空间向量和立体几何

空间向量和立体几何

空间向量及运算空间向量和平面向量的加、减、数乘操作相同。1.1空间向量的定义空间中既有大小又有方向的向量叫做空间向量，用有向线段表示。空间向量的定义为AB或a，是自由向量，不讲究起点。空间向量的大小叫做空间向量的长度或者模，记作AB或者a。1.2空间向量的夹角过空间一点O作OA=a，OB=b，则∠AOB叫做a与b的夹角，记作a,b，且0≤a,b≤π。当a,b=π/2时，a与b垂直，记a⊥b。当a,b=0或π时，a//b。1.3特殊空间向量当a=0时，称a为零向量，记a=，与任意向量平行和垂直。当a=1时，称a为单位向量，对任意非零向量a，a/|a|叫做a的单位向量。当a=-b时，称a与b互为相反向量。1.4方向向量与法向量当a与l平行时，称a(≠0)是l的方向向量，一条直线的方向向量有无数个。当a与平面α垂直时，称a(≠0)是平面α的法向量，一个平面的法向量有无数个。1.5向量的线性运算1.5.1向量的加法向量的加法符合平行四边形法则，减法符合三角形法则，又满足规律：(a+b)+c=a+(b+c)，a+b=b+a，若n个向量相加且首尾相接，则其和向量以开始起点为起点，以最终的终点为终点一样，即A1+A2+...+An=An。1.5.2向量的数乘向量的数乘满足如下规律：λa与平面向量意义相同。当λ>0时，λa与a同向；当λ<0时，λa与a反向；满足λa=aλ；λ(a+b)=λa+λb；(μ+λ)a=μa+λa；(λμ)a=λ(μa)。1.5.3向量的共线定理当b≠0时，a//b当且仅当a=λb，其中λ为实数。1.6空间向量的数量积空间向量的数量积定义为a·b=|a||b|cos(α)，其中α为a与b之间的夹角，且a·b=b·a。空间向量的数量积满足如下规律：a·(b+c)=a·b+a·c；λa·b=λ(a·b)。2.空间向量基本定理及坐标运算2.1空间向量基本定理若向量e1,e2,e3是空间三个不共面向量，a是空间任意向量，那么存在唯一一组实数λ1,λ2,λ3使得a=λ1e1+λ2e2+λ3e3，其中空间中不共面的向量e1,e2,e3叫做这空间的一组基底。2.2单位正交基当一组基底$i,j,k$两两垂直，且$i=j=k=1$，则$i,j,k$叫做单位正交基底。对于任一向量$a$，有$a=xi+yj+zk$，其中$x=a\cdoti$，$y=a\cdotj$，$z=a\cdotk$，叫做$a$在$x,y,z$轴上的投影。2.3空间向量坐标运算设$a=(x_1,y_1,z_1)$，$b=(x_2,y_2,z_2)$，则：$a+b=(x_1+x_2,y_1+y_2,z_1+z_2)$$a-b=(x_1-x_2,y_1-y_2,z_1-z_2)$$\lambdaa=(\lambdax_1,\lambday_1,\lambdaz_1)$$a\cdotb=(x_1x_2,y_1y_2,z_1z_2)$2.4向量坐标的应用设$a=(x_1,y_1,z_1)$，$b=(x_2,y_2,z_2)$，则：若$b\neq0$，则$a//b$当且仅当$\frac{x_1}{x_2}=\frac{y_1}{y_2}=\frac{z_1}{z_2}$。$a\perpb$当且仅当$x_1x_2+y_1y_2+z_1z_2=0$。$a$的模长为$\sqrt{x_1^2+y_1^2+z_1^2}$。2.5待定系数法求平面法向量步骤：（1）设平面法向量为$n=(x,y,z)$。（2）找出平面内两不共线向量坐标$a=(x_1,y_1,z_1)$，$b=(x_2,y_2,z_2)$。（3）法向量$n$与$a,b$都垂直，即$n\cdota=0$，$n\cdotb=0$。（4）解方程组，取其中一个解，就为法向量的坐标。3.用向量解决平行和垂直问题直线$l_1$的方向向量设为$s_1$，直线$l_2$的方向向量设为$s_2$，平面$\alpha$的法向量设为$n_1$，平面$\beta$的法向量设为$n_2$，则：$l_1//l_2\iffs_1//s_2$，$l_1\perpl_2\iffs_1\perps_2$，$l_1//\alpha\iffs_1\perpn_1$，$l_1\perp\alpha\iffs_1//n_1$，$\alpha//\beta\iffn_1//n_2$，$\alpha\perp\beta\iffn_1\perpn_2$。4.用向量求夹角4.1直线间夹角当$l_1$，$l_2$共面时，把两直线夹角中范围在$[0,\frac{\pi}{2}]$内的角叫做$l_1$，$l_2$间的夹角。当$l_1$，$l_2$互为异面直线时，在$l_1$上任取一点$A$，作$AB//l_2$，把$l_1$和$AB$间的夹角叫做异面直线$l_1$和$l_2$的夹角。向量与夹角的关系：已知直线l1和l2的方向向量分别为s1和s2，当0≤s1,s2≤π时，直线l1和l2的夹角等于s1,s2；当π/2<s1,s2≤π时，直线l1和l2的夹角等于π-s1,s2。平面间夹角：两平面所成的二面角中，范围在0~π内叫做两平面间的夹角。平面π1与π2法向量分别为n1和n2，θ为两平面所成二面角的平面角由n1,n2确定：当0≤n1,n2≤π/2时，θ=n1,n2；当π/2<n1,n2≤π时，θ=π-n1,n2。直线与平面的夹角：平面外一条直线与它在平面内投影的夹角叫做直线与平面的夹角，范围在0~π/2内。设直线l方向向量为a，平面法向量为n，直线与平面所成的角为θ，则sinθ=|a·n|/|a|，当a·n>0时，θ=arcsin(|a·n|/|a|)；当a·n<0时，θ=π-arcsin(|a·n|/|a|)。用向量求距离：一个图形中任一点与另一个图形中任一点间距离的最小值叫做图形与图形之间的距离。点到直线距离：因为直线和直线外一点确定一个平面，所以空间一点到直线距离实际上就是空间中某一平面内点到直线的距离。l是过点p平行于向量s的直线，A是直线l外一定点，点A到l的距离为d=|PA-PA·s/s^2|。点到平面的距离：π是过点p的垂直向量n的平面，A是π外一定点，点A到平面π的距离d=|PA·n/|n||。线面距离和面面距离：直线到它平行平面间的距离：一直线与一平面平行，这直线上任一点到面间的距离称为线面距离，一般将线面距离转化为点面距或面面距来求。两个平行平面间的距离：和两个平行平面同时垂直的直线叫做这两平面的公垂线，公垂线夹在两平面之间的部分叫做这两个平面的公垂线段，公垂线段的长度称为面面距，一般将面面距转化为点面距来求。基础题：在空间四边形ABCD中，若AB=a，BD=b，AC=c，则CD等于b-(c-a)。2.在以下命题中，正确命题的个数为（）正确答案：C.23.（广东省高明一中2009届高三上学期第四次月考）若a、b、c为任意向量，m∈R，下列等式不一定成立的是（）正确答案：D.(a·b)c=a(b·c)4.（陕西省西安铁一中2009届高三12月月考）与向量（-3，-4，5）共线的单位向量是（）正确答案：A.（3/7，4/7，-5/7）和（-3/7，-4/7，5/7）5.在平行六面体ABCDA1B1C1D1中，化简ABAD(DD1BC)的结果为______________；答案不完整，无法判断正确性。6.若空间三点A（1，5，-2），B（2，4，1），C（p,3,q+2）共线，则p=______,q=______。正确答案：p=5，q=-17.（湖南省衡阳市八中2009届高三第三次月考试题）已知F1=i+2j+3k，F2=-2i+3j-k，F3=3i-4j+5k，若F1,F2,F3共同作用于一物体上，使物体从点M（1，-2，1）移动到N（3，1，2），则合力所作的功是.答案不完整，无法判断正确性。8.（广东省北江中学2009届高三上学期12月月考）在正三棱柱ABC—A1B1C1中，若AB=BB1，则AB1与C1B所成角的大小为（）正确答案：B.90°9.设向量a=(3,5,-4),b=(2,1,8)，计算3a-2b,a·b，并确定λ,μ的关系，使λa+μb与z轴垂直。答案不完整，无法判断正确性。10.如图，E是正方体ABCD—A1B1C1D1的棱C1D1的中点，试求向量∠EAD的余弦值.答案不完整，无法判断正确性。1.在三角形ABC中，AB=AC=5，BC=6，PA⊥平面ABC，PA=8，则P到BC的距离是多少？答案：42.在平面直角坐标系中，A(-2,3)，B(3,-2)，沿x轴把平面直角坐标系折成120度的二面角后则线段AB的长度为多少？答案：23.若向量a=(1,λ,2)，b=(2,-1,2)，a、b夹角的余弦值为cosθ，则λ等于多少？答案：-24.若单位向量a、b夹角为60度，则a+3b等于多少？答案：105.设a=(x,4,3)，b=(3,2,z)，且a∥b，则xz等于多少？答案：126.在图中，平面PAC⊥平面ABC，△ABC是以AC为斜边的等腰直角三角形，E,F,O分别为PA，PB，AC的中点，AC=16，PA=PC=10。设G是OC的中点，证明：FG//平面BOE。（改写后）证明：平面PAC⊥平面ABC，△ABC是以AC为斜边的等腰直角三角形，E,F,O分别为PA，PB，AC的中点，AC=16，PA=PC=10。设G是OC的中点，则有FG//平面BOE。7.正三棱柱ABC-A1B1C1所有棱长都是2，D是棱AC的中点，E是棱CC1的中点，AE交AD于点H。（1）证明：AE⊥平面A1BD；（2）求二面角∠D-B-A1-A的大小（用反三角函数表示）；（3）求点B1到平面A1BD的距离。（改写后）（1）证明：AE⊥平面A1BD；（2）求二面角∠D-B-A1-A的大小（用反三角函数表示）；（3）求点B1到平面A1BD的距离。8.在直四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，底面ABCD为等腰梯形，AB//CD，AB=4,BC=CD=2,AA1=2,E、E1分别是棱AD、AA1的中点。（1）设F是棱AB的中点，证明：直线EE1//平面FCC1；（2）证明：平面D1AC⊥平面BB1C1。（改写后）（1）证明：直线EE1//平面FCC1；（2）证明：平面D1AC⊥平面BB1C1。提高题：1.设P是△ABC所