l

_V2B.@

A.C.-2D.2

22

,,711+cos2a1-cos2a等于（）

2.若ac万,不则

2-2

A.cosa-sinaB.cosa+s\na

C.-cosa+sinaD.-cosa-sina

3.已知sin（2+ajcos兀

~~a»则sin,a+cos'a：（）

17

AZB.1D.

,318

4.已知函数/（X）=V3sincoxcoscox+cos2，（69>0,xG/?）,若函数f（x）在区间

（],万）内没有零点，则。的取值范围（）

（。，书B.（0,■，弃I

A.

12612

C.（。，1]D.

5.德国著名的天文学家开普勒说过：“几何学里有两件宝，一个是勾股定理，另一个是

黄金分割.如果把勾股定理比作黄金矿的话，那么可以把黄金分割比作钻石矿.”黄金三角

形有两种，其中底与腰之比为黄金分割比的黄金三角形被认为是最美的三角形，它是一

个顶角为36。的等腰三角形（另一种是顶角为108的等腰三角形）.例如，五角星由五个

黄金三角形与一个正五边形组成，如图所示，在其中一个黄金“WC中，型=道二1

AC2

根据这些信息，可得sin126。=（）

☆

Al-2>/503+有„1+行c4+石

A.----D.-----C.----u.-------------

4848

ia

6.已知a是第四象限角，且sina+cosa=g,则tan£=()

A.--B.--C.1D.2

7.已知函数/(x)=l-2sin2x+2百sinxcosx在［0,上的最大值为2,则实数，"的

最小值为()

nc乃

A.-B.一

36

8.函数〃x)=sin2x-；是()

A.周期为"的偶函数B.周期为乃的奇函数

C.周期为2万的偶函数D.周期为2万的奇函数

二、多选题

rrjr

9.若关于x的方程2Gcos2x-sin2x=百-加在区间上有且只有一个解，则〃?的

4o

值可能为()

A.-2B.-1C.0D.1

10.已知函数/(x)=J5(cos2x-g1-3sinxcosx,贝!!()

A.Ax)在［-乃叫上有两个零点

-2乃1

B.Ax)在一石兀上单调递增

TT

C./(X)在―,71的最大值是1

D./(X)的图像可由y=-Gsin2x向右移动£得到

11.已知函数/(x)=l-2cos2(ox+?)(0>O),下面结论正确的是()

A.若毛，4是函数f(x)的两个不同的极值点，且阮-司的最小值为％则。=1

B.存在。e(O,l),使得f(x)往右平移2个单位长度后得到的图象关于原点对称

C.若/(X)在［0,2句上恰有6个零点，则。的取值范围是

(21「乃)-

D.若GE0,不，则在上单调递增

I3」L64」

12.已知函数f(x)=cos2x_2sin(］-x卜os(5+xj,贝ij()

A.f(x)的最大值为3B./(x)的最小正周期为乃

试卷第2页，共3页

C./(x)的图象关于直线X=g对称D./(x)在区间―379r,工7T上单调递减

OOO

三、填空题

13.若35布£一5布£=5/15,。+力=/,则sina=,cos2^=

14.函数/(x)=6sin2x+2cos2x在区间一亲看上的最大值为

16.已知sin［\+a）=仔，贝ij＜：0$（署一2。）=

四、解答题

17.已知函数/(x)=Ksin(0x+Q)+2sin2(美!皆］-1(O＞0,0＜夕＜勿)为奇函数，且

/(x)图象的相邻两对称轴间的距离为

⑴求的解析式与单调递减区间；

(2)已知f(x)在-会朝时，求方程2/2(x)+G“x)-3=0的所有根的和.

18.设函数/'(x)=*cos(2x+?)+sin::x

(I)求函数/(x)的最小正周期；

7T7T1

(H)设函数g(x)对任意xeR,有g(x+3)=g(x),且当xe［0,］］时，5(x)=--/(%)；

求函数g(x)在［-肛。］上的解析式.

19.已知函数f(x)=cos?x+J5sinxcosx-g(xeR)

(1)求/(x)的最小正周期；

TTTT

(2)讨论f(x)在区间-iI上的单调性；

参考答案:

1.C

【分析】利用诱导公式和降累公式化简即得解.

sin80°_4_-_1___co_s—1_0_+_1_______—co2sx1_0_0+__1____

【详解】解：由题得sin”。-1-1—coslO.--cos10-1

---------------1

2

故选：C

2.D

【分析】利用降次公式化简求得表达式，求得正确答案.

71

【详解】依题意ae5"

1-cos2a/;-;-।I।.i

-----------=vcos-a-\lsin~a=|cos6Z|-|sina|=-cosa-sina.

故选：D

3.D

【分析】先由sin+a}os71=；得sin2a=-g,再通过降幕公式化简得

~~a

sin4«+cos4«=*2-3Sin22a,代入即可求解.

2

6.Y

TTTT|12

【详解】*sin(-a)cos(--a)=-,cosa+——sina—,即(sina+cosa)2=—,

+2

21

l+2sinacosa=一,所以sin2a=——,

33

22

.J-cos2a、2,l+cos2a、21+cos2a2-sin2a17

sin4a+cos4a=(-----------)+(-----------)=

2222一而

故选：D.

4.B

【分析】化简）（x）解析式，根据/（X）在区间（］,万）内没有零点列不等式并进行分类讨论,

由此求得。的取值范围.

01

【详解】函数/（x）=gsin69COSCOX+COS-COX——

2

A/3.C1+cos2a)x

=——sin2cox+--------------

222

=sin(269x+-),

6

函数“X)在区间内没有零点，《上乃—g=工Ng,0<042,

22226y2

答案第4页，共9页

一<X<7T,CD71H---<26yxH----<2①兀H----,

2666

左端点G4十一,0<69<2,—<69^-+—<——,

6666

右端点2G乃4—,0<<y2,一<ICDTI4—W--—,

6666

7171,

一<(071+—<717T<0)71+—<271

666

所以或，

兀A冗，冗

—<Z.CD7C+—<717t<2。4十一K2%

1666

5,/I

0<69<—-<CD<—

666

即或，

5,JI

0<^y<——<co<—

121212

所以U.

I"」|_612_

故选：B

5.C

【解析】计算出cos72=^］，然后利用二倍角公式以及诱导公式可计算得出

4

sin126°=cos36°的值,即可得出合适的选项.

【详解】因为金。是顶角为36。的等腰三角形，所以，ZACB=721

则加入小2BC#>-1，sinl26=sin(90+36)=cos36,

cos72=cosZACB=--=---------')

AC4

而cos72°=2cos236-1,所以，cos36=

故选：C.

【点睛】本题考查利用二倍角公式以及诱导公式求值，考查计算能力，属于中等题.

6.A

【解析】由题求出sina=—13,cosa=4-,再求atan]得解.

【详解】Vsina+cosa=~^sin2a4-cos2a=1,a是第四象限角,

..34

..sina=——,cosa=—,

55

.a

sin—2sin2-

a71-cosa]_

则M1tan—=------=2

2a3.aasina3

cos—2sincos

222

答案第5页，共9页

故选：A.

【点睛】方法点睛：三角恒等变换常用的方法：三看（看角看名看式）三变（变角变名变式）.

要根据已知条件灵活选择方法求解.

7.B

【分析】先对函数化简变形得f（x）=2sin（2x+与，然后由x€[0,m\，得2x+白,2m+刍，

6666

再由其最大值为2,所以可得2加+£..[+2时，从而可求出，〃的范围，进而可求出，”的最小

62

值

【详解】解：函数/（x）=l-2sin2x+2\/3sinxcosx=cos2x+\[3sin2x=2sin（2x+—）,

6

因为x£[0,m],所以2x+[w[£,2rn+刍,

666

因为函数的最大值为2,所以2帆+5.[+2"，k..0,且&eZ,

62

解得加..£+%%,%..（）,且女EZ,

6

所以机的最小值为m，

6

故选：B.

8.A

【分析】利用降幕公式化简函数解析式，再根据余弦函数的图像与性质即可逐项分析求解.

【详解】/（A-）=!Z^£_1=_1COS2A-,

故以X）的最小正周期为兀，为偶函数.

故选：A.

9.AC

7[71

【分析】整理换元之后，原问题转化为cosz=-,f77在区间-§,万上有且只有一个解，即

y=cosr的图象和直线＞£只有1个交点.作出简图，数形结合可得结果.

【详解】26cos2;c-sin2x=\/J-机整理可得cos（2x+V）=-葭,

令1=2x+g,因为冗£-，则--

6L46」[_32_

所以cosr=-?在区间上有且只有一个解，即y=cost的图象和直线＞=只有1

个交点.

答案第6页，共9页

>77m1

由图可知，-1=1或0,,-£<5,解得机=-2或一l<〃4,o.

【分析】利用降幕公式、二倍角公式，辅助角公式化简整理，可得/*)=KCOS(2X+(

根据余弦型函数的性质，逐一分析各个选项，即可得答案.

一3sinxcosx=^^(22』

【详解】f(x)=cosx-l)-sin2x

)2

=^-cos2x--sin2x=\/3

cos2x+—,

22I3j

A选项，令/(幻=百(：0$(2苫+?)=0=2工+(=%乃+/=》=与+专(《€2),

jr2njr

B选项,令一7+2k兀<2x+y<2k]=一一-kri<kTr^kGZ),

所以/(x)的单调递增区间卜|-夸+•=工-奈+.任冈卜,

令七0,可得一个递增区间为-多，-2乃，且-亭,-《兀u-?，-:万，所以B正确;

3o333o

TT7TI7T

C选项，因为X€§，7t,所以2X+§€TV,—

所以当2X+£=2乃，即x=。万时，/(1^-)=>/3cosf2x1^+^k73,所以C错误;

36o163yz

D选项，y=-6sin2x向右移动J,贝lj

6

y-—V?sin2^x——=—V3sin^2x——=>/3sin■—2x)=y/3cos(2x+—,所以D错误.

故选：AB

答案第7页，共9页

【点睛】解题的关键是熟练掌握恒等变换公式、余弦型函数的性质，并灵活应用，综合性较

强，属中档题.

II.BCD

(分析】A选项由归-wlmin=g即可求出。；B选项先平移得到g(x)=sin(2s+L萨乃

由上弃乃=%乃即可求解；c选项求出整体的范围，再由6个零点得到不等式求解；D选项

6

求出整体的范围，再由单调递增得到不等式求解.

【详解】/(x)=-cos(20x+g)=sin(2Ox+?

对于A，kfL4"，•'噌=2/，0=g,错误;

对于B,平移后g(x)=sin(2s+^^关于原点对称，则片"野，在

ty=^e(0,l),正确;

左=0时,

冗,冗口工3541

对于C,XG[0,27l\,2cox+^e一,4。4+一,64«44+<7)=>GW,正确;

66624?24

0)71+4〉兀

7171COTT71COTT71-亍+不_一万,2

对于D,XG~6y~4,2Gx4---G------+-,----+—=>g工§,・co>Q,

63626COTT7171

-----1——<—

26~2

,正确.

故选：BCD.

12.BC

【分析】首先利用诱导公式和二倍角公式、辅助角公式化简/(制，再利用正弦函数的性质逐

一检验四个选项的正误即可求解.

【详解】f(x)-cos2x—2sin—x)cos(/+x]=cos2x-2cosx-(-sinx)

=cos2x+2cosx-sinx=cos2x+sin2x=0sin(2x+?]

所以/(x)的最大值为Q,故选项A不正确；

/*)的最小正周期为丁=夸="，故选项B正确；

因为2吟++尹氏解得：k=o,所以直线X=g是人幻的图象的对称轴，故选项C正

O

确;

答案第8页，共9页

令2+<2x+—<—+GZ),解得：三+k兀<x<--i-k7r^keZ),

24288

所以/(X)在区间"和「学单调递减，在-生，?上单调递增，故选项D不

OOOOOO

正确，

故选：BC.

..3M4

］J♦-------

105

【分析】先通过诱导公式变形，得到a的同角等式关系，再利用辅助角公式化简成正弦型函

数方程，可求出a,接下来再求夕.

【详解】［方法一］:利用辅助角公式处理

Va+/?=^,/.sin=cosa,gp3sinaf-cosa=V10,

即时乎sina-坐cosa］=®令sin”巫，cos匹亚，

lio10)1010

则VT5sin(a-6)=V15,a-e=g+2fcr,keZ,即。=6+1+2左万，

・•.)n3V10

・・sina=sin夕+——卜2k兀=cos0--------,

I2)10

则cos2/7=2COS2/?-1=2sin2a-1=^.

故答案为：诙；

105

［方法二］:直接用同角三角函数关系式解方程

Va+/7=y,sin=cosa,即3sina-cosa=ViU,

又sin?a+cos?e=1,将cosa=3sina-代入得10sin%—65/iUsin<z+9=0,解得

3710

sina--------,

10

cc4

则cos2/?=2cos~£-1=2sin-a-1=—.

故答案为：曲；5.

105

14.3

【分析】先通过降嘉公式和辅助角公式将函数化简为〃x)=2sin(2x+?)+l,然后求出

答案第9页，共9页

2x+£IT的范围，最后求出函数的最大值.

6

【详解】由题意，/(x)=A/5sin2x+2x_!^^=Gsin2x+cos2x+l=2sin(2x+?)+l,而

71717171

XG,贝iJ2x+ge，所以函数的最大值为2sing+l=3.

666622

故答案为：3.

6?

【分析】“给值求值”问题，找角与角之间的关系

=V2

【详解】sin[a-?=-sin

一3

V2

所以sin

3

715

所以sin2a=cos=1-2sin2

59

故答案为：,

9

16.

33

葛-2a)变形，再以二倍角公式进行代换求值即可解决.

【分析】先利用诱导公式对cos

工2a71

【详解】COS—+2a|=-cos2|—+a

6612

=-l-2sin2(^+a)

故答案为：

71,37T,

17.(l)/(x)=2sin2x,二+攵万,二一+4乃,kGZ

44

⑵W

0

【分析】(1)将函数变形为/(x)=2sin(ox+9-2,由函数的周期及奇偶性可求解:

(2)解方程得/(x)=-g或/")=必，即sin2x=-乎或sin2x=包，利用正弦函数的性

答案第10页，共9页

质可求解.

(1)

/(x)=>/5sin(0x+0)+2sin[^:^^[-l=>/Jsin(0x+o)-cos(s+9)=2sin(5+0-7

TT

•・•/(x)图象的相邻两对称轴间的距离为-,

••・/(X)的最小正周期为7=乃，即可得①=2,

TTTT

又/(X)为奇函数，则°一--=卜冗，keZ,又0<。<4，：.甲=二，

66

故/(x)的解析式为f(x)=2sin2x,

jr7i34

令万+2k7v<2x<q+2k兀,GZ,^—+k7r<x<—+k7i、kGZ

・.・函数/(%)的递减区间为丁+%肛—r+“4，kQZ.

44

(2)

'「XE—,•*•2xe——,.\sin2xG[—1,1],f(x)e[—2,2]

方程”2(x)+石/")-3=0可化为[/(X)+6][2/(X)-百]二。，

解得fM--A/3或/(x)=~^~9即sin2x=一^^或$由2工=

当sin2x=一立时，2x=-g或2x=寻或2x=野

2333

/a7V，、2%*_57t

==—Sgx=—

636

当sin2x=@时，2%+2工2=7，所以玉+%,=1

42

综上知，在一七黑时，方程2严⑴+同⑺-3=0的所有根的和为

(7T245万、41\7C

——十——+——+—=---

(636J26

——sin2x(--<x<0)

77

18.(I)7=4；(IDg(x)={

—sin2x(-乃<x<--)

22

[详现军]/(x