河北省石家庄市鹿泉第三中学2021年高三数学文测试题含解析

河北省石家庄市鹿泉第三中学2021年高三数学文测试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.如图，正六边形ABCDEF的边长为1，则=(A)

-3 (B)(C)

3 (D)参考答案：【知识点】向量的数量积.

F3【答案解析】A解析：因为,所以,故选A.【思路点拨】利用向量加法的三角形法则，将数量积中的向量表示为夹角、模都易求的向量的数量积.2.设函数的定义域为R，若存在常数对一切实数均成立，则称为“条件约束函数”．现给出下列函数：①；②；③；④是定义在实数集R上的奇函数，且对一切均有．其中是“条件约束函数”的有 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个参考答案：C3.函数的零点所在区间是A． B． C． D．参考答案：C若，则，得，令，可得，因此f(x)零点所在的区间是.4.在直角三角形中，，，点是斜边上的一个三等分点，则A．0 B．

C．

D．4参考答案：D5.复数满足,其中为虚数单位,则在复平面上复数对应的点位（

）第一象限

第二象限

第三象限

第四象限参考答案：D6.已知实数，则“”是“”的（

）

A．充分不必要条件

B．必要不充分条件

C．充要条件

D．既不充分也不必要条件参考答案：D试题分析：当时，，故若，则不成立；若，则不成立；故“”是“”的既不充分也不必要条件，故选项为D.考点：充分，必要条件的判定.7.在△ABC中，“”是“△ABC为直角三角形”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件参考答案：A【考点】充要条件．【专题】简易逻辑．【分析】“”?A=90°?“△ABC为直角三角形”，反之不成立，可能为B或C=90°．即可判断出．【解答】解：“”?A=90°?“△ABC为直角三角形”，反之不成立，可能为B或C=90°．因此“”是“△ABC为直角三角形”的充分不必要条件．故选：A．【点评】本题考查了充要条件的判定方法，考查了推理能力，属于基础题．8.设a＞0，集合A={（x，y）|}，B={（x，y）|}．若点P（x，y）∈A是点P（x，y）∈B的必要不充分条件，则a的取值范围是

参考答案：0＜a≤略9.函数y=2x2–e|x|在[–2,2]的图像大致为（A）（B）（C）（D）参考答案：D试题分析：函数f(x)=2x2–e|x|在[–2,2]上是偶函数，其图象关于y轴对称，因为，所以排除AB选项；当时，有一零点，设为，当时，为减函数，当时，为增函数．故选D.10.设P为椭圆上的一点，是该双曲线的两个焦点，若则的面积为(

)A.2

B.3

C.4

D.5

参考答案：C略二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.已知数列满足，若对所有不等式恒成立，则实数的取值范围是_________。

参考答案：略12.函数的图象如右图所示，则的表达式是

.

参考答案：13.求值：___________．参考答案：略14.若函数f（x）＝x3－3bx＋b在区间（0，1）内有极小值，则b应满足的条件是

；参考答案：b∈(0,1)或0<b<115.设向量，满足，，且，则向量在向量方向上的投影为

.参考答案：－1由于，所以，即，，所以向量在向量方向上的投影为.

16.已知复数z满足z（1+i）=2﹣4i，那么z=．参考答案：﹣1﹣3i【考点】复数代数形式的乘除运算．【专题】计算题；方程思想；数学模型法；数系的扩充和复数．【分析】把已知的等式变形，然后利用复数代数形式的乘除运算化简得答案．【解答】解：由z（1+i）=2﹣4i，得．故答案为：﹣1﹣3i．【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算，是基础的计算题．17.若双曲线C：mx2﹣y2=1（m为常数）的一条渐近线与直线l：y=﹣3x﹣1垂直，则双曲线C的焦距为 ．参考答案：考点：双曲线的简单性质．专题：计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：运用两直线垂直的条件，即斜率之积为﹣1，求得渐近线的斜率，求出双曲线的渐近线方程，得到m的方程，解得m，再求c，即可得到焦距．解答： 解：由于双曲线的一条渐近线与直线l：y=﹣3x﹣1垂直，则该条渐近线的斜率为，双曲线C：mx2﹣y2=1的渐近线方程为y=x，则有=，即有m=．即双曲线方程为﹣y2=1．则c=，即有焦距为2．故答案为：2．点评：本题考查双曲线的方程和性质，主要是渐近线，考查两直线垂直的条件，考查运算能力，属于基础题．三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.（本小题满分12分）已知正项数列的首项，前项和满足．（1）求证：为等差数列，并求数列的通项公式；（2）记数列的前项和为，若对任意的，不等式恒成立，求实数的取值范围．参考答案：（1）;（2）或.【知识点】等差数列与等比数列的综合；等差关系的确定．D2D3解析：（1）当时，，，即，所以数列是首项为1，公差为1的等差数列，故，故（），当时也成立；因此 ………6分（2），，又，，解得或，即所求实数的取值范围为或． ………12分【思路点拨】（1）由已知可得，，结合等差数列的通项公式可求sn，进而可求an（2）由，利用裂项求和可求Tn，求出Tn的范围可求a的范围.19.已知函数.(a是常数，且)(I)求函数f(x)的单调区间;(Ⅱ)当在处取得极值时，若关于x的方程在上恰有两个不相等的实数根，求实数b的取值范围.（Ⅲ）求证:当时参考答案：解:(I)由已知比函数的定义域为,由得，由,得所以函数的减区间为，增区间为.(II)由题意，得,∴由(I)知,∴,即,∴,设则当变化时，的变化情况如下表:120-0+

↘↗∵方程在上恰有两个不相等的实数根，∴，∴∴即（Ⅲ）由（Ⅰ）和（Ⅱ）可知当时，即，∴当时，，令时，即∴.

20.等比数列{an}的各项均为正数，且a1+2a2=1，a32=4a2a6．（1）求数列{an}的通项公式；（2）设bn+2=3log2，求数列{anbn}的前n项和．参考答案：【考点】数列的求和；数列递推式．【分析】（1）设数列{an}的公比为q，通过解方程组可求得a1与q，从而可求数列{an}的通项公式；（2）利用错位相减法可求得数列{an?bn}的前n项和Sn．【解答】解：（1）由a32=4a2a6得：a32=4a42∴q2=

即q=又由a1+2a2=1得：a1=∴an=（）n…（2）∵bn+2=3log2∴bn+2=3log22n∴bn=3n﹣2∴cn=（3n﹣2）?（）n∴Sn=1×+4×（）2+7×（）3+…+（3n﹣5）?（）n﹣1+（3n﹣2）?（）n

…①Sn=1×（）2+4×（）3+7×（）4+…+（3n﹣5）?（）n+（3n﹣2）?（）n+1…②①﹣②得：Sn=1×+3（（）2+（）3+…+（）n）﹣（3n﹣2）?（）n+1=1×+3×﹣（3n﹣2）?（）n+1=+3×（1﹣（）n﹣1）﹣（3n﹣2）?（）n+1Sn=1+3﹣3×（）n﹣1﹣（3n﹣2）?（）n=4﹣（）n（6+3n﹣2）=4﹣（）n（3n+4）即：Sn=4﹣…21.（本小题满分14分）已知函数满足，对任意都有，且．（1）求函数的解析式；（2）是否存在实数，使函数在上为减函数？若存在，求出实数的取值范围；若不存在，说明理由．参考答案：（1）由及∴………………1分又对任意，有∴图像的对称轴为直线，则，∴

………………3分又对任意都有，即对任意成立，∴，故

………………6分∴

………………7分（2）由（1）知，其定义域为……………8分令要使函数在上为减函数，只需函数在上为增函数，

………………11分由指数函数的单调性，有，解得

………………13分故存在实数，当时，函数在上为减函数………………14分22.已知函数是奇函数，定义域为区间D(使表达式有意义的实数x的集合)．(1)求实数m的值，并写出区间D；(2)若底数，试判断函数在定义域D内的单调性，并证明；(3)当(，a是底数)时，函数值组成的集合为，求实数的值．参考答案：解

(1)

∵是奇函数，∴对任意，有，即．化简此式，得．恒成立，必有，解得．