工程力学下册动量矩定理公开课一等奖市优质课赛课获奖课件

第14章弹簧

第7章动量矩定理●

7.1质点系的动量矩定理与动量矩守恒定律

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7.1.1质点系的动量矩

●7.1.2质点系的动量矩定理

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7.1.3动量矩守恒定律

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7.1.4动量矩定理与动量矩守恒定律的应用举例●

7.2刚体的定轴转动

●7.2.1刚体对轴的转动惯量

●7.2.2定轴转动刚体的动量矩●

7.2.3定轴转动刚体运动微分方程●

7.3相对于质心的动量矩定理及刚体的平面运动微分方程

●7.3.1相对于质心的动量矩定理

●7.3.2刚体的平面运动微分方程

●7.3.3应用举例

●7.3.4结论与讨论●本章习题

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7.1.1质点系的动量矩假定质点系有n个质点,任取一固定点O.设第i个质点的质量为m,速度为v，则质点i的动量为mv,对点O的矢径为r。如图7.1所示，质点i对O点的动量矩L,定义为：则质点系对O点的动量矩L为……………(7-1)动量对于的动量矩在经过该点的任一轴上的投影等于动量对该轴的动量矩，即………(7-2)式中动量矩的单位为

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7.1质点系的动量矩定理与动量矩守恒定律●7.1.2质点系的动量矩定理已知任一质点的动量定理的微分式,在两边分别用矢径r叉乘得由于则将式(7-3)求和得(7-4)

(7-3)

由于式(7-4)为一矢量表达式，可以向任意轴进行投影，得到投影式。即质点系对某一固定点(轴)的动量矩对时间的一阶导数，等于作用在质点系上所有外力(由于内力的成对出现，因此这里不必考虑内力作用)对同一点(轴)的矩的矢量和。这就是质点系的动量矩定理。

在静力学中，已经介绍了力矩平衡的概念，作为矢量的动量矩是否也具有这样的特征呢？回答是肯定的。将动量矩定理表达式(7-4)经变换得(7-5)即质点系对某一固定点(轴)的动量矩在任一时间内的增量，等于作用在质点系上所有外力在同一时间内对同一点(轴)的冲量矩的矢量和。和动量守恒定律一样，对方程(7-4)，如果，则有也就是说，如果作用在质点系上所有外力对某一固定点(轴)的力矩平衡，则质点系对该点(轴)的动量矩保持不变。这就是质点系的动量矩守恒定律。●

7.1.3动量矩守恒定律【例7.1】如图7.2所示，试用动量矩定理导出单摆(数学摆)的运动微分方程。解：把单摆看成一个在圆弧上运动的质点A，设其质量为m，摆线长l。又设在任一瞬时质点A具有速度v，摆线OA与铅垂线的夹角是。通过悬点O而垂直于运动平面的固定轴z作为矩轴，对此轴应用动量矩定理有由于动量矩和力矩分别为从而可得化简即得单摆的运动微分方程

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7.1.4动量矩定理与动量矩守恒定律的应用举例【例7.2】如图7.3所示，无外力矩作用的半径为R，质量为m0的圆柱形自旋卫星绕对称轴旋转，质量均为m的两个质点沿径向对称地向外伸展，与旋转轴的距离x不断增大。连系卫星与质点的变长度杆的质量不计，设质点自卫星表面出发时卫星的初始角速度为。试计算卫星自旋角速度的变化规律。解：卫星系统对旋转轴的动量矩L为

令，为动量矩的初始值。由于卫星系统不受外力矩作用，根据动量矩守恒定律得

解得

由上面结果可以看出，自旋卫星的角速度随着质点的向外移动而不断降低

刚体的转动惯量是刚体转动惯性的量度，它等于刚体内各质点的质量与质点到定轴z的垂直距离平方的乘积之和，转动惯量用字母J表示即

由式(7-6)可以看出，转动惯量的国际单位制中的单位为；刚体转动惯量的大小不仅与其质量的大小有关，而且与刚体内质量的分布情况有关。

在工程中，往往要根据工程实际需要确定某个工件或零件的转动惯量，如蛤蟆夯、冲床、粉碎机械和手机振动等装置的偏心轮。只有了解了这些装置的转动惯量，才能对这一工作机械有更进一步的了解和把握。由此可见，如何测定刚体的转动惯量就是一件非常重要的工作。在工程实际当中，一般采用计算方法和实验的方法确定刚体对轴的转动惯量。●

7.2刚体的定轴转动●7.2.1刚体对轴的转动惯量

(7-6)（1）如图7.4所示，均质细直杆对z轴的转动惯量。设杆长为l，质量为m，取杆上一微段，则此杆对z轴的转动惯量为

(2)如图7.5所示，均质细圆环对过圆心z轴的转动惯量。设圆环半径为R，质量为m，由于圆环到其中心轴的距离都等于半径R，所以圆环对于中心轴z的转动惯量为

1.简单形状刚体转动惯量的计算(3)如图7.6所示，均质薄圆盘对过圆心z轴的转动惯量。设薄圆盘半径为R，质量为m，如图所示将薄圆盘分为无数同心的圆环，则薄圆盘对中心轴z的转动惯量为

仔细观察物体的转动惯量可以看出，对于均质物体，其转动惯量与质量m的比值仅与物体的几何形状和尺寸有关，如均质细直杆、细圆环、薄圆盘的比值分别为由此可见，质量均匀几何形状相同而材料不同的物体，其转动惯量与质量m的比值是相同的。令(7-7)

式中，称为定轴转动刚体的回转半径(或惯性半径)。将式(7-7)经变换得(7-8)即物体的转动惯量等于该物体的质量与惯性半径平方的乘积。在表7-1中，已将简单几何形状的物体的转动惯量和惯性半径给出，以供查询2.定轴转动刚体的回转半径(或惯性半径)

表7-1常见均质物体的转动惯量和惯性半径

定理刚体对于任一轴z的转动惯量，等于刚体对于通过质心并与该轴平行的轴的转动惯量，加上刚体的质量m与两轴之间距离d平方的乘积，即

3.平行轴定理(7-9)

由质点系动量矩公式,对定轴转动刚体有，那么定轴转动刚体的动量矩为

即定轴转动刚体的动量矩等于刚体对定轴的转动惯量与其转动角速度的乘积●7.2.2定轴转动刚体的动量矩

下面介绍质点系动量矩定理应用于绕定轴转动刚体的情形。如图7.7所示，设刚体上作用有主动力系，,…，和约束反力FN1，FN2。已知刚体对z轴的转动惯量为，转动角速度为，则刚体对z轴的动量矩为。若不计轴承的摩擦，而又轴承的约束反力FN1、FN2对z轴的力矩为零根据质点系对轴的动量矩定理有即由于，则式(7-11)也可写为或式(7-12)称为绕定轴转动刚体的运动微分方程，即刚体对定轴的转动惯量与角加速度的乘积，等于作用在刚体上的主动力对该轴矩的代数和。

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7.2.3定轴转动刚体运动微分方程(7-12)由刚体绕定轴的运动微分方程可知：(1)如果作用在刚体上的主动力系对转动轴矩的代数和为零，则刚体作匀速转动。(2)如果作用在刚体上的主动力系对转动轴矩的代数和为一恒量，则刚体作匀加速转动。(3)在某一时刻，刚体的转动惯量越大，转动的角加速度越小，反之，其转动惯量越小，转动的角加速度越大。这就是说，刚体转动惯量的大小表现了使刚体转动状态改变的难易程度。因此，转动惯量是刚体转动惯性的量度。【例7.3】

如图7.8所示，已知滑轮半径为R，转动惯量为J，带动滑轮的皮带拉力为F1和F2。求滑轮的角加速度解：根据刚体绕定轴的转动微分方程有

于是得又此可见，只有当定滑轮为匀速转动(包括静止)或虽非匀速转动，但可忽略滑轮的转动惯量时，跨过定滑轮的皮带拉力才是相等的。

【例7.4】

如图7.9所示，两鼓轮固连在一起，其总质量是m，对水平转轴O的转动惯量是JO；鼓轮的半径分别为r1和r2。绳端悬挂的重物A和B质量分别是m1和m2，且m1>m2，绳的质量不计。试求鼓轮的角加速度。

解：取鼓轮、重物A、B为研究对象。对鼓轮的转轴z(垂直于图面，指向读者)应用动量矩定理，

有……①系统的动量矩由三部分组成，等于考虑到，则得…②外力主矩仅由重力m1g和m2g产生，有…③

将表达式②和③代入方程①，即得从而求出鼓轮的角加速度方向为逆时针方向。【例7.5】

如图7.10(a)所示，质量为m半径为r的滑轮(可视作均质圆盘)上绕有软绳，将绳的一端固定于点A而令滑轮自由下落。不计绳子的质量，求轮心C的加速度和绳子的拉力。

解：如图7.10(b)所示，取滑轮和软绳组成的系统为研究对象，画出受力图。滑轮的运动可看作沿过点A的铅垂线向下做纯滚动，滚动角速度，滚动角加速度。应用质心运动定理沿铅垂轴的投影，得………①在列写第二个方程时，可以任意选用以下方法中的一种：(1)对固定轴Az的动量矩定理

将代入上式得

再代入式①解得

(2)对平移轴Cz的动量矩定理

即……②联立求解式①，式②，得到

前面介绍了动量矩定理应用于相对于惯性参考系的为固定点或轴，而对于一般的动点或动轴，运用动量矩定理处理则十分的复杂。然而，相对于质点系的质心或通过质心的动轴，动量矩定理则仍然保持着简单的形式。如图7.11所示，质点系的质心为C，O为一固定点，则质点系对于定点O的动量矩为对于任一质点，由图可以看出则有显然于是得(7-13)●

7.3相对于质心的动量矩定理及刚体的平面运动微分方程●7.3.1相对于质心的动量矩定理

式(7-13)表明，质点系对于任一点的动量矩等于质点系动量对该点的动量矩再加上质点系相对于质心的动量矩L。将式(7-13)两边对时间t求导得(7-14)将式(7-14)右边展开化简得由于于是(7-15)式(7-15)表明：①质点系相对于质心的动量矩对时间的一阶导数，等于作用于质点系的外力(在此内力不起作用)对质心的主矩，这就是质点系相对于质心的动量矩定理；②该定理在形式上与质点系相对于固定点的动量矩定理完全一样；③质点系相对于质心的动量矩定理，对于质心静止或运动情形都适用。

由刚体的运动学可知，要确定平面运动刚体的位置，可用一基点和绕基点的转动角度来确定。即刚体的平面运动可以分解为随质心的平动和绕质心的转动。刚体对质心的动量矩为式中，为刚体对通过质心且与运动平面垂直的轴的转动惯量；为刚体转动的角速度。由质心运动定理和相对于质心的动量矩定理

式中，m为刚体的质量；为质心的加速度，为刚体的角加速度。

●7.3.2刚体的平面运动微分方程

(7-16)则式(7-16)又可写为…………(7-17)式(7-17)称为刚体平面运动微分方程。应用时通常取的投影式。【例7.6】

如图7.12所示，长度为l，质量为m1的均质杆OA与半径为R，质量为m2的均质圆盘B在A处铰接，铰链O，A均光滑。初始时，杆OA有偏角θ0，轮B有角速度(逆时针向)。求系统在重力作用下的运动方程。解：(1)考虑圆盘B，根据对质心的动量矩定理(2)考虑杆轮系统，应用对固定点O的动量矩定理，计算轮B动量矩时使用式得

●7.3.3应用举例对上式积分代入积分常数得，微幅振动时的运动规律为(3)运动特性：圆盘的转动不影响系统的摆动，而系统的摆动也不影响圆盘的转动。【例7.7】

如图7.13(a)所示，匀质半圆柱体的质心C与圆心O1的距离为e，柱体的半径为R，质量为m，它可在固定平面上做无滑动滚动。求偏离平衡位置后，柱体的运动微分方程和微小摆动的周期。解：如图7.13(b)所示，选取柱体平衡位置与地面的接触点O为原点，作定坐标系Oxy，柱体偏离平衡位置滚过角后，质心C的坐标为

对t求二阶导数得受力如图7.13(a)所示。注意静滑动摩擦力F的方向与A点的滑动趋势相反，大小应满足物理条件圆柱体的平面运动微分方程为

令，是柱体对质心C的回转半径。这是一组非线性微分方程。如仅研究微小摆动，如很小，则,。又、、均为一阶微量，略去二阶以上微量，故可将上面微分方程组线性化为……①……②…………③由式①，式②求出F，FN后代入式③得此处，这是线性系统自由振动微分方程。振动周期为应用动量矩定理时要注意以下几点：(1)动量矩定理主要应用于分析具有转动系统的动力学问题。(2)一般情形下，应该以定点、定轴或质心(平移系)为矩心，或取矩轴；对于加速度指向质心的速度瞬心，对质心(平移系)动量矩定理与对定点的动量矩定理形式相同。(3)对于定轴问题，系统各部分对定轴的角速度必须是同一惯性参考系中的角速度，也就是绝对角速度。(4)计算动量矩以及外力矩时，都要采用相同的正负号规则——右手定则。●7.3.4结论与讨论7-1某质点系对空间任一固定点的动量矩都完全相同，且不等于零，这种运动情况可能吗？7-2

平面运动刚体，若所受外力主矢为零，刚体只能是绕质心转动吗？如所受外力对质心的主矩为零，刚体只能是平动吗？7-3试求如图7.14所示各均质物体的对转轴的动量矩，设各物质量均为m。7-4如图7.15所示，一根不能伸长质量不计的绳子绕过质量不计的定滑轮，绳的一端悬挂物块，另一端有一个与物块质量一样的人，从静止开始沿绳子往上爬，不计摩擦力。试问物块动还是不动？为什么？

思考题7-5如图7.16所示，一绳子绕过定滑轮挂一重物P，轮子的角加速度为，若用一大小等于重物P的力F代替重物在绳子的一端。轮子的角加速度还为吗？为什么？7-6花样滑冰运动员，为什么在做高速旋转时，将身体缩成一团，而当要停下来时则将身体打开？十米跳台跳水运动员，刚离开跳台时，将身体团起来，而当要接触水面时，则要将身体打开，这又是为什么？7-7一均质圆盘，沿水平面只滚不滑，若在圆盘面内作用一力。试问力如何作用能使地面摩擦力等于零？在什么情况下，地面摩擦力的方向能与作用力相反？习题7-1质量为m的质点在平面Oxy内运动，其运动方程为

其中a、b和为常量。求质点对原点O的动量矩。7-2如图7.17所示，质量为m，长为l的均质细杆AB，绕Oz匀角速度转动。杆与轴的夹角为，求当杆运动到Oyz平面内时，对轴x、y、z及O点的动量矩。7-3

质量为m的足球在空气中飞行，其旋转的角速度与受到的阻力矩M之间的关系满足方程，R为足球半径，k为常数。若足球的初始角速度为，求经多长时间足球角速度减半。7-4

如图7.18所示，小球A，质量为m，连接在长为l的无重杆AB上，放在盛有液体的容器中。杆以初角速度绕O1O2轴转动，小球受到与速度相反方向的阻力，k为比例常数。求经过多长时间角速度减为一半？7-5

如图7.19所示，质量不计的杆OA以角速度绕O轴转动，均质圆盘质量m=25kg，半径为R=200mm。求在以下情况下圆盘对O轴的动量矩：(1)圆盘与杆固接在一起；(2)圆盘与杆铰接，且圆盘相对于杆以角速度逆时针转动；(3)圆盘与杆铰接，且圆盘相对于杆以角速度顺时针转动。7-6如图7.20所示，质量为m、半径为R的偏心轮在水平面上滚动，轮子对轴心A的转动惯量为JA，质心为C，AC=e，A、B、C在一铅直线上。(1)当轮子纯滚动时，若已知，求轮子对B点的动量矩。(2)当轮子又滚又滑时，若已知，求轮子对B点的动量矩。

7-7

如图7.21所示，已知电机产生的转矩MO与其角速度的关系为MO=MO1(1/)，其中MO1表示电机的启动转矩，表示电机无负载时的空转角速度，且MO1和都是已知常量。又作用在飞轮上的阻力矩MF可以认为不变。电机轴连同其上的飞轮对轴O的转动惯量是JO。试求当MO>MF时电机启动后角速度随时间t而变化的规律。7-8如图7.22所示，小球A，B以细绳相连。质量皆为m，其余构件质量不计。忽略摩擦，系统绕z轴自由转动，初始时系统的角速度为。当细绳拉断后，求各杆与铅垂线成角时系统的角速度。

7-9

如图7.23所示，传动轴Ⅰ和Ⅱ的转动惯量分别为J1和J2，传动比，R1，R2分别为轮Ⅰ，Ⅱ的半径。今在轴Ⅰ上作用主动力矩M1，轴Ⅱ上有阻力力矩M2，转向如图所示。设各处摩擦忽略不计，求轴Ⅰ的角加速度。7-10如图7.24所示，匀质细杆AB的质量为m，长度2l，放在铅直面内，两端分别沿光滑的铅直墙壁和光滑的水平地面滑动。假设杆的初位置与墙成交角，初角速度等于零；试求杆沿铅直墙壁下滑时的角速度和角加速度以及杆开始脱离墙壁时它与墙壁所成的角度1。

7-11

如图7.25所示，高炉上运送矿料的卷扬机。半径为R的卷筒可绕水平轴O转动，它关于转轴O的转动惯量为J。沿倾角为的斜轨被提升的重物A重W。作用在卷筒上主动转矩为M。设绳重和摩擦均可不计。试求重物的加速度。7-12如图7.26所示，均质圆盘，质量为m，半径为R，不计轴承摩擦，图示位置时，OB处于水平。现将绳子BD突然切断，求：该瞬间轴承O处的反力。

7-13

如图7.27所示系统。均质圆轮为A，质量为m1，半径为r1，以角速度绕轴A转动；均质圆轮为B，质量为m2，半径为r2，绕轴B转动。初始静止；现将轮A放置在轮B上，问自A轮放在B轮上到两轮间无相对滑动为止，需用多少时间。设两轮间的摩擦因数为，略去轴承摩擦和杆OA的质量