浙江省宁波市姜山镇实验中学高三数学文月考试卷含解析

浙江省宁波市姜山镇实验中学高三数学文月考试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.已知是三次函数的两个极值点，且,则的取值范围是

（）

A.

B.

C.

D.参考答案：A2.函数的一个单调递减区间为(

)A．

B．

C．

D．参考答案：B略3.已知为的重心，设，则＝（

）

A．

B．

C．

D．参考答案：C4.函数的零点所在的一个区间是（

）A．

B．

C．

D．参考答案：BB

因为，，所以的零点在区间上.5.已知向量=，=，若⊥，则||=（

）A．

B．

C．

D．

参考答案：B6.已知数列是1为首项、2为公差的等差数列，{bn}是1为首项、2为公比的等比数列．设，Tn=c1+c2+…+cn（n∈N*），则当Tn＞2013时，n的最小值是（）A．7B．9C．10D．11参考答案：C7.在△ABC中，角A、B均为锐角，则cosA＞sinB是△ABC为钝角三角形的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件参考答案：C【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】利用诱导公式cos（﹣α）=sinα及余弦函数的单调性和充要条件的定义可得答案．【解答】解：因为cosA＜sinB，所以cosA＞cos（﹣B），又因为角A，B均为锐角，所以﹣B为锐角，又因为余弦函数在（0，π）上单调递减，所以A＜﹣B，所以A+B＜△ABC中，A+B+C=π，所以C＞，所以△ABC为钝角三角形，若△ABC为钝角三角形，角A、B均为锐角所以C＞，所以A+B＜所以A＜﹣B，所以cosA＞cos（﹣B），即cosA＞sinB故cosA＞sinB是△ABC为钝角三角形的充要条件．故选：C【点评】本题考查诱导公式及正弦函数的单调性及三角形的基本知识，以及充要条件的定义，属中档题．8.若正数m，n满足m+n+3=mn，不等式（m+n）x2+2x+mn﹣13≥0恒成立，则实数x的取值范围是（）A． B．C． D．参考答案：A【考点】函数恒成立问题．【分析】令m+n=a，则mn=a+3，即m、n是方程x2﹣ax+a+3=0的两个正实根，解得a的范围，不等式（m+n）x2+2x+mn﹣13≥0恒成立?不等式ax2+2x+a﹣10≥0在a≥6时恒成立．即函数f（a）=a（x2+1）+2x﹣10≥0在a∈[6，+∞）恒成立．【解答】解：令m+n=a，则mn=a+3，故m、n是方程x2﹣ax+a+3=0的两个正实根，∴，解得a≥6，不等式（m+n）x2+2x+mn﹣13≥0恒成立?不等式ax2+2x+a﹣10≥0在a≥6时恒成立．即函数f（a）=a（x2+1）+2x﹣10≥0在a∈[6，+∞）恒成立．f（6）=6（x2+1）+2x﹣10≥0?x≥或x≤﹣1．故选：A．9.已知a，b是实数，则“”是“log3a＞log3b”的（）A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件参考答案：B【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断；对数函数的单调性与特殊点．【分析】根据指数函数和对数函数的单调性，利用充分条件和必要条件的定义进行判断．【解答】解：若“”，则a＞b，若“log3a＞log3b”，则a＞b＞0．所以“”是“log3a＞log3b”的必要不充分条件．故选B．10.已知函数y＝f（x），满足y＝f（－x）和y＝f（x＋2）是偶函数，且f（1）＝，设F（x）＝f（x）＋f（－x），则F（3）＝A．

B．

C．π

D．参考答案：B由y＝f（－x）和y＝f（x＋2）是偶函数知：f（﹣x）=f（x），f（x+2）=f（﹣x+2）=f（x﹣2），故f（x）=f（x+4），则F（3）=f（3）+f（﹣3）=2f（3）=2f（﹣1）=2f（1）=，故选：B．

二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.如图，是⊙的直径，是⊙的切线，与的延长线交于点，为切点．若，，则的长为

.参考答案：略12.已知()9的开展式中x3的系数为，则常数a为

。参考答案：413.公元前6世纪，古希腊的毕达哥拉斯学派通过研究正五边形和正十边形的作图，发现了黄金分割值约为0.618，这一数值也可以表示为.若，则_________.参考答案：【分析】利用同角的基本关系式，可得，代入所求，结合辅助角公式，即可求解。【详解】因为，，所以，所以，故答案为【点睛】本题考查同角三角函数的基本关系式，辅助角公式，考查计算化简的能力，属基础题14.已知等差数列的公差，且，，成等比数列，若，为数列的前项和，则的最小值为____________．参考答案：4依题意可得，当且仅当，等号成立.15.若关于x，y的方程组无解，则a=

．参考答案：1【考点】II：直线的一般式方程与直线的平行关系．【分析】根据题意，分析可得：若方程组无解，则直线ax+y=1与直线x+y=2平行，由直线平行的判定方法分析可得=≠，解可得a的值，即可得答案．【解答】解：根据题意，关于x，y的方程组无解，则直线ax+y=1与直线x+y=2平行，则有=≠，解可得a=1，故答案为：1．16.定义在R上的函数f（x）满足：f′（x）＞1﹣f（x），f（0）=6，f′（x）是f（x）的导函数，则不等式exf（x）＞ex+5（其中e为自然对数的底数）的解集为

．参考答案：（0，+∞）【考点】导数的乘法与除法法则．【专题】函数的性质及应用．【分析】构造函数g（x）=exf（x）﹣ex，（x∈R），研究g（x）的单调性，结合原函数的性质和函数值，即可求解【解答】解：设g（x）=exf（x）﹣ex，（x∈R），则g′（x）=exf（x）+exf′（x）﹣ex=ex[f（x）+f′（x）﹣1]，∵f'（x）＞1﹣f（x），∴f（x）+f′（x）﹣1＞0，∴g′（x）＞0，∴y=g（x）在定义域上单调递增，∵exf（x）＞ex+5，∴g（x）＞5，又∵g（0）=e0f（0）﹣e0=6﹣1=5，∴g（x）＞g（0），∴x＞0，∴不等式的解集为（0，+∞）故答案为：（0，+∞）．【点评】本题考查函数的导数与单调性的结合，结合已知条件构造函数，然后用导数判断函数的单调性是解题的关键．17.已知向量与向量的夹角为，若且，则在上的投影为

参考答案：因为向量与向量的夹角为，所以在上的投影为，问题转化为求，因为故所以在上的投影为.三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.（14分）已知向量=（cosα，﹣1），=（2，sinα），其中α∈(0，)，且⊥．（1）求cos2α的值；（2）若sin（α﹣β）=，且β∈(0，)，求角β．参考答案：【考点】数量积判断两个平面向量的垂直关系．【分析】（1）由已知得=2cosα﹣sinα=0，从而sin2α+cos2α=5cos2α=1，进而cos2α=，由此能求出cos2α．（2）由cos2α=，，得cosα=，sinα==，由sin（α﹣β）=，且，得sinβ=2cos，由此能求出β的值．【解答】解：（1）∵向量=（cosα，﹣1），=（2，sinα），其中，且．∴=2cosα﹣sinα=0，∴sin2α+cos2α=5cos2α=1，∴cos2α=，∴cos2α=2cos2α﹣1=﹣．（2）∵cos2α=，，∴cosα=，sinα==，∵sin（α﹣β）=，且，∴sinαcosβ﹣cosαsinβ=，∴2cosβ﹣sinβ=，∴sinβ=2cos，∴sin2β+cos2β=5cos2β﹣2﹣=0，解得cosβ=或cosβ=﹣（舍），∵，∴β=．【点评】本题考查角的余弦值的求法，考查角的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意三角函数性质的合理运用．19.在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，向量，向量，且；（Ⅰ）求角B的大小；（Ⅱ）设BC中点为D，且AD=；求a+2c的最大值及此时△ABC的面积．参考答案：考点：正弦定理．专题：解三角形．分析：（Ⅰ）由条件利用两个向量共线的性质、正弦定理、余弦定理可得cosB的值，从而求得B的值．（Ⅱ）设∠BAD=θ，则在△BAD中，可知，利用正弦定理求得BD、AB的值，可得a+2c的值，再利用正弦函数的定义域和值域求得a+2c的最大值及此时△ABC的面积．解答： 解：（Ⅰ）因为，故有（a+b）（sinA+sinB）﹣c（sinA﹣sinC）=0，由正弦定理可得（a﹣b）（a+b）﹣c（a﹣c）=0，即a2+c2﹣b2=ac，由余弦定理可知，因为B∈（0，π），所以．（Ⅱ）设∠BAD=θ，则在△BAD中，由可知，由正弦定理及有，所以，所以，从而，由可知，所以当，即时，a+2c的最大值为，此时，所以S=ac?sinB=．点评：本题主要考查两个向量共线的性质，正弦定理和余弦定理的应用，正弦函数的定义域和值域，属于中档题．20.（1）已知，证明：；（2）若对任意实数，不等式恒成立，求实数a的取值范围.参考答案：（1）证明：因为，所以.所以要证明，即证明.因为，所以.因为，所以.所以.（2）设.则“对任意实数，不等式恒成立”等价于“”.当时，，此时，要使恒成立，必须，解得.当时，不可能恒成立.当时，，此时，要使恒成立，必须，解得.综上可知，实数的取值为.21.如图1，⊙O的直径AB=4，点C、D为⊙O上两点，且∠CAB=45°，∠DAB=60°，F为的中点．沿直径AB折起，使两个半圆所在平面互相垂直（如图2）．（1）求证：OF∥平面ACD；（2）求二面角C﹣AD﹣B的余弦值；（3）在上是否存在点G，使得FG∥平面ACD？若存在，试指出点G的位置，并求直线AG与平面ACD所成角的正弦值；若不存在，请说明理由．参考答案：考点：用空间向量求平面间的夹角；直线与平面平行的判定；二面角的平面角及求法．.专题：空间角．分析：（1）以O为坐标原点，以AB所在直线为y轴，以OC所在直线为z轴建立空间直角坐标系，求出向量与的坐标，利用向量共线的坐标表示求证OF∥AC，从而说明线面平行；（2）根据，∠DAB=60°求出D点坐标，然后求出平面ACD的一个法向量，找出平面ADB的一个法向量，利用两平面法向量所成角的余弦值求解二面角C﹣AD﹣B的余弦值；（3）假设在上存在点G，使得FG∥平面ACD，根据（1）中的结论，利用两面平行的判定定理得到平面OFG∥平面ACD，从而得到OG∥AD，利用共线向量基本定理得到G的坐标（含有参数），然后由向量的模等于圆的半径求出G点坐标，最后利用向量与平面ACD的法向量所成角的关系求直线AG与平面ACD所成角的正弦值．解答：（1）证明：如图，因为∠CAB=45°，连结OC，则OC⊥AB．以AB所在的直线为y轴，以OC所在的直线为z轴，以O为原点，作空间直角坐标系O﹣xyz，则A（0，﹣2，0），C（0，0，2）．，∵点F为的中点，∴点F的坐标为，．∴，即OF∥AC．∵OF?平面ACD，AC?平面ACD，∴OF∥平面ACD．（2）解：∵∠DAB=60°，∴点D的坐标，．设二面角C﹣AD﹣B的大小为θ，为平面ACD的一个法向量．由有即取x=1，解得，．∴=．取平面ADB的一个法向量=（0，0，1），∴．（3）设在上存在点G，使得FG∥平面ACD，∵OF∥平面ACD，∴平面OFG∥平面ACD，则有OG∥AD．设，∵，∴．又∵，∴，解得λ=±1（舍去﹣1）．∴，则G为的中点．因此，在上存在点G，使得FG∥平面ACD，且点G为的中点．设直线AG与平面ACD所成角为α，∵，根据（2）的计算为平面ACD的一个法向量，∴．因此，直线AG与平面ACD所成角的正弦值为．点评：本题主要考查空间点、线、面位置关系，线面角、二面角及三