广东省湛江市湖塘中学高三数学理月考试卷含解析

广东省湛江市湖塘中学高三数学理月考试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.设直线与的方程分别为与，则“”是“”的

A．充分而不必要条件

B．必要而不充分条件C．充分必要条件

D．既不充分也不必要条件参考答案：B2.抛物线与直线相交于A、B两点，点P是抛物线C上不同A、B的一点，若直线PA、PB分别与直线相交于点Q、R，O为坐标原点，则的值是A.20

B.16

C.12

D.与点P位置有关的一个实数参考答案：A3.(2009山东卷理)一空间几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为(

).A.

B.

C.

D.

参考答案：C解析：该空间几何体为一圆柱和一四棱锥组成的,圆柱的底面半径为1,高为2,体积为,四棱锥的底面边长为，高为，所以体积为所以该几何体的体积为.4.某赛季，甲、乙两名篮球运动员都参加了11场比赛，他们每场比赛得分的情况用如图所示的茎叶图表示，则甲、乙两名运动员的中位数分别是

（）A．、

B．、

C．、

D．、参考答案：A略5.已知sinα=，则cos（π﹣2α）=（）A．﹣ B．﹣ C． D．参考答案：B【考点】GT：二倍角的余弦；GO：运用诱导公式化简求值．【分析】先根据诱导公式求得cos（π﹣2a）=﹣cos2a进而根据二倍角公式把sinα的值代入即可求得答案．【解答】解：∵sina=，∴cos（π﹣2a）=﹣cos2a=﹣（1﹣2sin2a）=﹣．故选B．6.已知直线与抛物线相交于两点，为的焦点，若，则

(

)A.

B.

C.

D.参考答案：D略7.已知x＞1，y＞1，且lgx，，lgy成等比数列，则xy有（）A．最小值10 B．最小值 C．最大值10 D．最大值

参考答案：B【考点】88：等比数列的通项公式．【分析】由题意和等比中项的性质列出方程，由条件和基本不等式列出不等式，由对数的运算法则求出xy的最小值．【解答】解：∵lgx，，lgy成等比数列，∴=（lgx）（lgy），即（lgx）（lgy）=，又x＞1，y＞1，∴lgx＞0，lgy＞0，∴lgx+lgy，当且仅当lgx=lgy时，即x=y取等号，∴lgx+lgy=lg（xy）≥，则xy≥，即xy有最小值是，故选B．【点评】本题考查等比中项的性质，基本不等式，以及对数的运算法则的应用，属于基础题．8.复数满足,其中为虚数单位,则在复平面上复数对应的点位（

）第一象限

第二象限

第三象限

第四象限参考答案：D9.设为虚数单位，则复数的虚部为（

）A．

B．

C．

D．参考答案：C10.如图，函数f(x)的图象是曲线OAB，其中点O，A，B的坐标分别为(0,0)，(1,2)，(3,1)，则f()的值为()A.1

B.2

C．0

D.参考答案：B略二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.如图所示，程序框图（算法流程图）的输出结果是

。

参考答案：14

略12.在△ABC中，∠A=90°，AB=2，AC=4，E，F分别为AB，BC的中点，则=．参考答案：﹣6【考点】平面向量数量积的运算．【分析】根据题意画出图形，结合图形，利用平面向量的线性表示与数量积运算性质，即可求出的值．【解答】解：如图所示，△ABC中，∠A=90°，AB=2，AC=4，E，F分别为AB，BC的中点，则=（+）?（+）=（﹣+）?（+）=﹣﹣?+=﹣×42﹣×0+×22=﹣6．故答案为：﹣6．13.若，其中是虚数单位，则实数a的值为

▲

．参考答案：2．14.在（的二项展开式中，的系数为

．

参考答案：-40略15.当实数满足约束条件（为常数）时有最大值为12，则实数的值为

.参考答案：-12略16.已知平面图形ABCD为凸四边形（凸四边形即任取平面四边形一边所在的直线，其余各边均在此直线的同侧），且，则四边形ABCD面积的最大值为_______．参考答案：.解：设，在中，由余弦定理得，.在中，由余弦定理可得，，即有，又四边形面积，即有，又，两式两边平方可得.化简可得，，由于，即有，当即时，，解得.故的最大值为.17.在空间直角坐标系中，点，点和点构成的的面积是

． 参考答案：三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，底面△ABC为等腰直角三角形，，，P为B1C1的中点，Q为BB1的三等分点（靠近B1）点.（1）求三棱锥P-AQC的体积；（2）在线段A1C1上找点M，使得平面APQ，写出作图步骤，但不要求证明.参考答案：(1)(2)见解析【分析】（1）把三棱锥P﹣AQC转化为A﹣PQC，容易求解；（2）首先过B1作平面与平面APQ平行，该平面与A1C1的交点M即为所找的点．【详解】(1)由题知依题意得(2)如图，在平面内，过点作交于点，连结，在中，作交于点，连结并延长交于点，则为所求作直线.

【点睛】此题考查了转化法求体积，面面平行，熟记定理准确推理是关键，难度适中．19.（13分）已知数列{an}的首项a1=a，其中a∈N*，，集合A={x|x=an，n=1，2，3，…}．（I）若a=4，写出集合A中的所有的元素；（II）若a≤2014，且数列{an}中恰好存在连续的7项构成等比数列，求a的所有可能取值构成的集合；（III）求证：1∈A．参考答案：【考点】数列递推式；等比关系的确定．【专题】等差数列与等比数列．【分析】（Ⅰ）由a1=a=4，利用递推关系依次求出a2，a3，a5，a6，a7，发现a6以后的值与前6项中的值重复出现，由此可知集合A中共有6个元素；（Ⅱ）设出数列中的一项为ak，若ak是3的倍数，则有；若ak是被3除余1，由递推关系得到；若ak被3除余2，由递推关系得到．说明构成的连续7项成等比数列的公比为，结合数列递推式得到ak符合的形式，再保证满足ak≤2014即能求出答案；（Ⅲ）分ak被3除余1，ak被3除余2，ak被3除余0三种情况讨论，借助于给出的递推式得到数列{an}中必存在某一项am≤3，然后分别由am=1，am=2，am=3进行推证，最终证得1∈A．【解答】（I）解：∵a1=a=4，∴a2=a1+1=5，a3=a2+1=6，，a5=a4+1=3，，a7=a6+1=2，…∴集合A的所有元素为：4，5，6，2，3，1；（II）解：不妨设数列中的一项为ak，如果ak是3的倍数，则；如果ak是被3除余1，则由递推关系可得ak+2=ak+2，∴ak+2是3的倍数，∴；如果ak被3除余2，则由递推关系可得ak+1=ak+1，∴ak+1是3的倍数，∴．∴该7项等比数列的公比为．又∵，∴这7项中前6项一定都是3的倍数，而第7项一定不是3的倍数（否则构成等比数列的连续项数会多于7项），设第7项为p，则p是被3除余1或余2的正整数，则可推得．∵36＜2014＜37，∴或．由递推关系式可知，在该数列的前k﹣1项中，满足小于2014的各项只有：ak﹣1=36﹣1，或2×36﹣1，ak﹣2=36﹣2，或2×36﹣2，∴首项a的所有可能取值的集合为：{36，2×36，36﹣1，2×36﹣1，36﹣2，2×36﹣2}．（III）证明：若ak被3除余1，则由已知可得ak+1=ak+1，；若ak被3除余2，则由已知可得ak+1=ak+1，，；若ak被3除余0，则由已知可得，；∴，∴∴对于数列{an}中的任意一项ak，“若ak＞3，则ak＞ak+3”．∵，∴ak﹣ak+3≥1．∴数列{an}中必存在某一项am≤3（否则会与上述结论矛盾）若am=1，结论得证．若am=3，则am+1=1；若am=2，则am+1=3，am+2=1，∴1∈A．【点评】本题考查了数列的递推式，考查由递推公式推导数列的通项公式，其中渗透了周期数列这一知识点，考查了学生的抽象思维能力，属中高档题．20.已知数列{an}是各项均不为0的等差数列，公差为d，Sn为其前n项和，且满足an2=S2n﹣1，n∈N*．数列{bn}满足bn=，Tn为数列{bn}的前n项和．（1）求数列{an}的通项公式和Tn；（2）是否存在正整数m，n（1＜m＜n），使得T1，Tm，Tn成等比数列？若存在，求出所有m，n的值；若不存在，请说明理由．参考答案：考点：数列的求和；等差数列的前n项和；等比关系的确定．专题：计算题；等差数列与等比数列．分析：（Ⅰ）（法一）在an2=S2n﹣1，令n=1，n=2，结合等差数列的通项公式可求a1=1，d=2，可求通项，而bn=，结合数列通项的特点，考虑利用裂项相消法求和（法二）：由等差数列的性质可知，=（2n﹣1）an，结合已知an2=S2n﹣1，可求an，而bn=，结合数列通项的特点，考虑利用裂项相消法求和（Ⅱ）由（I）可求T1=，Tm=，Tn=，代入已知可得法一：由可得，＞0可求m的范围，结合m∈N且m＞1可求m，n法二：由可得，结合m∈N且m＞1可求m，n解答： 解：（Ⅰ）（法一）在an2=S2n﹣1，令n=1，n=2可得即∴a1=1，d=2∴an=2n﹣1∵bn===（）∴）=（1﹣）=（法二）∵{an}是等差数列，∴∴=（2n﹣1）an由an2=S2n﹣1，得an2=（2n﹣1）an，又an≠0，∴an=2n﹣1∵bn===（）∴）=（1﹣）=（Ⅱ）∵T1=，Tm=，Tn=若T1，Tm，Tn，成等比数列，则即法一：由可得，＞0即﹣2m2+4m+1＞0∴∵m∈N且m＞1∴m=2，此时n=12∴当且仅当m=2，n=12时，T1，Tm，Tn，成等比数法二：∵∴∴2m2﹣4m﹣1＜0∴∵m∈N且m＞1∴m=2，此时n=12∴当且仅当m=2，n=12时，T1，Tm，Tn，成等比数点评：本题主要考查了等差数列的性质、等差数列的通项公式及求和公式的综合应用，裂项求和方法的应用，本题具有一定的综合性．21.设函数f（x）=lnx﹣ax，（a∈R）．（Ⅰ）判断函数f（x）的单调性；（Ⅱ）当lnx＜ax对于x∈（0，+∞）上恒成立时，求a的取值范围；（Ⅲ）若k，n∈N*，且1≤k≤n，证明：++…++…+＞．参考答案：（Ⅰ）解：求导函数，可得（x＞0）当a≤0时，f′（x）＞0，f（x）在（0，+∞）上是增函数；当a＞0时，由f′（x）＞0可得0＜x＜，由f′（x）＞0可得x＞，∴当a≤0时，函数f（x）的单调增区间是（0，+∞）；当a＞0时，函数f（x）的单调增区间是（0，），单调减区间是（）；（Ⅱ）解：lnx＜ax对于x∈（0，+∞）上恒成立，等价于f（x）max＜0由上知，a≤0时，不成立；a＞0时，，∴；（Ⅲ）证明：∵函数f（x）=lnx﹣ax，由（Ⅱ）知，a=1时，∴lnx﹣x＜﹣1∴lnx＜x﹣1令，则，∴，∴∴，∴∴++…++…+＞+…+=当n→+∞时，→．∴++…++…+＞．略22.已知函数．（1）求不等式的解集；（2）若对任意都存在，使得成立，求实数a的取值范围.参考答案：（1）（2）【分析】(1)由题意求解绝对值不等式可得不等式的解集；