湖南省怀化市丑溪口乡中学高二数学文期末试题含解析

湖南省怀化市丑溪口乡中学高二数学文期末试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.已知随机变量服从正态分布即，且，若随机变量，则（

）A．0.3413

B．0.3174

C．0.1587

D．0.1586参考答案：C2.如图，已知四边形ABCD是圆内接四边形，且∠BCD=120°，AD=2，AB=BC=1，现有以下结论：①B，D两点间的距离为；②AD是该圆的一条直径；③CD=；④四边形ABCD的面积S=．其中正确结论的个数为（）A．1 B．2 C．3 D．4参考答案：C【考点】弦切角；圆周角定理．【分析】在①中，由余弦定理求出BD=；在②中，由AB⊥BD，知AD是该圆的一条直径；在③中，推导出CD=1；在④中，由四边形是梯形，高为，求出四边形ABCD的面积S=．【解答】解：在①中，∵∠BCD=120°，∴∠A=60°，∵AD=2，AB=1，∴BD==，故①正确；在②中，∵AB⊥BD，∴AD是该圆的一条直径，故②正确；在③中，3=1+CD2﹣2CD?（﹣），∴CD2+CD﹣2=0，∴CD=1，故③不正确；在④中，由③可得四边形是梯形，高为，四边形ABCD的面积S=，故④正确．故选：C．3.函数的定义域为开区间，导函数在内的图象如图所示，则函数在开区间内极值点有（

）

A、1个

B、2个

C、3个

D、4个参考答案：C略4.f/（x）是f（x）的导函数，f/（x）的图象如右图所示，则f（x）的图象只可能是（

）

（A）

（B）

（C）

（D）参考答案：D略5.设函数f（x）在R上存在导数f′（x），?x∈R，有g（x）=f（x）﹣x2，且f′（x）＜x，若f（4﹣m）﹣f（m）≥8﹣4m，则实数m的取值范围是（）A．[﹣2，2] B．[2，+∞） C．[0，+∞） D．（﹣∞，﹣2]∪[2，+∞）参考答案：B【考点】利用导数研究函数的单调性．【分析】利用导数可得函数g（x）在R上是减函数，结合函数的单调性解不等式即可．【解答】解：g（x）=f（x）﹣x2，∴g′（x）=f′（x）﹣x＜0，∴g（x）在R递减，∴f（4﹣m）﹣f（m）=g（4﹣m）+（4﹣m）2﹣g（m）﹣m2=g（4﹣m）﹣g（m）+8﹣4m≥8﹣4m，∴g（4﹣m）≥g（m），∴4﹣m≤m，解得：m≥2，故选：B．6.设点是椭圆与抛物线的一个交点，则点到椭圆中心的距离为(

)A．

B．

C．

D．参考答案：C7.下列函数中，最小值为4的是（

）A．

B.C．

D.参考答案：C略8.如图，已知、，从点P（1，0）射出的光线经直线反向后再射到直线上，最后经直线反射后又回到点，则光线所经过的路程是

（）A． B．

C． D．参考答案：B9.已知双曲线C：的离心率为2，左右焦点分别为F1、F2，点A在双曲线C上，若的周长为10a，则面积为（）A. B. C. D.参考答案：B点在双曲线上，不妨设点在双曲线右支上，所以，又的周长为.得.解得.双曲线的离心率为，所以，得.所以.所以，所以为等腰三角形.边上的高为.的面积为.故选B.10.在同一坐标系中，方程与（）的曲线大致是（

）参考答案：A二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.已知△ABC的面积为，且b=2，c=，则

参考答案：或12.定义在R上的函数满足：，当时，，则=______。参考答案：8略13.以等腰直角三角形的一条直角边所在直线为旋转轴，将该三角形旋转一周，若等腰直角三角形的直角边长为1，则所得圆锥的侧面积等于．参考答案：【考点】旋转体（圆柱、圆锥、圆台）．【专题】数形结合；数形结合法；立体几何．【分析】圆锥的底面半径为1，高为1，母线为．【解答】解：∵等腰直角三角形的斜边长为，∴圆锥的母线l=．∵圆锥的底面半径r=1，∴圆锥的侧面积S=πrl=．故答案为．【点评】本题考查了圆锥的结构特征和侧面积计算，属于基础题．14.已知圆的圆心是双曲线的一个焦点，则此双曲线的渐近线方程为_____________.参考答案：15.若，则的最小值等于__________.参考答案：16.已知log2a＋log2b≥1，则3a＋9b的最小值为_______．参考答案：1817.已知的图象与轴没有公共点，则的取值范围是

（用区间表示）.参考答案：依题意，故的取值范围用区间表示为三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.已知椭圆C1：=1（a＞b＞0）的离心率为，其短轴的下端点在抛物线x2=4y的准线上．（Ⅰ）求椭圆C1的方程；（Ⅱ）设O为坐标原点，M是直线l：x=2上的动点，F为椭圆的右焦点，过点F作OM的垂线与以为OM直径的圆C2相交于P，Q两点，与椭圆C1相交于A，B两点，如图所示．?①若PQ=，求圆C2的方程；②?设C2与四边形OAMB的面积分别为S1，S2，若S1=λS2，求λ的取值范围．参考答案：【考点】椭圆的简单性质．【分析】（Ⅰ）由椭圆离心率为，其短轴的下端点在抛物线x2=4y的准线上，列出方程组求出a，b，由此能求出椭圆C1的方程．（Ⅱ）①设M（2，t），则C2的方程为（x﹣1）2+（y﹣）2=1+，由此利用圆的性质结合已知条件能求出圆C2的方程．②由①知PQ方程为2x+ty﹣2=0，（t≠0），代入椭圆方程得（8+t2）x2﹣16x+8﹣2t2=0，t≠0，由此利用根的判断式、韦达定理、弦长公式、分类讨论思想，能求出λ的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）∵椭圆C1：=1（a＞b＞0）的离心率为，其短轴的下端点在抛物线x2=4y的准线上，∴，解得a=，b=c=1，∴椭圆C1的方程为．（Ⅱ）①由（Ⅰ）知F（1，0），设M（2，t），则C2的圆心坐标为（1，），C2的方程为（x﹣1）2+（y﹣）2=1+，直线PQ方程为y=（x﹣1），（t≠0），即2x+ty﹣2=0，（t≠0）又圆C2的半径r==，由（）2+d2=r2，得（）2+=，解得t2=4，∴t=±2，∴圆C2的方程为：（x﹣1）2+（y﹣1）2=2或（x﹣1）2+（y+1）2=2．②由①知PQ方程为2x+ty﹣2=0，（t≠0），由，得（8+t2）x2﹣16x+8﹣2t2=0，t≠0，则△=（﹣16）2﹣4（8+t2）（8﹣2t2）=8（t4+4t2）＞0，，，|AB|===2×，∴==，S1=πr2=，∵S1=λS2，∴==，当t=0时，PQ的方程为x=1，|AB|=，|OM|=2，|OM|×|AB|=，=π，∴．∵S1=λS2，∴====＞=．当直线PQ的斜率不存在时，PQ方程为x=1，|AB|=，|OM|=2，∴S2=|OM|×|AB|=，S1==π，．综上，．19.（20分）设双曲线的左、右焦点分别为，，若的顶点P在第一象限的双曲线上移动,求的内切圆的圆心轨迹以及该内切圆在边上的切点轨迹。参考答案：解析:如图，记双曲线在轴上的两顶点为A(1,0)，B(-1,0)，G为的内切圆在边上的切点，H为的内切圆在边上的切点，K为的内切圆在边上的切点。则有

---------------------------------

5分由双曲线的定义知，G必在双曲线上，于是G与A(1,0)重合，是定点。而。根据圆外一点到该圆的两切点的距离相等，所以的内切圆在边上的切点的轨迹是以为圆心，为半径的圆弧。-------10分因为是在第一象限的曲线上移动，当沿双曲线趋于无穷时，与轴正向的交角的正切的极限是即。故点H的轨迹方程为(极坐标形式)

，

（）

---------------------------------15分也可以用直角坐标形式。

由于G与A(1,0)重合，是定点，故该内切圆圆心的轨迹是直线段，方程为

（）。

--------------------------------20分20.某名学生在连续五次考试中数学成绩与物理成绩如下：数学（）7075808590物理（）6065707580（Ⅰ）用茎叶图表示数学成绩与物理成绩;（Ⅱ）数学成绩为,物理成绩为,求变量与之间的回归直线方程.（注：，）参考答案：（Ⅰ）

数学

物理

６０５５０７０５５０８0０９

……6分（Ⅱ），，所求回归直线方程为．………12分21.如图5，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，AB=4，BC=3，AD=5，∠DAB=∠ABC=90°，E是CD的中点.（Ⅰ）证明：CD⊥平面PAE；（Ⅱ）若直线PB与平面PAE所成的角和PB与平面ABCD所成的角相等，求四棱锥P-ABCD的体积.

参考答案：如图（2），以A为坐标原点，所在直线分别为建立空间直角坐标系.设则相关的各点坐标为：（Ⅰ）易知因为所以而是平面内的两条相交直线，所以(Ⅱ)由题设和（Ⅰ）知，分别是，的法向量，而PB与所成的角和PB与所成的角相等，所以由（Ⅰ）知，由故解得.又梯形ABCD的面积为，所以四棱锥的体积为

.22.已知函数.（1）证明：函数在内存在唯一零点；（2）已知，若函数有两个相异零点，且（b为与x无关的常数），证明：.参考答案：（1）证明见解析；（2）证明见解析【分析】（1）先利用导数确定单调性，再利用零点存在定理证明结论，（2）先求，再结合恒成立转化证明，即需证，根据条件