分离变量法有界弦的自由振动

关于分离变量法有界弦的自由振动第1页，讲稿共64页，2023年5月2日，星期三有界弦的自由振动有限长杆上的热传导圆域内的二维拉普拉斯方程的定解问题非齐次方程的解法非齐次边界条件的处理关于二阶常微分方程本征值问题的一些结论分离变量法提要:第2页，讲稿共64页，2023年5月2日，星期三

物理学、工程技术领域的许多问题，都可以归结为偏微分方程的定解问题。偏微分方程定解条件求满足它们的解（定解问题）在微积分学中:多元函数的微分积分(转化为)一元函数的微分积分分离变量法:偏微分方程(定解问题)(转化为)常微分方程的求解第3页，讲稿共64页，2023年5月2日，星期三基本思想:将一个多元函数的偏微分方程转化为几个单元函数的常微分方程基本问题:将二元的偏微分方程转化为空间和时间的常微分方程,比如第4页，讲稿共64页，2023年5月2日，星期三§2.1

有界弦的自由振动什么是分离变量法?运用分离变量法所应该具备的条件?如何应用分离变量法解定解问题?例1：有界弦的自由振动:弦长度为L,两端固定,任意初始位移,任意初始速度。定解问题为:泛定方程边界条件初始条件(1)(2)(3)第5页，讲稿共64页，2023年5月2日，星期三主导思想：在讨论常系数、线性、齐次常微分方程的初值问题时，求出足够多的形式解线性迭加这些足够多的形式解使之满足初始条件常微分方程——不但含有未知函数，而且还含有未知函数的导数，且自变量只有一个，称之为常微分方程。线性——未知函数，以及未知函数的导数都是一次幂，称之为线性。通解——一般地讲，一阶常微分方程含有一个任意常数的解，称之为通解。特解——确定了任意常数的解，称之为特解。一般来说，当初始条件给定之后，满足初始条件的特解只有一个。第6页，讲稿共64页，2023年5月2日，星期三启发：求出足够多的,满足边界条件的,具有变量分离形式的形式解。线性组合这些足够多的形式解使之满足初始条件

从物理学知，乐器发出的声音，可以分解为各种不同频率的单音，每种单音振动时所形成的正弦曲线，其振幅依赖于时间t。为此，特解可表示为的形式.特点:中的变量被形式上分离为振幅-关于时间t位相-关于坐标x第7页，讲稿共64页，2023年5月2日，星期三设方程（1）有分离变量解：代入方程（1）：左边是x函数，右边是t的函数，只有他们均为常数时才相等：设这一常数为-，则（4）（5）（6）至此可以看出,利用分离变量法的条件是:泛定方程必须是齐次的。否则（5）变成方程,不能写出变量分离的形式（6）。分离变量：第8页，讲稿共64页，2023年5月2日，星期三将边界条件（2）代入形式解（4）：

,如果则(平凡解,无实际意义),故这样空间函数构成下列常微分方程的边值问题:至此可以看出,利用分离变量法的条件是:边界条件必须是齐次的。否则，不能写出关于空间函数

X(x)单独的边界条件（7），不能构成定解问题（8）。（8）（7）第9页，讲稿共64页，2023年5月2日，星期三以下的任务：确定取何值时，方程有满足条件的非零解；求出这个非零解——本征值本征值问题本征函数第10页，讲稿共64页，2023年5月2日，星期三

：方程(9)的通解为2.:方程(9)的通解为(9)(10)（平凡解:X(x)=0）由(10)得

为了满足边界条件(10),(11)必须给出(11)下面求解边值问题：设第11页，讲稿共64页，2023年5月2日，星期三这是一个关于A,B的线性齐次方程组，它有非零解的必要充分条件是系数行列式为零：

即上式在k=0(即=0)条件下成立，但在现在的<0情况下不成立，这意味着：方程组(12)只有零解(12)即第12页，讲稿共64页，2023年5月2日，星期三(9)(10)为了满足边界条件(10),必须有3.>0,方程(9)的通解为该边值问题的解是一系列分立的正弦函数B不能为零(否则X(x)=0)设第13页，讲稿共64页，2023年5月2日，星期三第14页，讲稿共64页，2023年5月2日，星期三将代入关于

T的方程:这个解称为定解问题的“本征解”,它满足泛定方程和齐次边界条件其通解为这样

解方程:第15页，讲稿共64页，2023年5月2日，星期三但是本征解的初始值不能满足任意初始条件(2),为了使原定解问题的解满足任意初始条件，考虑到原泛定方程是线性的（服从叠加原理），可以取本征解的叠加构成定解问题的一般解：一般解不但满足泛定方程还满足定解条件定解问题的一般解:第16页，讲稿共64页，2023年5月2日，星期三

这样初始条件可以表示为它们是函数的傅立叶级数，展开系数为一般解能表示任意初始条件可以再次看出,利用分离变量法的条件是:泛定方程必须是线性的。这样才能利用叠加原理，构成一般解，满足任意初始条件。任意初始条件:第17页，讲稿共64页，2023年5月2日，星期三

有界弦自由振动的定解问题的解由级数给出:

它满足齐次边界条件和任意初始条件:

展开系数被积分确定:弦振动定解问题的结论：第18页，讲稿共64页，2023年5月2日，星期三1.对于泛定方程写出形式解:

2.分离变量得到空间函数的本征值问题:3.解出得到本征解:4.利用叠加原理得到一般解:

5.代入初始条件求出待定系数分离变量法求解定解问题的步骤：第19页，讲稿共64页，2023年5月2日，星期三1.泛定方程是线性齐次的,

例如2.边界条件是齐次的,例如3.初始条件可以是任意函数

讨论:分离变量法的适用条件第20页，讲稿共64页，2023年5月2日，星期三举例:例1：设一根长为10个单位的细弦,两端固定,初速为零,初位移与材料有关的量,求弦作微小横振动时的位移.解:其定解问题为显然，这个问题的傅立叶级数形式解可由给出，其中第21页，讲稿共64页，2023年5月2日，星期三给出,其中n为偶数n为奇数第22页，讲稿共64页，2023年5月2日，星期三因此,所求的解为第23页，讲稿共64页，2023年5月2日，星期三例2：解下列定解问题例1：定解问题分析:对比上面两个定解问题,与例1所不同的是,这一端的边界条件已经不是第一类齐次边界条件,而是第二类齐次边界条件第二类齐次边界条件第一类齐次边界条件第24页，讲稿共64页，2023年5月2日，星期三一、对此，试探性提出方程组中第一个方程的分离变量形式的非零解。上式分别对x、t求偏导上面的结果，反回去代入原方程，得或

这样，变量被分离了，同时得到两个常微分方程！第25页，讲稿共64页，2023年5月2日，星期三二、捆绑边界条件由于将其与方程组中的边界条件捆绑由由其中，。因为如果，则所涉及的解，显然不是我们所需要的（零解！！！）。

由此可见，只有。将此结果与所得到的常微分方程中的第二个方程（关于x

）联立组成了关于的本征值问题第26页，讲稿共64页，2023年5月2日，星期三三、在右列方程组中，解出非零的。重复前面的讨论,只有当时,本征值问题才有非零解,此时的通解仍为

代入边界条件:,得由于,故,即从而求得了一系列本征值与本征函数本征值本征函数第27页，讲稿共64页，2023年5月2日，星期三四、回过头来求函数将这些本征值,代入关于T(t)的方程中,其通解为将和一并代入,经整理后得到了既满足泛定方程,又满足边界条件的一组分离变量形式的解关于t

的关于x

的第28页，讲稿共64页，2023年5月2日，星期三五、求满足(捆绑)初始条件的解利用初始条件,确定上面方程中的任意常数第29页，讲稿共64页，2023年5月2日，星期三故,所求之解为第30页，讲稿共64页，2023年5月2日，星期三对比：第31页，讲稿共64页，2023年5月2日，星期三第32页，讲稿共64页，2023年5月2日，星期三方程一的解方程二的解第33页，讲稿共64页，2023年5月2日，星期三第34页，讲稿共64页，2023年5月2日，星期三确定的时间t0确定的弦点弦的空间形状是一条正弦曲线,其振幅与t0有关。弦点在其平衡位置附近作简谐振荡，其振幅与x0有关。讨论:本征解的物理意义第35页，讲稿共64页，2023年5月2日，星期三第36页，讲稿共64页，2023年5月2日，星期三un(x,t)表示这样一个运动：在考察的弦上各点，以同样角频率n作简谐振动，各点处的初位相n也相同，而各点的振幅则随点的位置改变而变化，此时振动的波形，在任何时刻都呈现正弦曲线。●●●●波节波腹第37页，讲稿共64页，2023年5月2日，星期三正弦曲线的零点:正弦曲线在

[0,L]

区间有n+1个零点,即波形在该区间有n+1个节点xm，第1个节点在x0=0，第n+1个节点在xn=L。

结论：有界弦自由振动的本征解为驻波。零点位置:讨论:本征解为驻波第38页，讲稿共64页，2023年5月2日，星期三0Lx0(驻波条件)(为波长)第39页，讲稿共64页，2023年5月2日，星期三第40页，讲稿共64页，2023年5月2日，星期三“单模激光”是工作在单个本征态的典型的物理系统，单模激光的产生满足“驻波条件”：激光谐振腔x驻波条件：腔长等于半波长的整数倍E单个本征态的例子：单模激光第41页，讲稿共64页，2023年5月2日，星期三x0a

x

n=1n=2n=3势阱中粒子的一个本征态对应于一个特定波长的驻波：单个本征态的又一个例子:势阱粒子的几率波第42页，讲稿共64页，2023年5月2日，星期三

每个本征解表示一个谐波,

第

n

个本征解表示

n

阶谐波:

谐波的叠加给出一般波形:谐波与一般波形第43页，讲稿共64页，2023年5月2日，星期三若弦还受到时空依赖的外力的作用(设弦单位长度受力为F(x,t)，其方向竖直于x轴):

0xxu水平方向：没有变化竖直方向：回顾受迫振动方程:第44页，讲稿共64页，2023年5月2日，星期三受迫振动方程注:齐次方程:只含有对

u

的各种运算非齐次方程：含有对

u

运算之外的项f(x,

t),被称为驱动项,或自由项第45页，讲稿共64页，2023年5月2日，星期三长度为

L，线密度为，且两端固定的弦在某种介质中作微振动，设弦在介质中振动时受到的阻力与振动的速度成正比。已知弦振动的初始位移与初始速度分别为和，试求弦上任意点

x

在任意

时刻离开其平衡位置的位移。例2：阻尼弦振动:第46页，讲稿共64页，2023年5月2日，星期三任意t时刻弦的形状:

0xu弦振动时单位长度受到的阻力可以表示为L介质的阻力负号表述阻力与振动方向相反比例系数振动方向第47页，讲稿共64页，2023年5月2日，星期三现在阻尼弦振动：定解问题第48页，讲稿共64页，2023年5月2日，星期三虽然泛定方程比标准形式多了阻尼项，但仍然是线性齐次方程，而边界条件是齐次的，故可以用分离变量法求解。令第49页，讲稿共64页，2023年5月2日，星期三通解：定解问题的本征解：一般解：初始条件第50页，讲稿共64页，2023年5月2日，星期三10-14Lx弦的初始状态弦左端点不固定

（左端的切线斜率为零）例5：弦振动第二类边界条件第一类边界条件L2L第51页，讲稿共64页，2023年5月2日，星期三cosL=0B=0第52页，讲稿共64页，2023年5月2日，星期三Dn=0弦的x=L端固定，x=0端在-1,1间振荡。弦上任意点x以其初始位移cos(x/2L)为振幅，以a/4L为频率作简谐振荡。在任意时刻t，弦在x=0端的斜率为零。第53页，讲稿共64页，2023年5月2日，星期三10-1Lx弦的初始状态弦两端点不固定

（两端的切线斜率为零）例6：弦振动（第二类边界条件）第54页，讲稿共64页，2023年5月2日，星期三设方程（1）有分离变量解：代入方程（1）：两边对x求导数：设这一常数为-，则（4）（5）（6）分离变量：第55页，讲稿共64页，2023年5月2日，星期三将边界条件（3）代入形式解（4），得到：这样空间函数

X(x)构成下列常微分方程的边值问题:（8）（7）第56页，讲稿共64页，2023年5月2日，星期三

：(9)的通解2.:(9)