2023年陕西省西安地区八校高考数学第二次联考试卷（文科）

2023年陕西省西安地区八校高考第二次联考试卷

(数学文科)

注意事项：

1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑；如需改动，

用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在试卷

上无效。

3.考试结束后，本试卷和答题卡一并交回。

第I卷(选择题)

一、单选题(本大题共12小题，共60.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项)

1.已知集合4={-2,—1,0,1},集合B={x|x<0},则4nB=()

A.{0,1}B.{-2,-1}C.{-2,-1,0}D.[—2,0)

2.已知i为虚数单位，(2-i)・z=l-2i,则复数z=()

A.-|iB.|+|iC.l-iD.1-|i

3.设等差数列{5}的前n项和为%,且=51，S7=98,RiJa100=()

A.285B.302C.316D.363

4.已知函数/Q)是实数集R上的减函数，则不等式/(2-乃>/(乂-2)的解集为()

A.(-oo,2)B.(-00,-2)C.(2,4-00)D.(-2,+oo)

5.若焦点在％轴上的双曲线a/+如2=1的离心率为3,则a与b的关系为()

A.Q+2b=0B.2Q+b=0C.Q+8b=0D.8a+b=0

6.在团ABC中，设前=%AB=b^G为团48c的重心，则用向量弓和方为基底表示向量

GC=()

A.|a-B.-|hC.D.a-|b

7.执行图示程序框图，则输出r的值为（）

（乃始）

/输入a=l,b=-/

r=a+b

/输出r/

A.-3B.-2C.0D.3

fx-y<-1,

8.x、y满足不等式组］：2，则z=6x-4y的最大值为（）

ky>-1,

A.-6B.-3C.2D.22

9.根据变量x与y的对应关系（如表），求得y关于4的线性回归方程为y=6.5x+17.5,则表

中小的值为（）

X24568

y3040m5070

A.60B.55C.50D.45

10.已知正四面体的各棱长均为3,各顶点均在同一球面上，则该球的表面积为（）

A3B.⑵rC.等D.等

11.已知一平面截某旋转体，截得的几何体的三视图如图，则该

截得几何体的体积为（）0

A.67.57T左视图

B.67.5缶

俯视图

C.67.5再

D.67.5倔r

12.将函数/(x)=2sin(x-9+1的图象上所有点的横坐标缩小为原来的5纵坐标不变得

到函数F(x)的图象，则下列描述不正确的是()

A.函数F(x)的最小正周期为:

B.点6,1)是函数F(x)的图象与y轴最近的一个对称中心

C.F(x)的值域与缩小的倍数g无关

D.直线x=工是函数F(x)的图象与y轴最近的一条对称轴

第II卷(非选择题)

二、填空题(本大题共4小题，共20.0分)

13.函数g(x)=(3a/-1一为奇函数，则a=.

14.过三点(一1,2)、(2,5)、(7,2)的圆的圆心坐标为—.

15.已知点P(m,4立)在抛物线厂y2=2px(p>0)上，点F为抛物线广的焦点，且|PF|=6,

则抛物线「的标准方程为_.

16.已知数列｛an｝和数列｛b｝，an=2n-l,3=2-".设％=册•%，则数列｛0｝的前n项

和Sn____.

三、解答题(本大题共7小题，共82.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)

17.(本小题12.0分)

设△ABC的内角4、B、C的对边分别为a、b、c.已知cosA=丝，cosB=丝.

714

(1)求C的值；

(2)若a+b=12,求△ABC的面积.

18.(本小题12.0分)

红旗中学高三年级共有学生1800名，在一次数学考试后，抽取了200名同学的成绩(满分150分

)，绘制成频率分布直方图(如图),成绩的分组区间为[60,70),[70,80),[80,90),…，[140,150].

(I)求频率分布直方图中a的值；

(n)由样本估计总体、估计这次考试，年级成绩优秀(分数大于或等于120分即为优秀)人数和

平均分数(用各组的中点值代替该组的平均值).

19.(本小题12.0分)

如图，在三棱锥P-4BC中，侧面248_L底面ABC,/.PAB=Z.BAC=150°,PA=AC=4,

AB=4V3.E、F分别是PB、BC的中点.

(1)求证：AB1EF；

(2)求四棱锥4-PEFC的体积.

20.(本小题12.0分)

已知函数/(x)=ae-x+i伍x+(e自然对数的底数)在点⑴)处的切线方程为2(e-

1)%—ey—2e+3=0.

(I)求a,b的值；

(n)求证：函数/(x)在区间(},e)内有唯一零点.

21.(本小题12.0分)

己知椭圆C：务4=l(a>b>0)的焦点为Fl、F2,离心率为争直线Ax+y+m=0,&、

尸2在直线2上的射影分别为M、N,且=2V2.

(I)求椭圆C的标准方程；

(n)设直线I与椭圆C交于AB两点，P(—2,0).求△4BP的面积的最大值.

22.(本小题10.0分)

4a..

x=-ot+2

5

3,(t为参数，a6R).以直角坐标系的

{y=--t+m

原点。为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系.在极坐标系中，曲线S的极坐标方程为。=

6(cos0-sind).

(1)若a=l,在极坐标系中，直线，经过点力(2企,与)，求Tn的值；

(2)若爪=一1,直线，与曲线S交于4、B两点，求|48|的最小值.

23.(本小题12.0分)

已知函数f(x)=|x+2\x+\x2-4|.

(1)求不等式/(x)>8的解集；

(2)当xW-2时，求证：f(x)2/+8X+12

答案

I.【答案】B

2.【答案】D

3.【答案】B

4.【答案】C

5.【答案】C

6.【答案】A

7.【答案】B

8.【答案】D

9.【答案】A

10.【答案】D

11.【答案】A

12.【答案】D

13.【答案吗

14.【答案】（3,1）

15.【答案】y2=法或y2=16x

16.【答案】3-笋

17.【答案】解：（1）vA,B、C是△ABC的内角，得A,B,C6（0,兀）,

5V7

又cosA=早，cosB-----,

14

・4匚~对9V21.RV21

：•sm/=JI-(—)2=—fsinBn="1一(R2=

:.cosC=COS[TT—(A+B)]=—cos(/l+B)=—cosAcosB+sinAsinB=—x第+x等=

1

29

27r

T；

⑵由正弦定理导=焉=肃=2R可得,

a+b2R(sinA+sinB')__c

sinA+sinBsinA+sinBsin。'

•:C=”,a4-b=12,sin4=与，sinB

J/

.12_2c

,,TnT^T—75，得c=4V7，

~+14

a4V7

・•・由正弦定理可得标=q支，得a=8,b=4,

•••△4BC的面积为SgBc=^acsinB=1x8x4V7x^=8A/3.

【解析】⑴结合角的范围求出sin2=亨，$出8=等然后利用三角之和为〃可得cosC=T，

即可求解；

(2)利用正弦定理可得就餐=康，结合(1)可求得c=4夕,继而用正弦定理求出a=8,6=4,

即可求得面积

本题主要考查解三角形，考查转化能力，属于中档题.

18.【答案】解：(I)由题意，得(0.0010+0,0050+0,0100+a+0.0190+0,0250+a+0.0075+

0.0025)x10=1,解得a=0.0150；

(U)由频率分布直方图，得样本中，分数大于或等于120分的频率为(0.0150+0.0075+0.0025)x

10=0.25,

由样本估计总体，得高三年级这次数学考试成绩的优秀率为25%,

这次考试年级优秀人数为1800x25%=450,

设样本的平均分数为3

x=(65x0.0010+75x0.0050+85x0.0100+95x0.0150+105x0.0190+115x0.0250+

125X0.0150+135x0.0075+145X0.0025)x10=108.35,

由样本估计总体，估计这次考试平均分数为108.35分，

这次数学考试，估计优秀人数有450人，平均分数为108.35分.

【解析】(I)根据频率之和为1即可求解；

(U)求出样本中分数大于或等于120分的频率，从而求出人数，再根据平均数公式即可求解.

本题考查频率分布直方图的应用，属于基础题.

19.【答案】(1)证明：在平面P4B内作PM，直线7

B4于M、连接MC,

B

VZ.PAB=ABAC=150°,PA=AC=4,

Z.PAM=/.CAM=30°,

PAM^^CAM^,/.PAM=/.CAM,PA=AC,AM=AM,

PAM=^CAM,

/.CMA=Z.PMA=90°,即CMJ.AM,即ABJ.CM,

"AB1PM,AB1CM,PMQCM=M,PM,CMu平面PMC,

AB1平面PMC,又PC在平面PMC内，•••AB1PC,

•:E、F分别是PB、BC的中点，得EF//PC,：-ABLEF.

(2)解：由(1)和题意知，侧面P4BL底面4BC,侧面248。底面28。=48,PM1AB,PMu平面

PBM,

所以PM1底面4BC,且PM=4sin3(T=2,

•••尸为BC的中点，得BF=FC,又NBF4与NCF4互补，

：,△BFA的面积与4。凡4的面积相等，

"^P-AFC=^P-ABP=①'

又•••E是PB的中点，得P点到平面ZE尸的距离与B点到平面AEF的距离相等，

^P-AEF—^B-AEF=]KP-4BF=W^P-ABC②，

由①②得匕-PEFC=匕-PFC+匕-PEF=^P-AFC+^P-AEF='%-4BC+4^P-ABC=^^P-ABC=4X

ix|x4V3x4xsinl50°x2=2百，

••・四棱锥A-PEFC的体积为2V1

【解析】(1)在平面PAB内作PM,直线B4于M、连接MC,根据三角形全等得到CM_LAM,即可

得到4B1平面PMC,即可得到AB，PC,再根据EF〃PC,即可得证；

(2)由(1)及题意可得PM，底面4BC,再由力YFC=Vp-ABP=^Vp-ABC'^P-AEF=^B-AEF=

2^P-ABF=4%-4BC、^A-PEFC=^A-PFC+匕-PEF及锥体的体枳公式计算可得.

本题主要考查直线与直线垂直的证明，棱锥体积的求法，考查转化思想与运算求解能力，属于中

档题.

20.【答案】解：(1)函数/(%)=如一＞1仇％+*(?自然对数的底数),

・,,函数/(%)在点(l,f(1))处的切线方程为2(e-l)x-ey-2e+3=0,

＞品八l)=a-

解得a=b=2.

o-X1

(口)证明：/(%)=2e~x+1lnx+——2e-x+1(/nx+—),

令g(x)=Inx+工,

•••2e-x+i*0,.•.只要研究函数g(x)在区间(；,e)内有唯一零点即可.

a，(G=l1=2"-1=XF

9()x2ex22ex2x2

•••函数g(x)在区间@,e)上单调递增,

而g(；)=T+；=~4＜。,g(e)=i+^＞o,

.•・函数g(x)在区间(；,e)内有唯一零点，即函数/(x)在区间&,e)内有唯一零点.

【解析】(I)函数/•(切=(^31加+臂(6自然对数的底数)，利用导数的运算法则可得尸⑶,

根据函数/'(%)在点(1/(1))处的切线方程为2(e-l)久一ey-2e+3=0,可得/(I)=：,r(1)=

运④，进而得出a,b.

e

(II)/(%)=2e~x+1lnx+--=2e-x+1(/nx+^-)»令g(x)="x+；,由于2?一*+1H0,因此只

xAex乙ex

要研究函数g(x)在区间(；,e)内有唯一零点即可.利用导数研究函数的单调性、结合函数的零点存

在定理即可得出结论.

本题考查了利用导数研究函数的单调性与零点及切线方程、函数的零点存在定理、等价转化方法、

方程思想方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题.

21.【答案】解：(【)・••直线八%+丁+加=0的斜率为一1,倾斜角为手,

IMNI242

；•l&Fzl=.=飞-=4,即椭圆的焦距2c=4,c=2,

彳~2

22

由椭圆的离心率为孝，得工=2=苧，Q=2企，b=yja—c=2,

2aa2

椭圆C的标准方程为5+一=1；

84

%+y+m=0

x2y2,消去y,得3/+4m%+2根2—8=0,

1豆+7=1

令A=(4m)2=4x3x(2m2-8)=-8(m2-812)>0,得一2百<m<273.

设4(Xi，yi),8(>2，丫2)，则与+亚=一华，工/2=2叫弋

\AB\=71+C-l)2xJ(一粤J-4x^5=.12-旅，

点P(—2,0)到直线，的距离为d=匕浮i,

4

-2

c1,j[4r»i1..|2+771-=苧〃12_巾)25_2)2,

••・S—BP=-xdx\AB\=-x--y=—3

设f(m)=(12—根2)(7n-2)2,(-2V3<m<2<3),

・•・f(m)=-2m(m—2)2+(12—m2)x2(m—2)x1=—4(m—2)(m+2)(m—3),

令((m)=0,得m=-2,m=2,m=3,

当m=2时，点P在直线/上，故m=2(舍去)，

当m变化时，/(m)与/(m)变化情况如下表，

m(-2V3,-2)-2(-2,2)2(2,3)3(3,2圾

f'Cm)+—+—

f(m)递增极大值递减0递增极大值递减

••・极大值为/(-2)=128,极小值为〃3)=3,

■•■C^ABP)max=^xV128=^.

ABP的面积的最大值为学.

【解析】(I)由已知可得I&F2I=黑，结合离心率可求椭圆C的标准方程；

(0)联立方程组可得|48|=2，12-62,可得SMBP=苧J(12.1q(m—2产利

用导数可求△4BP的面积的最大值.

本题考查椭圆方程的求法，直线与椭圆的位置关系的综合应用，考查三角形的面积，考查转化思

想以及计算能力，属中档题.

22.【答案】解：(1)设点力的直角坐标为(xo，yo)，

•••点4的极坐标为(2夜,当).

x0=2&cos与=2A/2x(—苧)=-2，y0=2夜sin与=2V2x竽=2,

・•・当a=］时，得］;2一孑J，解之得心：二

：・m=-1；

(2)将曲线S的极坐标方程p=6(cos0-s讥0)化为直角坐标方程为(x-3)2+(y+3)2=18,

•••曲线S是以C(3,-3)为圆心，半径r=3我的圆，

当m=-l时，若a*0,化直线，的参数方程为普通方程I：y+1=-£(%-2),

直线I过定点P(2,-l),

若a=0,直线Z的普通方程为I：x=2,直线/也过点P(2,-l),

.•.直线/恒过定点P(2,-l),

•••(2-3产+(-1+3)2=5<18,

.•.点P在圆C内，

.•.当P为4B的中点时|4B|最小，

这时PC14B,\PC\=7(3-2)2+(-3+I)2=V5,

22

\AB\min=2〃2Tpe/=2j(3V2)-(V5)=2m.

【解析】(1)根据点4的极坐标求出点力的直角坐标，再将a=1和点4的直角坐标代入直线/的参数

方程即可得解；

(2)先将曲线S的极坐标方程化为普通方程，再分a*0和a=0两种情况讨论求出直线［所过的定点

P,再根据当P为4B