上海江湾高级中学2021年高三数学文上学期期末试卷含解析

上海江湾高级中学2021年高三数学文上学期期末试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.在△ABC中，M是BC的中点，，点P在AM上且满足，则等于（

）A． B． C． D．参考答案：A如图，∵，∴，∴，∵且，∴，∴．2.已知函数f（x）=+b+6，其中，a，b为常数，a＞1，b≠0，若f（lglog210）=8，则f（lglg2）的值为(

) A．8 B．4 C．﹣8 D．﹣4参考答案：B考点：对数的运算性质．专题：函数的性质及应用．分析：函数f（x）=+b+6，可得f（x）+f（﹣x）=+b+6++b+6=12，再利用对数的运算性质即可得出．解答： 解：∵函数f（x）=+b+6，∴f（x）+f（﹣x）=+b+6++b+6=12，而lg（log210）+lg（lg2）==0，∴f（lglog210）+f（lglg2）=12，∴f（lglg2）=12﹣8=4．故选：B．点评：本题考查了指数函数与对数函数的运算性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．3.执行如图所示的算法框图，则输出的值是（

）．

A． B． C． D．参考答案：D，；，；，；，；，；；，；，结束循环，输出的值是．故选．4.对于任意实数x，定义[x]为不大于x的最大整数（例如：[3.6]=3，[-3.6]=-4等），设函数f(x)=x-[x]，给出下列四个结论：①f(x)≥0；②f(x)<1；③f(x)是周期函数；④f(x)是偶函数.其中正确结论的个数是（

）A．1个

B．2个

C．3个

D．4个参考答案：C由题意,作出函数的图象,如图所示,观察图象可知,(1),(2),(3)正确,(4)不正确,故答案为C.

5.己知集合，则= (

)A．{0,1,2}

B．[0,2]

[C．{0,2}

D．（0,2）参考答案：A6.已知，则的值等于

（

）

A． B．

C．2 D．参考答案：C略7.已知、是两个不同平面，、是两不同直线，下列命题中的假命题是

（

）

A．

B．

C． D．参考答案：答案：B8.给定正数，其中，若是等差数列，是等比数列，则一元二次方程

（）A．无实根

B．有两个相等实根

C．有两个同号相异实根

D．有两个异号实根参考答案：C9.

给出下列两个命题：甲：异面直线m,n分别在平面α、β内，且n∥α，且m∥β，则α∥β.乙：两平面互相垂直，分别在这两个平面内且互相垂直的两条直线，一定分别与另一平面垂直.正确的判断是

A.甲、乙均假

B.甲、乙均真

C.甲真乙假

D.甲假乙真参考答案：答案：C10.已知双曲线（a>0，b>0）的离心率e=2，过双曲线上一点M作直线MA,MB交双曲线于A，B两点，且斜率分别为k1，k2．若直线AB过原点，则k1·k2的值为

（

）

A．2

B．3

C．

D．

参考答案：B略二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.（5分）（2014?陕西）在极坐标系中，点（2，）到直线ρsin（θ﹣）=1的距离是．参考答案：1【考点】：点的极坐标和直角坐标的互化．【专题】：坐标系和参数方程．【分析】：把极坐标化为直角坐标的方法，利用点到直线的距离公式求得结果．解析：根据极坐标和直角坐标的互化公式x=ρcosθ，y=ρsinθ，可得点（2，）即（，1）；直线ρsin（θ﹣）=1即﹣x+y=1，即x﹣y+2=0，故点（，1）到直线x﹣y+2=0的距离为=1，故答案为：1．【点评】：本题主要考查把极坐标化为直角坐标的方法，点到直线的距离公式的应用，属于基础题．12.设函数f（x）=2x﹣cosx，{an}是公差为的等差数列，f（a1）+f（a2）+…+f（a5）=5π，则[f（a3）]2﹣a1a5=．参考答案：

【考点】等差数列的通项公式；等差数列的前n项和．【分析】由f（x）=2x﹣cosx，又{an}是公差为的等差数列，可求得f（a1）+f（a2）+…+f（a5）=10a3，由题意可求得a3，从而进行求解．【解答】解：∵f（x）=2x﹣cosx，∴可令g（x）=2x+sinx，∵{an}是公差为的等差数列，f（a1）+f（a2）+…+f（a5）=5π∴g（a1﹣）+g（a2﹣）+…+g（a5﹣）=0，则a3=，a1=，a5=∴[f（a3）]2﹣a1a5=π2﹣=，故答案为：13.已知矩形ABCD的周长为18，把它沿图中的虚线折成正六棱柱，当这个正六棱柱的体积最大时，它的外接球的表面积为．参考答案：13π【考点】棱柱、棱锥、棱台的侧面积和表面积．【专题】计算题；空间位置关系与距离．【分析】正六棱柱的底面边长为x，高为y，则6x+y=9，0＜x＜1.5，表示正六棱柱的体积，利用基本不等式求最值，求出正六棱柱的外接球的半径，即可求出外接球的表面积．【解答】解：设正六棱柱的底面边长为x，高为y，则6x+y=9，0＜x＜1.5，正六棱柱的体积V==≤=，当且仅当x=1时，等号成立，此时y=3，可知正六棱柱的外接球的球心是其上下底面中心连线的中点，则半径为=，∴外接球的表面积为=13π．故答案为：13π．【点评】本题考查外接球的表面积，考查基本不等式的运用，确定正六棱柱的外接球的半径是关键．14.已知为正实数，且则的最小值为

．参考答案：215.已知，，则=．参考答案：考点： 两角和与差的正切函数．

专题： 计算题；三角函数的求值．分析： 利用辅助角公式sinα+cosα=sin（α+），可求得sin（α+），结合α的范围，可α+∈（，），利用同角的三角函数关系可求cos（α+），tan（α+）的值．解答： 解：∵sinα+cosα=sin（α+）=﹣，∴sin（α+）=﹣，∵α∈（，π），∴α+∈（，），∴cos（α+）=﹣=﹣．∴tan（α+）==．故答案为：．点评： 本题考查同角三角函数间的基本关系，考查了计算能力，属于基础题．16.设{an}是等比数列，公比，Sn为{an}的前n项和．记．设为数列{Tn}的最大项，则n0=

．参考答案：4【考点】等比数列的前n项和；等比数列的性质．【专题】等差数列与等比数列．【分析】首先用公比q和a1分别表示出Sn和S2n，代入Tn易得到Tn的表达式．再根据基本不等式得出n0【解答】解：==因为≧8，当且仅当=4，即n=4时取等号，所以当n0=4时Tn有最大值．故答案为：4．【点评】本题主要考查了等比数列的前n项和公式与通项及平均值不等式的应用，属于中等题．本题的实质是求Tn取得最大值时的n值，求解时为便于运算可以对进行换元，分子、分母都有变量的情况下通常可以采用分离变量的方法求解．17.关于平面向量，有下列三个命题：①若，则.②若，，，则k＝－3.③非零向量和满足，则与的夹角为60°.其中真命题的序号为

．(写出所有真命题的序号)参考答案：略三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.已知函数f（x）=（sinx+cosx）2+2cos2x．（1）求f（）的值；（2）求f（x）的递减区间．参考答案：考点：三角函数中的恒等变换应用．专题：三角函数的图像与性质．分析：（1）首先利用三角关系式的恒等变换变形成正弦型函数，进一步求出函数的值．（2）根据（1）的结论，利用整体思想求单调区间．解答：解：（1）f（x）=1+2sinxcosx+2cos2x=sin2x+cos2x+2=所以：+2=（2）令：（k∈Z）（k∈Z）所以f（x）的单调减区间是点评：本题考查的知识要点：三角关系式的恒等变换变形成正弦型函数，进一步求出函数的值，利用整体思想求单调区间．19.已知函数f（x）=+lnx（a∈R）（Ⅰ）当a=1时，求f（x）的最小值；（Ⅱ）若f（x）在（0，e]上的最小值为2，求实数a的值；（Ⅲ）当a=﹣1时，试判断函数g（x）=f（x）+在其定义域内的零点的个数．参考答案：考点：导数在最大值、最小值问题中的应用；函数的最值及其几何意义；根的存在性及根的个数判断．专题：导数的综合应用．分析：（Ⅰ）当a=1时，求出函数的导数，通过函数的单调性求出f（x）的最小值；（Ⅱ）通过①当a≤0时，②当a∈（0，e]时，③当a＞e时，通过x∈（0，e利用导函数的符号，判断函数的单调性，通过函数的最值，推出a符合题意的值即可；（Ⅲ）当a=﹣1时，求出函数的定义域，函数的导数求出函数的最值与0比较，判断在其定义域内的零点的个数即可．解答：解：（Ⅰ）当a=1时，，当x∈（0，1）时，f′（x）＜0，f（x）单调递减，当x∈（1，+∞）时，f′（x）＞0，f（x）单调递增，所以，当x=1时，f（x）有最小值：f（x）min=f（1）=1．

（Ⅱ）因为，①当a≤0时，f′（x）＞0，f（x）在（0，e]上为增函数，此时f（x）在（0，e]上无最小值．②当a∈（0，e]时，若x∈（0，a），则f′（x）＜0，f（x）单调递减，若x∈（a，e]，则f′（x）＞0，f（x）单调递增，所以f（x）min=f（a）=1+lna=2，∴a=e，符合题意；③当a＞e时，x∈（0，e]，∴f′（x）＜0，f（x）单调递减，所以，∴a=e，不符合题意；综上所述，a=e时符合题意．

（Ⅲ）证明当a=﹣1时，函数，，令φ（x）=2+x﹣lnx，（x＞0），则，所以x∈（0，1）时，φ′（x）＜0，φ（x）单调递减，当x∈（1，+∞）时，φ′（x）＞0，φ（x）单调递增，所以，φ（x）min=φ（1）=3＞0，在定义域内g′（x）＞0，g（x）在（0，+∞）单调递增，又g（1）=﹣1＜0，而，因此，函数g（x）在（1，e）上必有零点，又g（x）在（0，+∞）单调递增，所以函数在其定义域内有唯一的零点．点评：本题考查函数的导数的应用，函数的最值的求法，考查分类讨论思想以及转化思想的应用．考查分析问题解决问题的能力．20.汽车的普及给人们的出行带来了诸多方便，但汽车超速行驶也造成了诸多隐患.为了解某一段公路汽车通过时的车速情况，现随机抽测了通过这段公路的200辆汽车的时速，所得数据均在区间[40，80]中，其频率分布直方图如图所示.(1)求被抽测的200辆汽车的平均时速.(2)该路段路况良好，但属于事故高发路段，交警部门对此路段过往车辆限速60km/h.对于超速行驶，交警部门对超速车辆有相应处罚：记分（扣除驾驶员驾照的分数）和罚款.罚款情况如下：超速情况10%以内10%～20%20%～50%50%以上罚款情况0元100元150元可以并处吊销驾照①求被抽测的200辆汽车中超速在10%～20%的车辆数.②该路段车流量比较大，按以前统计该路段每天来往车辆约2000辆.试预估每天的罚款总数.参考答案：平均时速……………3分①超速在10%～20%的速度在～之间

速度在～之间的车辆数为辆所以速度在～之间的车辆数为辆又速度在～之间的车辆数为辆所以速度在～之间的车辆数为辆故超速10%～20%的车辆约辆

…8分②设任意一辆车的罚款数为，被抽测的200辆汽车中均没有超速50%以上，的分布列如下：

0100150

故元

………………10分所以预计罚款总数约为元…12分21.实验杯足球赛采用七人制淘汰赛规则，某场比赛中一班与二班在常规时间内战平，直接进入点球决胜环节，在点球决胜环节中，双方首先轮流罚点球三轮，罚中更多点球的球队获胜；若双方在三轮罚球中未分胜负，则需要进行一对一的点球决胜，即双方各派出一名队员罚点球，直至分出胜负；在前三轮罚球中，若某一时刻胜负已分，尚未出场的队员无需出场罚球（例如一班在先罚球的情况下，一班前两轮均命中，二班前两轮未能命中，则一班、二班的第三位同学无需出场），由于一班同学平时踢球热情较高，每位队员罚点球的命中率都能达到0.8，而二班队员的点球命中率只有0.5，比赛时通过抽签决定一班在每一轮都先罚球．（1）定义事件A为“一班第三位同学没能出场罚球”，求事件A发生的概率；（2）若两队在前三轮点球结束后打平，则进入一对一点球决胜，一对一点球决胜由没有在之前点球大战中出场过的队员主罚点球，若在一对一点球决胜的某一轮中，某队队员射入点球且另一队队员未能射入，则比赛结束；若两名队员均射入或者均射失点球，则进行下一轮比赛．若直至双方场上每名队员都已经出场罚球，则比赛亦结束，双方用过抽签决定胜负，以随机变量X记录双方进行一