高中数学课时作业15两角和与差的余弦新人教B版必修第三册

课时作业(十五)两角和与差的余弦一、选择题1．cos78°cos18°＋sin78°sin18°的值为()A．eq\f(1,2)B．eq\f(1,3)C．eq\f(\r(3),2)D．eq\f(\r(3),3)2．在△ABC中，若sinAsinB<cosAcosB，则△ABC一定为()A．等边三角形B．直角三角形C．锐角三角形D．钝角三角形3．若a＝(cos60°，sin60°)，b＝(cos15°，sin15°)，则a·b＝()A．eq\f(\r(2),2) B．eq\f(1,2)C．eq\f(\r(3),2) D．－eq\f(1,2)4．(多选)下列各式化简正确的是()A．cos80°cos20°＋sin80°sin20°＝cos60°B．cos75°＝cos45°cos30°－sin45°sin30°C．sin(α＋45°)sinα＋cos(α＋45°)cosα＝cos45°D．cos(α＋eq\f(π,6))＝eq\f(1,2)cosα－eq\f(\r(3),2)sinα二、填空题5．sin75°＝________．6．在△ABC中，sinA＝eq\f(4,5)，cosB＝－eq\f(12,13)，则cos(A－B)＝________.7．函数f(x)＝eq\f(1,2)sin2x＋eq\f(\r(3),2)cos2x的最小正周期是______．三、解答题8．已知0<α<eq\f(π,2)，－eq\f(π,2)<β<0，且α，β满足sinα＝eq\f(\r(5),5)，cosβ＝eq\f(3\r(10),10)，求α－β.9.已知向量a＝(sinα，eq\r(5)cosα－sinα)，b＝(cosβ－eq\r(5)sinβ，cosβ)且a·b＝2.(1)求cos(α＋β)的值；(2)若0<α<eq\f(π,2)，0<β<eq\f(π,2)，且sinα＝eq\f(\r(10),10)，求2α＋β的值．[尖子生题库]10．已知函数f(x)＝Asin(x＋eq\f(π,4))(x∈R)，且f(0)＝1.(1)求A的值；(2)若f(α)＝－eq\f(1,5)，α是第二象限角，求cosα.课时作业(十五)两角和与差的余弦1．解析：原式＝cos(78°－18°)＝cos60°＝eq\f(1,2).答案：A2．解析：∵sinAsinB<cosAcosB，∴cosAcosB－sinAsinB>0，即cos(A＋B)>0，∴cos[π－(A＋B)]＝－cos(A＋B)＝cosC<0，∴角C为钝角，∴△ABC一定为钝角三角形．答案：D3．解析：a·b＝cos60°cos15°＋sin60°·sin15°＝cos(60°－15°)＝cos45°＝eq\f(\r(2),2).答案：A4．解析：根据两角和与差的余弦公式，A，B，C均正确，cos(α＋eq\f(π,6))＝eq\f(\r(3),2)cosα－eq\f(1,2)sinα，D选项错误．答案：ABC5．解析：sin75°＝cos15°＝cos(45°－30°)＝cos45°·cos30°＋sin45°·sin30°＝eq\f(\r(2),2)×eq\f(\r(3),2)＋eq\f(\r(2),2)×eq\f(1,2)＝eq\f(\r(6)＋\r(2),4).答案：eq\f(\r(6)＋\r(2),4)6．解析：因为cosB＝－eq\f(12,13)，且0<B<π，所以eq\f(π,2)<B<π，所以sinB＝eq\r(1－cos2B)＝eq\r(1－（－\f(12,13)）2)＝eq\f(5,13)，且0<A<eq\f(π,2)，所以cosA＝eq\r(1－sin2A)＝eq\r(1－（\f(4,5)）2)＝eq\f(3,5)，所以cos(A－B)＝cosAcosB＋sinAsinB，＝eq\f(3,5)×(－eq\f(12,13))＋eq\f(4,5)×eq\f(5,13)＝－eq\f(16,65).答案：－eq\f(16,65)7．解析：由于f(x)＝cos2xcoseq\f(π,6)＋sin2xsineq\f(π,6)＝cos(2x－eq\f(π,6))，所以T＝eq\f(2π,2)＝π.答案：π8．解析：因为0<α<eq\f(π,2)，－eq\f(π,2)<β<0，且sinα＝eq\f(\r(5),5)，cosβ＝eq\f(3\r(10),10)，故cosα＝eq\r(1－sin2α)＝eq\r(1－\f(1,5))＝eq\f(2\r(5),5)，sinβ＝－eq\r(1－cos2β)＝－eq\r(1－\f(9,10))＝－eq\f(\r(10),10)，故cos(α－β)＝cosαcosβ＋sinαsinβ＝eq\f(2\r(5),5)×eq\f(3\r(10),10)＋eq\f(\r(5),5)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(\r(10),10)))＝eq\f(\r(2),2).由0<α<eq\f(π,2)，－eq\f(π,2)<β<0得，0<α－β<π，又cos(α－β)>0，所以α－β为锐角，所以α－β＝eq\f(π,4).9．解析：(1)因为a＝(sinα，eq\r(5)cosα－sinα)，b＝(cosβ－eq\r(5)sinβ，cosβ)，所以a·b＝sinα(cosβ－eq\r(5)sinβ)＋(eq\r(5)cosα－sinα)cosβ＝eq\r(5)cosαcosβ－eq\r(5)sinαsinβ＝eq\r(5)cos(α＋β)，因为a·b＝2，所以eq\r(5)cos(α＋β)＝2，即cos(α＋β)＝eq\f(2\r(5),5).(2)因为0<α<eq\f(π,2)，sinα＝eq\f(\r(10),10)，所以cosα＝eq\f(3\r(10),10).因为0<α<eq\f(π,2)，0<β<eq\f(π,2)，所以0<α＋β<π.因为cos(α＋β)＝eq\f(2\r(5),5)，所以sin(α＋β)＝eq\f(\r(5),5)，所以cos(2α＋β)＝cos[α＋(α＋β)]＝cosαcos(α＋β)－sinαsin(α＋β)＝eq\f(\r(2),2).因为0<α<eq\f(π,2)，0<β<eq\f(π,2)，所以0<2α＋β<eq\f(3π,2)，所以2α＋β＝eq\f(π,4).10．解析：(1)依题意得：f(0)＝Asineq\f(π,4)＝eq\f(\r(2),2)A＝1，所以A＝eq\r(2).(2)由(1)得f(x)＝eq\r(2)sin(x＋eq\f(π,4))，由f(α)＝－eq\f(1,5)，可得f(α)＝eq\r(2)sin(α＋eq\f(π,4))＝－eq\f(1,5)，所以sin(α＋eq\f(π,4))＝－eq\f(\r(2),10)，因为α是第二象限角，所以2kπ＋eq\f(π,2)<α<2kπ＋π，所以2kπ＋eq\f(3π,4)<α＋eq\f(π,4)<2kπ＋eq\f(5π,4)，又因为sin(α＋eq\f(π,4))＝－eq\f(\r(2),10)<0，所以α＋eq\f(π,4)是第三象限角，所以cos(α＋eq\f(π,4))＝－eq\r(1－sin2（α＋\f(π,4)）)＝－eq\f(7\r(2),10)，所以cosα＝cos