2021年河南省驻马店市外国语中学高三数学理模拟试卷含解析

2021年河南省驻马店市外国语中学高三数学理模拟试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.已知定义在R上的函数f(x)满足为偶函数，若f(x)在(03)内单调递减，则下面结论正确的是A. B.C. D.参考答案：A分析】根据以及为偶函数即可得出，并且可得出,根据在内单调递减即可得结果.【详解】，的周期为6，又为偶函数，，，,，又在内单调递减，，，故选A.【点睛】在比较，，，的大小时，首先应该根据函数的奇偶性与周期性将，，，通过等值变形将自变量置于同一个单调区间，然后根据单调性比较大小．2.已知射线OP：y=x（x≥0）和矩形ABCD，AB=16，AD=9，点A、B分别在射线OP和x轴非负半轴上，则线段OD长度的最大值为（）A． B．27 C． D．29参考答案：B【考点】函数的最值及其几何意义．【分析】通过设∠OBA=θ，并用角θ的三角函数值表示点D坐标，利用向量模的计算公式、结合三角函数有界性可得结论．【解答】解：设∠OBA=θ，则∠CBx=﹣θ，∠ABx=π﹣θ，如图，由题可知AE=16cosθ，AE=16sinθ，OE==12sinθ，BF=BCcos（﹣θ）=9sinθ，CF=BCsin（﹣θ）=9cosθ，则A（12sinθ，16sinθ），B（16sinθ+16cosθ，0），C（25sinθ+16cosθ，9cosθ），由四边形ABCD是矩形可知D（21sinθ，16sinθ+9cosθ），因为=441sin2θ+256sin2θ+288sinθcosθ+81cos2θ=81（sin2θ+cos2θ）+308?2sin2θ+144sin2θ=81+308?（1﹣cos2θ）+144sin2θ=389+144sin2θ﹣308cos2θ=389﹣340sin（2θ﹣φ）≤389+340=729，所以≤27，故选：B．3.已知点A（1，﹣1），B（4，0），C（2，2），平面区域D由所有满足（1＜λ≤a，1＜μ≤b）的点P（x，y）组成．若区域D的面积为8，则a+b的最小值为（）A． B．2 C．4 D．8参考答案：C【考点】简单线性规划．【分析】如图所示，以AB，AC为邻边作平行四边形ABCD．分别作=，=，则由所有满足（1＜λ≤a，1＜μ≤b）表示的平面区域D为平行四边形DEQF.=，=，由于=（3，1），=（1，3），=6．可得==.=．由于S平行四边形DEQF==8（λ﹣1）（μ﹣1）=8，化为λμ=λ+μ，利用基本不等式的性质可得λ+μ≥4．由（1＜λ≤a，1＜μ≤b），可得，于是x+y=4（λ+μ）≤4（a+b）．即可得出．【解答】解：如图所示，以AB，AC为邻边作平行四边形ABCD．分别作=，=，则由所有满足（1＜λ≤a，1＜μ≤b）表示的平面区域D为平行四边形DEQF．=，=，=（3，1），=（1，3），=6．∴=，∴==．∴==．∴S平行四边形DEQF==（λ﹣1）（μ﹣1）×=8（λ﹣1）（μ﹣1）=8，化为（λ﹣1）（μ﹣1）=1，∴λμ=λ+μ≥，可得λμ≥4，∴λ+μ≥4，当且仅当λ=μ=2时取等号．∵（1＜λ≤a，1＜μ≤b），∴==（1，﹣1）+λ（3，1）+μ（1，3），∴，∵1＜λ≤a，1＜μ≤b，∴x+y=4（λ+μ）≤4（a+b）．∴a+b≥λ+μ≥4，∴a+b的最小值为4．故选：C．4.已知，则是的（

） A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.必要条件 D.既不充分条件也不必要条件参考答案：A5.定义在R上的偶函数满足，且在上是增函数，若是锐角三角形的两个内角，则（

）A. B.C. D.参考答案：D【分析】根据f（x+2）＝f（x），得函数的周期为2，在[﹣3，﹣2]上是减函数，可得f（x）在[﹣1，0]上为减函数，由f（x）为偶函数，得f（x）在[0，1]上为单调增函数．再根据α，β是锐角三角形的两个内角，利用三角函数诱导公式化简可得答案．【详解】由题意：可知f（x+2）＝f（x），∴f（x）是周期为2的函数，∵f（x）在[﹣3，﹣2]上为减函数，∴f（x）在[﹣1，0]上为减函数，又∵f（x）为偶函数，根据偶函数对称区间的单调性相反，∴f（x）在[0，1]上为单调增函数．∵在锐角三角形中，π﹣α﹣β∴π﹣α﹣β，即，∴αβ＞0，∴sinα＞sin（）＝cosβ；∵f（x）在[0，1]上为单调增函数．所以f（sinα）＞f（cosβ），故选：D．【点睛】本题主要考查了函数的奇偶性和周期性的应用，以及三角函数的图象和性质，综合性较强，涉及的知识点较多．属于中档题．6.已知三边长分别为3、4、5的的外接圆恰好是球的一个大圆，为球面上一点，若点到的三个顶点的距离相等，则三棱锥的体积为

（

） A、5 B、10 C、20 D、30参考答案：A略7.已知平面向量=（1，2），=（﹣2，m），且∥，则2+3=（）A．（﹣2，﹣4） B．（﹣3，﹣6） C．（﹣5，﹣10） D．（﹣4，﹣8）参考答案：D【考点】平面向量共线（平行）的坐标表示．【分析】利用向量共线的坐标运算即可得出．【解答】解：∵∥，∴1×m﹣2×（﹣2）=0，解得m=﹣4．∴=2（1，2）+3（﹣2，﹣4）=（2，4）+（﹣6，﹣12）=（﹣4，﹣8）．故选D．8.抛物线y=x2的焦点坐标为（）A．（，0）B．（，0）C．（0，）D．（0，）参考答案：D考点：抛物线的简单性质．.专题：计算题．分析：先把抛物线整理标准方程，进而可判断出焦点所在的坐标轴和p，进而求得焦点坐标．解答：解：整理抛物线方程得x2=y∴焦点在y轴，p=∴焦点坐标为（0，）故选D．点评：本题主要考查了抛物线的简单性质．求抛物线的焦点时，注意抛物线焦点所在的位置，以及抛物线的开口方向．属于基础题．9.下列命题中的真命题是（）A．B．?x∈（0，π），sinx＞cosxC．?x∈（﹣∞，0），2x＜3xD．?x∈（0，+∞），ex＞x+1参考答案：D略10.参考答案：C二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.把已知正整数表示为若干个正整数（至少3个，且可以相等）之和的形式，若这几个正整数可以按一定顺序构成等差数列，则称这些数为的一个等差分拆．将这些正整数的不同排列视为相同的分拆．如：（1，4，7）与（7，4，1）为12的相同等差分拆．问正整数30的不同等差分拆有

个．参考答案：19

12.如图，A是两条平行直线之间的一个定点，且A到的距离分别为，设的另两个顶点B,C分别在上运动，且，，则以下结论正确的序号是____________.①是直角三角形；②的最大值为;③;④设的周长为，的周长为，则.参考答案：①②④由正弦定理得：，则，又，，所以①正确；设，则，，，，则，，所以②正确；，所以③错误；，令，（当时取等），所以④正确。13.设P，A，B，C是球O表面上的四个点，PA，PB，PC两两垂直，且PA=PB=PC=1，则球O的表面积为

．参考答案：3π【考点】球的体积和表面积．【专题】计算题．【分析】先把三棱锥扩展为正方体，求出对角线的长，就是球的直径，然后求出表面积．【解答】解：先把三棱锥扩展为正方体，求出对角线的长，即：对角线边长为，所以球的半径为，所以球的表面积为【点评】本题考查学生的空间想象能力，以及公式的利用，是基础题．14.已知锐角满足则的最大值为________.

参考答案：15.设复数z的共轭复数为，若z=1﹣i（i为虚数单位），则+z2的虚部为

．参考答案：﹣1【考点】复数代数形式的混合运算．【专题】转化思想；综合法；数系的扩充和复数．【分析】利用复数的运算法则、共轭复数的定义、虚部的定义即可得出．【解答】解：∵z=1﹣i（i为虚数单位），则+z2==﹣2i=﹣2i=﹣i，其虚部为﹣1．故答案为：﹣1．【点评】本题考查了复数的运算法则、共轭复数的定义、虚部的定义，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．16.

已知函数f（x）=3x2+2x+1，若成立，则a=___________。参考答案：答案：a=-1或a=-;

17.如图是一个算法框图，则输出的k的值是．参考答案：6考点：程序框图．专题：图表型．分析：根据所给数值判定是否满足判断框中的条件，然后执行循环语句，一旦满足条件就退出循环，从而到结论．解答：解：由于k2﹣6k+5＞0?k＜1或k＞5．第1次循环，k=1+1=2，第2次循环，k=2+1=3，第3次循环，k=3+1=4，第4次循环，k=4+1=5，第6次循环，k=5+1=6，6＞5满足k2﹣6k+5＞0，退出循环，输出的结果为6，故答案为：6．点评：本题主要考查了循环结构，是当型循环，当不满足条件，执行循环，属于基础题．三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.如图，平行四边形中，，正方形所在的平面和平面垂直，是的中点，是的交点.（1）求证：平面；（2）求证：平面．参考答案：证明：⑴是的交点，∴是中点，又是的中点，∴中，，

，∴，又∵∴平面

⑵平面平面，交线为，∵，∴平面，

∴，又∵，∴

19.每年5月17日为国际电信日，某市电信公司每年在电信日当天对办理应用套餐的客户进行优惠，优惠方案如下：选择套餐一的客户可获得优惠200元，选择套餐二的客户可获得优惠500元，选择套餐三的客户可获得优惠300元.根据以往的统计结果绘出电信日当天参与活动的统计图，现将频率视为概率.(1)求某两人选择同一套餐的概率；(2)若用随机变量表示某两人所获优惠金额的总和，求的分布列和数学期望.参考答案：解：(1)由题意可得某两人选择同一套餐的概率为. (2)由题意知某两人可获得优惠金额的可能取值为400，500，600，700，800，1000.

综上可得的分布列为：4005006007008001000

的数学期望.略20.（本题满分12分）已知圆,圆,动圆与圆外切并且与圆内切,圆心的轨迹为曲线.(1)求的方程;(2)过的直线与圆相切，且与曲线交于,两点，求.参考答案：21.已知等比数列的公比，且成等比数列.（1）求数列的通项公式；（2）记，求数列的前的前项和.参考答案：（