广东省深圳市公明中学高三数学文期末试卷含解析

广东省深圳市公明中学高三数学文期末试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.已知某几何体的三视图如上图，根据图中标出的尺寸（单位：），可得这个几何体的表面积为A.

B．

C.

D．参考答案：B2.等差数列的前项的和等于前项的和，若，则（A）3

（B）7

（C）10

（D）4参考答案：C因为，所以，即，于是，可知答案选C.另解：由已知直接求出.3.设是定义在R上的偶函数，对任意，都有且当时，．若在区间内关于的方程恰有3个不同的实数根，则实数的取值范围是(

)A． B． C． D．参考答案：D略4.已知函数在点x=2处连续，则常数a的值是.

(A)5(B)4(C)3

(D)2参考答案：C略5.下列关于由最小二乘法求出的回归直线方程=2－x的说法中，不正确的是

A．变量x与y正相关

B．该回归直线必过样本点中心（）

C．当x=l时，y的预报值为l

D．当残差平方和越小时模型拟合的效果越好参考答案：A略6.已知函数满足条件，其中，则（

）A．

B．

C．

D．参考答案：考点：函数求值.7.已知为不同的直线，为不同的平面，则下列说法正确的是A.B.C.D.参考答案：【知识点】空间中直线与平面之间的位置关系．G4G5【答案解析】D

解析：A选项可能有，B选项也可能有，C选项两平面可能相交，故选D.【思路点拨】分别根据线面平行和线面垂直的性质和定义进行判断即可．8.已知抛物线的焦点为F，过点F和抛物线上一点的直线l交抛物线于另一点N，则等于（

）A.1:3 B. C. D.1:2参考答案：D【分析】求出抛物线的焦点和准线方程，设出直线l的方程，联立抛物线方程求得点N，再由抛物线的定义可得NF，MF的长，计算即可得到所求值．【详解】抛物线y2＝4x的焦点F为（1，0），则直线MF的斜率为2，则有，联立方程组，解得，由于抛物线的准线方程为x．∴由抛物线的定义可得，，∴，∴|NF|：|FM|＝1：2，故选D．【点睛】本题考查抛物线的定义、方程和性质，考查直线方程和抛物线方程联立，求解交点，考查运算能力，属于基础题．9.已知O为坐标原点，F为抛物线（）的焦点，若抛物线与直线l：在第一、四象限分别交于A、B两点，则的值等于（

）A．3

B．9

C．2p2

D．4p2参考答案：B10.根据有关资料，围棋状态空间复杂度的上限M约为3361，而可观测宇宙中普通物质的原子总数N约为1080．则下列各数中与最接近的是（参考数据：lg3≈0.48）（A）1033

（B）1053（C）1073

（D）1093参考答案：D设，两边取对数，，所以，即最接近，故选D.二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.已知平面向量满足，则的最小值是________参考答案：12.已知函数，则

。参考答案：5知识点：求函数值.解析：解：因为，所以，故，则有，而，所以5，故答案为5.思路点拨：通过已知条件找到，进而得到，再求出即可得到结果.13.设变量x，y满足约束条件，则2x+3y的最大值为．参考答案：23【考点】简单线性规划．【分析】先画出线性约束条件表示的可行域，再将目标函数赋予几何意义，最后利用数形结合即可得目标函数的最值．【解答】解：画出可行域如图阴影部分，由得A（4，5）目标函数z=2x+3y可看做斜率为﹣3的动直线，其纵截距越大z越大，由图数形结合可得当动直线过点C时，z最大=23．故答案为：2314.掷两颗均匀的骰子，则点数之和为6的概率等于______.参考答案：

15.的展开式中，的系数与的系数之和等于_____________.参考答案：16.为了了解高三学生的身体状况，抽取了部分男生的体重，将所得的数据整理后，画出了频率分布直方图（如图）。已知图中从左到右的前3个小组的频率之比为1:2:3，第2小组的频数为12，则抽取的男生人数是

。参考答案：4817.椭圆C的焦点在轴上，焦距为2，直线n:x-y-1=0与椭圆C交于A、B两点，F1是左焦点，且，则椭圆C的标准方程是

参考答案：三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.（本小题满分13分）某中学高三年级从甲、乙两个班级各选出7名学生参加数学竞赛，他们取得的成绩（满分100分）的茎叶图如图3，其中甲班学生的平均分是85，乙班学生成绩的中位数是83.（1）求和的值；（2）计算甲班7位学生成绩的方差；（3）从成绩在90分以上的学生中随机抽取两名学生，求甲班至少有一名学生的概率.参考答案：（1）..（2）40；（3）甲校至少有一名学生的概率为.（1）解：∵甲班学生的平均分是85，∴.

……………1分∴.

……………2分∵乙班学生成绩的中位数是83，∴.

……………3分（2）解：甲班7位学生成绩的方差为.

……5分（3）解：甲班成绩在90分以上的学生有两名，分别记为，

……………6分乙班成绩在90分以上的学生有三名，分别记为.

……………7分从这五名学生任意抽取两名学生共有10种情况：.

……………9分其中甲班至少有一名学生共有7种情况：.…11分记“从成绩在90分以上的学生中随机抽取两名学生，甲班至少有一名学生”为事件，则.答：从成绩在90分以上的学生中随机抽取两名学生，甲校至少有一名学生的概率为.……………12分19.如图，直三棱柱ABC一A1B1C1中，AB＝，AC＝3，BC＝，D是ACl的中点，E.是侧棱BB1上的一个动点

(I）当E是BB1的中点时，证明:DE／／平面A1B1C1

（2）在棱BB1上是否存在点E使平面AC1E⊥平面AC1C？若存在，求出的值，若不存在，说明理由参考答案：（l）见解析；（2）见解析

【知识点】用空间向量求平面间的夹角；直线与平面平行的判定．G10G11解析：（1）证明：取A1C1中点F，连接DF，DE，B1F∵D是AC1的中点，E是BB1的中点．∴DF∥AA1，B1E∥AA1，DF=AA1，B1E=AA1，∴DF∥B1E，DF=B1E，所以DE∥B1F，DE=B1F…（2分）又B1F?平面A1B1C1，所以DE∥平面A1B1C1…（4分）（2）解：分别在两底面内作BO⊥AC于O，B1O1⊥A1C1于O1，连接OO1，则OO1∥AA1，以O为原点，OB为x轴，OC为y轴，OO1为z轴建立直角坐标系，设AA1=t，BE=h，则λ=，A（0，﹣1，0），C1（0，，t），E（（1，0，h）．平面A1ACC1的法向量为=（1，0，0）…（7分）设平面AC1E的法向量为=（x，y，z）∵=（1，1，h），=（0，，h）∴由可得…（9分）取z=1得y=，x=∴…（11分）由题知，∴=0∴，∴λ==所以在BB1上存在点E，当时，二面角E﹣AC1﹣C是直二面角．…（12分）【思路点拨】（1）取A1C1中点F，连接DF，DE，B1F，利用三角形中位线的性质，可得线线平行，利用线面平行的判定，可得DE∥平面A1B1C1；（2）建立直角坐标系，求出平面A1ACC1的法向量、平面AC1E的法向量，利用数量积为0建立方程，即可求得结论．20.已知椭圆C：+=1（a＞b＞1）过点P（﹣1，﹣1），c为椭圆的半焦距，且c=b．（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；（Ⅱ）过点P作两条相互垂直的直线l1，l2与椭圆C分别交于另两点M，N，若线段MN的中点在x轴上，求此时直线MN的方程．参考答案：考点：直线与圆锥曲线的综合问题；椭圆的标准方程．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：（Ⅰ）由已知条件推导出，且c=b，由此能求出a，b，然后求解椭圆方程．（Ⅱ）设M（x1，y1），N（x2，y2），利用点差法，求出直线MN的方程．解答： 解：（Ⅰ）由c=b，可得a2=3b2，椭圆C：+=1（a＞b＞1）过点P（﹣1，﹣1），可得，解得a2=4，b2=，所以椭圆的方程为：．．…（Ⅱ）设M（x1，y1），N（x2，y2），则，两式相减得（x1+x2）（x1﹣x2）+3（y1+y2）（y1﹣y2）=0，因为线段MN的中点在x轴上，所以y1+y2=0，从而可得（x1+x2）（x1﹣x2）=0．…若x1+x2=0，则N（﹣x1，﹣y1）．因为过点P作两条相互垂直的直线l1，l2，所以PM⊥PN，所以，得x12+y12=2．又因为x12+3y12=4，所以解得x1=±1，所以M（﹣1，1），N（1，﹣1）或M（1，﹣1），N（﹣1，1）．所以直线MN的方程为y=﹣x．…若x1﹣x2=0，则N（x1，﹣y1），因为PM⊥PN，所以，得y12=（x1+1）2+1．又因为x12+3y12=4，所以解得x1=﹣或﹣1，经检验：x=﹣满足条件，x=﹣1不满足条件．综上，直线MN的方程为x+y=0或x=﹣．…．点评：本题考查椭圆方程的求法，直线与椭圆方程的综合应用，考查分析问题解决问题的能力，解题时要认真审题，注意点差法的合理运用．21.（本小题满分12分）如图所示的几何体是由以正三角形为底面的直棱柱被平面所截而得．，为的中点．（Ⅰ）当时，求平面与平面的夹角的余弦值；（Ⅱ）当为何值时，在棱上存在点，使平面？参考答案：（1）分别取、的中点、，连接、．以直线、、分别为轴、轴、轴建立如图所示的空间直角坐标系，，则、、的坐标分别为（1，0，1）、（0，，3）、（-1，0，4），

∴=（-1，，2），=（-2，0，3）设平面的法向量，由得，可取

平面的法向量可以取

∴

∴平面与平面的夹角的余弦值为．（2）在（1）的坐标系中，，=（-1，，2），=（-2，0，-1）．因在上，设，则∴于是平面的充要条件为

由此解得，

即当=2时，在上存在靠近的第一个四等分点，使平面．

22.（本题满分15分）已知抛物线的顶点为，准线为，不垂直于轴的直线与该抛物线交于两点，圆以为直径.（I）求抛物线的方程；（II）圆交轴的负半轴于点，是否存在实数，使得的内切圆的圆心在轴上？