高等代数第9章欧几里得空间考研讲稿

第九章欧几里得空间

§9.1内积

1.欧几里得空间的定义：设忆是实数域R上的线性空间，在忆上定义了一个二元实函数，称为内积，记为(a,/),它具

有以下性质：对任意的任意的《eR：

①(a,/?)=(£,a)；---对称性

②(ka,0)=k(a,0)；

»——双线性

③(a+A/)=(a,7)+(A/)；

④(a,a)>0,当且仅当a=0时(a,a)=0°一—正定性

这样的线性空间V称为欧几里得空间。

注：

①在实数域上一线性空间厂中如果定义了不同的内积，则%就成为不同的欧几里得空间；

②在欧几里得空间中，向量a=0=(a,a)=0=V〃e/,(a,〃)=0；

③欧几里得空间R"的内积如无特殊说明指的是：对R"中任意二向量a=(q,%…,勺)，/=(4也・••，2)，

(a,尸)=。也+a2b2+--+anbn。

例1.(吉大2007)设展R"、"，定义(45)="(H5)=H叫,W/=(旬),5=(与卜人求证：按上述定义

j=l/=1

V=R"*"成为欧几里得空间。

证明：首先，对V/=(%)5=(%)",有(45)=力q也eR且唯一，因此(4B)是定义在厂上

j=\i=l

的一个二元实函数。其次，对7力=(%),6=(与),。=心)€匕\/左€1<,有：

(A,B)=Tr(A'B)=♦卷也.=EZM/=Tr(B'A)=(B,A)

j=\i=]j=l/=1

(/+C,止力((/+C)“)这回囱+与也这之叫力谓=力(/2)+力(05H45)+(CI)

'/y=l/=1j=lf=lj=\/=1

(kA,B)=DkkA)E工之(网)％=应£叫=kTr(AB)=k(A,B)

''J=1/=1J=\/=1

(4N)=力(HZ)=£力%%=Hau-0,且当且仅当?!=(%)=0时(44)=0

7=1/=!y=l/=1

因此原命题成立。

例2.(华中师大2016,7.(1))设R"表示所有〃维实列向量构成的实向量空间，，是一个〃阶实正定矩阵，(1)证明:

由(X,F)=X7/F,这里X,FeR"且X，表示X的转置，定义了R"上的一个正定的、对称的双线性型(即内积)，从而

使得R"成为一个欧氏空间。

证明：首先对VXIeR",有(X,y)=X7/FeR且唯一，因此(X，)是是定义在R"上的一个二元实函数.其次,

对VX,F,ZeR",WAwR,因N是一个〃阶实正定矩阵，因此有：

(X,Y)=XrAY=C=YrArX=YAX=(RX)；

(X,X)=X'AX>0,且当且仅当X=0时等号成立；

又：

(X+Z,Y)=(X+Z)TAY=(Xr+ZT)AY=XTAY+ZTAY=(X,Y)+(Z,Y)

(kX,Y)=(kX)TAY=(kXT)AY=k(XTAY)^k(X,Y)

因此命题成立。

2.度量性质

设忆是任一欧几里得空间。

(1)向量的长度

①对Wae%,将非负实数J(a,a)称为向量a的长度,记为同，且显然有|时=网同,\/此乩

②长度为1的向量称为单位向量。任取0wae/,a称将向量a单位化。

③柯西-布涅柯夫斯基不等式：对Va,尸"，有|(a,0引即如且当且仅当a,£线性相关时，等号才成立。

(2)非零向量的夹角

=arccos^.

①非零向量a,〃的夹角侬⑼规定为〈a,⑶

国网

②如果(a,£)=0,称a/正交或垂直，记作a_L£。非零向量a,夕正交(a，尸)o〈a,/7)=］。

③如果向量风,见正交，那么k+aj=|a『+|%『，该式被称为勾股定理，且可推广为：若名,a”两两正交，那

么|%+%+…+图|2=|必『+|%『+…+

(3)向量间的距离：。

①距离的定义：将|a-4|称向量a与夕的距离，记为"(a,?)。

②距离的性质：⑴d(a/)=d(£,a)；(ii)d(a,/3)>Q,并且仅当a=夕时等号成立;

(iii)d(a,⑶Kd(a，7)+d(y,P)(三角不等式)。

(4)基的度量矩阵

①基的度量矩阵的定义：设名,见,…,a”是〃维欧几里得空间P的一组基，下列矩阵：

'（«，/）（/，%）…（%%）、

G（%,%L,%）=他必）（%，...（%%）

、（％，＜）（%，%）…（«„,«„）,

称为基冈,a,,的度量矩阵。

②基的度量矩阵的性质

设V是任一〃维欧氏空间,V的两组基。…，女与7,7,…，2的度量矩阵分别为45。由。，统，…看.到

7，2，…，〃，的过渡矩阵为C，任取a=七。++…+x&.,B=y。+乃&+…+y,&eV.

（凹、

性质1：（a,j3）^（xt,x2,---xn）A:。

性质2：B=CAC,即〃维欧几里得空问修的不同基的度量矩阵彼此是合同的。

’（7,7）（7,7）…（%〃"）'

FRR（柩闿）（九石）…U

证明：/＞=..

、（7,7）（〃”,%）•••（〃“,〃）

由题设知（7，〃,：〃"）=（qg「・g）c,于是若设c的列向量组为GC，…,c，则有:

%=（4*2,…4）GC=L2,…,〃

由性质1知：（7，%）=C'/C/ZJ=1,2,…，进而有:

'（7,7）（7,7）…（7,叫（CMCCMG…”,、

（7,7）伽，柩）…（柩"）=G/CC：AC2C'2ACn

、（乙，7）（%，％）•••（名，〃,»（C：NG"G…C'AC,,,

性质3：（i）基的度量矩阵是正定矩阵，特别地，标准正交基的度量矩阵是单位矩阵;

证明：设是〃维欧几里得空间忆的任一组基。

'（%?）（«P«2）（%名）'

「心〃..〃」（4C）（%'%）…（4’%）

"J-:::

、（%,4）（a,«2）•••（%,a）

是a，a,的度量矩阵，由内积的定义可知：

（«,,«,）eR,（a,,a）=（a,a=1,2,•••,/?

于是G（q,4,…,％）是实对称矩阵。

任取O*X=（X],X2,…,x.）eR",令a=七%+x2a2+…+x”a”，则有OwawP,还是由内积定义知（a,a）＞0，

而由性质1知X'GQI，?,…,a"）X=（a,a）,因此X'G（a，4,…,a.）X>0。综上可知（7（«,生,…,a"）是正定矩阵。

设与,名,…,%是〃维欧几里得空间V的任意一组标准正交基，则有（与，巧）=<",/=1产、〃，因此

("J(昌,4)("“)0•••0

仕,与）回通）•"（与，％）1…0

与©,…,％的度量矩阵G（£|©,…,?）

（%，鸟）（%，玛）"•（%，J）

（ii）设/是任一〃级正定矩阵，则N可看成〃维欧几里得空间修的某组基的度量矩阵。

证明：因N是〃级正定矩阵，那么它与〃级单位矩阵合同，于是存在实可逆矩阵C,使得N=C'C。任取厂的一组标

准正交基£1,£2，由⑴知其度量矩阵是单位矩阵，令（弓,生,…,％）=（与,与,…,£“）C，由性质2知基a,

的度量矩阵为C'EC=C'C=A.

§9.2标准正交基与正交矩阵

设「是一欧几里得空间。

1.正交组

（1）正交组的定义：ay,a2,-,ak&V,a,H0,/=1,2,…，左，（a,,aJ=0,i,/=l,2,…，左，且iw/。

（2）正交组的性质

性质1：任取OHae%,则a是正交组。

性质2：设%,4,…,4是厂中的任一正交组，则风,%，…,火线性无关，因而如dima=〃,那么k<no

2.正交基与标准正交基

（1）正交基与标准正交基的定义：设dim%=〃，是修中的任一正交组，如果左=〃，则%。2,…，党是产的

一组基，称为忆的一组正交基；如果|aj=l,/=l,2,…,〃，则称正交基名,…,a,,为标准正交基。

（2）正交组与正交基的关系：〃维欧几里得空间的任一正交组都能扩充成一组正交基。

（3）标准正交基的判定：设与,名,…，邑是〃维欧几里得空间修的一组基，则下列条件等价。

①£”£2,…，6是么的标准正交基;

/、0（z>y）

㈠“[1（』）

③对Va",有a=（a,£|）£|+（a,£2）£2+~+（a，％）%；

④任取%中向量。=%与+%£2+…+x“%,〃=y百+为邑+…+%%，有（。，夕）=玉X+…+七匕；

即：a=（与怎，…,j）X,a=（st,s2,■­•,£„）¥,则有：

[a,/3）=X'Y=Y'X,其中X=（XM，…,xj，丫=（y,必，…，匕）'

⑤与,与，的度量矩阵为〃阶单位矩阵En。

证明：⑤n②。因与=O'+…0与_[+1与+0与+]+…+0*,i=1，…，因此:

0,…,o,i,o,…,o]1

J011"

（4）标准正交基的求法：任取〃维欧几里得空间厂的一组基，用下面的施密特正交化方法可得到修的一组标准正交基:

设a，a2,…,％为"维欧几里得空间厂的一组基。

第一步：正交化，即令：1=?A=4一俘女笈，…，A=«„-Q，G)

6______(%]匚)_R.

P'(小-产’

,（四，㈤(公⑷

A

第二步：单位化，即令：〃,=

闭’=1,2,…，”»

则7,以，…,么就是V的一组标准正交基。

注：对如上得到的标准正交基名,…,有上（7，〃2,…4）,i=l,2,…

例3.（东北师大2011,三）在标准欧几里得空间P=R4中有向量组q=（2,2,2,2）,4=（0,2,2,2）,a3=（0,0,2,2）,

把它们化成规范正交向量组。

解：先将名,%,区正交化，即设:

/=%=（2,2,2,2）,

…一微Kg?）喘富周；*222）

-(0,2,2,2)-1-7(2,2,2,2)=(0,2,2,2)-3-(l,l,l,l)=(l-|，；，-=夕1-3,1,1,1)

2

B=a(4㈤R(4㈤o

区'0斓电，区)区

*3,1,1,1)

W-器黯郡口2）一

^(-3,1,1,1),^(-3,1,1,1)

1，4

OCf]1

(0,0,2,2)--(2,2,2,2)-^—-(-3,1,1,1)=(0,0,2,2)-(1,1,1,1)--(-3,1,1,1)

161.1223

4

=。4翡争2川1）

3

再将/，尸2,用单位化，即设:

''一国°飞伙⑻仇一《2,2,2,2）,（2,2,2,2））⑵篦⑵一耳

11；(-3,1』』)=.(-3,1,1,1)

Yi,।

3廊仙-3,1,1,1),；(一3,1,1,1)

1]21

九,A—(0,-2,1,1)=-^=(0,-2,1,1)

gd)g(0,-2,1,1),g(0,-2,1,1)376

7,%,M即为所求。

例4.（吉大2015,3）“维欧几里得空间中一定存在标准正交基。

由（4）可知〃维欧几里得空间厂的标准正交基是存在的，另外也可以如下说明标准正交基的存在性：设％,4,,为

〃维欧几里得空间厂的一组基，则其度量矩阵G（a，az，…,生）是正定矩阵，于是存在”阶实可逆矩阵c，使得

C'G（ai,a2,--,an）C=En,令。区,…，4）=（4%，…，4）。，那么4,%的度量矩阵为

C'G（q,a2,…,a,,）C=纥，因此与,冬,…,％为%的标准正交基。

1-1n

例5.欧几里得空间修的一组基的度量矩阵为-120,求修的一组标准正交基。

04,

解：用施密特正交化方法。

(«P«2)(四，%)、1-ir

由度量矩阵的定义可知：G（a，%,%）=(%,%)(%，%)-12o

、（4，名）3，。2)3，%),104,

先将％%，。3正交化，即令:

P\~a\y

-1

代=a「3,⑷B\=~fa.=«--a.=«,+a,

邛、，八(a，aj212

33,(A，A)

=a3，*(%0+生)(a+a)

?112

(a，aj(a,+a2,a,+a2)

=生-3-(名」篙震嚷,4)®+%)

--1+2%+2(…J

=。3一风一(q+a，)=—2a1一a、+a3

再将4,月，网单位化，即令:

九=A=/](a+%)=a+a

2lAr212；

九「cc、(-2/_%+%)

J(—2%-％+%,—2国一生+a,)

____________________________1

(-2a,-a,+aj

)4(%,%)+(%%)+(%,%)+4(1,%)-4([,区)一2(%，见)

1

I(-2%—0,+%)

J4+2+4-4-4-0''7

1/c11

石(-2«-%+生)=«2«_双%+五％

则％=a,,/2=a}+a2,/,/忑4+/%就是产的一组标准正交基。

例6.(华中师大2012,7)令R2表示实数域上的次数不超过2次的多项式再加上零多项式构成的实向量空间。

(1)对任意的p(x),g(x)eR2,(p(x),g(x))=J：p(x)(7(x)t/r是R2上的内积;

.1也2

(2)将R2的基底后苏,%标准正交化，求出标准正交基。

(1)证明：首先对Vp(x),q(x)eR2,有(夕3,4四)=1]夕(力4(力公€11且唯一，所以

(P(x)，4(x))=J：P(x)q(x)dx是R2上的二元实函数。

其次，对Vp(x)，4(x)/(x)wR2，VAeR,有

(p(x)，q(x))=j：p(x)q(x)^=j：q(x)p(x)dx=(q(x),p(x))

(P(x)+r(x),q(x))=J：(p(x)+r(x))q(x)^=J：p(x)g(x)dx+[j(x)q(x)dx=(p(x),q(x))+(Mx),q(x))

(S(x),q(x))=J：(S(x))q(x)4Zr=U：q(x)p(x)t/r=%(q(x),p(x))

(p(x),p(x))=J：p(x)p(x)力;=,/(x)力;NO,且当且仅当p(x)=O时等号成立

因此(1)成立。

1V32]V3,

(2)解：先将基底HF''正交化，设/=;£羽。3=/，令:

A1为零

4/二万

,'也1,Gri

」双x.五公1xdx

B（%㈤6一6x_VsyJ-1_V3

生一%一怎而仇一正X-'正二正x

尸丁丁正,一UdX

12

fx~,-产dx.xdx

7_（«，A）n_3乌）n山枝1-■V2百

“3（瓦3㈤/血血产=x2

•正X.牛xdx

____J-'V2V2

I为零I

23

xdx]xdxV3

=X2

gfjdx&5产x.正'

12

72312

-X2=x-2

y正3

2

再将用=白，昆

-y=X,夕3=X2单位化,即令:

11]1111

Y\・正二产77r正

1也I也也

%=,-7=-X――产X

—g血）疗一,忑V2V2

•1V3V3J

121

%A---

脑㈤313

3

1„21

X—

421,3

X----X2H—dx

39

1V33V10

%=万%=正”产下为标准正交基。

—j＞R4£3,J，

例7.（首都师大2010,八）欧氏空间R4中，1,求中向量使得

12222）

与,冬,？，%为R4的一组标准正交基。

解：注意欧几里得空间R，中两个向量。=（再,工2，工3/4）,"=（必,歹2，为,乂）的内积（。/）=再必+》2乃+》3%+》4歹4。

111

-I----------1----0,知与,三正交，又:

222

闻=而荀=出）+出+（1+出=1,区|=J®，?)=+,g)21丫

=1

2>

知与,4是R4的一个单位正交向量组。

1111c

佃一°,即解方程组解线性方程组②"2Xi+5W+5X3+5Z=0

方法1:设丫=（内,工2，毛,％4），解线性方程组①

（£2，X）=01111c

2吊—产+/--x4=0

T]_j_、

2222‘11111010、

N=->

、0-10-10101

i_277

、222-2>

再=一£,其中七,七为自由未知量，进而得②即①的一个基础解系7=（-1,0,1,0）,7=（0,-1,0,1）,

得②即①的一般解:2

F=F

11,0、,%=]~[小=1o，_1

因（7，%）=°，所以7，%正交，将7，〃2单位化得力,又因

请T万/

6，句是①的解，所以6，岛都与与，名;正交，于是马,£2，£”%是R4的标准正交基。

方法2:先将£”与扩充为R4的一组基，即：

与、A£2«4

2_、]_00

222222

j_]_]_J_

,所以这样扩充为R4的一组基-00

2-2有一个2阶子式不等于零2~222

J_2_]_2j_0

222222

J_j_

0

2'L52)2-27

将£],£2，。3，。4正交化，因£|,£2正交，因此令:

外—=导另，-3

…4t部一着引

（。，。」，。），另，上(0,0,1,0),:

11111111

(0,0,1,0)-ZT9^9~9~

12222i2222

1111111111

=(0,0,1,0)

2(2,2,2,22{2,2'2'2

1131鸿，2H+4。

W'-

(a4,自)

⑸=%_A-

(瓦㈤(A，A)(凤㈤

((0,0,0,1),(；

(0,0,0,1),（0,0,0,1）,（；,一封,一；

1111iiii?2

=(o,0,0,1)-二'二'二‘二

1222212222■?°T°

ip11111111

=(0,0,0,1)

2l2,2,2,2-55-5

2_2_12

+_L」1

4

将无旦血，用单位化，因以=马,夕2=4都是单位向量，因此令:

A(111

2

1

£3=73A

J出血）22J

10,一1昇1扪（0,一冬0,孝

A22

J(夕4,夕4)7

0，-；心

于是£],£2，£3，%为R’的一组标准正交基。

3.标准正交基与正交矩阵

（1）正交矩阵的定义：设，是〃级实方阵，如果=则称/为正交矩阵。

（2）正交矩阵的性质及判定

①设Z为〃级正交矩阵，则|旬=±1；

证明：因，为〃级正交矩阵，所以AA=E"n\A'A\=阂=|E“|n»『=]；，为〃级正交矩阵，知A为〃级实方阵,

推出国为实数，因此卜±1。

②设Z为〃级正交矩阵，那么N可逆，且/均为正交矩阵;

证明：N为正交矩阵，所以/是"级实方阵，且ZN=E.，因此N可逆，且均为〃级实方阵，/"=H,

W/T=/H=E,

A*=同/=\A\A

=>(4")4*=H)=HAA=Et

因此均为正交矩阵。

③两个〃级正交矩阵的乘积仍是正交矩阵;

证明：设45都是为〃级正交矩阵，则45是〃级实方阵，且=E",5'6=35'=E,,,知N6也是〃级实

方阵，且：

(45)'=B\A'A)B=BEB=B'B=En

所以Z5是正交矩阵。

④设/为〃级正交矩阵。⑴若〃为奇数且|旬=1,则1是N的特征值，(ii)若|力|=一1,则-1是N的特征值(首都师大

2010,9)；(iii)N的特征值的模为1(即正交矩阵的特征值在复平面的单位圆上)，因此，的实特征值为±1。

证明：⑴|i纥-H=|H/-N|=|(H-纥)N|=H-纥叼=(/-纥)'M=M-纥词=(-1)"阂1纥-4

因〃为奇数，=所以由“一川=(一1)”|训1%-川=一|1纥-旬=>四“一川=0=1是，的特征值。

(ii)|-1£„-A\^\-A'A-A\=\(-A'=\~A'-11^|=-A)'\A\=\-En因|力|=一1,所以有

H纥一H=卜1纥一4年一卜1纥一旬n卜1纥—旬=0n—1是N的特征值。

(iii)设4是N的任一特征值，a是N的属于特征值4的特征向量，于是有Na=4a,而N为〃级正交矩阵，因此/

为实方阵，于是H也是实方阵，且/'/=£"，因此有:

(茄)=a'A'=Aua'

上式左右两端的右侧都乘上Aa得：

(HH)(Za)=a'(A'A)a=a'Ena=a'a=(%引(Na)=(4引(4a)=AoAoa'a

=>(私_1匹=0

设a=(%+如。2+妨…+。」)'吗也wR,j=l,2,…,i是虚数单位，则有：

Z+"i、

笈a=(%心血-好,…/："J=(a；+b；)+(a；+%+…+(a：+%=|a,++同++…+1«„+

其中问+b,i|,/=l,2,…，〃表示复数%+如的模。因a是/的属于特征值4的特征向量，所以。。0,推出茨'a〉0,进

而有无人一i=on44=i,即|町=1,其中闻表示复数4的模，而|4|20,于是有|4|=1，知如果4为实数,有

=有=1=>4,=±1,即N的实特征值为±1。

(cos^-sin

注：正交矩阵的特征值不一定都是实数，例如U=.八八(旋转矩阵)，则U是2阶实方阵，且：

Isin3cos0)

Up(cos。sin^Vcos^-sin6](\0、

1-sin。cosej[sin6cos。)<01；

所以U是正交矩阵。

因

A-COS0sin6

|花-研==(A-cos^)2+sin20=-(2cos^)2+1

-singA-COS0

A=4cosz。一4=-4sin20

所以当0<夕<乃时-U|无实根，因此此时U无实特征值。

⑤设Z为〃级正交矩阵，则当同=1时Z*=H,当|力|=一1时4=—H。

:当-

证明：因N为“级正交矩阵，所以“是〃级可逆矩阵，且O',于是4=<当-

，

©设46为〃级正交矩阵，且闻+忸|=0,则Z+5不可逆(东大2011年，七，A,B皆为〃级正交矩阵，且|/|=一忸|,

证明|/+6|=0)。

证明：因46为〃级正交矩阵，所以有：

A,B都是实方阵，且/'N=B'B=E,=>\A\~=忸「=1=>同=±1,忸|=±1

又

同+忸卜。n|N卜一国

知：阂同=-1,进而有：

M+6|=3(/T+5T)5|=|ZMM+6[=MM](，+6)'=|/|同/+6|=-|，+同=恒+同=()

因此4+5不可逆。

由此可知r(/+5)4〃-l=>r(/+5)"<1,

⑦设”是〃级实方阵，则/为正交矩阵当且仅当，的行向量组及列向量组都是欧几里得空间R"的标准正交基。

(3)标准正交基与正交矩阵：在〃维欧儿里得空间忆中，由标准正交基到标准正交基的过渡矩阵是正交矩阵；反过来，如

果第一组基是标准正交基，同时过渡矩阵是正交阵，那么第二组基也是标准正交基。

例8.(首都师大2010,八)设46eR"'",A'=A,B'=-B,\A-B\^0,AB=BA,求证：S=(A+B)(A-

是正交矩阵。

证明：因46eR"x",-6卜0,所以SeR"*"。又A'=A,B'=-B,于是有：

55=((4+5)(/—5门'(4+5)(/—笈厂=((4—6门'(/+5)'(/+5)(/—51

=((/叫](A'+B')(A+B)(A-By'(A-B)(A+B)(A-By'

^(A+BY'(A-B)(A+B)(A-By'

而由:

（A-B）（A+B）=A2+AB-BA-B2

（A+B）（A-B）=A2-AB+BA-B2>^（A-B）（A+B）=（A+B）（A-B）=A2-B2

AB=BA

因此有：

S'S+By'（A-B）（A+B）（A-By'=（A+B^'（A+B）（A-B）（A-=Eti

综上可知S=（N+6）（Z-6尸是正交矩阵。

例9.（沈师大2012,十）给定四维向量/o,—,。2=1―,求正父矩阵。以名,弓为前

两列。

解：方法1：

（四,药）=出+1|）+。2+图=1，3q）=（喘）+°\闺+㈤=1

（四'%）］；-*卜］-沙+0/汰=0

所以药,％为单位正交向量组。

122

0产一,》2+0》3+,》4=0

设X=（X1,X2，X3，Z）,解线性方程组①）:,即解方程组②c,:

（%，x=0上……_

1V612V63V64-

f1-2on

33311-202]（1-2021

_Ao-L-L1-2011尸10-415）

（\（]_」、

1-20210-

2~2

ff

01——01—_1_2

\447k44>

11

X,=­x3+—x4

得②即①的一般解：<j；，其中刍，甚为自由未知量，进而得②即①的一个基础解系

》2=产+/4

7得，小=（A。」｝

将7，%正交化，即令:

%=7、、

v何2,%),,1583

…一西八=

2'4'7777

将九,为