近代概率论基础第一章 概率空间

一、内容与学时第一章概率空间第二章条件概率与统计独立性第三章随机变量与分布函数第四章数字特征与特征函数第五章极限定理共32学时（5学时）（5学时）（6学时）（8学时）（8学时）第一页，共五十一页，编辑于2023年，星期五二、参考书目《概率论与数理统计教程》高等教育出版社1995.2.华东师范大学魏宗舒等编《概率论与数理统计》高等教育出版社1997.1.浙江大学盛骤谢式千潘承毅编《概率论基础》高等教育出版社2005.3.复旦大学李贤平编按照由浅到深或由简到难的顺序排列第二页，共五十一页，编辑于2023年，星期五4.南开大学扬振明编《概率论》科学出版社2004.5.北京师范大学严士健王隽骧刘秀芳著《概率论基础》科学出版社1999.6.复旦大学汪嘉冈编著《现代概率论基础》复旦大学出版社1988.第三页，共五十一页，编辑于2023年，星期五三、说明

本课程是在工科的《概率论与数理统计》基础上对数学专业的本科生开设的一门课程，旨在对工科概率论中的一些概念和理论加以严格化和进一步地深化，因而教材中有很多内容我们都是一带而过，有的甚至根本不讲。有时还补充一些新内容。希望通过本课程的学习，能使大家掌握近代概率论的一些基本思想、基本理论和基本方法，提高数学素质与科学思维能力，为进一步学习《随机过程》等后继课程打下坚实的基础。第四页，共五十一页，编辑于2023年，星期五四、常用的一些记号2、从n个元素中取出r个元素，不考虑其顺序，其总数为1、从n个元素中取出r个(r≤n)进行排列，其总数为其中一般地，用记正整数，用记实数。且有第五页，共五十一页，编辑于2023年，星期五3、将排列公式推广，定义及则若，则由泰勒公式得：因此第六页，共五十一页，编辑于2023年，星期五因为

利用幂级数的乘法，计算的幂级数展开式中幂前面的系数知：特别地或4、第七页，共五十一页，编辑于2023年，星期五第一章概率空间第一节古典概型中的几个经典问题

第三节概率空间第二节几何概型

第八页，共五十一页，编辑于2023年，星期五第一节古典概型中的几个经典问题

一、生日问题

二、抽签问题三、摸球问题四、德.梅尔问题第九页，共五十一页，编辑于2023年，星期五一、生日问题（又称为分房问题）例将n个球随机地放入N(N>n)个盒子中，设各个球放入每个盒子是等可能的，求：每个盒子至多有一个球的概率。解将n个球放入N个盒子，每一种方法是一个基本事件直接放球先选好格子，再放球或第十页，共五十一页，编辑于2023年，星期五例(生日问题)设每个人的生日在一年365天中的任一天是等可能的,即都等于,那么随机选取n(≤365)人。(1)他们的生日各不相同的概率为多少？(2)n个人中至少有两个人生日相同的概率为多少？解(1)设A=“n个人的生日各不相同”(2)设B=“n个人中至少有两个人生日相同”当n等于64时，在64人的班级中，B发生的概率接近于1，即B几乎

总是会出现。第十一页，共五十一页，编辑于2023年，星期五

二、抽签问题例袋中有a只黑球和b只白球，k个人把球随机的一只只摸出来，求第k个人摸出的是黑球的概率。解

将k个人取球的每一种取法看成一个样本点在体育比赛中进行抽签，对各队的机会均等，与抽签的先后次序无关。这说明：第十二页，共五十一页，编辑于2023年，星期五三、摸球问题例如果某批产品中有a件次品b件好品，我们采用放回和不放回取样方式从中抽n件产品，问正好有k件是次品的概率各是多少？【放回抽样】把a+b件产品进行编号，有放回的抽n次，把可能的重复排列全体作为样本点。这即为二项分布中随机变量取值为k的概率。第十三页，共五十一页，编辑于2023年，星期五从a+b件产品中取出n件产品的可能组合全体作为样本点。这即为超几何分布中随机变量取值为k的概率。【不放回抽样】注意：当产品总数很大而抽样数不大时，采用有放回抽样与采用不放回抽样，差别不大。第十四页，共五十一页，编辑于2023年，星期五四、德.梅尔问题例一颗骰子投4次至少得到一个六点与两颗骰子投24次至少得到一个双六，这两个事件中哪一件有更多的机会遇到？因而解：以A表示一颗骰子投4次至少得到一个六点这一事件，则表示投一颗骰子4次没有出现六点，故第十五页，共五十一页，编辑于2023年，星期五

这个问题在概率论发展史上颇有名气，因为它是德梅尔向巴斯卡提出的问题之一。正是这些问题导致了巴斯卡的研究和他与费马的著名通信。他们的研究标志着概率论的诞生。同理，若以B表示两颗骰子投24次至少得到一个双六，则因而，这两件事情中，前面一件事情更容易遇到。第十六页，共五十一页，编辑于2023年，星期五第二节几何概型

即：若以记“在区域中随机的取一点，而该点落在区域g中”这一事件，则其概率定义为：此时，等可能性可以通过下列方式来赋予意义：落在某区域g的概率与区域的“几何度量”（长度、面积、体积等等）成正比并且与其位置和形状无关。这种区域的度量统称为“勒贝格（Lebesgue）测度”。有时，试验的可能结果是某区域中的一个点，这个区域可以是一维的，也可以是二维的，还可以是n维的，这时不管是可能结果全体，还是我们感兴趣的结果都是无限的。第十七页，共五十一页，编辑于2023年，星期五例1（会面问题）两人相约7点到8点在某地会面，先到者等候另一人20分钟，这时就可离去，试求这两人能会面的概率解以x，y分别表示两人到达的时刻，则会面的充要条件为可能的结果全体是边长为60的正方形中的点，能会面的点的区域用阴影标出，故所求的概率为60202060xy0

实际上，我们假定了两人到达的时间在7点到8点之间的机会均等且互不影响。第十八页，共五十一页，编辑于2023年，星期五例2在圆周上任取三点A，B，C，试求这三点构成的三角形为锐角三角形的概率解分别以x，y，z表示的弧度，于是样本点是三维空间中的点（x，y，z），而样本空间为故所求的概率为由任意性可知样本点在中均匀分布。我们关心的事件为zxyDEFMNL第十九页，共五十一页，编辑于2023年，星期五几何概型在现代概率概念的发展中曾经起过重大作用。19世纪时，不少人相信，只要找到适当的等可能性描述，就可以给概率问题以唯一的解答，然而有人却构造出这样的例子，它包含着几种似乎都同样有理却相互矛盾的答案。下面就是一个著名的例子。贝特朗奇论在半径为1的圆内随机地取一弦，求其长超过该圆内接等边三角形的边长的概率。【解法一】任何弦交圆周两点，不失一般性，先固定其中一点于圆周上，以此点为顶点作等边三角形，显然只有落入此三角形内的弦才满足要求，这种弦的弧长为整个圆周的，故所求的概率为。第二十页，共五十一页，编辑于2023年，星期五【解法二】弦长只跟它与圆心的距离有关，而与方向无关，因此可以假定它垂直于某一直径，当且仅当它与圆心的距离小于时，其长才大于，因此所求的概率为。【解法三】BA弦被其中点唯一确定，当且仅当其中点属于半径为的同心圆时，弦长才大于，此小圆面积为大圆面积的，故所求的概率为。NABMCABC第二十一页，共五十一页，编辑于2023年，星期五同一问题有三种不同的答案，细究其原因，发现是在取弦时采用了不同的等可能性假定。在第一种解法中，假定端点在圆周上均匀分布，在第二种解法中，假定弦的中点在直径上均匀分布，而在第三种解法中，又假定弦的中点在圆内均匀分布。这三种答案针对三种不同的随机试验，对于各自的随机试验而言，它们都是正确的。

因此在使用术语“随机”、“等可能”、“均匀分布”等时，应明确指明其含义，这又因试验而异。

由于采用等可能性来定义概率有这种困难，因此后来就选择另外的途径，即在定义概率这一基本概念时只指明概率应具有的基本性质，而把具体概率的给定放在一边，这样做的好处是能针对不同的随机试验给定适当的概率。第二十二页，共五十一页，编辑于2023年，星期五第三节概率空间一、概率空间及其三要素1、样本空间2、与可测空间3、概率P与概率空间二、概率的可列可加性与连续性三、概率空间的实际例子第二十三页，共五十一页，编辑于2023年，星期五在《工科概率》中讲到：事件就是某些样本点组成的集合，事件之间的运算也就是集合运算。前苏联学者科尔莫哥洛父于1933年在《概率论基础概念》一书中，用公理化的方法与集合论的观点成功地解决了这一问题，提出了概率空间的概念。但是，并没有对事件的集合进行限制。对于事件，一个很明显的要求就是所有事件组成的集合对于并、交、余这三种运算封闭。第二十四页，共五十一页，编辑于2023年，星期五一、概率空间及其三要素1、样本空间

是一非空集合，称为样本空间；其中的元素称为样本点，相应于随机试验的结果。2、与可测空间我们把事件A定义为的一个子集，它包含若干样本点，事件A发生当且仅当A所包含的样本点中有一个发生。一般并不把的一切子集都作为事件，因为这将对给定概率带来困难。同时，又必须把问题中感兴趣的事件都包括进来，因为事件的交、余、并等也应该为事件，也应该有相应的概率。第二十五页，共五十一页，编辑于2023年，星期五若是由样本空间的一些子集构成的一个域，则称它为事件域，中的元素称为事件，称为必然事件，称为不可能事件。于是，我们把事件的全体记为，它是由的某些子集构成的集类，并且还应满足下面的条件：称满足上述条件的集类为域，也称代数。很显然，根据定义，必然事件和不可能事件都在事件域中，事件的有限及可列交、并也都在事件域中。第二十六页，共五十一页，编辑于2023年，星期五例1：为一域。例2：为一域。例3是由的一切子集构成。这时，是一个有限的集合。共有元素2n个。为一域。例4为一域。可以验证对于一般的，若由的一切子集构成。注：事件域可以很简单，也可以十分复杂，要根据问题的不同要求来选择适当的事件域。第二十七页，共五十一页，编辑于2023年，星期五命题给定的一个非空集类，必然存在唯一的一个中的域，满足：（1）包含，（2）若有其它域包含，则必包含。称为包含的最小域，或由产生的域。一维博雷尔(Borel)点集以后，用记数直线或实数全体，用记n维欧几里得（Euclid）空间。由一切形为[a,b)的有界左闭右开区间构成的集类所产生的域称为一维博雷尔域，记为，中的集合称为一维博雷尔点集。

n维博雷尔点集由一切n维矩形产生的n维博雷尔域。第二十八页，共五十一页，编辑于2023年，星期五若x,y表示任意实数，由于因此，中包含一切开区间，闭区间，单个实数，可列个实数，以及由它们经可列次并、交运算而得出的集合。这是一个相当大的集合，足够把实际问题中感兴趣的点集都包括在内。同样，也是一个相当大的集合，足够把实际问题中感兴趣的点集都包括在内。第二十九页，共五十一页，编辑于2023年，星期五3、概率P与概率空间（i）

概率P为定义在事件域上的函数，即它是一个从到的映射：，且它满足（ii）性质（iii）称为可列可加性或完全可加性。（iii）若且两两互不相容，则称这样的P为可测空间上的一个概率测度，简称为概率。称为概率空间。第三十页，共五十一页，编辑于2023年，星期五可以推出，概率测度P有以下性质：有限可加性即若，则若，则②①第三十一页，共五十一页，编辑于2023年，星期五概率的加法公式布尔不等式Bonferroni不等式加法公式的推广提示：可用归纳法证明第三十二页，共五十一页，编辑于2023年，星期五

利用上面的公式来作概率的计算，常能使解题思路清晰，计算便捷。例5（匹配问题）某人写好n封信，又写好n只信封，然后在黑暗中把每封信放入一只信封中，试求至少有一封信放对的概率。解：若以Ai记第i封信与信封符合，则所求的事件为不难求得第三十三页，共五十一页，编辑于2023年，星期五因此例6从数字中（可重复地）任取n次，试求所取的n个数的乘积能被10整除的概率。解n个数的乘积要能被10整除，则这n个数中至少有一个是偶数，也至少有一个为5，因取数是放回抽样，显然样本空间中有基本事件9n

个。第三十四页，共五十一页，编辑于2023年，星期五设A={所取的n个数的乘积能被10整除}，B={所取的n个数中至少有一个是偶数}，C={所取的n个数中至少有一个为5}，则故为所取的n个数全为奇数，故所含基本事件数为5n；为所取的n个数无五，故所含基本事件数为8n；为所取的n个数全为奇数且不含5，故所含基本事件数为4n，所以有计算公式得：第三十五页，共五十一页，编辑于2023年，星期五二、概率的可列可加性与连续性定义1：若且，则是中的一个单调不减的集序列。若且，则是中的一个单调不增的集序列。定义2：对于上的集合函数，若它对中任何一个单调不减的集序列均有：成立，则我们称它是下连续的。（1）若（1）式对中任何一个单调不增的集序列均成立，则我们称它是上连续的。第三十六页，共五十一页，编辑于2023年，星期五定理若为上满足的非负集合函数，则它具有可列可加性的充要条件为：（ii）它是下连续的。（i）它是有限可加的；分析：即要证明提示：因为故且其中互不相容，为单调不减的集序列，即第三十七页，共五十一页，编辑于2023年，星期五证明：（1）已证明，下面证明（2）。（2）得证。其中互不相容，为单调不减的集序列，即第三十八页，共五十一页，编辑于2023年，星期五其中互不相容，为单调不减的集序列，即这样，我们便证得式。第三十九页，共五十一页，编辑于2023年，星期五推论1

概率是下连续的。推论2

概率是上连续的。证明因而设则这样，由推论1可知：即第四十页，共五十一页，编辑于2023年，星期五三、概率空间的实际例子在科尔莫戈罗夫得的概率论公理化结构中，称三元总体为概率空间，其中为样本空间，为事件域，为概率，它们都认为是给定的，并以此为出发点讨论种种问题。至于实际问题中，如何选定，怎样构造，怎样给定，要视具体情况而定。例7

Bernoulli概率空间取，其中为的非空真子集。任取两个正数p与q(p+q=1)，令易证此P是一个概率测度，从而是一个概率空间。它是描述Bernoulli试验的概率空间。第四十一页，共五十一页，编辑于2023年，星期五例8

有限概率空间样本空间为有限集的一切子集（共2n个）组成的集类。事件域取为取n个非负实数使最后，对的每一个子集，令易证此P是一个概率测度，从而是一个概率空间。特别取，就是古典概型空间。（4）第四十二页，共五十一页，编辑于2023年，星期五例9

离散概率空间样本空间为可列集取非负实数列使再按（4）式定义概率，则是一概率空间，称为离散概率空间。例10

一维几何概率空间对每个事件，取，则它为一概率。于是得到几何概型的概率空间