四川省凉山市冕宁县大桥中学2021年高三数学理月考试卷含解析

四川省凉山市冕宁县大桥中学2021年高三数学理月考试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.已知集合，则A∪B=（A）

（B）

（C）

（D）参考答案：B求解一元二次不等式可得，据此可知，选项A错误；，选项B正确；集合AB之间不具有包含关系，选项CD错误；本题选择B选项.

2.是复数为纯虚数的（

）A．充分非必要条件

B．既非充分条件也非必要条件C．充分必要条件

D．必要非充分条件参考答案：D略3.已知函数y＝f（x）是偶函数，且函数y＝f（x－2）在[0,2]上是单调减函数，则

A．f（－1）<f（2）<f（0）

B．f（－1）<f（0）<f（2）

C．f（0）<f（－1）<f（2）

D．f（2）<f（－1）<f（0）参考答案：C4.若函数y＝f（x）（xR）满足f（x＋2）＝f（x），且x［－1,1］时，f（x）＝1－x2，函数g（x）＝，则函数h（x）＝f（x）－g（x）在［－5,5］上的零点个数为A、5B、7C、7D、10参考答案：C5.若则实数的取值范围是（

）A．

B.

C.

D.参考答案：B6.已知△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a2=b2+c2﹣bc，a=3，则△ABC的周长的最大值为（）A．2 B．6 C． D．9参考答案：D【考点】余弦定理；正弦定理．【分析】由已知利用余弦定理可求A，利用a=3和sinA的值，根据正弦定理表示出b和c，代入三角形的周长a+b+c中，利用两角和与差的正弦函数公式及特殊角的三角函数值化为一个角的正弦函数，根据正弦函数的值域即可得到周长的最大值．【解答】解：∵a2=b2+c2﹣bc，可得：bc=b2+c2﹣a2，∴cosA==，∵A∈（0，π），∴A=，∴由a=3，结合正弦定理得：==2，∴b=2sinB，c=2sinC，则a+b+c=3+2sinB+2sinC=3+2sinB+2sin（﹣B）=3+3sinB+3cosB=3+6sin（B+），可知周长的最大值为9．故选：D．7.以下说法正确的是

（

）

A.命题“都是有理数”的否定是“都不是有理数”；

B.设是等比数列，则“”是“数列是递增数列”的充要条件；C.用相关系数来判断两个变量的相关性时，越小，说明两个变量的相关性越弱；D.将一组数据中的每个数据加上或减去同一个数后，方差恒不变.参考答案：D略8.设集合，，若，则(A)

(B)

(C)

(D)参考答案：B因为，所以必有，则，解得，所以集合,所以，选B.9.已知向量，若为实数，，则=

（

）A．

B．

C．

D．参考答案：B10.如图，正方体中，，分别为棱、上的点；已知下列判断：①平面；②在侧面上的正投影是面积为定值的三角形；③在平面内总存在与平面平行的直线；④平面与平面所成的二面角（锐角）的大小与点的位置有关，与点的位置无关；其中正确判断的个数有

(

)A．1个

B．2个

C．3个

D．4个参考答案：B略二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.已知集合A={a,a2},B={1,2}，若A∩B={1}，则a=

.参考答案：-1；12.已知幂函数y=f（x）的图象过点，则=．参考答案：2略13.已知向量和的夹角为,定义为向量和的“向量积”,是一个向量,它的长度,如果,,则.参考答案：答案：

14.若函数满足，对定义域内的任意恒成立，则称为m函数，现给出下列函数：①；

②； ③； ④其中为m函数的序号是

。（把你认为所有正确的序号都填上）参考答案：②③15.三棱锥中,,△是斜边的等腰直角三角形,则以下结论中:①异面直线与所成的角为;②直线平面;③面面;④点到平面的距离是.其中正确结论的序号是_________.

参考答案：答案：①②③16.若满足约束条件，则的最大值是

。[参考答案：17.某校高三年级共有500名学生，其中男生300名，女生200名，为了调查学生的复习情况，采用分层抽样的方法抽取一个容量为100的样本，则样本中女生的人数为

参考答案：三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.学校高一年级开设、、、、五门选修课，每位同学须彼此独立地选三课程，其中甲同学必选课程，不选课程，另从其余课程中随机任选两门课程．乙、丙两名同学从五门课程中随机任选三门课程．（Ⅰ）求甲同学选中课程且乙同学未选中课程的概率．（Ⅱ）用表示甲、乙、丙选中课程的人数之和，求的分布列和数学期望．参考答案：见解析（Ⅰ）设事件为“甲同学选中课程”，事件为“乙同学选中课程”，则，，∵事件与相互独立，∴甲同学选中课程且乙同学未选中课程的概率．（Ⅱ）设事件为“两同学选中课程”，则，的可能取值为，，，，，，，．∴的分布列为：．19.已知函数，函数．（1）若，求的最大值；（2）证明：有且仅有一个零点．参考答案：（1）0；（2）见证明【分析】（1），，利用导数研究函数的单调性极值与最值即可得出．（2）对分类讨论，利用导数研究函数的单调性极值与最值即可证明结论．【详解】（1），，当x∈（0，2）时，，单调递增；当x∈（2，+∞）时，，单调递减；故当x=2时，的最大值为=．若，取得最大值=0．（2）（ⅰ）若，由（1）知，当x∈（0，+∞）时，，且仅当x=2时，f′（x）=0．此时f（x）单调递减，且f（2）=0，故f（x）只有一个零点=2．（ⅱ）若a＞ln2，由（1）知，当x∈（0，+∞）时，f′（x）=g（x）＜0，f（x）单调递减．此时，f（2）=2（ln2-a）＜0，注意到=＜1，易证，故f（）=ln-+＞，故f（x）仅存在一个零点∈（，2）．（ⅲ）若0＜a＜ln2，则g（x）的最大值g（2）=ln2-a＞0，即，注意到f′（）=-a＜0，，故存在∈（，2），∈（2，8），使得．则当x∈（0，）时，单调递减；当x∈（，）时，单调递增；当x∈（，+∞）时，f（x）单调递减．故f（x）有极小值f（），有极大值f（）．由f′（）=0得，故f（）=＞0，则f（）＞0．存在实数t∈（4，16），使得=0，且当x＞t时，＜0，记，则，故f（x）仅存在一个零点∈（，]．综上，f（x）有且仅有一个零点．【点睛】本题考查了利用导数研究函数的单调性极值与最值，方程与不等式的解法、分类讨论方法、等价转化方法，考查了推理能力与计算能力，属于难题．20.如图：C、D是以AB为直径的圆上两点，AB=2AD=2，AC=BC，F是AB上一点，且AF=AB，将圆沿直径AB折起，使点C在平面ABD的射影E在BD上．（I）求证平面ACD⊥平面BCD；（II）求证：AD∥平面CEF．参考答案：解：（I）∵AB是圆的直径，∴AD⊥BD∵点C在平面ABD的射影E在BD上，即CE⊥平面ADC∴结合AD?平面ADC，得AD⊥CE∵BD、CE是平面BCD内的相交直线∴AD⊥平面BCD∵AD?平面ACD，∴平面ACD⊥平面BCD；（II）Rt△ABD中，AB=2AD=2，可得BD==3等腰Rt△ABC中，AB=2，∴AC=BC=AB=∵AD⊥平面BCD，CD?平面BCD，∴AD⊥CDRt△ADC中，CD==，∵Rt△BCD中，CE是斜边BD上的高∴Rt△CED∽Rt△BCD，得=，因此，CD2=BD?DE，即3=3?DE，得DE=1∴△ABD中，，可得EF∥AD∵AD?平面CEF，EF?平面CEF∴AD∥平面CEF略21.△ABC中，．（I）求∠C的大小；（Ⅱ）设角A，B，C的对边依次为，若，且△ABC是锐角三角形，求的取值范围．参考答案：解析：（1）依题意：，即，又，∴

，∴

，（2）由三角形是锐角三角形可得，即。

由正弦定理得∴

，∴

，

∵

，∴

，∴

即。22.（13分）已知函数f（x）=x+a?e﹣x．（Ⅰ）当a=e2时，求f（x）在区间[1，3]上的最小值；（Ⅱ）求证：存在实数x0∈[﹣3，3]，有f（x0）＞a．参考答案：【考点】：利用导数求闭区间上函数的最值．【专题】：计算题；证明题；分类讨论；导数的综合应用．【分析】：（Ⅰ）当a=e2时，f（x）=x+e2﹣x，x∈[1，3]；f′（x）=1﹣e2﹣x，从而由导数的正负确定函数的单调性及最值；（Ⅱ）“存在实数x0∈[﹣3，3]，有f（x0）＞a”等价于f（x）的最大值大于a；且f′（x）=1﹣ae﹣x，从而分当a≤0时，当a＞0时两大类讨论，再在a＞0时分a≥e3时，e﹣3＜a＜e3时与0＜a≤e﹣3时讨论，从而证明．解：（Ⅰ）当a=e2时，f（x）=x+e2﹣x，x∈[1，3]；∵f′（x）=1﹣e2﹣x，由f′（x）=0得x=2；则x，f′（x），f（x）关系如下：所以当x=2时，f（x）有最小值为3．（Ⅱ）证明：“存在实数x0∈[﹣3，3]，有f（x0）＞a”等价于f（x）的最大值大于a．因为f′（x）=1﹣ae﹣x，所以当a≤0时，x∈[﹣3，3]，f′（x）＞0，f（x）在（﹣3，3）上单调递增，所以f（x）的最大值为f（3）＞f（0）=a．所以当a≤0时命题成立；当a＞0时，由f′（x）=0得x=lna．则x∈R时，x，f′（x），f（x）关系如下：（1）当a≥e3时，lna≥3，f（x）在（﹣3，3）上单调递减，所以f（x）的最大值f（﹣3）＞f（0）=a．所以当a≥e3时命题成立；（2）当e﹣3＜a＜e3时，﹣3＜lna＜3，所以f（x）在（﹣3，lna）上单调递减，在（lna，3）上