湖南省郴州市汇文中学2021年高三数学文模拟试题含解析

湖南省郴州市汇文中学2021年高三数学文模拟试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.若正项数列{an}满足lgan+1=1+lgan，且a2001+a2002+…+a2010=2014，则a2011+a2012+…+a2020的值为（）A．2014?1010 B．2014?1011 C．2015?1010 D．2015?1011参考答案：A【考点】数列的求和；等差数列的通项公式．【专题】等差数列与等比数列．【分析】lgan+1=1+lgan，可得=10，数列{an}是等比数列，可得a2011+a2012+…+a2020=1010（a2001+a2002+…+a2010）．【解答】解：∵lgan+1=1+lgan，∴=1，∴=10，∴数列{an}是等比数列，∵a2001+a2002+…+a2010=2014，∴a2011+a2012+…+a2020=1010（a2001+a2002+…+a2010）=2014×1010．故选：A．【点评】本题考查了等比数列的通项公式、对数的运算性质，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．2.已知集合A={x|0＜x≤3，x∈N}，B={x|y=}，则集合A∩（?RB）=（）A．{1，2} B．{1，2，3} C．{0，1，2} D．（0，1）参考答案：A【考点】交、并、补集的混合运算．【分析】先分别求出集合A和B，从而得到CRA，由此能求出集合A∩（?RB）．【解答】解：∵集合A={x|0＜x≤3，x∈N}={1，2，3}，B={x|y=}={x|x≤﹣3或x≥3}，∴CRA={x|﹣3＜x＜3}，集合A∩（?RB）={1，2}．故选：A．3.已知全集U={1，2，3，4，5}，集合等于（

）

A．{1，2，3，4}

B．{2，3，4}

C．{1，5}

D．{5}参考答案：答案：C4.

下列各小题中，是的充分必要条件的是(

)①有两个不同的零点②是偶函数③④A．①②

B．②③

C．③④

D．①④参考答案：答案：D5.设F1，F2分别是双曲线的左、右焦点.若双曲线上存在点A，使，则双曲线的离心率为（

）A．

B．

C.

D.参考答案：A6.△ABC中，，则等于 A．

Ｂ．或 C．Ｄ．

参考答案：B7.若（x6+）n的展开式中含有常数项，则n的最小值等于（）A．3 B．4 C．5 D．6参考答案：C【分析】二项式的通项公式Tr+1=Cnr（x6）n﹣r（）r，对其进行整理，令x的指数为0，建立方程求出n的最小值．【解答】解：由题意，（x6）n的展开式的项为Tr+1=Cnr（x6）n﹣r（）r=Cnr=Cnr令6n﹣r=0，得n=r，当r=4时，n取到最小值5故选：C．【点评】本题考查二项式的性质，解题的关键是熟练掌握二项式的项，且能根据指数的形式及题设中有常数的条件转化成指数为0，得到n的表达式，推测出它的值．8.与直线和曲线都相切的半径最小的圆的标准方程是

A．

B．

C．

D．参考答案：C9.已知，若，则y=，y=在同一坐标系内的大致图象是

参考答案：B10.函数在区间上的零点个数为A．4

B．5

C．6

D．7参考答案：C二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.若x，y满足约束条件，则的取值范围为________．参考答案：【分析】作出可行域，几何意义为可行域内的点与点连线的斜率，根据图形观察计算可得答案.【详解】作出可行域，如图所示，则，故z的取值范围为.故答案为：.【点睛】本题考查分式型目标函数的最值问题，关键是画出可行域，是基础题.12.不难证明：一个边长为a，面积为S的正三角形的内切圆半径，由此类比到空间，若一个正四面体的一个面的面积为S，体积为V，则其内切球的半径为

．参考答案：由题意得，故．将此方法类比到正四面体，设正四面体内切球的半径为R，则，∴，即内切球的半径为．

13.将边长为2的正方形沿对角线折起，以，，，为顶点的三棱锥的体积最大值等于

．参考答案：略14.如图，圆形纸片的圆心为，半径为，该纸片上的正方形的中心为为圆上的点，分别是以为底边的等腰三角形.沿虚线剪开后，分别以为折痕折起，使得重合，得到一个四棱锥.当该四棱锥的侧面积是底面积的2倍时，该四棱锥的外接球的体积为

．参考答案：15.设f（x）=1+x+（1+x）2+…+（1+x）n（x≠0，n∈N*）的展开式中x项的系数为Tn，则=．参考答案：【考点】数列的极限；二项式定理．【分析】根据题意，分析可得，f（x）=（1+x）+（1+x）2+…+（1+x）n中x的系数分别为1、C21、C31、…Cn1，进而可求得则Tn，代入，计算可得答案．【解答】解：根据题意，f（x）=（1+x）+（1+x）2+…+（1+x）n中x的系数分别为1、C21、C31、…Cn1，则Tn=1+C21+C31+…+Cn1=1+2+3+…+n=；则，故答案为．16.已知函数，则，则a的取值范围是

。参考答案：17.如图，点P在圆O直径AB的延长线上，且PB=OB=2,PC切圆O于C点，CDAB于D点，则CD=

。参考答案：略三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.已知等差数列是递增数列，且满足（1）求数列的通项公式；（2）令，求数列的前项和参考答案：解：（1）根据题意：，知： 是方程的两根，且 解得，设数列的公差为，由 故等差数列的通项公式为：

（2）当时， 又 略19.（本小题满分13分）已知函数.（Ⅰ）求；（Ⅱ）求的最小正周期及单调递增区间.参考答案：解：（Ⅰ）………………………..4分

…….6分（Ⅱ）的最小正周期，…………8分

又由可得

函数的单调递增区间为.………13分

略20.如图，在四棱锥E﹣ABCD中，平面CDE⊥平面ABCD，∠DAB=∠ABC=90°，AB=BC=1，AD=ED=3，EC=2．（1）证明：AB⊥平面BCE；（2）求直线AE与平面CDE所成角的正弦值．参考答案：【考点】直线与平面所成的角；直线与平面垂直的判定．【分析】（1）推导出EC⊥CD，从而CE⊥面ABCD，再由CE⊥AB，AB⊥BC，由此能证明AB⊥面BCE．（2）过A作AH⊥DC，交DC于H，则AH⊥平面DCE，连结EH，则∠AEH是直线AE与平面DCE所成的平面角，由此能证明直线AE与平面CDE所成角的正弦值．【解答】证明：（1）∵∠DAB=∠ABC=90°，∴四边形ABCD是直角梯形，∵AB=BC=1，AD=ED=3，EC=2．∴CD==，∴CE2+DC2=DE2，∴EC⊥CD，∵面EDC⊥面ABCD，面EDC∩面ABCD=DC，∴CE⊥面ABCD，∴CE⊥AB，又AB⊥BC，BC∩CE=C，∴AB⊥面BCE．解：（2）过A作AH⊥DC，交DC于H，则AH⊥平面DCE，连结EH，则∠AEH是直线AE与平面DCE所成的平面角，∵=，∴AH==，AE==，∴sin∠AEH=，∴直线AE与平面CDE所成角的正弦值为．【点评】本题考查线面垂直的证明，考查线面所成角的正弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想、数形结合思想，是中档题．21.2017年某市政府为了有效改善市区道路交通拥堵状况出台了一系列的改善措施，其中市区公交站点重新布局和建设作为重点项目。市政府相关部门根据交通拥堵情况制订了“市区公交站点重新布局方案”，现准备对该“方案”进行调查，并根据调查结果决定是否启用该“方案”。调查人员分别在市区的各公交站点随机抽取若干市民对该“方案”进行评分，并将结果绘制成如图所示的频率分布直方图。相关规则为：①调查对象为本市市民，被调查者各自独立评分；②采用百分制评分，[60，80）内认定为满意，不低于80分认定为非常满意；③市民对公交站点布局的满意率不低于75％即可启用该“方案”；④用样本的频率代替概率.（Ⅰ）从该市800万人的市民中随机抽取5人，求恰有2人非常满意该“方案”的概率；并根据所学统计学知识判断该市是否启用该“方案”，说明理由.（Ⅱ）已知在评分低于60分的被调查者中，老年人占，现从评分低于60分的被调查者中按年龄分层抽取9人以便了解不满意的原因，并从中抽取3人担任群众督查员，记为群众督查员中的老人的人数，求随机变量的分布列及其数学期望.参考答案：（Ⅰ）根据频率分布直方图，被调查者非常满意的频率是，

………………1分用样本的频率代替概率，从该市的全体市民中随机抽取1人，该人非常满意该项目的概率为，……………2分现从中抽取5人恰有2人非常满意该“方案”的概率为：；…………………4分根据题意：60分或以上被认定为满意或非常满意，在频率分布直方图中，评分在的频率为：根据相关规则该市应启用该“方案”.

…………………6分（Ⅱ）∵评分低于60分的被调查者中，老年人占，又从被调查者中按年龄分层抽取9人，∴这9人中，老年人有3人，非老年人6人，随机变量的所有可能取值为0，1，2，3……7分,,………………11分的分布列为：0123的数学期望.………………12分22.（本小题满分14分）设的公比不为1的等比数列，其前项和为，且成等差数列．（1）求数列的公比；（2）证明：对任意，成