2023年中考数学压轴题押题含答案

2023年中考数学压轴题押题含答案第第页2023年中考数学压轴题押题含答案全文共11页，当前为第1页。2023年中考数学压轴题2023年中考数学压轴题押题含答案全文共11页，当前为第1页。1．在平面直角坐标系中，二次函数y=233x2-433x﹣23的图象与x轴交于A、B两点，与y轴交于点（1）求△ABC的周长；（2）点P是直线BC下方抛物线上一点，当△BPC面积最大时，在x轴下方找一点Q，使得AQ+BQ+2PQ最小，记这个最小值是d，请求出此时点P的坐标及d2（3）在（2）的条件下，连接AP交y轴于点R，将抛物线沿射线PA平移，平移后的抛物线记为y'，当y经过点A时，将抛物线y'位于x轴下方部分沿x轴翻折，翻折后所得的曲线记为N，点D'为曲线N的顶点，将△AOP沿直线AP平移，得到△A'O'P'，在平面内是否存在点T，使以点D'、R、O'、T为顶点的四边形为菱形？若存在，请直接写出O'的横坐标；若不存在，请说明理由．解：（1）y=233x2-433x﹣23，令x＝0，则y＝﹣23，令y＝0，则故点A、B、C的坐标分别为（﹣1，0）、（3，0）、（0，﹣23），故：AB＝4，BC=21，AC=故△ABC的周长为4+21（2）如图1，设点P（m，233m2-433m﹣23），过点P作PE∥y将点B、C坐标代入一次函数y＝kx+b并解得直线BC的表达式为：y=233x﹣23，点E（m，233S△PBC=12×OB×PE=32（233m﹣23-233m2+42023年中考数学压轴题押题含答案全文共11页，当前为第2页。∵-3＜0，故当m=32时，S△PBC有最大值9342023年中考数学压轴题押题含答案全文共11页，当前为第2页。在x轴下方任取点Q，连接PQ、BQ、AQ，将△PQB绕点P顺时针旋转90°到△PQ'B'位置，连接QQ'．∴B'Q'＝BQ，QQ'=2故AQ+BQ+2PQ＝AQ+B'Q+QQ'，AQ+BQ+2PQ最小，则A、Q、Q'、B'在同一直线上，∠PQQ'＝由点的坐标90°旋转规律可得：∵B为（3，0），P（32，-∴B'坐标为（3+53∴直线AB'的表达式为y=-d2=(AQ+BQ+2PQ)2=(AB')（3）存在，点O′的横坐标为5-12或-5+12或设直线AP解析式为y＝mx+n，将A（﹣1，0），P（32，-532）代入得∴直线AP解析式为y=-3x-3，令x＝∴R（0，-3∵y=233x2-433x﹣23=233（x﹣1分别过A、P作AH⊥x轴，PH⊥y轴，AH=532，PH=52，抛物线y沿射线PA向上平移53∴平移后的抛物线解析式为y'=233(∴D′（-32，由题意，△AOP沿直线AP平移，得到△A'O'P'，∵AOOR=13，∴设平移后的点O′（t2023年中考数学压轴题押题含答案全文共11页，当前为第3页。以点D'、R、O'、T为顶点的四边形为菱形，可以分三种情况：2023年中考数学压轴题押题含答案全文共11页，当前为第3页。①O′D′＝D′R∴（t+32）2+（-3t-36）2＝（32）2解得：t1=5∴O'1(②O′R＝D′R∴t2+(-3t+3)2=（解得：t3=9+∴O'3(③O′D′＝O′R∴t2+(-∴O'2023年中考数学压轴题押题含答案全文共11页，当前为第4页。2023年中考数学压轴题押题含答案全文共11页，当前为第4页。2．若一个三角形一条边的平方等于另两条边的乘积，我们把这个三角形叫做比例三角形．（1）已知△ABC是比例三角形，AB＝2，BC＝3，请直接写出所有满足AC条件的长；（2）如图，点A在以BC为直径的圆上，BD平分∠ABC，AD∥BC，∠ADC＝90°．①求证：△ABC为比例三角形；②求BDAC（3）若以点C为顶点的抛物线y＝mx2﹣4mx﹣12m（m＜0）与x轴交于A、B两点，△ABC是比例三角形，若点M（x0，y0）为该抛物线上任意一点，总有n-3≤-1633my02﹣403y解：（1）∵AB＝2，BC＝3∴1＜AC＜5①若AB2＝BC•AC，则AC=②若BC2＝AB•AC，则AC=③若AC2＝AB•BC＝6，则AC=综上所述，满足条件的AC的长为43，92，2023年中考数学压轴题押题含答案全文共11页，当前为第5页。（2）①证明：∵AD∥BC2023年中考数学压轴题押题含答案全文共11页，当前为第5页。∴∠DAC＝∠ACB，∠ADB＝∠DBC∵BD平分∠ABC∴∠ABD＝∠DBC∴∠ABD＝∠ADB∴AB＝AD∵点A在以BC为直径的圆上∴∠BAC＝90°∵∠BAC＝∠CDA＝90°，∠ACB＝∠DAC∴△ABC∽△DCA∴BC∴AC2＝BC•DA＝BC•AB∴△ABC为比例三角形②∵∠BAC＝∠CDA＝90°，AB＝AD∴BC2＝AB2+AC2，AC2＝AD2+CD2＝AB2+CD2∵AD∥BC∴∠BCD＝180°﹣∠ADC＝90°∴BD2＝BC2+CD2＝AB2+AC2+AC2﹣AB2＝2AC2∴BD=2∴BD（3）∵y＝mx2﹣4mx﹣12m＝m（x﹣2）2﹣16m（m＜0）∴抛物线开口向下，顶点C（2，﹣16m）∵y＝0时，mx2﹣4mx﹣12m＝0解得：x1＝﹣2，x2＝6∴A（﹣2，0），B（6，0），AB＝8∴AC＝BC=∵△ABC是比例三角形∴AB2＝BC•AC或AC2＝AB•BC2023年中考数学压轴题押题含答案全文共11页，当前为第6页。∴AB＝AC2023年中考数学压轴题押题含答案全文共11页，当前为第6页。∴41+16m解得：m1=34（舍去），m∴抛物线解析式为y=-34x2+3x+33=-34（x∵M（x0，y0）在抛物线上∴y0≤43设z=-1633my02﹣403y0+298＝4y02﹣403y0+298＝4（y0﹣53）∴当y0≤43时，z随x的增大而减小∴y0＝43时，z最小值＝4×（43-53）2﹣2＝4×3﹣2＝∵n-3≤z恒成立，即n∴n的最大值为10+3．如图，抛物线L1：y＝ax2+bx+c（a≠0）与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，且A（﹣1，0），OB＝OC＝3OA．若抛物线L2与抛物线L1关于直线x＝2对称．（1）求抛物线L1与抛物线L2的解析式：（2）在抛物线L1上是否存在一点P，在抛物线L2上是否存在一点Q，使得以BC为边，且以B、C、P、Q为顶点的四边形为平行四边形？若存在，求出P、Q两点的坐标：若不存在，请说明理由．解：（1）∵A（﹣1，0）∴OB＝OC＝3OA＝3∴B（3，0），C（0，3）∵抛物线L1：y＝ax2+bx+c经过点A、B、C2023年中考数学压轴题押题含答案全文共11页，当前为第7页。∴a-b+2023年中考数学压轴题押题含答案全文共11页，当前为第7页。∴抛物线L1的解析式为y＝﹣x2+2x+3＝﹣（x﹣1）2+4∴抛物线L1的顶点D（1，4）∵抛物线L2与抛物线L1关于直线x＝2对称∴两抛物线开口方向、大小相同，抛物线L2的顶点D'与点D关于直线x＝2对称∴D'（3，4）∴抛物线L2的解析式为y＝﹣（x﹣3）2+4（2）存在满足条件的P、Q，使得以BC为边且以B、C、P、Q为顶点的四边形为平行四边形．设抛物线L1上的P（t，﹣t2+2t+3）①若四边形BCPQ为平行四边形，如图1，∴BQ∥PC，BQ＝PC∴BQ可看作是CP向右平移3个单位，再向下平移3个单位得到的∴Q（t+3，﹣t2+2t）∵点Q在抛物线L2上∴﹣t2+2t＝﹣（t+3﹣3）2+4解得：t＝2∴P（2，3），Q（5，0）②若四边形BCQP为平行四边形，如图2，∴BP∥CQ，BP＝CQ∴CQ可看作是BP向左平移3个单位，再向上平移3个单位得到的∴Q（t﹣3，﹣t2+2t+6）∴﹣t2+2t+6＝﹣（t﹣3﹣3）2+4解得：t=∴P（195，-9625），Q（4综上所述，存在P（2，3），Q（5，0）或P（195，-9625），Q（45，-2125），使得以BC为边且以B、2023年中考数学压轴题押题含答案全文共11页，当前为第8页。2023年中考数学压轴题押题含答案全文共11页，当前为第8页。4．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC交BC于点D，点O在AB上，以点O为圆心，OA为半径的圆恰好经过点D，分别交AC、AB于点E、F．（1）试判断直线BC与⊙O的位置关系，并说明理由；（2）若BD＝23，AB＝6，求阴影部分的面积（结果保留π）．（1）证明：连接OD，如图：∵OA＝OD，∴∠OAD＝∠ODA，∵AD平分∠CAB，∴∠OAD＝∠CAD，∴∠CAD＝∠ODA，2023年中考数学压轴题押题含答案全文共11页，当前为第9页。∴AC∥OD，2023年中考数学压轴题押题含答案全文共11页，当前为第9页。∴∠ODB＝∠C＝90°，即BC⊥OD，又∵OD为⊙O的半径，∴直线BC是⊙O的切线；（2）解：设OA＝OD＝r，则OB＝6﹣r，在Rt△ODB中，由勾股定理得：OD2+BD2＝OB2，∴r2+（23）2＝（6﹣r）2，解得：r＝2，∴OB＝4，OD＝2，∴OD=12∴∠B＝30°，∴∠DOB＝180°﹣∠B﹣∠ODB＝60°，∴阴影部分的面积S＝S△ODB﹣S扇形DOF=12×23×25．如图，AB是⊙O的直径，C是⊙O上一点，OD⊥BC于点D，过点C作⊙O的切线，交OD的延长线于点E，连结BE．（1）求证：BE是⊙O的切线；（2）设OE交⊙O于点F，若DF＝2，BC＝43，求线段EF的长；（3）在（2）的条件下，求阴影部分的面积．2023年中考数学压轴题押题含答案全文共11页，当前为第10页。2023年中考数学压轴题押题含答案全文共11页，当前为第10页。（1）证明：连接OC，如图，∵CE为切线，∴OC⊥CE，∴∠OCE＝90°，∵OD⊥BC，∴CD＝BD，即OD垂直平分BC，∴EC＝EB，在△OCE和△OBE中OC=∴△OCE≌△OBE（SSS），∴∠OBE＝∠OCE＝90°，∴OB⊥BE，∴BE与⊙O相切；（2）解：设⊙O的半径为x，则OD＝OF﹣DF＝x﹣2，OB＝x，在Rt△OBD中，BD=12BC＝22023年中考数学压