第十六讲等差、等比数列原卷版

第十六讲：等差、等比数列

【考点梳理】

1.数列｛«„)的前〃项和为s“与通项公式为

Sn=\

｛,n>2,neN

注意：根据S“求a”时，不要忽视对〃=1的验证.

2.等差数列

(1)如果等差数列｛对｝的首项为4,公差为d,那么它的通项公式是q=4+(〃-l)d.

(2)通项公式的推广：a„=am+(n-m)d(n,meN*).

(3)等差中项

若三个数a,A,8成等差数列，则A叫做a与人的等差中项，且有公士也.

2

(4)等差数列的性质

在等差数列｛〃〃｝中，当加+〃=〃+4时，〃印+〃〃=4+/(如〃，p,qwN*).

特别地,若加+九=2,贝!Ja.+a”=2q(/n,n,twN").

(5)等差数列的前〃项和公式

设等差数列｛a“｝的公差为d,其前〃项和S“=na］+若工d=〃("；"").

(6)在等差数列｛七｝中，若4>0,4<0,则满足［册的项数机使得S“取得最大值S,,,；

40

若4<0,d>0,则满足［册’°的项数m使得S,,取得最小值鼠.

3.等比数列

(1)等比数列的通项公式

设等比数列｛4｝的首项为4,公比为q(g*0),则它的通项公式

an=a、q"T=c-q"(c=—)(ax,qH0).

q

推广形式：a„=a„,-q"-m

(2)等比中项：如果a,G,6成等比数列，那么G叫做a与匕的等比中项.

即G是。与b的等比中项□“，G,b成等比数列口G2=ab.

(3)等比中项的推广.

2

若加+〃=0+夕时，则。〃4=%必，特别地，当/H+九=2。时,aman=ap.

(4)等比数列的前。项和公式

“4（q=1）

等比数列｛〃“｝的公比为＜?（qw0）,其前"项和为S"=,q（l-«"）a「a"q

-；=——（q寸1）

Ii-qi-q

【典型题型讲解】

考点一：等差、等比数列基本量运算

【典例例题】

例1.（2022・广东汕头•一模）已知各项均为正数的等比数列｛%｝的前4项和为15,他，24,

生成等差数列，则4=（）

A.50-5B.5收+5C.50D.5

例2.（2022•广东茂名•一模）已知等比数列｛《,｝的前〃项和为S“，公比为0,则下列选项

正确的是（）

A.若$3=4,56=12,则Sg=29B.若q=l,q=j,则S“=4-3”“

C.若见+%=2,%。6=-8,则4+4O=-6D.若q=1,4=4%,则见=2".

【方法技巧与总结】

等差、等比数列基本运算的常见类型及解题策略：

（1）求公差”公比q或项数〃.在求解时，一般要运用方程思想.

（2）求通项.4和d或q是等差数列的两个基本元素.

（3）求特定项.利用等差数列的通项公式或等差数列的性质求解.

（4）求前〃项和.利用等差数列的前"项和公式直接求解或利用等差中项间接求解.

【变式训练】

1.（2022•广东深圳一模）已知等差数列｛叫的前。项和为5,,,且％=3,5,=25,则数列

｛4｝的公差〃=.

2.（2022•广东中山•高三期末）已知｛4｝为正项等比数列，且生如=4,设为该数列的前〃

项积，则4=（）

A.8B.16C.32D.64

3.（2022•广东潮州•高三期末）等差数列｛。,,｝的前n项和"，若$=19,则为+的的值为（）

A.1B.2C.3D.4

4.（2022•广东汕头•高三期末）记S“为等差数列｛4｝的前"项和，已知怎=0,4=6,则（）

A.=12-nB.《。=16C.S,,=2〃2-1O”D.兀=50

5.（2022•广东中山•高三期末）在数列｛4｝中，«,=2,北二=疯+e，则数列｛%｝的通

项公式为.

6.（2022•广东揭阳•高三期末）在等差数列｛q｝中，卬,，⑼分别是方程/一16》+3=0的两

个根，贝°'

7.（2022・广东潮州•高三期末）设｛%｝是首项为2的等比数列，S.是其前。项和.若

%+%%=34,贝ljS5=.

8.（2022•广东汕尾•高三期末）已知等差数列｛%｝的前"项和是"，且佝=8，则用=.

9.（2022•广东珠海•高三期末）等差数列｛叫前n项和为S“，且4+4=16,5,=81.

（1）求数列也｝的通项公式；

I2

（2）设数列------的前"项和为7,,若丁“＞三,求”的最小值.

10.（2022•广东揭阳•高三期末）在各项均为正数的等比数列｛4｝中，4=18,%-4=48.

⑴求数列｛叫的通项公式；

（2）b„=log3^-,求数列的前“项和5”

2+2J

11.（2022•广东潮州•高三期末）设等差数列｛%｝的前。项和为S“,%=6,%=14.

（1）求数列伍.I的通项公式及前n项和S,；

⑵若，求数歹U｛4｝的前〃项和T„.

22

在①"=25为;②。=气％；这两个条件中任选一个补充在第（2）问中，并求解.

3〃

（注意:如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分）

12.(2022•广东东莞•高三期末)设等差数列｛4｝的前及项和为5“，且6=17,S4=2的+22.

⑴求数列应｝的通项公式；

(2)在任意相邻两项出和为句(4=1,2,3,)之间插入于个1,使它们和原数列的项构成一个新

的数列圾｝，求数列出｝的前200项的和T2Q0.

13.(2022・广东汕尾•高三期末)已知等比数列&｝满足4=1,4+1是%吗的等差中项.

(1)求数列仅“｝的通项公式；

(2)记b„=a„+1log2an+l,求数列｛"｝的前〃项和S„.

14.(2022•广东汕头•高三期末)已知正项等比数列｛q｝的前。项和为5,,,且邑=4“%=81.

(1)求数列仅“｝的通项公式；

(2)数列｛"｝满足伉=1,当〃22时，b,=-------------,求数列｛2｝的前〃项和7；

log3a„xlog3«„+,

15.(2022•广东惠州•一模)已知数列｛%｝,｛2｝满足勿=4,-(-1)"〃2吗+4=1,生+4=8,

且数列低｝是等差数列.

(1)求数列｛%｝的通项公式：

(2)设数列｛叫的前"项和为7；,若人=｛〃|“4II0且7；4110｝,求集合4中所有元素的和T.

考点二：等差、等比数列的判定或证明

【典例例题】

例1.(2022•广东一模)已知正项数列｛4｝,其前。项和5,满足可(25“-勺)=1(〃€1<).

(1)求证：数列｛氏｝是等差数列，并求出S”的表达式；

(2)数列｛。,,｝中是否存在连续三项4,%，限,使得已,，一，六构成等差数列？请

说明理由.

例2.（2022•广东茂名一模）已知数列｛4｝,但｝满足％=殳学，/,且

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q=2,4=1

（1）求生，4的值，并证明数列｛4-2｝是等比数列；

（2）求数列｛g｝,他｝的通项公式.

【方法技巧与总结】

1.等差、等比数列的定义证明数列是等差、等比数列；

2.等差、等比中项证明数列是等差、等比数列。

【变式训练】

1.（多选）（2022•广东・金山中学高三期末）已知数列｛%｝是等比数列，公比为4,前〃项

和为S“，下列判断正确的有（）

为等比数列为等差数列

A.B.｛log2a,J

C.｛4+%t｝为等比数列D.若S“=3"T+「，则，=-：

2.（多选）（2022•广东深圳•高三期末）已知d为等差数列｛4｝的公差，S“为其前。项和,

若｛5｝为递减数列，则下列结论正确的为（）

A.数列｛S,,｝为递减数列B.数列是等差数列

依次成等差数列若几几则

C.56,S1,D.>0,<0,ScS

3.（多选）（2022•广东佛山•高三期末）数列｛%｝中，4=0,%=14+2=?%+2（〃€心.

则下列结论中正确的是（）

A.0<«„<1B.｛|--叫是等比数列

C.〃8<〃10<〃9D.〃9<〃10<〃8

4.（2022•广东汕头一模）已知数列｛q｝的前〃项和为S“，3a“=2S,+2〃（"eN）

（1）证明：数歹U｛a,,+”为等比数列，并求数列｛%｝的前n项和为5.；

（2）设O=log3（%+1）,证明：原+原+…+屏<L

5.（2022•广东深圳•一模）已知数列｛勺｝的首项4=2,且满足“用+勺=4'3".

（1）证明：｛%-3"｝是等比数列；

(2)求数列｛q｝的前"项和S,,.

6.(2022•广东深圳•高三期末)已知数列｛〃,,｝满足q=1,生=2,且an+2=3«„+|-2a„(neN").

(1)证明：数列｛%M-Q｝是等比数列；

(2)记｛%｝的前。项和为5“，若v〃eN”,均有5,,＜而,，求实数4的最小值.

7.(2022•广东佛山•高三期末)设S“为等比数列｛%｝的前“项和，邑、S。、S6成等差数列.

(1)求证：a八%、6成等差数列；

⑵若4=2,7.是数列和：；｝的前〃项积，求。的最大值及相应n的值.

；生也+g，〃为正奇数，

8.已知数列｛an｝满足2

2(+3”为正偶数.

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(D问数列是否为等差数列或等比数列？说明理由；

(2)求证：数列|是等差数列，并求数列｛4,｝的通项公式.

考点三：等差、等比综合应用

【典例例题】

例1.在口么=4+/+%，口邑=13这两个条件中，任选一个补充在下面的问题中，并解答.

己知正项等差数列｛4｝满足出=3,且a2M3+1，%+3成等比数列.

(1)求｛%｝的通项公式；

(2)已知正项等比数列｛£｝的前n项和为S,,〃=4,，求S,.

注：如果选择两个条件并分别作答，按第一个解答计分.

【方法技巧与总结】

(1)等差数列与等比数列的相互转化：等差数列通过指数运算转化为正项等比数列,

正项等比数列通过对数运算转化为等差数列.

(2)等差数列和等比数列的交汇，若一个数列既是等差数列又是等比数列，则该数列

为非零常数数列.

【变式训练】

1.已知等差数列｛4｝公差不为0,正项等比数列｛〃｝,a2=b2,%=%，则以下命题中正确

的是()

A.B.a5>b5C.D.>,

2.已知数列｛〃〃｝是公差不为零的等差数列，｛2｝是正项等比数歹U，若6=4,%=b7,则()

A.。4=dB.a5<b5C.。8>瓦D.为<优

3.已知｛4｝为等差数列,｛〃｝是公比为2的等比数列，且电一为=。3-3=包一4.

(1)证明：4=4；

(2)求集合｛%|4=4+4』4^4500｝中元素个数.

4.已知数列｛%｝是公差为2的等差数列，数列他,｝是首项为2的等比数列，且

r2K

G+〃2=4也+3=。3.设数列｛%｝满足："'〃'太，其中ZcN*,其前"项和为S〃.

也"=2

⑴求为的值.

,11]

(2)若,求证：d+d+dy++d<—.

%一3[218

5.已知公差为正数的等差数列｛叫，的与4的等差中项为8,且4%=28.

⑴求应｝的通项公式;

(2)从｛a,,｝中依次取出第1项、第3项、第9项、…、第3"一项，按照原来的顺序组成一个新数

歹|」也｝，求数列低｝的前〃项和

【巩固练习】

一、选择题：

1.若a,b,c,"成等比数列，则下列三个数列：口。+他+*+4；Gab,be,cd；□

必成等比数列的个数为（）

A.0B.1C.2D.3

2.已知数列｛4｝（〃€N"）是首项为1的正项等差数列，公差不为0,若4、数列｛%■｝的第2

项、数列｛“J的第5项恰好构成等比数列，则数列｛%｝的通项公式为（）

A.4=2〃-1B.。〃=2〃+1C.an=n-\D.an=n+l

3.已知数列｛%｝的前〃项和为S“.若6=2,。向=S“，则〜=（）

A.297B.298C.2"D.2'00

4.数列｛%｝为等比数列，6=1,%=4,命题p：%=2,命题q：为是q、%的等比中项,

则。是9的（）条件

A.充要B.充分不必要C.必要不充分D.既不充分也不必要

5.（2022•全国•高三专题练习（理））已知数列｛4｝满足4=-2,%=2,a2-2an=1-（-1）",

则下列选项不正确的是（）

A.他,1｝是等比数列B.Z（%T+2）=70

1=1

1（）

C.他“｝是等比数列D.Zq=52

/=1

二、选择题：

6.若数列｛q｝是等比数列，则（）

A.数列是等比数列B.数列｛%“｝是等比数列

C.数列｛%+%｝是等比数列D.数列｛珊是等比数列

7.已知等差数列｛4｝的公差和首项都不等于0,且％，%，%成等比数列，则下列说法正

确的是（）

%+%+6。=L见+%+4。=3

RC.d=2ci\D.a=2d

%+%3%+/7｝

〃则有（）

8.数列｛a/?｝的前n项和为Sn,4=tan+i=S2：.（€N*）,

A.Sn=3n1B.｛Sr｝｝为等比数列