北京丰台区南顶中学2021年高二数学理联考试卷含解析

北京丰台区南顶中学2021年高二数学理联考试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.用数学归纳法证明“时，从“到”时，左边应增添的式子是

（

）A.

B.

C.

D.参考答案：C2.如图，在正三棱柱ABC-A1B1C1中，AB=1．若二面角C-AB-C1的大小为60°，则点C到平面ABC1的距离为（

）．A． B． C．1 D．参考答案：B点到平面的距离为，∵，，∵，即，∴．故选．3.将边长为的正方形ABCD沿对角线AC折成一个直二面角B-AC-D.则四面体ABCD的外接球的体积为(

)A.

B.

C.

D.参考答案：D4.已知：方程的一根在上，另一根在上，则的取值范围是（

）A、

B、

C、

D、参考答案：D提示：，由题得，，转化为线性规划问题。5.已知是定义在上的偶函数，且，则为上的增函数是为上是减函数的（）A.既不充分也不必要条件

B.充分不必要条件

C.必要不充分条件

D.充要条件参考答案：D6.如图是函数的大致图象，则等于(

)A

B

C

D参考答案：D略7.已知圆C的圆心与点关于直线对称、直线与圆C相交于两点，且，则圆C的方程为(

)Ａ.

Ｂ.Ｃ.

Ｄ.参考答案：A8.某种产品平均每三年降低价格25%，目前售价为640元，则9年后此产品的价格为（）A．210 B．240 C．270 D．360参考答案：C【考点】函数模型的选择与应用．【专题】计算题．【分析】由已知中某种产品平均每三年降低价格25%，目前售价为640元，我们易得9年后此产品共降价3次，代入计算即可得到答案．【解答】解：∵产品平均每三年降低价格25%，故9年后此产品共降价3次，又∵目前售价为640元，∴9年后此产品的价格为640×（1﹣25%）3=270元故选C【点评】本题考查的知识点是函数模型的选择与应用，指数的运算，其中根据已知判断出9年后此产品共降价3次，是解答本题的关键．9.函数的零点所在的大致区间为(

)A．(0,1)

B．(1,2)

C.(2,3)

D．(3,4)参考答案：B10.已知复数，其中i为虚数单位，则的虚部为（）A.4 B.4i C.2 D.2i参考答案：C【分析】由复数的运算可得，得到，即可求解，得到答案。【详解】由题意，复数，则，则，所以，所以的虚部为2，故选C。【点睛】本题主要考查了复数的运算，以及共轭复数的概念的应用，其中解答中熟记复数的基本运算，以及共轭复数的概念和复数的分类是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题。二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.过点并且在两坐标轴上的截距互为相反数的直线方程是__________．参考答案：略12.设是椭圆的不垂直于对称轴的弦，为的中点，为坐标原点，则____________。参考答案：

解析：设，则中点，得，，得即13.在等比数列中，若是方程的两根，则的值是__________.参考答案：略14.奇函数f(x)在定义域(－1,1)上是减函数，且f(1＋a)＋f(1－a2)＜0，则实数a的取值范围是____________参考答案：(－1,0)15.将全体正整数排列成一个三角形数阵：按照以上排列的规律，第16行从左向右的第3个数为

．参考答案：123略16.观察下列等式

照此规律，第个等式应为

.参考答案：

17.将数列按“第n组有n个数”的规则分组如下：，，，…，则第100组中的第一个数是______．参考答案：试题分析：前9组中共有个数,因此第9组中的最后一个数是是,所以第10组中的第一个数是．考点：数列．三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.已知函数（是自然对数的底数，为常数）．（1）若函数，在区间[1,+∞)上单调递减，求的取值范围．（2）当时，判断函数在(0,1)上是否有零点，并说明理由．参考答案：见解析．解：（）由得，∴，即，∴，∴，；∴，∴在上单调递减，又在上单调递减；∴，∴，即实数的取值范围是．（）假设函数在区间上有零点，即存在，使得，即，记．①若，则，即，由于，有，即证在上恒成立，令，，则，，当时，，当时，，∴当时，单调递减，当时，单调递增．而，，，∴在上存在唯一的实数，使得，∴在上单调递增，在上单调递减，而，，∴在上恒成立，即恒成立，②若，则，即，由于，有，即证在恒成立，令，则，，当，，单调递减；当，，单调递增，而，，∴在上存在唯一的实数，使得，∴在上单调递减，在上单调递增，又，，故在上成立，即成立，综上所述，当时，函数在区间上有零点．19.（本题满分12分）已知数列的前n项和。（1）求数列的通项公式。

（2）若等比数列满足求数列的前n项和。参考答案：20.(12分)已知函数在与时都取得极值(1)求的值与函数的单调区间(2)若对,不等式恒成立,求的取值范围

参考答案：解:(1)由,得…………2分,函数的单调区间如下表:

-极大值ˉ极小值-…………5分

所以函数的递增区间是与,递减区间是;…………6分21.（13分）在△ABC中，已知=，且cos（A﹣B）+cosC=1﹣cos2C．（1）试确定△ABC的形状；（2）求的范围．参考答案：【考点】三角形的形状判断；正弦定理；余弦定理．【专题】解三角形．【分析】（1）利用和差化积公式和二倍角公式对cos2C+cosC=1﹣cos（A﹣B）整理求得sinAsinB=sin2C，利用正弦定理换成边的关系，同时利用正弦定理把（b+a）（sinB﹣sinA）=asinB角的正弦转化成边的问题，然后联立方程求得b2=a2+c2，推断出三角形为直角三角形．（2）利用正弦定理化简所求式子，将C的度数代入，用A表示出B，整理后利用余弦函数的值域即可确定出范围．【解答】解：（1）由=，可得cos2C+cosC=1﹣cos（A﹣B）得cosC+cos（A﹣B）=1﹣cos2C，cos（A﹣B）﹣cos（A+B）=2sin2C，即sinAsinB=sin2C，根据正弦定理，ab=c2，①，又由正弦定理及（b+a）（sinB﹣sinA）=asinB可知b2﹣a2=ab，②，由①②得b2=a2+c2，所以△ABC是直角三角形，且B=90°；（2）由正弦定理化简==sinA+sinC=sinA+cosA=sin（A+45°），∵≤sin（A+45°）≤1，A∈（0，）即1＜sin（A+45°），则的取值范围是（1，]．【点评】本题主要考查了三角形的形状的判断，正弦定理的应用．考查了学生分析问题和解决问题的能力．22.已知等差数列{an}的前四项和为10，且a2，a3，a7成等比数列．（1）求通项公式an（2）设，求数列bn的前n项和Sn．参考答案：【考点】等比数列的性质；等差数列的通项公式；数列的求和．【专题】计算题．【分析】（1）利用等差数列的通项公式分别表示出前四项和与a2，a3，a7等比数列关系组成方程组求得a1和d，最后根据等差数列的通项公式求得an