高中数学-【课堂实录】应用举例（二）（测量高度角度）教学设计学情分析教材分析课后反思

解三角形的实际应用举例（二）—测量高度、角度一教学目标:学生看，了解学习目标（1分钟）1知识与技能能用正、余弦定理等知识解决与高度、角度有关的三角形问题；2过程与方法通过合作探究，解决例题及习题，学习数学建模的方法，提高分析问题、解决问题的能力；3情感、态度与价值观体会这类测量问题在某一特定情境和条件限制下的一个测量方案，感受数学的应用价值，提高学习兴趣。4.重点：画出示意图，分析已知与所求，解三角形。难点：根据题意建立数学模型，画出示意图。二教学过程（-）知识回顾:师问生答--为本节课的知识内容作铺垫(3分钟)1.正弦定理：可解下列两类三角形：(1)已知两角及一边；(2)已知两边与一边的对角。2.余弦定理：可解下列三类三角形：(1)已知三边长；(2)已知两边及夹角；(3)已知两边与一边所对角。3.仰(俯)角:在同一铅垂平面内，视线与水图平线的夹角，如所示.4.方向角：从指定方向线（正北、正南、正东或正西）到目标方向线的水平角,如图所示。南偏西60°（二）情境引入:从生活入手，引入本节内容。（1分钟）南偏西60°问:1.生活中,人们是怎样测量底部不可到达的物体的高度呢？2.在航海中,人们在海面上如何确保轮船不迷失方向，保持一定的航速和航向呢？我们可以建立数学模型，化为解三角形的问题来解决。（三）合作探究探究点1测量高度问题(题目设置从平面图形到立体图形，引导学生体会观测点选取位置的不同，导致图形的差异)例1如图AB是底部B不可到达的一个建筑物，A为建筑物的最高点，设计一种测量建筑物高度AB的方法.（明确需要两个观测点，即选择一条基线。3分钟）师：思考：1.怎样作高？2.只选一个观测点行吗？生：1.作地面的垂线表示高；2.一个观测点只能测角度，无法直接测长度，所以需要至少2个观测点。（用PPT动态展示，引出下面题目）如图某同学选择H、G两点，使H、G、B三点在同一条水平线上，在H,G两点用测角仪器测得A的仰角分别是α,β,CD=a，且测角仪器的高是h，则AB=？（5分钟）分析：AB=，应求.（1）在哪个三角形中求？（2）还需知道哪个边（角）？又如何求此边（角）？（学生讨论2分钟，起来回答,引导学生不同解题思路，边用PPT展示两种方案具体解题过程--5分钟）解法一：在△ACD中，∠ADC=β，CD=a，∠DAC=α-β，根据正弦定理可得,解法二:在△ACD中，∠ADC=β，CD=a，∠ACD=180°-α，根据正弦定理可得（引导生总结--2分钟）感悟：解决高度问题步骤：（1）作高：作与地平面垂直的线段表示高度；（2）画图：分清仰角、俯角，画示意图（必含直角三角形）；（3）求解：分析已知与所求，解三角形得实际问题的解.练习1.如图某人选择水平面上的两点C、D，AB⊥面BCD，CD=800m，在C点测得A的仰角∠ACB=45°，∠BCD＝120°，又在D点测得∠BDC＝45°，求AB.（学生到黑板做--5分钟）解:在△BCD中,DC=800,∠BDC=45°,∠DCB=120°,∠DBC=180°-45°-120°=15°,∵AB⊥平面BCD，∠ACB=45°，∴Rt△ABC中，AB=BC.探究点2测量角度问题（题目设置从有图到无图，引导学生画示意图，解三角形）（引导学生结合图形，将文字语言转换为符号语言，明确已知与所求。学生思考，起来分析、解答---5分钟）求AC，75°-∠CAB。根据正弦定理：∴75°-∠CAB=30°答：此船应该沿北偏东30°的方向航行，需要航行nmile。（引导学生归纳总结-2分钟）感悟解决航海问题步骤：（1）定位:选择好不动点，（2）画图：搞清方向角，画出示意图，（3）求解：解三角形，得实际问题的解。练习2.缉私船在A处发现走私船在北偏东45°，距离为10海里的B处，正沿南偏东75°的方向，以10海里/小时的速度向前逃窜，缉私船立即以海里/小时的速度追赶，求缉私船追上走私船所需的最少时间和航向。（引导学生首要解决图形的问题，让学生小组讨论、解答，到黑板画图，引导学生两种不同的解答方法--10分钟）分析：需要相遇的时间、地点，所以可设经过t小时在C点相遇。解：设经过t小时在C点相遇，如图所示。法(1)由余弦定理：法(2)∠C=30°=∠BAC，BC=AB=10，t=1,45°+30°=75°答：缉私船航向为北偏东75°，1小时即可追上。（四）随堂检测--学生练习回答，答案备用。（5分钟）1.如图，在山顶铁塔上B处测得地面上一点A的俯角为α=60°，在塔底C处测得A处的俯角为β=30°,已知铁塔BC部分的高为100m,求山高CD.解：在△ABC中，∠BCA=90°+β=120°,∠ABC=90°-α=30°,∠BAC=30°.∴AC=BC=100.在RtΔACD中，∠CAD=β=30°，CD=ACsin30°=50m.答：山高50米2．已知两座灯塔A和B与海洋观测站C的距离相等,灯塔A在观测站C的北偏东40°，灯塔B在观测站C的南偏东60°，则灯塔A在灯塔B的（)A.北偏东10°B.北偏西10°C.南偏东10°D.南偏西10°解:由题意可知∠ACB＝180°－40°－60°＝80°.∵AC＝BC，∴∠CAB＝∠CBA＝50°，从而可知灯塔A在灯塔B的北偏西10°.小结：引导学生总结，将本节知识先概括到解三角形应用题的步骤，再上升到整个高中数学解决实际问题的思路的高度。（3分钟）1.解三角形应用题的一般步骤：（1）审题:准确理解题意，分清已知与所求；（2）画图:根据题意画出示意图，并注明已知条件；（3）求解:分析与问题有关的一个或者几个三角形，运用正、余弦定理等知识正确求解，并作答。2.解决实际问题的基本思路：抽象概括数学模型实际问题抽象概括数学模型实际问题运算推理运算推理检验检验实际问题的解数学模型的解实际问题的解数学模型的解还原说明还原说明（六）作业:加强学生将文字转化为图形的能力，从平面图形到立体图形，由易至难。必做：1、2、3、4选做：51．在200米高的山顶上,测得山下一塔顶和塔底的俯角分别为QUOTE和QUOTE,则塔高为()A．QUOTE米B．QUOTE米C．QUOTE米D．QUOTE米2．甲乙两楼相距20米,从乙楼底仰望甲楼顶的仰角为QUOTE,从甲楼顶望乙楼顶的俯角为QUOTE,则甲乙两楼的高度分别是.3．甲船在A处观察到乙船在它的北偏东QUOTE方向的B处,两船相距a海里,乙船向正北方向行驶,若甲船的速度是乙船速度的QUOTE倍,则甲船应沿方向前进才能尽快追上乙船.4.海中小岛A周围38海里内有暗礁，船正向南航行，在B处测得小岛A在船的南偏东30°，航行30海里到C处，在C处测得小岛A在船的南偏东45°，如果此船不改变航向，继续向南航行，有无触礁的危险?5.地面上有一根旗杆OP,为了测得它的高度h,在地面上取一基线AB,AB长20米,在A处测得P点的仰角QUOTE,在B处测得P点的仰角QUOTE,又测得QUOTE,则旗杆的高度为()A．QUOTE米B．QUOTE米C．QUOTE米D．QUOTE米板书因使用课件，且无新的概念、定义、公式，书写内容较少，且受板面限制，现设计如下：应用举例测高度应用举例测高度(1)作高(2)画图(3)求解测角度(1)定位(2)画图(3)求解学生练习区《解三角形的应用举例（二）—测量高度、角度》学情分析学生在学习本课时内容之前，已经有相关的知识准备：正弦定理、余弦定理等解三角形知识，仰角俯角、方向角这些专业术语，以及在《必修一》第三章第二单元函数模型及其应用，学生有些模糊的建模意识。情境引入这一环节，借用了测量底部不可到达的物体的高度和航海中确定航向跟生活联系比较密切的例子，能够理论联系实际，调动学生的积极性。由于学生基础薄弱，在例题、习题的设置上，更改数据、降低难度，力求做到由浅入深、循序渐进的让学生掌握本课内容。并且在课前准备了《导学案》，让学生做到预习到位、听课有数。效果分析题号做对人数12822533543158所有题目需要学生自己根据题意画出示意图，增加了题目的难度。(1).特别是在1、2两题，有关两个物体之间相互观察，仰角、俯角的画法，隐藏着高、低之分，学生分不清高低，图形容易画错。(2).相比较，3、4两题有关方向角掌握熟练，出错较少。(3).对于第5题，根据描述，画出立体图形，是学生画图的难点，特别是本题需要设出高度，通过解方程求h，再次增加难度。总之,学生本堂课内容掌握比较到位,值得表扬.,只是能力有待提高,还需加油!《解三角形的实际应用举例（二）—测量高度、角度》教材分析本节课教学内容是《必修5》第一章第二单元的第二课时《测量高度、角度问题》．本节课针对“测量高度、角度问题”的教学，是从实际问题经过抽象概括建立数学模型，转化化归为解三角形的计算问题；是正弦定理和余弦定理的实际应用。通过对解三角形在解决测量高度、角度问题中应用的讲解，让学生体会具体问题已可以转化为抽象的数学问题以及数学知识在生产，生活实际中所发挥的重要的作用。同时培养学生数学符号表达题意和应用转化思想解决数学问题的能力，提高学生解决实际问题的能力。激发学生学习数学的兴趣，并让学生体会数学的应用价值。此节内容与《必修1》第三章第二单元《函数模型及其应用》，《选修2-2》第一章第四单元《生活中的优化问题举例》，都是建模的问题，前后呼应。结合学生的认知水平，本着“先易后难、循序渐进”的原则，将课本题目难度降低，其中的数据换为不需查表即可求的数值。并将课本例3作为测量底部不可到达的物体高度的探究问题，分析需要两个观测点，针对两点与底的位置，设置了同一水平线和同一水平面两种题。例4改为随堂检测题。例6后加入同题型但难度略有提升的练习，需要画图和设变量。本部分内容的教学计划分为2课时，本课时以根据示意图，分析已知与所求，解三角形为主；下一课时以画图为主。本节的教学重点根据示意图，分析已知与所求，解三角形；教学难点是根据题意建立模型，画出示意图。针对教学的重难点，在教学过程中教师要引领学生始终围绕“转化为三角形，分析已知与所求，解三角形”这一步骤，自主学习，合作探究。应用举例（二）（测量高度角度）1．在200米高的山顶上,测得山下一塔顶和塔底的俯角分别为QUOTE和QUOTE,则塔高为()A．QUOTE米B．QUOTE米C．QUOTE米D．QUOTE米2．甲乙两楼相距20米,从乙楼底仰望甲楼顶的仰角为QUOTE,从甲楼顶望乙楼顶的俯角为QUOTE,则甲乙两楼的高度分别是.3．甲船在A处观察到乙船在它的北偏东QUOTE方向的B处,两船相距a海里,乙船向正北方向行驶,若甲船的速度是乙船速度的QUOTE倍,则甲船应沿方向前进才能尽快追上乙船.4.海中小岛A周围38海里内有暗礁，船正向南航行，在B处测得小岛A在船的南偏东30°，航行30海里到C处，在C处测得小岛A在船的南偏东45°，如果此船不改变航向，继续向南航行，有无触礁的危险?5.地面上有一根旗杆OP,为了测得它的高度h,在地面上取一基线AB,AB长20米,在A处测得P点的仰角QUOTE,在B处测得P点的仰角QUOTE,又测得QUOTE,则旗杆的高度为()A．QUOTE米B．QUOTE米C．QUOTE米D．QUOTE米习题命制细目表题号考查内容难度简单中等较难1根据仰角俯角画平面图形，求高度▲2根据仰角俯角画平面图形，求高度▲3根据方向角画平面图形，求角度▲4根据方向角画平面图形，求距离▲5根据仰角画立体图，列方程求高度问题▲答案A解:设塔高为CD,山为AB,QUOTE米.2.QUOTE米,QUOTE米解:QUOTE米,QUOTE米。3.北偏东QUOTE解析:设两船在C处相遇,并设QUOTE,BC=x海里，则AC=海里，ABC=120°，由正弦定理,得QUOTE,.4.解：在△ABC中，BC=30，B=30°，∠ACB=180°-45°=135°,∴A=15°.由正弦定理知,∴.∴.∴A到BC所在直线的距离为AC·sin45°=（15+15）·=15（+1）≈40.98＞38（海里），答：不改