2022年四川省南充市顺庆中学高三数学理月考试卷含解析

2022年四川省南充市顺庆中学高三数学理月考试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.抛物线的焦点坐标是（

）A．

B．(0,1)

C．(1,0)

D．参考答案：C2.若，且，则下列不等式中，恒成立的是 （

）

A．

B．

C．

D．参考答案：D本题考查基本不等式及其应用，难度中等.逐个判断.当时，，所以（A）错误；当时，（B）和（C）都错误；因为，所以（D）恒成立.

3.已知为不同的直线，为不同的平面，则下列说法正确的是（

）A．

B．

C．

D．

参考答案：D略4.如图，从气球A上测得正前方的河流的两岸B，C的俯角分别为75°，30°，此时气球的高是60m，则河流的宽度BC等于（）A. B. C. D.参考答案：C【详解】，，，所以.故选C.5.已知集合A＝{x|(x＋1)(x－2)≤0}，集合B为整数集，则A∩B＝

()A．{－1,0}

B．{0,1}

C．{－2，－1,0,1} D．{－1,0,1,2}

参考答案：D6.下面四个条件中，使成立的必要而不充分条件是A.

B.

C.

D.参考答案：D7.已知集合A＝{x|x2－3x＋2＝0，x∈R}，B＝{x|0＜x<5，x∈N}，则满足条件A?C?B的集合C的个数为()A．1

B．2

C．3

D．4参考答案：D8.若在曲线f(x，y)=0上两个不同点处的切线重合，则称这条切线为曲线f(x，y)=0的“自公切线”．下列方程：①y=exl；②y=x2|x|；③|x|+l=④对应的曲线中存在“自公切线”的有A．①②

B．②③

C．②④

D．③④参考答案：C9.若，则a的取值范围是A．

B．

C．

D．

参考答案：答案：A10.若点P（1，1）为圆x2+y2﹣6x=0的弦MN的中点，则弦MN所在直线方程为（）A．2x+y﹣3=0 B．x﹣2y+1=0 C．x+2y﹣3=0 D．2x﹣y﹣1=0参考答案：D【考点】直线与圆相交的性质．【分析】由题意，根据垂径定理的逆定理得到此连线与弦MN垂直，由圆心与P坐标求出其确定直线的斜率，利用两直线垂直时斜率的乘积为﹣1，求出弦MN所在直线的斜率，从而可得弦MN所在直线的方程．【解答】解：x2+y2﹣6x=0化为标准方程为（x﹣3）2+y2=9∵P（1，1）为圆（x﹣3）2+y2=9的弦MN的中点，∴圆心与点P确定的直线斜率为，∴弦MN所在直线的斜率为2，∴弦MN所在直线的方程为y﹣1=2（x﹣1），即2x﹣y﹣1=0．故选D．二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.设函数f（x）=，对任意x1、x2∈（0，+∞），不等式恒成立，则正数k的取值范围是

．参考答案：k≥1【考点】函数恒成立问题．【专题】计算题．【分析】当x＞0时，=，利用基本不等式可求f（x）的最小值，对函数g（x）求导，利用导数研究函数的单调性，进而可求g（x）的最大值，由恒成立且k＞0，则，可求【解答】解：∵当x＞0时，==2e∴x1∈（0，+∞）时，函数f（x1）有最小值2e∵∴=当x＜1时，g′（x）＞0，则函数g（x）在（0，1）上单调递增当x＞1时，g′（x）＜0，则函数在（1，+∞）上单调递减∴x=1时，函数g（x）有最大值g（1）=e则有x1、x2∈（0，+∞），f（x1）min=2e＞g（x2）max=e∵恒成立且k＞0，∴∴k≥1故答案为k≥1【点评】本题主要考查了利用基本不等式求解函数的最值，导数在函数的单调性，最值求解中的应用是解答本题的另一重要方法，函数的恒成立问题的转化，本题具有一定的难度12.已知函数f(x)=x3+ax2-2x在区间(-1,+∞)上有极大值和极小值，则实数a的取值范围是__________参考答案：13.、如图，长方形的四个顶点为O(0，0)，A(2,0)，B(2,4)，C(0,4)，曲线经过点B．现将一质点随机投入长方形OABC中，则质点落在图中阴影区域的概率是

▲

参考答案：略14.已知幂函数___________参考答案：15.函数的最小值是

．参考答案：1由题得当时，f(x),当时，f(x)∈[1,2]，所以函数的最小值为1.

16.已知平面向量且，则x=

.参考答案：

17.函数f(x)=Asin((A,为常数，A>0，,|<)的部分图象如图所示,则f(0)的值是_______.

参考答案：略三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.如图，四面体ABCD中，平面ABC⊥平面BCD，AC=AB，CB=CD，∠DCB=120°，点E在BD上，且CE=DE．（Ⅰ）求证：AB⊥CE；（Ⅱ）若AC=CE，求二面角A﹣CD﹣B的余弦值．参考答案：【考点】二面角的平面角及求法；空间中直线与直线之间的位置关系．【专题】空间位置关系与距离；空间角．【分析】（Ⅰ）由已知得∠CDB=30°，∠DCE=30°，∠BCE=90°，从而EC⊥BC，由平面ABC⊥平面BCD，得EC⊥平面ABC，由此能证明EC⊥AB．（Ⅱ）取BC的中点O，BE中点F，连结OA，OF，以O为原点，OB为y轴，OA为z轴，建立空间直角坐标系，求出平面ACD的法向量和平面BCD的法向量，由此利用向量法能注出二面角A﹣CD﹣B的余弦值．【解答】解：（Ⅰ）证明：△BCD中，CB=CD，∠BCD=120°，∴∠CDB=30°，∵EC=DE，∴∠DCE=30°，∠BCE=90°，∴EC⊥BC，又∵平面ABC⊥平面BCD，平面ABC与平面BCD的交线为BC，∴EC⊥平面ABC，∴EC⊥AB．（Ⅱ）解：取BC的中点O，BE中点F，连结OA，OF，∵AC=AB，∴AO⊥BC，∵平面ABC⊥平面BCD，平面ABC∩平面BCD=BC，∴AO⊥平面BCD，∵O是BC中点，F是BE中点，∴OF⊥BC，以O为原点，OB为y轴，OA为z轴，建立空间直角坐标系，设DE=2，则A（0，0，1），B（0，，0），C（0，﹣，0），D（3，﹣2，0），∴=（0，﹣，﹣1），=（3，﹣，0），设平面ACD的法向量为=（x，y，z），则，取x=1，得=（1，，﹣3），又平面BCD的法向量=（0，0，1），∴cos＜＞==﹣，∴二面角A﹣CD﹣B的余弦值为．【点评】本小题主要考查立体几何的相关知识，具体涉及到线面以及面面的垂直关系、二面角的求法及空间向量在立体几何中的应用．本小题对考生的空间想象能力与运算求解能力有较高要求．19.（本小题满分12分）高二年级某班学生在数学校本课程选课过程中，已知第一小组与第二小组各有六位同学.每位同学都只选了一个科目，第一小组选《数学运算》的有1人，选《数学解题思想与方法》的有5人，第二小组选《数学运算》的有2人，选《数学解题思想与方法》的有4人，现从第一、第二两小组各任选2人分析选课情况.（Ⅰ）求选出的4人均选《数学解题思想与方法》的概率；（Ⅱ）设为选出的4个人中选《数学运算》的人数，求的分布列和数学期望．参考答案：解：（Ⅰ）设“从第一小组选出的2人选《数学解题思想与方法》”为事件A，“从第二小组选出的2人选《数学解题思想与方法》”为事件B.由于事件A、B相互独立，

且,

.

…4分

所以选出的4人均考《数学解题思想与方法》的概率为

……………6分

（Ⅱ）设可能的取值为0,1,2,3.得

,,

……………9分

的分布列为0123P

∴的数学期望

………12分略20.（09年湖北重点中学4月月考理）（13分已知椭圆C：＋＝1（a＞b＞0）的离心率为，过右焦点F且斜率为1的直线交椭圆C于A，B两点，N为弦AB的（1）求直线ON（O为坐标原点）的斜率KON；

（2）对于椭圆C上任意一点M，试证：总存在角（∈R）使等式：＝cos＋sin成立参考答案：解析：

1）设椭圆的焦距为2c,因为，所以有，故有。从而椭圆C的方程可化为：

①

………2分易知右焦点F的坐标为（），据题意有AB所在的直线方程为：

②

………3分由①，②有：

③设，弦AB的中点，由③及韦达定理有：

所以，即为所求。

………5分2）显然与可作为平面向量的一组基底，由平面向量基本定理，对于这一平面内的向量，有且只有一对实数，使得等式成立。设，由1）中各点的坐标有：，所以。

………7分又点在椭圆C上，所以有整理为。

④由③有：。所以

⑤又A﹑B在椭圆上，故有

⑥将⑤，⑥代入④可得：。

………11分对于椭圆上的每一个点，总存在一对实数，使等式成立，而在直角坐标系中，取点P（），设以x轴正半轴为始边，以射线OP为终边的角为，显然。也就是：对于椭圆C上任意一点M，总存在角（∈R）使等式：＝cos＋sin成立。21.（本小题满分12分）

如图，四棱锥P-ABCD中，底面为菱形，且，.

（I）求证：；（II）若，求二面角的余弦值。参考答案：(Ⅰ)证明：取的中点，连接．∵，四边形为菱形，且，∴和为两个全等的等边三角形，则∴平面，又平面，∴；(Ⅱ).试题分析：（1）首先作出辅助线即取的中点，连接，然后由已知条件易得和为两个全等的等边三角形，于是有，进而由线面垂直的判定定理可知所证结论成立；(Ⅱ)建立适当的直角坐标系，并求出每个点的空间坐标，然后分别求出平面、平面的法向量，再运用公式即可求出二面角的平面角的余弦值，最后判断其大小为钝角还是锐角即可.试题解析：(Ⅰ)证明：取的中点，连接．∵，四边形为菱形，且，∴和为两个全等的等边三角形，则∴平面，又平面，∴；(Ⅱ)解：在中，由已知得，，，则，∴，即，又，∴平面；以点E为坐标原点，分别以EA，EB，EP所在直线为x，y，z轴，建立如图所示空间直角坐标系，则E(0,0,0)，C(－2,,0)，D(－1,0,0)，P(0,0,)，则＝(1,0,)，＝(－1,,0)，由题意可设平面的一个法向量为；设平面的一个法向量为，由已知得：令y＝1，则，z＝－