曲阜师范大学数学-《复变函数》复习资料

PAGE1《复变函数》复习资料1一、判断题1.把角形域映射为角形域用指数函数映射（

）2.3.4.5.6.7.分式线性映射在复平面上具有共形性、保圆性、保对称性。

（

）8.9.10.二、解答题1.设，求在的洛朗展式（只写出含到各项）.2.利用留数定理计算复积分且为自然数).3.利用留数定理计算实积分.三、解答与证明题1.如果在内，函数解析，且，求的最优估计值.2．（1）函数当为实数时，都有确定的值且在全实轴上有任意阶导数，但它的泰勒展开式：却只当时成立，试说明其原因；（2）利用惟一性定理证明：.3.设在内解析且连续到,在上QUOTEφz<1,试证在内部只有一个根QUOTEz0.4.设为单连通区域，在内解析，在内一条周线，为的内部.若对于任意的都有，则在内恒有，其中为实常数.

答案一、1-5FFTTF6-10TFFTF二、解答题1、设，求在的洛朗展式（只写出含到各项）解：=（）=（）.2、利用留数定理计算复积分且为自然数)解：因为，且所以设，因为在单位圆周内只有一个本质奇点，在该点的去心领域内有洛朗展式：=所以，故，因此原积分值为零。3、利用留数定理计算实积分解：令，则，，先计算积分 =，故所求积分等于 三、解答与证明题1．如果在内，函数解析，且，求的最优估计值。证明：对任意的且满足，由于在内解析，在上应用柯西不等式得：，其中为在的最大值。又因为有条件，在，=，所以，令，有数学分析的知识可得当，在达到最大，把代入，的，为的最优估计值。2．（1）函数当为实数时，都有确定的值且在全实轴上有任意阶导数，但它的泰勒展开式：却只当时成立，试说明其原因。（2）利用惟一性定理证明：.证明：（1）考虑函数，那么是的两个奇点，因此在的领域内展成的幂级数的收敛半径为1，而是的特殊情形，所以只当时成立.（2）因为级数的收敛半径为1，所以在收敛圆内收敛到一个解析函数，令=，则在内也解析.因为在数学分析中知道：。即当时，=，有惟一性定理可知：.3.设在内解析且连续到,在上QUOTEφz<1,试证在内部只有一个根QUOTEz0.证明：令,,则及其在解析,在上连续,在上有.由儒歇定理可知与=在内有相同的零点个数,而在内仅有一个一级零点,,故在也仅有一个根,设为,即=0.4．设为单连通区域，在内解析，在内一条周线，为的内部。若对于任意的都有，则在内恒有，其中为实常数。证明：有柯西积分公式，在内，于是在内，从而在内为常数，注意到，对任意的，，其中为实常数。再由解析函数的惟一性定理可得在内，其中为实常数。

《复变函数》复习资料2一、计算题1、（1）计算积分（其中n是正整数）.(2)令，并利用（1）计算的结果，导出2、利用留数理论计算积分I=（m是正整数）.3、求函数f(z)=的所有奇点及奇点类型.并计算积分.二、证明题1、设在区域内满足:在解析且不恒为常数;使得,且.证明a为的本质奇点.2、（1）证明：如果函数在区域D内单叶解析，则在D内.(2)试问上述命题的逆是否真，如果不真，请举一个初等解析函数的例子.3、设f(z)在任何有限的区域上解析，而且（正常数）试证：（1），(a,b为任意两个给定的复数,a).(2)根据（1）推出刘维尔（Liouville）定理.4、若不为常数的函数f(z)在（包括）中解析，试证明M（r）=（r>R）是r的严格下降函数.并利用此结论证明下列结论：设P（z）=z求证:.

答案一、计算题1、（1）解：==（2）在（1）中令，并利用余弦函数的定义，再整理就得到结论2解：因为积分号下的函数为x的偶函数，故I=， 命则设则在圆周内部，f(z)仅有一个一阶极点故由留数定理于是知所以I=3．解：皆为一阶极点，是本质奇点，是可去奇点=二、证明题1、证明：由条件知a是的孤立奇点先证a不是的可去奇点.若不然，令=0,则在内解析，由零点的孤立性得，这与条件矛盾.再证a不是的极点，若不然，由极点的等价条件知在a的某邻域内无界，这也与条件矛盾。因此a是的本质奇点2、证明：（1）若有D的点使，则必为的一个阶零点。由零点的孤立性，故存在，使在圆周上，在C的内部，及无异于的零点。命表在C上的下确界，则由儒歇定理即知，当时，在圆周的内部亦恰有个零点。但这些零点无一为多重点，理由是在C内部除外无其他零点，而显然非的零点。故命表在C内部的个相异零点。于是这与的单叶性假设矛盾。故在区域D内。（2）其逆不真，例：3．（1）由于：（2）由于故f(a)=f(b).由于a、b任意，故f(z)恒为常数.4．证明：由最大模原理得，对于任何M（）=>==M（）由P（z）=z,考虑函数（）是解析的（包括），由（1）知在内是递减的，=(R)，令取极限，就有.

《复变函数》复习资料3一.求解方程.二.计算复数Ln．三.计算积分，，为正向曲线．四.将函数在内展开成罗朗级数.五.计算积分．六.计算在处的留数．七.计算积分，，为正向曲线．

答案一．解：因为所以，即方程有三个解：，，二．解：根据对函数的定义有三．解：令，则在