天津兴华中学2021年高三数学理月考试卷含解析

天津兴华中学2021年高三数学理月考试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.已知抛物线的焦点为F准线为1,P是l上一点,Q是直线PF与C的一个交点,且Q位于第四象限,过Q作l的垂线QE,垂足为E,若PF的倾斜角为60°,则的面积是(

)A. B. C. D.参考答案：A【分析】表示PF方程为,与抛物线方程联立，求解Q点坐标，求解面积.【详解】由已知条件抛物线的准线为，焦点为,直线PF倾斜角为60°,故斜率，方程为：代入抛物线方程可得：解得：由于Q在第四象限故选：A【点睛】本题考查了直线和抛物线综合，考查了学生转化划归，数学运算的能力，属于中档题.2.设分别是椭圆的左、右焦点，已知点（其中为椭圆的半焦距），若线段的中垂线恰好过点，则椭圆离心率的值为(

▲

) A．

B．

C．

D．参考答案：D3.若i为虚数单位，图1中网格纸的小正方形的边长是1，复平面内点Z表示复数z，则复数的共轭复数是()A．－i

B.i

C．－i

D．i参考答案：C略4.已知椭圆E的左、右焦点分别为F1，F2，过F1且斜率为2的直线交椭圆E于P，Q两点，若△PF1F2为直角三角形且|PF1|<|F1F2|，则椭圆E的离心率为(

)参考答案：A由题意得PF1⊥PF2，5.已知动圆圆心在抛物线y2=4x上，且动圆恒与直线x=－1相切，则此动圆必过定点（

）A.(2,0)B.(1,0)C.(0,1)

D.(0,－1)参考答案：B6.

2007年12月中旬，我国南方部分地区遭遇历史罕见的雪灾，电煤库存紧张，为了支援南方地区抗灾救灾，铁路部门从北方采煤区调度6列货运列车调运电煤，决定将这6列列车编成两组，每组3列，且甲、乙两列列车不在同一组，如果甲所在小组3列列车先开出，那么这6列列车先后不同的发车顺序共有（

）

A.36

B.108

C.216

D.432参考答案：答案:C7.将一颗骰子掷两次,观察出现的点数,并记第一次出现的点数为m,第二次出现的点为

n,向量=(m,n),=(3,6),则向量与共线的概率为（

）

A．

B．

C．

D．参考答案：D略8.等比数列{an}中，“公比q>1”是“数列{an}单调递增”的(

)A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件参考答案：D9.函数y＝cos2是()A．最小正周期是π的偶函数B．最小正周期是π的奇函数C．最小正周期是2π的偶函数D．最小正周期是2π的奇函数参考答案：A略10.复数在复平面内对应的点到原点的距离是

．

参考答案：，所以对应的点为，所以.二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.若f（a）是函数f（x）=x+（x＞0）的最小值，则a=．参考答案：【考点】7F：基本不等式．【分析】利用基本不等式的性质即可得出．【解答】解：∵x＞0，∴f（x）=x+≥2=1，当且仅当x=时取等号，∴a=．故答案为：．12.设是定义在R上的奇函数，当时，（其中b为常数），则___________．参考答案：－313.已知函数的图象关于轴对称，则实数的值是_______________.参考答案：【分析】本题考察函数的基本性质，本题处理的方法如果不同，那么本题侧重的知识点就有所不同，但本质上都是围绕着函数的对称性进行问题的求解。第一种入手的方法就是从条件“关于轴对称”入手，得知函数为偶函数，从而利用偶函数的代数性质，进行求解；另外一种处理手段是通过解析式对原始的图象带来的图象变化入手可以解得问题，或者直接使用图象变化的二级结论，即的图象关于对称，利用二级结论解决小题是最快的求解手段，而且，近几年北京高考对于函数图象变化的考核明显增多，望考生在后续复习时加大关注力度。【解】方法一：由于函数图像关于轴对称，那么函数为偶函数，那么，根据指数函数的单调性可知，，只有当时，等式恒成立，故填.方法二：根据函数图像的变化规律可知，函数，由函数得到，首先将函数关于轴进行翻折，可以得到函数，此时函数关于轴对称，再将图象向左平移个单位得到，此时函数关于对称，根据题目条件可知对称轴为轴，故，故填.【注：此法结论可以当作一个二级结论记下，在考试小题求解中直接使用】14.设函数,则＿＿＿参考答案：15.（2）（几何证明选讲选做题）如图，已知：内接于圆O，点在的延长线上，是圆O的切线，若，，则的长为

．参考答案：（2）16.若实数满足约束条件，则的最大值为

．参考答案：17.已知向量，，若，则实数的值为__________．参考答案：3解：若，则，∴．三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.已知椭圆C：+=1（a＞b＞0）的左右焦点分别为F1，F2，抛物线y2=4x与椭圆C有相同的焦点，且椭圆C过点．（I）求椭圆C的标准方程；（Ⅱ）若椭圆C的右顶点为A，直线l交椭圆C于E、F两点（E、F与A点不重合），且满足AE⊥AF，若点P为EF中点，求直线AP斜率的最大值．参考答案：【考点】椭圆的简单性质．【分析】（I）由题意可知：抛物线y2=4x的焦点（1，0），c=1，将点代入椭圆方程，即可求得a和b的值，求得椭圆方程；（Ⅱ）设直线AE的方程为y=k（x﹣2），代入椭圆方程由韦达定理，求得E点坐标，由AE⊥AF，及中点坐标公式求得P坐标及直线AP的方程，当k≠0时，t=，利用换元法及基本不等式的性质，即可求得直线AP斜率的最大值．【解答】解：（Ⅰ）由题意可得：抛物线y2=4x的焦点（1，0）与椭圆C有相同的焦点，即c=1，a2=b2+c2=b2+1，由椭圆C过点，代入椭圆方程：，解得：a=2，b=，则椭圆的标准方程为；（Ⅱ）设直线AE的方程为y=k（x﹣2），则，可得（3+4k2）x2﹣16k2x+16k2﹣12=0，由2+xE=，可得xE=，yE=k（xE﹣2）=﹣，由于AE⊥AF，只要将上式的k换为﹣，可得xF=，yF=，由P为EF的中点，即有P（，），则直线AP的斜率为t==，当k=0时，t=0；当k≠0时，t=，再令s=﹣k，可得t=，当s=0时，t=0；当s＞0时，t=≤=，当且仅当4s=时，取得最大值；综上可得直线AP的斜率的最大值为．19.如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为矩形，平面平面ABCD,,，，E为PB中点．（Ⅰ）求证：PD∥平面ACE；（Ⅱ）求二面角的余弦值；（Ⅲ）在棱PD上是否存在点M，使得？若存在，求的值；若不存在，说明理由．参考答案：（I）见解析；（II）；（Ⅲ）答案见解析.【分析】(Ⅰ)由题意结合三角形中位线的性质和线面平行的判定定理即可证得题中的结论；(Ⅱ)由题意建立空间直角坐标系，求得半平面的法向量，然后结合法向量可得二面角的余弦值；(Ⅲ)假设存在满足题意的点，由题意结合点的坐标和向量垂直的充分必要条件得到关于的方程，解方程即可确定的值.【详解】（I）设交于点，连结.因为底面ABCD是矩形,所以为中点.又因为为中点,所以∥.因为平面平面,所以∥平面.（II）取的中点，连结，.因为底面ABCD为矩形,所以.因为，,所以∥，所以.又因为平面PCD⊥平面ABCD,平面平面PCD∩平面ABCD=CD.所以PO⊥平面ABCD，如图，建立空间直角坐标系,则，设平面的法向量为，所以令，则，所以.平面的法向量为，则.如图可知二面角为钝角，所以二面角的余弦值为.（Ⅲ）棱上存在点,使.设,则.因为,所以..因为,所以.所以，解得.所以在棱上存在点,使，且.【点睛】本题主要考查线面平行的判定定理，面面角的向量求法，立体几何中的探索性问题等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.20.甲、乙两名射击运动员参加射击选拔训练，在相同的条件下，两人5次训练的成绩如下表（单位：环）次数12345甲6.510.210.58.66.8乙10.09.59.89.57.0（1）请画出茎叶图，从稳定性考虑，选派谁更好呢？说明理由（不用计算）。若从甲、乙两人5次成绩中各随机抽取一次，求抽取的成绩至少有一个低于9.0环的概率；（2）若从甲、乙两人5次成绩中各随机抽取二次，设抽到10.0环以上（包括10.0环）的次数为，求随机变量的分布列和期望；（3）经过对甲、乙两人的很多次成绩的统计，甲、乙的成绩都均匀分布在[6.5，10.5]之间。现甲、乙比赛一次，求甲、乙成绩之差的绝对值小于1.0环的概率。参考答案：略21.已知一动圆P（圆心为P）经过定点，并且与定圆：（圆心为C）相切.（1）求动圆圆心P的轨迹方程；（2）若斜率为k的直线经过圆的圆心M，交动圆圆心P的轨迹于A、B两点.是否存在常数k，使得？如果存在，求出的值；如果不存在，请说明理由．

参考答案：（2）解：假设存在常数，使得，即，所以M为AB的中点.圆方程可化为，所以圆心M为（1，1）.…………6分因为直线经过点M，所以直线