促进数学课改发展的一种课堂教学模式吕传汉

贵州师范大学教授

吕传汉2008.11.贵阳促进数学课改发展的一种课堂教学模式

——中小学数学“情境—问题”教学教育改革的前提—中国国情

中国国情：

5千年的文化传统；人口大国；发展中大国；社会主义初级阶段。

中国教育国情：

有着世界上最大的发展最快的教育体系；发达与欠发达地区教育发展极不平衡；城乡差距会长期存在。

党的十七大报告指出●必须努力“提高自主创新能力，建设创新型国家”。

●建设创新型国家需要创新人才，培养创新人才的基础是实施素质教育。“全面实施素质教育，核心是要解决培养什么人、怎样培养人的重大问题”。

“创新”通常依赖三个条件：

创新意识、创新能力及创新机遇！

人的创新意识，甚至创新能力很重要的是依赖于基础教育阶段的培养。如果学生到了中学、大学毕业还没有独立思考过问题，没有产生好奇、质疑、和提问的兴趣，则很难成为创新人才。变人力资源大国为人力资源强国

——

靠不断改进教育，

培养创新型人才。

●

“中国制造”的产品的数量与质量？

●

“专利”的数量与质量？

●生产技术的“引进”与“创新”指数：

当前：日本15

韩国18

中国10.075

教育改革：

必须从实际出发！扬长避短！引进借鉴：

必须立足国情，为我所用！

●

应有什么教育观念？

●该用什么样的教材？才能培养出国家需

要的创造性人才！

●采取何种教育模式？

创新，创新，再创新！（核心）

回顾与反思!一改进教与学模式

——

教学改革的突破口（中小学“数学情境与提出问题”教学模式的研究

）二数学“情境——

问题”教学的教学案例三数学“情境——问题”教学的

特征与导学方法四

促进了中小学教师的专业化发展和课程改革的发展目录一改进教与学模式

——

教学改革的突破口

如:

中小学“数学情境与提出问题”教学模式的研究

（１）中国数学课堂教学的反思

（1997年3月——2000年12月）

组织省内、外一线中小学骨干教师，大学有关教师及研究生，部份教育行政部门的教研人员，共同对我国的课堂教学有关问题进行了多次研讨与反思。

认为：

优势

●有启发式教学的优良传统,如:

有意义的接受学习;学思结合等。

●有在短时间传授大计量系统知识的经验。

●学生计算、推理能力与解决问题能力较强。传统教学的反思

不足

●过分强调知识的单向贯输，重视学习中探究能力的培养不够。

●忽视引导学生提出问题：学生的质疑、批判与提出问题能力较差；学习较为呆板。

●学习囿于考试文化负面效应的影响。

（2）中美小学数学教育的对比研究

为客观地评价我们的反思性认识，1997—1999年我们同时与美国的德拉华大学（UniversityofDelaware）的蔡金法教授，对中美小学高年级学生联合进行了“数学问题提出与解决”的跨文化研究，所得结果与我们的反思性研究十分一致：

我国小学生的数学知识学得较多，心算口算能力较强，但解题思维较呆板；

数学问题提出能力明显低于数学问题解决能力，也低于美国小学生提出数学问题的能力；

把同一套对小学高年级学生的测试题，用来测试我国初中生、高中生，发现学生提出数学问题的能力不存在明显的差异，都感到比较困难。

我们认为必须积极改革我国传统的课堂教学模式：一方面应保留自身传统的教学优势（如“启发式”教学；基础知识较扎实，计算与逻辑推理训练较好等）；另一方面要吸收西方国家的教学长处（如“探究式”教学；大胆猜测、合情推理、提出问题能力训练较好等）。

数学课堂教学模式的改革

应科学地整合东、西方教学模式，形成具有中国自身特色的教学模式，促进国家需要的

自主创新人才的成长。

（观察、分析）设置数学情境注重数学应用解决数学问题提出数学问题学生学习：质疑提问、自主合作探究教师导学：启发诱导、矫正解惑讲授（探究、猜想）（求解、反驳）（学做、学用）

中小学数学“设置情境与提出题”

教学基本模式

●模式:是让人可以照着做的标准样式，反映了人对客观事物规律的认识。●教学模式:是对教学经验的概括和系统整理，它被看作是沟通教学理论与教学实践的桥梁。

●数学教学模式:既反映数学教学的特点，又反映一般教学的特点。它是在一定教育思想指导下，以教育实践为基础而生成的。

数学“情境—问题”教学模式，是一种反映教学活动特征的、流程图式的教学模式。

自2000年以来,通过八年多千余所中小学的教学实验，现已初步形成了数学“情境——问题”教学模式的教学体系：

该模式的教学宗旨：培养学生自主创新意识与实践能力。

模式的核心：把“质疑提问”、培养学生的问题意识、提高学生提出问题与解决问题的能力贯穿于教学过程的全过程。

内在联系：

创设情境是前提，

提出问题是核心，

解决问题是目标，应用知识是归宿。

“情境——问题”教学的四个环节互相联系

●

创设情境是提出问题的基础，同时所提出一个好问题又可以作为一个新的情境呈现给学生；

●

提出问题与解决问题形影相伴、携手共进。

●

探究解决问题的过程中也可以发现和提出新的问题；

●

应用知识解决实际问题本身就是一个探究解决问题的过程；

●在知识的应用过程中还可以提出有意义的问题，而一个好的应用问题本身又构成一个好的学习情境。

实施该教学模式的教学方法

教师应采取以启发式为核心的灵活多样的教学方法；

(开启学生的思维，点拨学生的思路)

学生应采取以探究式为中心的自主合作的学习方法。

教师:启发诱导

(促

进)

学生:学思行结合

简而言之，“情境—问题”教学,本质上是以“情境”为基础，以“问题”为纽带的启发式教学。

反思：两个“灵活运用”

灵活运用基本教学模式；

灵活运用基本教学理念。

1

要灵活应用数学

“情境——

问题”教学模式

基本数学教学模式可以拓广、派生出其它教学模式。

诸如：

“情境——问题——讨论——评价”；

“情境——问题——反思——问题”；

“问题——讨论——讲授——问题”；

“讲授——问题——讨论——反思”；等等。

●

云南师范大学

朱维宗教授在昆明地区迁移拓广为：

学科“情境—问题”教学模式

（观察、分析）设置学科情境注重学科应用解决学科问题提出学科问题

学生学习：质疑提问、自主合作探索教师导学：启发诱导、矫正解惑讲授（探究、猜想）（求解、反驳）（学做、学用）●

浙江省余姚市实验学校校本化教学模式初中数学“情境—问题”校本化教学模式：心理安全情境学生主体情境多元学习情境

让学生敢问让学生会问

让学生善问设置情境提出问题（创设外因）（激发内因）（内外结合）

（尝试参与）

（有效参与）

（理性参与）教师启导学生质疑

“敢问、会问、善问”

课堂教学模式

①

“语文”课的

“答疑、激疑、悟疑、感悟”教学模式；

②

“科学”课的

“情境——问题——探究”

教学模式

③

“英语”课的

●巧设情境，导入主题——利用情境，巩固主题——情境表演，拓展主题教学模式●创设情境，教师提问——朗读训练，学生提问——听说练习，师生互动教学模式

④“信息技术”课的创设情境，提出问题——再创情境，发现问题——师生互动，解决问题教学模式2灵活应用数学“情境——问题”教学的基本理念

●

反思中小学数学“情境——问题”教学近八年多来的实验研究，得到如下教学基本理念。

1）重视学生问题意识的培养

2）重视数学情境的创设

3）重视以问题为纽带的教学

4）重视学生的“数学获得”

5）

重视探究精神的培养教学基本理念

数学“情境——问题”教学既是一种在学科教学中培养学生创新精神与实践能力的切实可行的教学，又是一个新的正在探索中的教学。

我们应当把这些基本教学理念灵活应用到教学活动的全过程中。

它力图将培养学生的创新意识和创新能力的要求落实到实际课堂教学中；力图将实现素质教育、创新教育的目标建立在数学学科教学上。

期望这一基本教学模式能成为沟通当前素质教育与应试教育的桥梁。

●

“情境—问题”教学操作中

应把握的一些关键

●

创设与使用数学情境●发现与提出数学问题

●

分析与解决数学问题●

注重数学应用，促进学生发展

该教学模式的研究，为基础教育数学课程教学改革提供了一种新的基本教学模式。它是创新教育落实在数学学科教育的“切入点”与突破口，对于培养创新人才和缩小城乡教育差距具有重大的意义和深远的影响。

●

经中国教育学会组织的专家委员会，于2005年9月28日—29日作出了该课题的鉴定：

中小学数学“情境——问题”教学是一项植根于中国、具有中国特色并借鉴了发达国家先进教学经验的现代课堂教学；

该教学具有鲜明的现实性、时代性和探索性，对提高中、小学生的数学素养和分析、观察、探索、创新能力有较好的效果，有力地促进了基础育数学课程改革的发展，对数学教学水平的提高产生了良好的影响；

该教学还迁移到中学物理、政治、历史、地理等学科的课堂教学中，同样获得了良好的教学效果。基于该项目的理论价值和实践意义，鉴定委员会建议对该项目实施滚动式发展，进入“十一五”规划继续建设。

现已经中国教育学会批准为“十一五”规划重点推广课题。

●

实验推广（2006年——

）★

为了认真总结、交流、推广二十多年来我国基础教育改革的经验和成果，中国教育学会于2005年11月18—21日在重庆市召开了第十八次全国学术年会。将贵州师范大学提出的中小学数学“情境——问题”教学，以《课堂教学的理论与实践研究——中小学数学“情境——问题”教学探索》作为有影响的典型经验向全国介绍推广。★

贵州省教育厅于2006年2月也下文在全省中小学推广数学“情境——问题”教学实验（黔教办学[2006]40号文）。

★

2006年4月21日-22日，由贵州省教育厅教科所、贵州省教育学会联合举办了中小学数学“情境——问题”教学培训会、到会代表有全省各市、县的教研室负责人，小学、初中、高中部份骨干教师共800余人。

★

会后，遵义县（近120万人口大县）在全县由县教育局发文，教研室牵头，有计划地在全县500余所中小学开展了数学“情境——问题”教学实验。目前，该实验正在贵州全省持续、有序地进行。

★

2006年10月12日—14日在四川省遂宁市四川职业技术学院召开了中国西南地区数学“情境—问题”教学实验第三届学术研讨会，十余个省的130多名代表到会交流。

★省外，如云南、四川、重庆、黑龙江、广东、浙江、厦门、温州、北京、上海及湖南的一些学校也在有计划地推广该课题实验。

★Experimentalresearchonmathematicsteachingof“situatedcreationandproblem---basedinstruction”inChineseprimaryandsecondaryschools.Front.Educ.China2007,2(3):366—377.

★

2007年4月19日—21日中国教育学会在浙江省宁波地区的余姚市实验学校召开了全国性推广会.来自全国16个省、市、自治区的专家、学者、骨干教师300多人参加了会议。

中国教育学会原副秘书长连秀云主持了会议，上海教科院副院长顾冷沅教授、东北师大校长史宁中教授、首都师大王尚志教授、北大附中副校长特级教师张思明老师、教育部基础教育司乔玉全处长、贵州师大吕传汉教授、汪秉彝教授等在回上作了专题报告。会上还在中小学听课、评课，并对数学“情境—问题”教学有关问题进行了热烈的讨论。贵阳南明小学上交流课05年重庆课题推广会05年重庆推广会议上博士生与中国教育学会顾明远会长合影02年与蔡金法（美国）、杜威（日本）教授作学术交流05年10月在澳门作学术交流07年4月在浙江余姚市召开全国推广会

二数学“情境——

问题”教学的

教学案例

我们期望的教学案例，是指对某一教学内容的情境设计、施教活动、课后反思的真实的描述。它是来源于教学实践的加工品，而不是课堂教学活动的复制品。教学案例一般分为“教学设计”，“教学过程”，“教学反思”，“点评或评析”几个部分。

案例1

叠报为梯登月球

250＝？

【数学情境】

将一张薄薄的人民日报，连续反复对折若干次，报纸叠起来的厚度将不断增加；地球与月球的距离384400

千米。【提出问题】

1报纸对折多少次叠厚（高）有1毫米？

2若要报纸叠厚（高）为1米，需对折多少次？

3报纸对折多少次叠厚可达1千米？

……

【解决问题】

解问题1

做数学

将一张人民日报（或任何一张报纸）连续对折5次，对应的数据为乘方数：

25=32

将压紧对折5次的报纸，量其厚度至少有1毫米。(可自己折纸验证)。

解问题2

推理

报纸对折8次，其对应的数据为

28=256=8×32，

相应的报纸叠厚为8毫米，设折叠厚度达1米（1000毫米）时对应的数据为χ，有

8:256=1000:χ

χ=32000

而215=32768＞32000

若要报纸叠厚（高）至少达1米高，只需对折报纸15次。【提出新问题】4报纸对折多少次可将其叠厚作为梯子登上月球？

5若将报纸对折50次的叠厚作楼梯，你可以沿此梯从地球爬上月球来回走32趟，相信吗？

……

解问题5想象猜想

折5次：

数据25=32叠厚（高）大于1mm

折8次：

数据=28=256叠厚（高）约8mm

折15次:

数据=215=32768

叠厚（高）约1m

折25次：

数据=225=33554432（＞215×103）

叠厚（高）约1km

折44次：数据=244=1.7592186×1013

叠厚（高）约hkm

推理

S地－月=384400km≈384400×225≈1.2898323×

1013＜244∴h＞s地－月（地球到月球的距离）

可见对折44次，叠厚高度可以超过S地－月

（当作梯子可以从地面爬到月球）。

对折50次：

数据250=1.1258999×1015

叠厚高度H。

而

244=1.7592186×1013

地面到月球高度h，

故

H／h250／244＝64

∴H64h＞64S地－月

可以想像：

连续对折50次后的报纸，叠起来的厚度很高很高，若以之为“梯”，可来回“地球一月球”

32趟。

贵阳市南明小学六（4）班执教：明方翎2002．１１．案例2

轴对称图形

情境激趣引入

课件展示一组美丽的风筝。教师引导学生探讨风筝的几何图形特征，并用语言表述出来，在此感性认识的基础上，再引导阅读教科书的轴对称定义。

风筝

合作动手操作

每个小组有一张方格纸，上面有长方形、正方形、三角形（含等腰三角形）、平等四边形、梯形（含等腰梯形）、圆等图形。要求学生动手折一折找出轴对称图形，画出对称轴，并按照一定的方式进行分类。提出问题“★”：平行四边形是轴对称图形吗？在讨论中有甲组同学提出：平行四边形也是轴对称图形，其理由如下：剪开可拼合成为轴对称图形

学生A(程一鸣)立即反驳(“闪光点”)：平行四边形不是轴对称图形，因为不符合书上的定义。不要把它剪开拼合，就用原来的平行四边形沿虚线对折不能重合，而且沿其它直线对折也不能重合。(A从对轴对称概念的本质理解上反驳)；12

3

4

甲组同学一时说不上来，其他学生在小声议论，各有支持者。生A：如果是这样，那很多图形都可以通过剪，拼的办法，凑成一个轴对称图形。

(A又从举反例的角度反驳)(甲组的成员开始动摇，有的开始赞成生A的说法。)

教师见时机已到，便问其他学生：你们认为谁说得有道理。

众生：应该像生A所说的不改变原图形形状的基础上来判定。

教师首先表扬学生A的有力反驳，并说：其实平行四边形也是对称图形，只不过它不是我们今天学的轴对称图形，而是以后要学的中心对称图形。

注重知识应用

课件展示一组民间剪纸艺术作品，引导学生根据轴对称定义去鉴别哪些是轴对称图形，并指出其对称轴。

再次动手操作，加深理解

再组织学生分组作剪纸作业

——互相展示、交流并指出所剪图形的对称特征。

拓广应用空间

最后又通过课件展示一组世界闻名的对称建筑物图片，引导学生走向“对称世界”。其中一幅是美国国会大厦与水中倒影形成的美丽画面。

师：这幅图片是轴对称图形吗？

多数学生说不是。但有部分学生答是，因为大厦与它在水中的倒影呈轴对称，对称轴就是水岸线。

●创设情境恰当：从风筝情境探究风筝几何特征粗糙、直观地描述轴对称概念。(学习抽象、概括)点评●重视引导学生在自主学习基础上的合作探究、动手操作！●关注了学生的“数学获得”——从书本知识的理解，到实践中的体验，再扩展数学应用的视野！

●重视引导学生提出问题，并以问题驱动教学

——特别是抓住平行四边形是否轴对称图形(“闪光点”)的争论，使学生更为深刻的把握住轴对称概念。

一点遗憾！教师的引导还欠到位。应当抓住此问题（“★”）不放;如果对学生A两次采用的方法（正面阐述与反例反驳）加以肯定，并加以分析，使学生A个人观点变为群体的观点，可能会更有利于全体学生对轴对称本质的理解和在数学思想方法上的获得.

案例3

一元二次方程的应用

贵州安龙二中执教：杨锟2001.10.情境1：1275年我国南宋数学家杨辉提出：“直积（矩形面积）八百六十四步，只云阔（宽）不及长一十二步（宽比长少一十二步）。问阔及长各几步？引导讨论：设长为x，宽为x-12，得解得：长36步，宽24步。情境2：一根长10米的竹竿，斜靠在墙壁上。顶端A到地板的距离为8米。若推动A端使之下移1米，情况怎样？生1：底端B也要移动。生2：底端B也应滑动1米。生3：不一定，若地板粗糙，

B端也不一定滑动1米。师：请大家用勾股定理计算一下再讨论。生4：设BD=x，由题意知OB=6米再在直角三角形COD中应用勾股定理得到:

解得：＞11米ACOBDθ生5：为什么底端B滑动的距离会大于1米呢？师：对此，我们大家再共同讨论。生6：竹竿底端B滑动的距离是否可用θ的三角函数来表示？教师引导解决：

cosθ==，

x=10cosθ–6师：当θ在[0，90°]变化时，底端B的移动情况怎么样？

（在[-6，4]变动）。ODCDx+610●用一个宋朝的数学问题引入，弘扬了中国的数学文。点评●用一个简化的静力学问题，引发了学生的深入思考。●师生在“提出问题——解决问题”中共同进步。

案例4

简易方程的应用贵州省兴义四中初一（3）班执教：孔惠玲2001.9.

设置数学情境：

妈妈给小红20元钱，叫她买学习用品，商店里笔记本3元一本，钢笔2元支，……。

(小黑板出示)(全班66人，47人提出30多个问题，教师选择其中10个问题板书。)

数学情境：

妈妈给小红20元钱，叫她买学习用品，商店里笔记本3元一本，钢笔2元支，……。(小黑板出示)

全班66人，47人提出30多个问题，教师选择其中10个问题板书。

十个问题分为三类：第一类问题——常规性问题7个（如：“买三个笔记本和五支笔还剩多少钱？”）

第二类问题——发展性问题：

“如果买十个本子以上九折优惠，那么买十三个本子还剩多少钱？”设剩X元，教师引导列出方程：

20－X=3×13×90%

第三类问题——探索性问题：

“买多少个笔记本和多少支钢笔刚好把20元用完？”

学生自己列出一个二元一次不定方程：

3X+2Y=20

教师利用同一情境,连续上了三节课：第一节课：

分析情境，提出问题，建立数学模型。由于时间等关系，这些问题无法在课堂上解决，让学生带着问题走出课堂思考！

第二节课：

隔了一个多月，讲有理数（负数）时，再利用同一情境及学生原提出的发展性问题:

20－X=3×13×90%，

求

解得:X=－15.1

由此很自然地导入负数的教学。

(学生获得了数学与生活联系的体验)。第三节课：

是一年级第二学期，讲“二元一次方程组”时，再用原情境和“小华用20元钱买笔记本和笔共九件，能买多少本笔记本，能买多少支笔？”

列出方程组：

3X+2Y=20X+Y=9

导入“二元一次方程组”的教学。

一个简明的数学情境多次运用，抓住学生提出的好问题，驱动了三节好课！

●联系生活实际创设简明扼要的情境,引导学生提出了发展性,探究性问题。

(激发了学生的问题意识)。点评●抓住“闪光点”问题，师生互动,解决问题,使学生获得了数学与生活联系的体验。●多次运用同一简明的数学情境,驱动了三节好课的进行:

情境用得好，用得足！

案例5

平行四边形的性质运用

贵州兴义六中执教：孙远琴02.9.情境1：如图的三角形中，已知EF‖AB,DE‖BC,DF‖AC.

师：请大家据图猜想，(一般三角形)

提出可能的结论。生：①△ADE≌△DEF≌C

△DBF≌△EFCEF

②BC＝2DE,AC＝2DF,ABAB＝2EF③△DEF各顶点分别是△ABC各边的中点。

师：引导学生解决问题。D

情境2：△ABC为等腰三角形

情形怎样？（引导学生讨论）

生1：四边形ADFE是菱形。

生2：四边形BDEF,DFCE可能是菱形吗？

……

情境3：△ABC为等边三角形情形又怎样？（引导讨论）

ABFCDE(等腰三角形)

(等边三角形)

生1：连接三角形各边中点得的是什么三角形？

生2：过△DFE三边中点连线又得一等边三角形，继续下去可逐一画出不断缩小的等边三角形，一直下去，小三角形会不会最终变成一个点？师生共同讨论：

若设S△ABC＝S1，

S△DEF＝S2，……

令S1＝1,S2＝＝,

S3＝＝,S4＝=,……

Sn=

(教师用极限思想作解释)。点评●●

改编教材中的例题为问题情境，引导学生从“一般”问题到“特殊”问题的讨论。

利用极限思想，深入浅出地解答了学生提出的挑战性问题。（“闪光的探究点”）

案例6

“一次函数、方程、不等式的应用”

2005.3.

贵州师大附中

执教：袁涛

数学情境

为了迎接5.17电信日的到来，某电信公司推出三种手机卡，供用户选择，收费标准如下：

经济卡月租30元,2角/分钟；亲情卡月租12元,4角/分钟；如意通无月租,6角/分钟。

此情境创设贴近学生生活实际：

学生对手机卡这样的情境很感兴趣，面对多种选择的手机消费方案，各有自己的选择方式，纷纷提出相关的数学问题，并综合运用所学的关于一次方程、一次函数、一次不等式等有关知识去解决问题。

老师引导学生利用函数、方程、不等式的知识给出三种消费卡的数学模型:

经济卡：y=0.2x+30；

亲情卡：y=0.4x+12；

如意通：y=0.6x。

(75,45)y=0.2x+30yx(90,48)5030105010100y=0.6x(60,36)y=0.4x+12

让学生解决自己提出的相关问题:

引导学生观察函数图像(下图)

解答数学问题.

利用图像直观性很快就可以看出在哪个范围内选择哪种消费卡合算，并将结果与实际问题进行对照，检验。

在分析与解决问题过程中，学生经历了重要的、有价值的数学思维活动的过程，使有关的数学知识在理解与运用中得到深化，进而培养学生的应用意识、把实际问题转化为数学问题的能力。

●

贴近学生生活实际创设数学情境

——以学生熟悉的“手机话费”设置情境，激发了学习兴趣，学生在热烈的讨论中，紧紧围绕付话费的“合算”与“不合算”来提出问题与解决问题，促进了学生的主动参与性学习。点评●

教师热情、亲切的教态和富于启发的点拨，感染了每一位学生，使得课堂气氛热烈，师生讨论融洽，形成学生在和谐的气氛中愉快的学习。●

“形数结合”解决问题——既指导学生用代数（方程、不等式）解法求解，又用函数的图形作几何的直观分析。使学生在直观感性认识的基础上，又获得逻辑的清楚的理性认识，这乃是本堂课教学中的一“闪光点”。

案例7

探索“到三角形三个顶点距离之和最短”

鲍建立（浙江省余姚市实验学校）

2007.4.20.

教学目标：

①了解费马点，掌握费马点的特征，能作出费马点;②经历探索费马点的过程，理解费马点的证明;

③

在解决实际问题讨程中，引导学生发现问题，提出问题，培养问题意识和解决问题的能力。(1)

创设情境，引出课题

数学情境

“慈溪市夏季淡水资源缺乏，给人民生活生产带来极大不便，要把余姚的水通过地下输水管道输送到慈溪市和周巷镇，如何铺设输水管道最短？”

（三地位于三角形的三个顶点）

围绕“对这项铺设工程设计时，首先考虑什么问题”，组织学生讨论，并抽象出数学问题，揭示课题。(2)

围绕问题，揭示本质

1)探索：寻找到三角形三个顶点距离之和最短的可能性方案。由特殊到一般：

从学生熟悉的特殊三角形，即正三角形入手，在正三角形中怎样连接三个顶点，使连接的线段之和最短？这个连接点P具有什么特征？

引导学生去猜想一般锐角三角形的连接方案，并借几何画板动态演示。

得到猜想：

三角形内部对三边张角均为120°的点到三角形三个顶点距离之和最短。

2)证明猜想

由距离之和最短，即线段长度之和最短，联想两点之间线段最短。围绕“如何把AP、BP、CP三条线段集中到两端点是两个定点的线段上”，“是怎样的两个定点？”

借助几何画板，学生讨论得出：可以通过旋转，只需把△BPC绕点B逆时针旋转60°，当点P在对三边张角均为120度时，A、P、Pˊ、Cˊ四点共线，且AP+BP+CP=ACˊ

，点Cˊ是以BC为边的正三角形的第三个顶点，是个定点；

当点P在其它位置时，AP+BP+CP的值明显大于AC′，从而得证（如下图）。

3)引导学生提出新问题：

如何作出点P？（小组合作，作出点P，给出管道铺设方案。）

揭示费马点，介绍数学家费马。由学生代表小结解决问题中的收获。

(3)

发散思维，提升问题师：在解决上述实际问题后，你还能提出哪些值得思考的数学问题吗？启发学生考虑问题向深度、广度发散，提出新的问题，带着新问题走出课堂。点评

●

问题引入顺其自然、合情合理，学生的思维在教师的引导下激活起来，并积极、主动地进行思考。●重视引导学生在探究中学习：从猜想的提出到问题的解决,不断引导学生在提出问题与解决问题的过程中,去探究、了解和认识费马点，取得较好的教学效果。

●重视引导学生在生活问题“数学化”的过程中去获得数学体验:

从特殊(正三角形)一般(一般三角形)的数学思想;

通过旋转三角形进行数学问题转化的思想;

类比、归纳的推理思想。

案例8正方体中直线与平面的垂直

昆明云南民中执教：唐敏2002.6.数学情境：正方体有8个顶点，12条棱有1２个中点，共20个特殊点。提出问题：任取其中两点做一条直线，任取不共线的三点作一平面，使此直线垂直于平面。解决问题

尽可能多的举出例子。全班学生，积极主动参与，画图20分钟，最少者也画出4-5个图形。

讨论

画对的，要求作出口头论证；画错的，举反例，予以否定；再重新找出正确画法。

高三几何复习是中学数学教学的难点，既要照顾大多数学生，让他们兴趣盎然地投入到学习当中，又要揭示数学的基础知识与基本思维方法，有的放矢。●

情境创设适当。开放性的情境给师生极大的讨论空间，学生可以充分应用自己的知识与能力，提出难度适中的问题，从多个方面去分析和解决。点评●注重思维训练。既有正面证明又有反例反驳，一正一反，相应成趣，都体现出数学常用的方法。●作好总结归纳。在独立解决问题的基础上，总结出“证明线面垂直”的一般思维模式，总结出“用三垂线定理及其逆定理证明线面垂直”这一有力工具，让学生在处理此类问题时有章可循。

●

“粉笔加黑板”（利于展示师生的数学思考）这一传统教学手段和“讲——评”形式，在数学“情境——问题”教学中仍有广泛的应用价值。●利用情境作业，进一步促进学生的自主学习与合作讨论，收到良好效果。（全班56个学生少者画了4-5个图，多者画了9个图）

案例9

长方形的周长和面积的比较

贵州安龙二小执教：叶丽华2002.9.创设情境1：学校篮球场平面图（多媒体演示）（让学生就此图提出数学问题）生1：这篮球场是不是长方形？生2：篮球场的长是多少，宽是多少？生3：篮球场的面积是多少？生4：篮球场的周长是多少？创设情境2：设计两块周长相等的矩形瓷砖10cm16cm14cm20cm教师启发学生提问：这两块瓷砖的周长是相等的，那么由周长相等，你们会想到什么？生5：周长相等，面积是不是也相等呢？生6：（反过来）面积相等的两个长方形，周长相不相等呢？老师画出以上图形，让学生验证周长是否相等？4cm6cm8cm3cm老师用6根长度均为24cm的铁丝分别围成6个形状各不相同的长方形，请学生观察、提问.生7：哪个面积最大？哪个面积最小？生8：怎样围得的长方形面积最大……周长=24cm即长+宽=12cm

长

宽

面积

6

6

367535843293271022011111由大到小

平面上周长固定的矩形中，正方形所围成的面积最大。现代积分几何的引伸：

等周不等式

平面上固定周长的区域中，圆所围成的面积最大。

空间中面积固定的区域中，球所界的体积最大。

……点评●●

创造性的处理教材，引导学生提出了好的数学问题。

寓现代数学问题于小学数学教育之中（“开窗口”）:

由于得出：“平面上周长固定的矩形中，正方形所围成的面积最大。”从而渗透了“平面上周长固定的区域中，圆的面积最大”的现代积分几何知识，促进了学生现代数学思想的获得。

●及时捕捉学生学习的闪光点（生成点）在情感交流中促进学生发展

教学应十分关注学生学习的“闪光点”。如：

①奇异的解答，或简便的解答；

②错误的理解——尤其是有价值的错误的利用！

③能阐述概念本质，说清解题思路；

④反映个人独特的见解。●

教师要处理好学生个体认识与群体认识的关系！

案例10

打折与策略

凯里八小六年级(1)

执教：周秋佳2003.4.

情境一：模拟售货（卖雪糕等）情境二：

贵州施秉县—杉木河是国家级风景区。漂流，成人票价100元，学生票7折，团体票（10人以上）5折。凯里八小六（1）班有学生56人，教师2人去漂流，如何买票最节省？

团体票（张）学生票（张）成人票（张）

合计（元）5623120.005713090.005803060.006003000.00

……

……

……

……学生甲:

买六张团体票最合算!学生乙:

多了两张,怎麽办?浪费了!学生甲:不浪费,我拿去卖!

师:对!这位同学讲得很好，我们拿去卖。（接着，教师讲完几种卖法。又丢失了一个学生的“闪光点”）

案例11

平行四边形的面积

兴义六小执教：刘玲2004.10.

该节课是2004年10月，应澳门数学会的邀请，在澳门海星天主教中学借班上的一堂研讨课。由于教师充分调动了学生的学习积极性，使得一个学生由所学的平行四边形的面积，大胆猜想出三角形的面积计算公式，并当众发表了自已的看法。教师立即走到该生面前，倾听他的意见，并向全班转述这个学生的意见，获得师生热烈的掌声。

“闪光点”捕捉得很好！三数学“情境——问题”教学的

特征与导学方法

1“情境—问题”

数学学习的特征（1）“问题性”

以提出问题为核心，利于培养学生的“问题意识”；（2）“开放性”

提出问题的多样性，为学生提供了开放的学习空间；（3）“探究性”

引导学生从情境中提出问题与解决问题，学习过程具有明显的探究性；

（4）“主动性”

在问题意识的驱使下，学生学习具有明显的主动参与性。2数学“情境—问题”教学的导学方法

（1）复习铺垫，质疑提问（2）创设直观生动的情境，激发学生寻疑提问（3）围绕课堂教学目标，引导学生寻疑提问（4）向学生布置课堂“情境作业”，引导在“做数学”中寻疑提问（5）不要急于回答学生提出的问题，应善于引导学生开展讨论交流（6）学习中适时引导学生“回顾—反思”，既可以整理已学知识，又可促进思维的深入发展（7）要恰当处理超前问题和难于解答的问题（8）不要硬拖着学生进入教师预设的“情境—问题”教学轨道，要善于利用学习的“生成点”

进行教学（9）尊重学生的个体差异，满足多样化的学习需要．

（10）注重数学知识之间的联系和提出问题与解决问题的能力的培养．

四

促进了中小学教师的专业化发展和课程改革的发展

1

促进了教师的专业发展，培养了一批骨干教师

学科“情境——问题”教学中，各实验学校认真组织教师进行教育科研，开展了以“课例”为载体的

“教学实践——自我反思——同伴互助——专业引领”的校本教研。

把学科“情境——问题”教学的基本理念融入课堂教学的全过程之中。改变了旧的注入式教学方式，积极探究激励学生学习的教学方法，促进了教师自身教学水平的提高。

如贵州兴义市黄草办事处所辖的八所公办小学，近五年来有30余小学数学教师，在《数学教育学报》及北京师范大学出版社、贵州人民出版社等出版的专著中发表教学个案、教学案例及论文57篇；各校自编的有特色的教学个案、教学案例300余篇，论文100多篇。与之同时，有15名教师评为省级骨干教师（其中，数学教师4名）。

在数学“情境——问题”课题教学研究中，有4名获省级一等奖，15人获省级二等奖、6人获省级三等奖。在数学课教学竞赛中，有1人获全国二等奖，1人获省级一等奖，1人获省级二等奖；6人获州、市级一等奖。

2

更新了教师的教育理念，促进了课程改革的发展

教师在实验过程中，主动将课题实验与学科新课改的教材实施恰当的结合起来。在课堂教学中，积极创设数学情境，激发学生学习兴趣，着力培养学生的问题意识、提出问题的能力、动手能力、实践能力，促进学生在数学学习中按个性的发展。

学科“情境——问题”教学实验，为学科课改的实