凸优化理论与应用-凸函数

1凸优化理论与应用第二章凸函数2凸函数的定义1.定义域为凸集；2.，有凸函数的定义：函数，满足凸函数的扩展定义：若为凸函数，则可定义其扩展函数为凸函数的扩展函数也是凸函数！3凸函数的一阶微分条件若函数的定义域为开集，且函数一阶可微，则函数为凸函数当且仅当为凸集，且对4凸函数的二阶微分条件若函数的定义域为开集，且函数二阶可微，则函数为凸函数当且仅当为凸集，且对，其Hessian矩阵5凸函数的例幂函数负对数函数负熵函数范数函数指数函数6凸函数的例7下水平集(sublevelset)定理：凸函数的任一下水平集均为凸集。任一下水平集均为凸集的函数不一定为凸函数。 称为的下水平集。定义：集合8函数上半图(epigraph)定理：函数为凸函数当且仅当的上半图为凸集。 称为函数的上半图。定义：集合9Jensen不等式为凸函数，则有：Jensen不等式的另外形式：10保持微函数财凸性境的算敲子凸函数的逐点最大值凸函数与仿射变换的复合凸函数的非负加权和对固定，为凸函数。逐点吐最大纹值函既数变践换的杯例向量悄中炮个最质大分阳量之耐和：对称贺矩阵检的最灯大特浓征值1112保持预函数昨凸性蹦的算怀子复合运算凸函数的透视算子最小值算子为凸函数。13共轭吗函数(c胜on呈ju央ga古te蚂f庭un欣ct惑io州n)定义：设函数，其共轭函数，定义为共轭绕函数干的例共轭奴函数辈具有滤凸性界！14共轭省函数贪的性美质Fenchel’sinequality性质：若为凸函数，且的上半图是闭集，则有性质：设为凸函数，且可微，对于，若 则15准凸臂函数股(qu朱as度ic闯on娇ve清x透fu产nc未ti拼on闲)准凸裙函数腹的例定义：设函数，若函数的定义域和任意下水平集

为凸集，则称函数为准凸函数。16准凸品函数查的判能定定赵理定理：函数为准凸函数，当且仅当为凸集，且对，有准凸弊函数遇的判百定定坝理17定理：若函数一阶可微，则为准凸函数，当且仅当为凸集，且对，有准凸提函数舟的判摊定定喇理18 ，有定理：若函数二阶可微，且满足对 则函数准凸函数。19最小涝值函蹄数非负梨权值险函数弱的最丢大值券函数保持唯准凸径性的戒算子复合辨函数是关迟于心和雾的准障凸函联数，淘且胆为凸榜集。20准凸米函数萝的凸真函数踢族表铲示若为准凸函数，根据的任意下水平集，我们可以构造一个凸函数族，使得性质：若为准凸函数的凸函数族表示，对每一个，若，则有例：21对数朱凸函巧数 为凸集 为凸函数。定义：函数称为对数凸函数，若函数满足：定理：函数的定义域为凸集，且，则为对数凸函数，当且仅当对有对数蒸凸函奇数的怨例22对数俩凸函冒数和夺凹函昆数的倦性质性质追：对捧数凸耐性与密凹性赢对函阁数乘喇积和证正数泰数乘鸦运算姓均保旋持封垮闭。定理：函数二阶可微，则为对数凸函数当且仅当性质运：对瓦数凸偿性对同函数尊加运腊算保絮持封很闭。偿但对纵数凹贫性对躁函数纪加运方算不吃封闭劫。推论：函数对每一个在上对数凸，则函数也是对数凸函数。23对数哗凸函典数和范凹函胳数的鞭性质定理：函数为对数凹函数，则函数是对数凹函数。24广义转不等梅式下杨的凸阶性广义单调性的定义：设为真锥，函数称为单调增，若函数满足：广义凸函数的定义：设为真锥，函数称为凸，若函数满足对 均有定理(对偶等价)：函数为凸函数，当且