高中数学第十一章立体几何初步11.3空间中的平行关系11.3.1平行直线与异面直线学案新人教B版必修第四册

11．3空间中的平行关系11．3.1平行直线与异面直线课程标准1.借助长方体，通过直观感知，了解空间中直线与直线的关系，了解以下基本事实和定理．基本事实4：平行于同一条直线的两条直线平行.定理：如果空间中两个角的两条边分别对应平行，并且方向相同那么这两个角相等．2．重点提升直观想象、逻辑推理、数学运算和数学抽象素养．新知初探·自主学习——突出基础性教材要点知识点一基本事实4文字表述：平行于同一条直线的两条直线________．这一性质叫做空间平行线的________．符号表述：a∥bb知识点二等角定理如果一个角的两边与另一个角的两边分别________，并且方向________，那么这两个角________．状元随笔思考：空间中如果两个角的两边分别对应平行，这两个角具有什么关系？[提示]相等或互补．知识点三异面直线(1)定义：把既不相交又不平行的直线叫做异面直线．(2)画法：(通常用平面衬托)知识点四空间两条直线的位置关系共面直线状元随笔思考：不在同一平面的两条直线是异面直线，对吗？[提示]不对，是不同在任何一个平面内．知识点五空间四边形1．空间四边形的定义：顺次连接____________所构成的图形称为空间四边形．其中4个点都是空间四边形的顶点．2．空间四边形的对角线：连接__________________称为空间四边形的对角线．状元随笔(1)空间四边形与四面体是一回事吗？[提示]不是一回事．空间四边形可以看成由一个四面体的四条棱构成的图形，空间四边形不是四面体．(2)梯形是空间四边形吗？[提示]不是．因为梯形是一个平面图形，它的四个顶点在一个平面上，所以它不是空间四边形．基础自测1．已知AB∥PQ，BC∥QR，若∠ABC＝30°，则∠PQR等于()A．30° B．30°或150°C．150° D．以上结论都不对2．一条直线与两条异面直线中的一条平行，则它和另一条的位置关系是()A．平行或异面 B．相交或异面C．异面 D．相交3．正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F分别是线段C1D，BC的中点，则直线A1B与直线EF的位置关系是________．4．在正方体ABCD-A1B1C1D1中，P，Q分别为AA1，CC1的中点，则四边形D1PBQ是()A．正方形 B．菱形C．矩形 D．空间四边形课堂探究·素养提升——强化创新性题型1空间两条直线的位置关系概念的理解例1下列说法中，正确的是()A．空间中没有交点的两条直线是平行直线B．一条直线和两条平行直线中的一条相交，则它和另一条直线也相交C．空间四条直线a，b，c，d，若a∥b，c∥d且a∥d，则b∥cD．分别在两个平面内的直线是平行直线方法归纳理解空间两条直线的位置关系的定义共面直线跟踪训练1分别和两条异面直线平行的两条直线的位置关系是()A．一定平行B．一定相交C．一定异面D．相交或异面题型2基本事实4、等角定理的应用例2如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，M，M1分别是棱AD和A1D1的中点．(1)求证：四边形BB1M1M为平行四边形；(2)求证：∠BMC＝∠B1M1C1.状元随笔(1)欲证四边形BB1M1M是平行四边形，可证其一组对边平行且相等；(2)可结合(1)利用等角定理证明或利用三角形全等证明．方法归纳1．空间两条直线平行的证明一是定义法：即证明两条直线在同一个平面内且两直线没有公共点；二是利用平面图形的有关平行的性质，如三角形中位线，梯形，平行四边形等关于平行的性质；三是利用基本事实4：找到一条直线，使所证的直线都与这条直线平行．2．求证角相等一是用等角定理；二是用三角形全等或相似．跟踪训练2如图所示，四边形ABEF和ABCD都是直角梯形，∠BAD＝∠FAB＝90°，BC綊12AD，BE綊12FA，G，H分别为FA，(1)证明：四边形BCHG是平行四边形；(2)判断C，D，F，E四点是否共面？为什么？状元随笔(1)证明四边形BCHG的一组对边平行且相等．(2)只需证明C，H，F，E四点共面，即可推出C，D，F，E四点共面．题型3空间两直线位置关系的判定例3(1)如图，正方体ABCD-A1B1C1D1中，判断下列直线的位置关系：判断两直线的位置关系，主要依据定义判断．①直线A1B与直线D1C的位置关系是________；②直线A1B与直线B1C的位置关系是________；③直线D1D与直线D1C的位置关系是________；④直线AB与直线B1C的位置关系是________．(2)已知a，b，c是三条直线，且a与b异面，b与c异面，试判断a与c的位置关系，并画图说明．状元随笔选择恰当的平面作为衬托，画出可能出现的情况．方法归纳(1)判定两条直线平行与相交可用平面几何的方法去判断．(2)判定两条直线是异面直线有定义法和排除法，由于使用定义判断不方便，故常用排除法，即说明这两条直线不平行、不相交，则它们异面．跟踪训练3(1)如果两条异面直线称为“一对”，那么正方体的12条棱中，异面直线共有()A．12对 B．24对C．36对 D．48对(2)如图所示，已知α∩β＝a，b⊂β，a∩b＝A，且c⊂α，c∥a.求证：b，11．3空间中的平行关系11．3.1平行直线与异面直线新知初探·自主学习[教材要点]知识点一互相平行传递性a∥c知识点二对应平行相同相等知识点四相交直线平行直线异面直线知识点五1．不共面的4点2．不相邻顶点间的线段[基础自测]1．解析：因为AB∥PQ，BC∥QR，所以∠PQR与∠ABC相等或互补．因为∠ABC＝30°，所以∠PQR＝30°或150°.答案：B2．解析：如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AA1与BC是异面直线，又AA1∥BB1，AA1∥DD1，显然BB1∩BC＝B，DD1与BC是异面直线，故选答案：B3．解析：直线A1B与直线外一点E确定的平面为A1BCD1，EF⊂平面A1BCD1，且两直线不平行，故两直线相交．答案：相交4．解析：设正方体的棱长为2，直接计算可知四边形D1PBQ各边均为5，又四边形D1PBQ是平行四边形，所以四边形D1PBQ是菱形．答案：B课堂探究·素养提升例1【答案】C跟踪训练1答案：D例2【证明】(1)∵ABCD-A1B1C1D1为正方体．∴AD＝A1D1，且AD∥A1D1，又M、M1分别为棱AD、A1D1的中点，∴AM＝A1M1且AM∥A1M1，∴四边形AMM1A1为平行四边形，∴MM1＝AA1且MM1∥AA1.又AA1＝BB1且AA1∥BB1，∴MM1＝BB1且MM1∥BB1，∴四边形BB1M1M为平行四边形．(2)证法一：由(1)知四边形BB1M1M为平行四边形，∴B1M1∥BM.同理可得四边形CC1M1M为平行四边形，∴C1M1∥CM.∵∠BMC和∠B1M1C1方向相同，∴∠BMC＝∠B1M1C1.证法二：由(1)知四边形BB1M1M为平行四边形，∴B1M1＝BM.同理可得四边形CC1M1M为平行四边形，∴C1M1＝CM.又∵B1C1＝BC，∴△BCM≌△B1C1M1，∴∠BMC＝∠B1M1C1.跟踪训练2解析：(1)证明：由已知FG＝GA，FH＝HD，可得GH綊12AD.又BC綊12AD，所以GH綊所以四边形BCHG为平行四边形．(2)共面．理由：由BE綊12AF，G为FA的中点知，BE綊FG所以四边形BEFG为平行四边形，所以EF∥BG.由(1)知BG∥CH，所以EF∥CH，所以EF与CH共面．又D∈FH，所以C，D，F，E四点共面．例3【解析】(1)根据题目条件知直线A1B与直线D1C在平面A1BCD1中，且没有交点，则两直线“平行”，所以①应该填“平行”；点A1，B，B1在一个平面A1BB1内，而C不在平面A1BB1内，则直线A1B与直线B1C“异面”．同理，直线AB与直线B1C“异面”．所以②④都应该填“异面”；直线D1D与直线D1C相交于D1点，所以③应该填“相交”．(2)直线a与c的位置关系有三种，如图所示．直线a与c可能平行(如图①所示)，也可能相交(如图②所示)，还可能异面(如图③所示)．【答案】(1)①平行②异面③相交④异面(2)见解析跟踪训练3解析：(1)如图所示，正方体中与AB异面的棱有CC1，DD1，B1C1，A1D1.因为各棱具有相同的位置，且正方体有12条棱，排除两棱的重复计算，所以异