新北师大版第9章第6节二项分布超几何分布与正态分布作业

课时精练(六十一)二项分布、超几何分布与正态分布[基础达标练]1.(2022·昆明诊断)袋中装有2个红球，3个黄球，有放回地抽取3次，每次抽取1球，则3次中恰有2次抽到黄球的概率是()A．eq\f(2,5) B．eq\f(3,5)C．eq\f(18,125) D．eq\f(54,125)D袋中装有2个红球，3个黄球，有放回地抽取3次，每次抽取1球，每次取到黄球的概率P1＝eq\f(3,5)，∴3次中恰有2次抽到黄球的概率P＝Ceq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(3))×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,5)))eq\s\up12(2)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(3,5)))＝eq\f(54,125).故选D.2.(2022·吉林油田第十一中学模拟)有20个零件，其中16个一等品，4个二等品，若从这些零件中任取3个，那么至少有1个是一等品的概率是()A．eq\f(Ceq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(16))Ceq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(4)),Ceq\o\al(\s\up1(3),\s\do1(20))) B．eq\f(Ceq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(16))Ceq\o\al(\s\up1(1),\s\do1(4)),Ceq\o\al(\s\up1(3),\s\do1(20)))C．eq\f(Ceq\o\al(\s\up1(1),\s\do1(16))Ceq\o\al(\s\up1(1),\s\do1(4))＋Ceq\o\al(\s\up1(3),\s\do1(16)),Ceq\o\al(\s\up1(3),\s\do1(20))) D．1－eq\f(Ceq\o\al(\s\up1(3),\s\do1(4)),Ceq\o\al(\s\up1(3),\s\do1(20)))D全部都是二等品的概率为eq\f(Ceq\o\al(\s\up1(3),\s\do1(4)),Ceq\o\al(\s\up1(3),\s\do1(20)))，故至少有1个是一等品的概率为1－eq\f(Ceq\o\al(\s\up1(3),\s\do1(4)),Ceq\o\al(\s\up1(3),\s\do1(20))).故选D.3.(2022·福建省德化第一中学模拟)疫情期间，学校进行网上授课，某中学参加网课的100名同学每天的学习时间(小时)服从正态分布N(9，12)，则这些同学中每天学习时间超过10小时的人数估计为()附：随机变量ξ服从正态分布N(μ，σ2)，则P(μ－σ＜ξ＜μ＋σ)＝6，P(μ－2σ＜ξ＜μ＋2σ)4.A．12 B．16C．30 D．32B由题意可知μ＝9，σ＝1，所以P(ξ＞10)＝eq\f(1－P（μ－σ＜ξ＜μ＋σ）,2)＝eq\f(16,2)7，所以每天学习时间超过10小时的人数为100×4≈16.故选B.4.(2022·广东佛山市南海区九江中学模拟)已知随机变量X～B(n，p)，且EX＝4，DX＝2，则P(X＝1)＝()A．eq\f(1,23) B．eq\f(1,24)C．eq\f(1,25) D．eq\f(1,26)C由二项分布的方差和期望公式可得：eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(EX＝np＝4,DX＝np（1－p）＝2))，解得p＝eq\f(1,2)，n＝8，则P(X＝1)＝Ceq\o\al(\s\up1(1),\s\do1(8))·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up12(1)·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up12(7)＝eq\f(8,28)＝eq\f(1,25).故选C.5.(2022·湖北武汉模拟)在n(n∈N＋)次独立重复试验中，每次试验的结果只有A，B，C三种，且A，B，C三个事件之间两两互斥．已知在每一次试验中，事件A，B发生的概率均为eq\f(2,5)，则事件A，B，C发生次数的方差之比为()A．5∶5∶4 B．4∶4∶3C．3∶3∶2 D．2∶2∶1C根据A，B，C事件的互斥性可得：每一次试验中，事件C发生的概率为eq\f(1,5)，设事件A，B，C发生的次数分别为随机变量X，Y，Z，则有：X～Beq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(n，\f(2,5)))，Y～Beq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(n，\f(2,5)))，Z～Beq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(n，\f(1,5)))，则事件A，B，C发生次数的方差分别为：eq\f(6,25)n，eq\f(6,25)n，eq\f(4,25)n，故事件A，B，C发生次数的方差之比为：3∶3∶C.6．(多选题)“世界杂交水稻之父”袁隆平发明了“三系法”籼型杂交水稻，成功研究出“两系法”杂交水稻，创建了超级杂交稻技术体系．某水稻种植研究所调查某地杂交水稻的株高，得出株高(单位：cm)服从正态分布，其分布密度函数φ(x)＝eq\f(1,10\r(2π))eeq\s\up6(\f(（x－100）2,200))，x∈(－∞，＋∞)，则()A.该地杂交水稻的平均株高为100B．该地杂交水稻株高的方差为10C．该地杂交水稻株高在120cm以上的数量和株高在D．随机测量该地的一株杂交水稻，其株高在(80，90)和在(100，110)的概率一样大AC因为正态分布密度函数为φ(x)＝eq\f(1,10\r(2π))eeq\s\up6(\f(（x－100）2,200))，所以μ＝100，σ＝10，即均值为100，标准差为10，方差为100，故A正确，B错误；根据正态曲线的特征可知函数φ(x)关于x＝100轴对称，所以该地杂交水稻株高在120cm以上的数量和株高在80cm以下的数量一样多，故C正确，随机测量该地的一株杂交水稻，其株高在(80，90)和在(110，120)的概率一样大．故D错误．故选AC.7．(多选题)某人参加一次测试，在备选的10道题中，他能答对其中的5道．现从备选的10道题中随机抽出3道题进行测试，规定至少答对2道题才算合格．则下列选项正确的是()A．答对0题和答对3题的概率相同，都为eq\f(1,8)B．答对1题的概率为eq\f(3,8)C．答对2题的概率为eq\f(5,12)D．合格的概率为eq\f(1,2)CD设此人答对题目的个数为ξ，则ξ＝0，1，2，3，P(ξ＝0)＝eq\f(Ceq\o\al(\s\up1(0),\s\do1(5))Ceq\o\al(\s\up1(3),\s\do1(5)),Ceq\o\al(\s\up1(3),\s\do1(10)))＝eq\f(1,12)，P(ξ＝1)＝eq\f(Ceq\o\al(\s\up1(1),\s\do1(5))Ceq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(5)),Ceq\o\al(\s\up1(3),\s\do1(10)))＝eq\f(5,12)，P(ξ＝2)＝eq\f(Ceq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(5))Ceq\o\al(\s\up1(1),\s\do1(5)),Ceq\o\al(\s\up1(3),\s\do1(10)))＝eq\f(5,12)，P(ξ＝3)＝eq\f(Ceq\o\al(\s\up1(3),\s\do1(5))Ceq\o\al(\s\up1(0),\s\do1(5)),Ceq\o\al(\s\up1(3),\s\do1(10)))＝eq\f(1,12)，则答对0题和答对3题的概率相同，都为eq\f(1,12)，故A错误；答对1题的概率为eq\f(5,12)，故B错误；答对2题的概率为eq\f(5,12)，故C正确；合格的概率P＝P(ξ＝2)＋P(ξ＝3)＝eq\f(5,12)＋eq\f(1,12)＝eq\f(1,2)，故D正确．故选CD.8．甲、乙两人在每次猜谜活动中各猜一个谜语，若一方猜对且另一方猜错，则猜对的一方获胜，否则本次平局，已知每次活动中，甲、乙猜对的概率分别为eq\f(5,6)和eq\f(1,5)，且每次活动中甲、乙猜对与否互不影响，各次活动也互不影响，则一次活动中，甲获胜的概率为，3次活动中，甲至少获胜2次的概率为．答案eq\f(2,3)eq\f(20,27)解析由题可得一次活动中，甲获胜的概率为eq\f(5,6)×eq\f(4,5)＝eq\f(2,3)；则在3次活动中，甲至少获胜2次的概率为Ceq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(3))×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)))eq\s\up12(2)×eq\f(1,3)＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)))eq\s\up12(3)＝eq\f(20,27).9.(2022·辽宁省锦州市第二高级中学模拟)学校要从5名男教师和2名女教师中随机选出3人去支教，设抽取的人中女教师的人数为X，则P(X≤1)＝．答案eq\f(6,7)解析由题意可得P(X＝0)＝eq\f(Ceq\o\al(\s\up1(3),\s\do1(5))Ceq\o\al(\s\up1(0),\s\do1(2)),Ceq\o\al(\s\up1(3),\s\do1(7)))＝eq\f(10,35)＝eq\f(2,7)，P(X＝1)＝eq\f(Ceq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(5))Ceq\o\al(\s\up1(1),\s\do1(2)),Ceq\o\al(\s\up1(3),\s\do1(7)))＝eq\f(20,35)＝eq\f(4,7)，所以P(X≤1)＝P(X＝0)＋P(X＝1)＝eq\f(2,7)＋eq\f(4,7)＝eq\f(6,7).10．若随机变量X服从二项分布B(15，eq\f(1,4))，则使P(X＝k)取得最大值时，k＝．答案3或4解析依题意，0≤k≤15，k∈N，依题意P(X＝k)＝Ceq\o\al(\s\up1(k),\s\do1(15))·(eq\f(1,4))k·(1－eq\f(1,4))15－k＝Ceq\o\al(\s\up1(k),\s\do1(15))·eq\f(1,4k)·eq\f(315－k,415－k)＝eq\f(1,415)·Ceq\o\al(\s\up1(k),\s\do1(15))·315－k，P(X＝0)＝eq\f(1,415)·Ceq\o\al(\s\up1(0),\s\do1(15))·315＝(eq\f(3,4))15，P(X＝1)＝eq\f(1,415)·Ceq\o\al(\s\up1(1),\s\do1(15))·314＝5×(eq\f(3,4))15，P(X＝15)＝(eq\f(1,4))15，P(X＝15)<P(X＝0)<P(X＝1)，所以P(X＝0)、P(X＝15)不是P(X＝k)的最大项，当1≤k≤14时，由eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\f(1,415)·Ceq\o\al(\s\up1(k),\s\do1(15))·315－k≥\f(1,415)·Ceq\o\al(\s\up1(k－1),\s\do1(15))·316－k,\f(1,415)·Ceq\o\al(\s\up1(k),\s\do1(15))·315－k≥\f(1,415)·Ceq\o\al(\s\up1(k＋1),\s\do1(15))·314－k))，整理得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(Ceq\o\al(\s\up1(k),\s\do1(15))≥3Ceq\o\al(\s\up1(k－1),\s\do1(15)),3Ceq\o\al(\s\up1(k),\s\do1(15))≥Ceq\o\al(\s\up1(k＋1),\s\do1(15))))，即eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\f(15！,k！×（15－k）！),≥3×\f(15！,（k－1）！×（16－k）！),3×\f(15！,k！×（15－k）！),≥\f(15！,（k＋1）！×（14－k）！)))，整理得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\f(1,k)≥\f(3,16－k),\f(3,15－k)≥\f(1,k＋1)))，eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(16－k≥3k,3k＋3≥15－k))⇒3≤k≤4，所以当k为3或4时，P(X＝k)取得最大值．11.(2022·北京大兴期末)某工厂引进新的设备M，为对其进行评估，从设备M生产的流水线上随机抽取100件零件作为样本，测量其直径后，整理得到下表：直径/mm5859616263646566676869707173合计件数11356193318442121100经计算，样本均值μ＝65，标准差σ，以频率值作为概率的估计值．将直径小于等于μ－2σ或大于等于μ＋2σ的零件认为是次品．(1)若从样本中随机抽取一件，该零件为次品的概率为p，求p的估计值；(2)记X为从流水线上随机抽取的3个零件中次品数，求X的分布列(用p表示)，EX，DX.解(1)由条件可知：μ－2σ，μ＋2σ，所以样本中次品共6件，则从样本中随机抽取一件，该零件为次品的概率为p＝0.06.(2)从流水线上抽取次品，则每件产品为次品的概率为p＝eq\f(3,50).则X～B(3，eq\f(3,50))，X的可能取值为0，1，2，3，P(X＝0)＝Ceq\o\al(\s\up1(0),\s\do1(3))eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,50)))eq\s\up12(0)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(47,50)))eq\s\up12(3)，P(X＝1)＝Ceq\o\al(\s\up1(1),\s\do1(3))eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,50)))eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(47,50)))eq\s\up12(2)，P(X＝2)＝Ceq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(3))eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,50)))eq\s\up12(2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(47,50)))，P(X＝3)＝Ceq\o\al(\s\up1(3),\s\do1(3))eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,50)))eq\s\up12(3)，X0123PCeq\o\al(\s\up1(0),\s\do1(3))eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,50)))eq\s\up12(0)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(47,50)))eq\s\up12(3)Ceq\o\al(\s\up1(1),\s\do1(3))eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,50)))eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(47,50)))eq\s\up12(2)Ceq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(3))eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,50)))eq\s\up12(2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(47,50)))Ceq\o\al(\s\up1(3),\s\do1(3))eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,50)))eq\s\up12(3)所以EX＝3×eq\f(3,50)＝eq\f(9,50)，DX＝3×eq\f(3,50)×eq\f(47,50)＝eq\f(423,2500).12.(2022·山东潍坊模拟考试)根据国家部署，2022年中国空间站“天宫”将正式完成在轨建造任务，成为长期有人照料的国家级太空实验室，支持开展大规模、多学科交叉的空间科学实验．为普及空间站相关知识，某部门组织了空间站建造过程3D模拟编程闯关活动，它是由太空发射、自定义漫游、全尺寸太阳能、空间运输等10个相互独立的程序题目组成．规则是：编写程序能够正常运行即为程序正确．每位参赛者从10个不同的题目中随机选择3个进行编程，全部结束后提交评委测试，若其中2个及以上程序正确即为闯关成功．现已知10个程序中，甲只能正确完成其中6个，乙正确完成每个程序的概率均为eq\f(3,5)，每位选手每次编程都互不影响．(1)求乙闯关成功的概率；(2)求甲编写程序正确的个数X的分布列和数学期望，并判断甲和乙谁闯关成功的可能性更大．解(1)记乙闯关成功为事件A，所以P(A)＝Ceq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(3))(eq\f(3,5))2×eq\f(2,5)＋(eq\f(3,5))3＝eq\f(81,125).(2)由题意知随机变量X的所有可能取值为0，1，2，3，P(X＝0)＝eq\f(Ceq\o\al(\s\up1(3),\s\do1(4)),Ceq\o\al(\s\up1(3),\s\do1(10)))＝eq\f(1,30)，P(X＝1)＝eq\f(Ceq\o\al(\s\up1(1),\s\do1(6))Ceq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(4)),Ceq\o\al(\s\up1(3),\s\do1(10)))＝eq\f(3,10)，P(X＝2)＝eq\f(Ceq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(6))Ceq\o\al(\s\up1(1),\s\do1(4)),Ceq\o\al(\s\up1(3),\s\do1(10)))＝eq\f(1,2)，P(X＝3)＝eq\f(Ceq\o\al(\s\up1(3),\s\do1(6)),Ceq\o\al(\s\up1(3),\s\do1(10)))＝eq\f(1,6)，故X的分布列为：X0123Peq\f(1,30)eq\f(3,10)eq\f(1,2)eq\f(1,6)所以EX＝0×eq\f(1,30)＋1×eq\f(3,10)＋2×eq\f(1,2)＋3×eq\f(1,6)＝eq\f(9,5).所以甲闯关成功的概率为eq\f(1,2)＋eq\f(1,6)＝eq\f(2,3)，因为eq\f(81,125)<eq\f(2,3)，所以甲闯关成功的可能性更大．[技能提升练]13.(2022·全国模拟)某工厂进行产品质量抽测，两位员工随机从生产线上各抽取数量相同的一批产品，已知在两人抽取的一批产品中均有5件次品，员工A从这一批产品中有放回地随机抽取3件产品，员工B从这一批产品中无放回地随机抽取3件产品．设员工A抽取到的3件产品中次品数量为X，员工B抽取到的3件产品中次品数量为Y，k＝0，1，2，3.则下列判断正确的是()A．随机变量X服从二项分布B．随机变量Y服从超几何分布C．P(X＝k)＜P(Y＝k)D．EX＝EYABD对于A，B选项，由超几何分布和二项分布的概念可知两个选项均正确；对于D选项，该批产品有M件，则EX＝3·eq\f(5,M)＝eq\f(15,M)，EY＝eq\i\su(k＝0,3,)eq\f(kCeq\o\al(\s\up1(3－k),\s\do1(M－5))Ceq\o\al(\s\up1(k),\s\do1(5)),Ceq\o\al(\s\up1(3),\s\do1(M)))＝eq\i\su(k＝1,3,)eq\f(kCeq\o\al(\s\up1(3－k),\s\do1(M－5))Ceq\o\al(\s\up1(k),\s\do1(5)),Ceq\o\al(\s\up1(3),\s\do1(M)))＝eq\f(15（M－1）（M－2）,M（M－1）（M－2）)＝eq\f(15,M)，因此D正确；对于C选项，假若C正确可得EX＜EY，则D错误，与D选项分析矛盾，故C错误．14.(2022·河南开封月考)无症状感染者被认为是新冠肺炎疫情防控的难点之一．国际期刊《自然》杂志中一篇文章指出，30%～60%的新冠感染者无症状或者症状轻微，但他们传播病毒的能力并不低，这些无症状感染者可能会引起新一轮的疫情大爆发．我们把与病毒携带者有过密切接触的人群称为密切接触者．假设每名密切接触者成为无症状感染者的概率均为eq\f(1,3)，那么4名密切接触者中，至多有2人成为无症状感染者的概率为．答案eq\f(8,9)解析至多有2人成为无症状感染者包括0人成为无症状感染者，1人成为无症状感染者，2人成为无症状感染者三种情况，且每种情况间是互斥的，所以所求概率为Ceq\o\al(\s\up1(0),\s\do1(4))eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,3)))eq\s\up12(4)＋Ceq\o\al(\s\up1(1),\s\do1(4))×eq\f(1,3)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,3)))eq\s\up12(3)＋Ceq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(4))×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))eq\s\up12(2)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,3)))eq\s\up12(2)＝eq\f(16＋32＋24,81)＝eq\f(8,9).15.(2022·浙江模拟)为促进物资流通，改善出行条件，驻某县扶贫工作组引入资金新建了一条从该县到市区的快速道路．该县脱贫后，工作组为了解该快速道路的交通通行状况，调查了行经该道路的各种类别的机动车共1000辆，对行车速度进行统计后，得到如图所示的频率分布直方图：(1)试根据频率分布直方图，求样本中的这1000辆机动车的平均车速(同一组中的数据用该组区间的中点值代替)；(2)设该公路上机动车的行车速度v服从正态分布N(μ，σ2)，其中μ，σ2分别取自该调查样本中机动车的平均车速和车速的方差s2(经计算s2).①请估计该公路上10000辆机动车中车速不低于85千米/时的车辆数(精确到个位)；②现从经过该公路的机动车中随机抽取10辆，设车速低于85千米/时的车辆数为X，求X的数学期望．附：若X服从正态分布N(μ，σ2)，则P(μ－σ<X≤μ＋σ)≈6，P(μ－2σ<X≤μ＋2σ)≈4，P(μ－3σ<X≤μ＋3σ)≈4.解(1)根据频率分布直方图的平均数的计算公式，可得：eq\x\to(v)＝(45×0.01＋55×0.015＋65×0.02＋75×0.03＋85×＋95×)×10＝(千米/时).所以这1(千米/时)(2)由(1)得，该公路上机动车的行车速度v服从正态分布N(，)，可得μ，σ，①可得P(v≥85)＝P(v≥μ＋σ)＝eq\f(1－P（μ－σ≤v≤μ＋σ）,2)7，所以10000辆机动车中车速不低于85千米/时的车辆数为10000×7≈1587(辆).②由①知：车速低于85千米