空间几何体的表面积和体积

空间几何体的表面积和体积内容索引基础知识自主学习题型分类深度剖析思想与方法系列思想方法感悟提高练出高分基础知识

自主学习1.多面体的表(侧)面积因为多面体的各个面都是平面，所以多面体的侧面积就是

，表面积是侧面积与底面面积之和.所有侧面的面积之和2.圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图及侧面积公式

圆柱圆锥圆台侧面

展开图侧面积公式S圆柱侧＝

S圆锥侧＝

S圆台侧＝

2πrlπrlπ(r1＋r2)l知识梳理1答案3.柱、锥、台和球的表面积和体积名称

几何体表面积体积柱体(棱柱和圆柱)S表面积＝S侧＋2S底V＝

锥体(棱锥和圆锥)S表面积＝S侧＋S底V＝台体(棱台和圆台)S表面积＝S侧＋S上＋S下V＝球S＝

V＝4πR2Sh答案4.常用结论(1)与体积有关的几个结论①一个组合体的体积等于它的各部分体积的和或差.②底面面积及高都相等的两个同类几何体的体积相等.(2)几个与球有关的切、接常用结论a.正方体的棱长为a，球的半径为R，①若球为正方体的外接球，则2R＝

a；②若球为正方体的内切球，则2R＝a；③若球与正方体的各棱相切，则2R＝

a.c.正四面体的外接球与内切球的半径之比为3∶1.判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)多面体的表面积等于各个面的面积之和.(

)(2)锥体的体积等于底面积与高之积.(

)(3)球的体积之比等于半径比的平方.(

)(4)简单组合体的体积等于组成它的简单几何体体积的和或差.(

)(5)长方体既有外接球又有内切球.(

)(6)圆柱的一个底面积为S，侧面展开图是一个正方形，那么这个圆柱的侧面积是2πS.(

)√××√××思考辨析答案1.(教材改编)已知圆锥的表面积等于12πcm2，其侧面展开图是一个半圆，则底面圆的半径为(

)A.1cm B.2cmC.3cm D.cm解析S表＝πr2＋πrl＝πr2＋πr·2r＝3πr2＝12π，∴r2＝4，∴r＝2(cm).B考点自测2解析答案123452.(2014·重庆)某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为(

)A.12 B.18C.24 D.30解析答案12345解析由俯视图可以判断该几何体的底面为直角三角形，由正视图和侧视图可以判断该几何体是由直三棱柱(侧棱与底面垂直的棱柱)截取得到的.在长方体中分析还原，如图(1)所示，故该几何体的直观图如图(2)所示.解析答案故几何体ABC－PA1C1的体积为30－6＝24.故选C.答案C解析答案3.(教材改编)一个棱长为2cm的正方体的顶点都在球面上，则球的体积为________cm3.解析由题意知正方体的体对角线为其外接球的直径，12345解析答案4.(2015·陕西)一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为(

)A.3π B.4πC.2π＋4 D.3π＋412345解析由三视图可知原几何体为半圆柱，底面半径为1，高为2，则表面积为：＝π＋2π＋4＝3π＋4.答案D解析答案5.(2015·天津)一个几何体的三视图如图所示(单位：m)，则该几何体的体积为________m3.12345解析由三视图可知，该几何体由相同底面的两圆锥和圆柱组成，底面半径为1m，圆锥的高为1m，圆柱的高为2m，返回题型分类

深度剖析例1(1)(2015·安徽)一个四面体的三视图如图所示，则该四面体的表面积是(

)解析答案求空间几何体的表面积题型一解析由几何体的三视图可知空间几何体的直观图如图所示.答案C(2)(2015·课标全国Ⅰ)圆柱被一个平面截去一部分后与半球(半径为r)组成一个几何体，该几何体三视图中的正视图和俯视图如图所示.若该几何体的表面积为16＋20π，则r等于(

)A.1 B.2C.4 D.8解析答案解析由正视图与俯视图想象出其直观图，然后进行运算求解.如图，该几何体是一个半球与一个半圆柱的组合体，球的半径为r，圆柱的底面半径为r，高为2r，又S＝16＋20π，∴(5π＋4)r2＝16＋20π，∴r2＝4，r＝2，故选B.答案B(3)(2014·山东)一个六棱锥的体积为

，其底面是边长为2的正六边形，侧棱长都相等，则该六棱锥的侧面积为____.解析

设正六棱锥的高为h，侧面的斜高为h′.∴h＝1，12解析答案思维升华空间几何体表面积的求法(1)以三视图为载体的几何体的表面积问题，关键是分析三视图确定几何体中各元素之间的位置关系及数量.(2)多面体的表面积是各个面的面积之和；组合体的表面积注意衔接部分的处理.(3)旋转体的表面积问题注意其侧面展开图的应用.思考升华

(2014·安徽)一个多面体的三视图如图所示，则该多面体的表面积为(

)跟踪训练1解析答案解析由几何体的三视图可知，该几何体的直观图如图所示.答案A命题点1求以三视图为背景的几何体的体积例2(2015·课标全国Ⅱ)一个正方体被一个平面截去一部分后，剩余部分的三视图如右图，则截去部分体积与剩余部分体积的比值为(

)求空间几何体的体积间的基本关系题型二解析答案解析如图，由题意知，该几何体是正方体ABCD-A1B1C1D1被过三点A、B1、D1的平面所截剩余部分，截去的部分为三棱锥A-A1B1D1，设正方体的棱长为1，解析答案则截去部分体积与剩余部分体积的比值为答案D命题点2求简单几何体的体积解析答案思维升华解析

过点C作CE垂直AD所在直线于点E，梯形ABCD绕AD所在直线旋转一周而形成的旋转体是由以线段AB的长为底面圆半径，线段BC为母线的圆柱挖去以线段CE的长为底面圆半径，ED为高的圆锥，答案C思维升华空间几何体体积问题的常见类型及解题策略(1)若所给定的几何体是可直接用公式求解的柱体、锥体或台体，则可直接利用公式进行求解.(2)若所给定的几何体的体积不能直接利用公式得出，则常用转换法、分割法、补形法等方法进行求解.(3)若以三视图的形式给出几何体，则应先根据三视图得到几何体的直观图，然后根据条件求解.思维升华(1)一块石材表示的几何体的三视图如图所示，将该石材切削、打磨，加工成球，则能得到的最大球的体积等于(

)跟踪训练2解析答案解析

由三视图可知该几何体是一个直三棱柱，底面为直角三角形，高为12，如图所示，其中AC＝6，BC＝8，∠ACB＝90°，则AB＝10.由题意知，当打磨成的球的大圆恰好与三棱柱底面直角三角形的内切圆相同时，该球的半径最大.答案B(2)如图，在多面体ABCDEF中，已知ABCD是边长为1的正方形，且△ADE，△BCF均为正三角形，EF∥AB，EF＝2，则该多面体的体积为(

)解析答案∴V＝VE－ADG＋VF－BCH＋VAGD－BHC答案A例4已知直三棱柱ABC－A1B1C1的6个顶点都在球O的球面上，若AB＝3，AC＝4，AB⊥AC，AA1＝12，则球O的半径为(

)与球有关的切、接问题题型三解析答案解析如图所示，由球心作平面ABC的垂线，则垂足为BC的中点M.答案C引申探究1.本例若将直三棱柱改为“棱长为4的正方体”，则此正方体外接球和内切球的体积各是多少？解由题意可知，此正方体的体对角线长即为其外接球的直径，正方体的棱长即为其内切球的直径.设该正方体外接球的半径为R，内切球的半径为r.解析答案2.本例若将直三棱柱改为“正四面体”，则此正四面体的表面积S1与其内切球的表面积S2的比值为多少？解析答案3.本例中若将直三棱柱改为“侧棱和底面边长都是

的正四棱锥”，则其外接球的半径是多少？因此底面中心到各顶点的距离均等于3，所以该正四棱锥的外接球的球心即为底面正方形的中心，其外接球的半径为3.解析答案思维升华思维升华空间几何体与球接、切问题的求解方法(1)求解球与棱柱、棱锥的接、切问题时，一般过球心及接、切点作截面，把空间问题转化为平面图形与圆的接、切问题，再利用平面几何知识寻找几何中元素间的关系求解.(2)若球面上四点P，A，B，C构成的三条线段PA，PB，PC两两互相垂直，且PA＝a，PB＝b，PC＝c，一般把有关元素“补形”成为一个球内接长方体，利用4R2＝a2＋b2＋c2求解.如图，直三棱柱ABC－A1B1C1的六个顶点都在半径为1的半球面上，AB＝AC，侧面BCC1B1是半球底面圆的内接正方形，则侧面ABB1A1的面积为(

)跟踪训练3解析答案解析由题意知，球心在侧面BCC1B1的中心O上，BC为△ABC所在圆面的直径，∴∠BAC＝90°，△ABC的外接圆圆心N是BC的中点，同理△A1B1C1的外心M是B1C1的中点.设正方形BCC1B1的边长为x，返回答案C思想与方法系列典例如图：△ABC中，AB＝8，BC＝10，AC＝6，DB⊥平面ABC，且AE∥FC∥BD，BD＝3，FC＝4，AE＝5.则此几何体的体积为________.思维点拨将所求几何体补成一个直三棱柱，利用棱柱的体积公式即可求得该几何体的体积.思想与方法系列14.巧用补形法解决立体几何问题思维点拨解析答案温馨提醒返回解析

用“补形法”把原几何体补成一个直三棱柱，使AA′＝BB′＝CC′＝8，答案96温馨提醒返回(1)补形法的应用思路：“补形法”是立体几何中一种常见的重要方法，在解题时，把几何体通过“补形”补成一个完整的几何体或置于一个更熟悉的几何体中，巧妙地破解空间几何体的体积等问题，常见的补形法有对称补形、联系补形与还原补形，对于还原补形，主要涉及台体中“还台为锥”.(2)补形法的应用条件：当某些空间几何体是某一个几何体的一部分，且求解的问题直接求解较难入手时，常用该法.返回温馨提醒思想方法

感悟提高求空间几何体的侧面积、体积的思想与方法(1)转化与化归思想：计算旋转体的侧面积时，一般采用转化的方法来进行，即将侧面展开化为平面图形，“化曲为直”来解决，因此要熟悉常见旋转体的侧面展开图的形状及平面图形面积的求法.(2)求体积的两种方法：①割补法：求一些不规则几何体的体积时，常用割补法转化成已知体积公式的几何体进行解决.②等积法：等积法包括等面积法和等体积法.等积法的前提是几何图形(或几何体)的面积(或体积)通过已知条件可以得到，利用等积法可以用来求解几何图形的高或几何体的高，特别是在求三角形的高和三棱锥的高时，这一方法回避了通过具体作图得到三角形(或三棱锥)的高，而通过直接计算得到高的数值.方法与技巧求空间几何体的表面积应注意的问题(1)求组合体的表面积时，要注意各几何体重叠部分的处理.(2)底面是梯形的四棱柱侧放时，容易和四棱台混淆，在识别时要紧扣定义，以防出错.失误与防范返回练出高分12345678910111213141.(2015·浙江)某几何体的三视图如图所示(单位：cm)，则该几何体的体积是(

)15解析答案1234567891011121314解析由三视图可知该几何体是由棱长为2cm的正方体与底面为边长为2cm正方形、高为2cm的四棱锥组成，V＝V正方体＋V四棱锥＝8cm3＋cm3＝cm3.故选C.15答案C2.用平面α截球O所得截面圆的半径为3，球心O到平面α的距离为4，则此球的表面积为(

)123456789101112131415解析依题意，设球半径为R，满足R2＝32＋42＝25，∴S球＝4πR2＝100π.D解析答案1234567891011121314153.(2015·课标全国Ⅰ)《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有委米依垣内角，下周八尺，高五尺.问：积及为米几何？”其意思为：“在屋内墙角处堆放米(如图，米堆为一个圆锥的四分之一)，米堆底部的弧长为8尺，米堆的高为5尺，问米堆的体积和堆放的米各为多少？”已知1斛米的体积约为1.62立方尺，圆周率约为3，估算出堆放的米约有(

)A.14斛 B.22斛 C.36斛 D.66斛解析答案123456789101112131415答案B4.一个几何体的三视图如图所示，其中俯视图是菱形，则该几何体的侧面积为(

)123456789101112131415解析答案123456789101112131415解析由三视图还原为空间几何体，如图所示，又PB⊥平面ABCD，∴PB⊥BD，PB⊥AB，从而有PA2＋DA2＝PD2，∴PA⊥DA，答案C1234567891011121314155.(2015·课标全国Ⅱ)已知A，B是球O的球面上两点，∠AOB＝90°，C为该球面上的动点.若三棱锥OABC体积的最大值为36，则球O的表面积为(

)A.36π B.64π C.144π D.256π解析答案123456789101112131415当且仅当点C到平面OAB的距离，即三棱锥COAB底面OAB上的高最大，其最大值为球O的半径R，所以R＝6，得S球O＝4πR2＝4π×62＝144π.选C.答案C解析如图，要使三棱锥O-ABC即C-OAB的体积最大，1234567891011121314156.(2014·山东)三棱锥P－ABC中，D，E分别为PB，PC的中点，记三棱锥D－ABE的体积为V1，P－ABC的体积为V2，则

＝________.解析设点A到平面PBC的距离为h.∵D，E分别为PB，PC的中点，解析答案1234567891011121314157.(2015·江苏)现有橡皮泥制作的底面半径为5，高为4的圆锥和底面半径为2、高为8的圆柱各一个.若将它们重新制作成总体积与高均保持不变，但底面半径相同的新的圆锥和圆柱各一个，则新的底面半径为________.解析答案1234567891011121314158.一个圆锥过轴的截面为等边三角形，它的顶点和底面圆周在球O的球面上，则该圆锥的体积与球O的体积的比值为________.解析设等边三角形的边长为2a，球O的半径为R，解析答案9.如图所示的三个几何体，一个是长方体，一个是直三棱柱，一个是过圆柱上、下底面圆心切下圆柱的四分之一部分，若这三个几何体的正视图和俯视图是相同的正方形，求它们的表面积之比.123456789101112131415解析答案123456789101112131415解由题意可知这三个几何体的高都相等，设长方体的底面正方形的边长为a，高也等于a，故其表面积为S1＝6a2.直三棱柱的底面是腰长为a的等腰直角三角形，高为a，12345678910111213141510.(教材改编)已知一个上、下底面为正三角形且两底面中心连线垂直于底面的三棱台的两底面边长分别为20cm和30cm，且其侧面积等于两底面面积之和，求棱台的高.解析答案123456789101112131415由题意知A1B1＝20，AB＝30，由S侧＝S上＋S下，得解

如图所示，三棱台ABC—A1B1C1中，O、O1分别为两底面中心，D、D1分别为BC和B1C1的中点，则DD1为棱台的斜高.解析答案123456789101112131415123456789101112131415解析答案123456789101112131415由于SC是球的直径，所以∠SAC＝∠SBC＝90°，又∠ASC＝∠BSC＝30°，又SC为公共边，所以△SAC≌△SBC.由于AD⊥SC，所以BD⊥SC.由此得SC⊥平面ABD.解析

如图，过A作AD垂直SC于D，连接BD.解析答案123456789101112131415由于在Rt△SAC中，∠ASC＝30°，SC＝4，解析答案123456789101112131415所以△ABD为正三角形，答案C12.某三棱锥的三视图如图所示，该三棱锥的表面积是(

)123456789101112131415解析答案123456789101112131415解析

由几何体的三视图可知，该三棱锥的直观图如图所示，其中AE⊥平面BCD，CD⊥BD，且CD＝4，BD＝5，BE＝2，ED＝3，AE＝4.∵AE＝4，ED＝3，∴AD＝5.123456789101112131415又CD⊥BD，CD⊥AE，则CD⊥平面ABD，故CD⊥AD，在Rt△ABE中，AE＝4，BE＝2，在Rt△BCD中，BD＝5，CD＝4，解析答案123456789101112131415在△ABD中，AE＝4，BD＝5，故S△ABD＝10.则AB边上的高h＝6，答案B12345678910111213141513.(2015·四川)在三棱柱ABC-A1B1C1中，∠BAC＝90°，其正视图和侧视图都是边长为1的正方形，俯视图是直角边的长为1的等腰直角三角形，设点M，N，P分别是AB，BC，B1C1的中点，则三棱锥PA1MN的体积是________.解析答案123456789101112131415∵ ＝

，又∵AA1∥平面PMN，∴ ＝

，解析

由题意知还原后的几何体是一个直放的三棱柱，三棱柱的底面是直角边长为1的等腰直角三角形，高为1的直三棱柱，12345678910111213141514.(2015·课标全国Ⅰ)如图，四边形ABCD为菱形，G为AC与BD的交点，BE⊥平面ABCD.(1)证明：平面AEC⊥平面BED；解析答案123