《导数》课后练习集

7.若函数f(x)=x3-12x在区间(k-1,k+1)上不是单调函数，则实数k的取值范围()BA.k<-3或-1<k<1或k>3B.-3<k<-1或1<k<3C.-2<k<2D.不存在这样的实瓢16.(本题满分12分)已知f(x)=ax3+bx2-2x+c在x=-2时有极大值6,在x=1时有极小值，(1)求a,b,c的值；(2)求f(x)在区间［—3,3］上的最大值和最小值.16.解:(1)f，(x)=3ax2+2bx-2,由条件知，f(-2)=12a-4b-2:0,<f，(1)=3a+2b-2=0,解得a=—,b=—,c=—.323f(-2)=-8a+4b+4+c=6.17.(本题满分14分)已知函数f(x)=2x2+lnx.(1)求函数f(x)的单调区间；(2)求证：当x>1时，2x2+lnx<2x3.乙J17.(1)依题意知函数的定义域为{xIx>0},f(x)=x+」，故f'(x)>0,x：・f(x)的单调增区间为(0,+8).(2)设g(x)=2x3-2x2-lnx,・•・g'(x)=2x2-x-x，(x-1)(2x2+x+1)当x>1时，g'(x)=>0,・•・g(x)在(1,+8)上为增函数，二g（x）>g（1）=6>。,当x>1时，2x2+lnx<3x3.918、(本题满分14分)设函数f(x)=x3—2x2+6x—a.(1)对于任意实数x,f‘(x)三机恒成立，求m的最大值；(2)若方程f(x)=0有且仅有一个实根，求a的取值范围.［解析］(1)f'(x)=3x2-9x+6=3(x-1)(x-2).因为x£(-8,+8).f'(x)三m，即3x2-9x+(6-m)三0恒成立.所以A=81-12(6-m)W0，得mW-4,即m的最大值为-3.(2)因为当x<1时，f,(x)>0；当1<x<2时，f/(x)<0；当x>2时f(x)>0.所以当x=1时，fx)取极大值f(1)=5-a,当x=2时，fx)取极小值f(2)=2-a.故当f(2)>0或f(1)<0时，方程f(x)=0仅有一个实根，解得a<2或a>5.乙9.(2009・江西改编)若存在过点(1,0)的直线与曲线y=x3和y=ax2+号x—9都相切，则a=解析设曲线y=x3上切点为(x0,x3),二？'|x=x0=3x2,，xx^=3x2，：.2x3=3x2，/.x0=2或xo=0,027・•.公切线的斜率为仁27或k=0,27・•・切线方程为y=27(x-1)或y=0.当直线方程为y=0时，求得a=一言27当直线方程为y=27(x-1)时，求得a=-1.25答案一1或一649.(2008・江苏，14f(x)=ax3—3x+1对于x引一1,1］总有f(x)三0成立，则a=解析若x=0,则不论a取何值，fx/0都成立；当x>0即x£(0,1］时，f(x)=ax3-3x+1三0可化为a*-1.x2x3设g（%尸3一1,则g,（%尸犯二出，X2%3x4l［|,1］上单调递减，所以g（%）在区间（l［|,1］上单调递减，因此g(x)=g(1)=4,从而a三4；max\2J当x<0即x£[-1,0)时，f(x)=ax3-3x+1三0可化为<3-1x^X2x3，g(x)=--1在区间[-1,0)上单调递增，x2x3因此g(x)min=g(-1)=4,从而a<4，综上a=4.答案4(2009.湖州一模)已知函数f(x)=-x3+ax在区间(一1,1)上是增函数，则实数a的取值范围是.、解析由题意应有f(x)=-3x2+a三0，在区间(-1,1)上恒成立，则a三3x2，x£(-1,1)恒成立，故a三3.答案a三3(2009•合肥调研)函数f(x)=x3+3ax2+3[(a+2)x+1]有极大值又有极小值，则a的取值范围是.解析f(x)=x3+3ax2+3[(a+2)x+1],f(x)=3x2+6ax+3(a+2).令3x2+6ax+3(a+2)=0,即x2+2ax+a+2=0.•・•函数f(x)有极大值和极小值，・•・方程x2+2ax+a+2=0有两个不相等的实根.即A=4a2-4a-8>0,/.a>2或a<-1.答案a>2或a<—1(13分)(2010・开封调研)已知向量a=(x2,x+1),b=(1—x,t).若函数f(x)=ab在区间(—上是增函数，求t的取值范围.解f(x)=a，b=x2(1-x)+1(x+1)=-x3+x2+tx+t,f'(x)=-3x2+2x+1.•：f(x)在(-1,1)上是增函数，..-3x2+2x+1三0在x£(-1,1)上恒成立..t三3x2-2x，令g(x)=3x2-2x,x£(-1,1)...g(x)£-3，5^，三5.（2010・广州调研）若函数f（x）=x3—3x+a有3个不同的零点，则实数a的取值范围是（）B.[—2,2]A.B.[—2,2]C.(—8,—1)D.(1,+8)解析本题考查了函数零点的判断方法及一元二次方程根与系数的关系.由于函数f(x)是连续的，故只需两个极值异号即可.f,(X)=3x2-3,令3x2-3=0,则x=±1,只需f(T)f(1)<0，即(。+2)(。-2)<0，故a£(-2,2).答案A(2010•济宁联考)若a>2,则函数fx)=3x3—ax2+1在区间(0,2)上恰好有()A.0个零点B.1个零点C.2个零点D.3个零点解析解答本题要结合二分法和函数的单调性判断.由已知得：f,(x)=x(x-2a),由于a>2，故当0<x<2时f(x)<0，即函数为区间(0,2)上的单调递减函数，又当a>2时f(0f(2)=131-4a<0，故据二分法及单调性可知函数在区间(0,2)上有且只有一个零点.答案BB.0<aWeD.aNe(2010•湛江调研)已知函数fx)=lna'B.0<aWeD.aNeA.0<a<~eC.aWe；x-(lna+lnx)1-(lna+lnx)解析f'(x)=x2x2x二_(_a_x解析f'(x)=x2x2f(x)W0在［1,+8)上恒成立，即lna三1-lnx在［1,+8)上恒成立.设0(%)=1-lnx,(P(x)max=1，故lna三1，aNe，选D.答案D(2010•黄山模拟)已知函数f(x)的导函数f(x)=a(x+1)(x—a)，若f(x)在x=a处取到极大值，则a的取值范围是()A.(—1,0)B.(2,+8)C.(0,1)D.(—8,—3)解析由fx)在x=a处取得极大值可知，当x<a时，f(x)>0，当x>a时，f,(x)<0，即a(x+1)(x-a)>0的解集为x<a且a(x+1)(x-a)<0的解集为x>a，通过对这两个不等式的解集讨论可知-1<a<0.故选A.答案A(2009•温州五校第二次联考)方程x3—6x2+9x—4=0的实根的个数为()A.0B.1C.2D.3解析令fx)=x3-6x2+9x-4J则f(x)=3x2-12x+9=3(x-1)(x-3).由f(x)>0得x>3或x<1,由f(x)<0得1<x<3.・•.fx)的单调增区间为(3,+8),(-8,1),单调减区间为(1,3)一・.fx)在x=1处取极大值，在x=3处取极小值，又・・加)=0,f(3)=-4<0,.•.函数fx)的图象与x轴有两个交点，即方程x3-6x2+9x-4=0有两个实根.故选C.答案CTOC\o"1-5"\h\z(2009-绍兴模拟)已知对任意x£R,恒有f(—x尸一f(x),g(—x尸g(x)，且当x>0时，f(x)>0,g,(x)>0,则当x<0时有()A.f(x)>0,g'(x)>0B.f(x)>0,g'(x)<0C.f(x)<0,g'(x)>0D.f(x)<0,g'(x)<0解析由f(-X)=-f(x),g(-x)=g(x)，知f(x)为奇函数，g(x)为偶函数.又x>0时，f(x)>0,g'(x)>0,由奇、偶函数的性质知，当x<0时，f(x)>0,g'x)<0.答案B(2009・湖州模拟)设函数f(x)=ax3—3x+1(x£R),若对于任意x£［—1,1］,都有f(x)三0成立，则实数a的值为.解析若x=0,则不论a取何值，fx/0显然成立；当x>0，即x£(0,1］时，fx)=ax3-3x+1三0可化为a三—--x2x3.设g(x)=3-1,则g'(x)=31二x),x2x3x4［2,1］上单调递减，所以g(x)在区间(［2,1］上单调递减，因此g(x)=g(1)=4,从而aA.max2当x<0，即x£［-1,0)时，同理aW3-1x2x3g(x)在区间［-1,0)上单调递增，二g(x)min-g(-1)=4，从而aW4,综上可知a=4.答案43(13分)(2010・菏泽模拟)已知函数fx)=x3—2ax2+b(a,b为实数，且a>1)在区间［—1,1］上的最大值为1,最小值为—2.(1)求f(x)的解析式；(2)若函数g(x尸f(x)—mx在区间［—2,2］上为减函数，求实数m的取值范围.解(1f,(x)=3x2-3ax，令f(x)=0,得x1=0,x2=a，,/a>1,•・fx)在［-1,0］上为增函数，在［0,1］上为减函数.M0)=b=1,:f(-1)=-2a,f(1)=2-2a，：.f-1)<f(1),34..f(-1)=-2a=-2,a=3…f(x)=x3-2x2+1.(2)g(x)=x3-2x2-mx+1,g'(x)=3x2-4x-m.由g(x)在［-2,2］上为减函数，知g'(x)W0在x£［-2,2］上恒成立./「A,即J"W0.・・根三20.〔g;(2)W0〔4-mW0(13分)(2010・宁波模拟)设函数f(x)=—1x3+2ax2—3a2x+b(0<a<1).(1)求函数f(x)的单调区间，并求函数f(x)的极大值和极小值；(2)当x£［a+1,a+2］时，不等式夕(x)IWa，求a的取值范围.解(1)."(x)=-x2+4ax-3a2=-(x-3a)(x-a),由f(x)>0得：a<x<3a,由f'(%)<0得：％<a或%>3a,则函数f(%)的单调递增区间为(a,3a),单调递减区间为(-8,a)和(3a,+8).列表如下：%(-8，a)a(a,3a)3a(3a，+8)f(%)0+0f(%)-3a3+bb・•・函数f(%)的极大值为b，极小值为-4a3+b.⑵•・/(%尸-%2+4a%-3a2=-(%-2a)2+a2,"(%)在［a+1,a+2］上单调递减,f(%)min=f(a+2)=4a-4.•・・不等式夕(%)Wa恒成立，J|2a-1IWa4a-4三-a又0<av1,.,.［wa<1,即a的取值范围是［wa<1,(14分)(2010.汕头模拟)已知函数f(%)=<%—ln%(%>：)、%2+2%+a—1(%wg)⑴求函数f(%)的单调递增区间；(2)求函数f(%)的零点.解⑴当%>2时，f;(%)=1-1=—-2%%由f(%)>0得%>1.・f%))在(1,+8)上是增函数.当%W1时，f(x)=%2+2%+a-1=(%+1)2+a-2,2・•・f(%)在(-1,马上是增函数:.(%)的递增区间是(-1，1和a,+叼.\乙一⑵当%4时，由(1)知f(%)在(｝，