2023年高一数学微含答案平面向量痛点问题之三角形“四心”问题

2023年高一数学微专题

微专题平面向量痛点问题之三角形“四心”问题

【藕型归纳目录】

题型一:重心定理

题型二：内心定理

题型三:外心定理

题型四：垂心定理

【知识点梳理】

一、四心的概念介绍：

(1)重心：中线的交点，重心将中线长度分成2:1.

(2)内心：角平分线的交点(内切圆的圆心)，角平分线上的任意点到角两边的距离相等.

(3)外心：中垂线的交点(外接圆的圆心)，外心到三角形各顶点的距离相等.

(4)垂心：高线的交点，高线与对应边垂直.

二、三角形四心与推论：

(1)0是△ABC的重心：S吩:S^COA：S△川汨=1：1：1«OA+OB+OC=3.

(2)0是AABC的内心：S^c-S^COA-S^AOB=a：b：coaOA+bOB+cOC=0.

(3)0是△ABC的外心：

SABO。:S^COA:S^AOH—sin2A:sin2B:sin2cosin2AOA+sin2BOB+sin2coe=0.

(4)0是△ABC的垂心：

SABO。:S4coA:S^AOU=tanA:tanB:tanCotanAOA+tanBOB+tanCOC=6.

【方法技巧与总结】

AR4广

(1)内心：三角形的内心在向量厂=可+丁=可所在的直线上.

\AB\

I希卜用+1宓I•咒+1两卜两=CQP为△ABC的内心.

⑵外心：|同1=1两1=1尹4O尸为△ABC的外心.

⑶垂心：两•两=两•用=用•同oP为△ABC的垂心.

(4)重心：声后引+后方=GoP为△ABC的重心.

题型一:重心定理

例1.（2023春•山东商城♦商一山东曹城一中校考阶段练习）已知点G是三角形ABC所在平面内一点，满

足不才+,+/=6,则G点是三角形48。的（）

A.垂心B.内心C.外心D.重心

例2.（2023春•山东•高一阶段练习）己知G是△ABC的重心，点。满足舒=比，若可=工存+

立而?，则立+?为（）

AB-yC.-1D.1

例3.（2023<•上海金山•南一上海市金山中学校考期末）记4ABC内角4B,C的对边分别为a,b,c,点

G是4ABe的重心，若BGJ_CG,5b=6c则cos4的取值是（）

A59B57cH_D61_

75751575

题型二:内心定理

^14.（2023春•江苏宿迁•高一浮阳县修班中学校考期末）已知点P为4ABC的内心，NA4C=?兀,Ab

O

=1,AC=2,若无？=^^+〃7记,则A+〃=.

例5.（2023春•陕西西安•高一陕西睁大附中校考期中）已知。是平面上的一个定点，4、B、C是平面上

AC

不共线的三点，动点P满足和=（52+-（）则点p的轨迹一定经过的

同4eK,ZVIBC

()

A.重心B.夕卜心C.内心D.垂心

^16.（2023-全国•高一假期作业）已知/为△ABC所在平面上的一点，且4B=c，力。=b,BC=a.若alA

+b用+c记=6,则/是八4反7的（）

A.重心B.内心C.外心D.垂心

例7.（2023春•四川成都•高一树檐中学校考竟春）在XABC中，cosA=卷，O为XABC的内心，若而

=+WH）,则,+?的最大值为（）

2口6-V6小7-V7「8-272

AA>JB-5-C1—6-D--7-

题型三:外心定理

例8.（2023鲁•沏北武汉•高一校戚才期末）在△/BC中，4B=2,47=3,N是边BC上的点，且丽=

而,O为△ABC的外心，则福・而=（）

R13-9

A.3B•丁。C2D1

例9.（2023春•河南许曷•商一统才期末）已知P在A4BC所在平面内,满足|巨可=|两|=|PC|，则P是

△4反7的（）

A.外心B.内心C.垂心D.重心

例10.（2023春•四川自贡•高一统考期末）直角△ARC中，/C=90。,43=4,0为△ABC的夕卜心，OA-

OB+OB-OC+OC-OA=（）

A.4B.-4C.2D.-2

例11.（2023春•辽宁丹东•高一凤城市第一中学校考阶段练习）已知。为△的外心，若AB=1,则

AB-AO=（）

A.—B.C.-1D.

题型四:垂心定理

例12.（2023卷•河南南阳.方一统考期中）若“为所在平面内一点，且\HA\2+|BC|2=\HB\2+

|泛非=|宓:+|前『则点〃是445。的（）

A.重心B.外心C.内心D.垂心

例13.（多选题）（2023春•湖南长沙•高一长沙市明檐中学校考期中）已知O,N,P,/在△43。所在的平

面内，则下列说法正确的是（）

A.若=|诟|=]五|,则O是△ABC的外心

B.若巨不•两=闻•用=用・同,则P是△ABC的垂心

C.若NM+而+A存=0,则N是△ABC的重心

D.若怎♦乩=衣・屈=胡・法=0,则/是445。的垂心

例14.（2023春•河南育丘•高一商丘市第一高级中学校考阶段练习）设”是△43C的垂心，且4a+

5HB+6HC=6,则cosNAHB=.

[HMS31

一、单选题

1.（2023•四川A州•落*五中校考二模）已知A4BC的重心为。，则向量后5=（）

A.B.-^AB+-^-^4（7C.—^45+寺ACD.—^AB+-^AC

2.（2023•全国•南三专题练习）对于给定的△⑷3C,其外心为。,重心为G,垂心为H,则下列结论不正

确的是（）

A.AO-AB=^AB-

B.OA-OB=OA-OC=OB-OC

C.过点G的直线，交4B、于E、尸，若毋=』荏，而=〃而,则』+工=3

/1〃

>■>

D.与7与厂卒一+—共线

\AB\cosB|/1C|COSC

3.（2023.3川•校联考模拟覆测）在平行四边形ABCD中，G为△BCD的重心，AG=xAB+y赤，则

3*+y=（）

A.jB.2C.jD.3

4.（2023秋•河南信阳•高三校考阶段练习）过△4BC的重心任作一直线分别交43、4。于点D、E,若

AD=xAB,AE=夕4（7,且工9#0,则[+]=（）

A.4B.3C.2D.1

5.（2023秋•上海•高二专题练习）0是平面上一定点，4、B、C是该平面上不共线的3个点,一动点P满

足：和=61+4初+前）,1>0,则直线AP一定通过△43。的（）

A.外心B.内心

C.重心D.垂心

6.（2023秋•湖北•高二<联考期中）。是丛ABC的外心，AB=6,4C=10,而=xAB+yAC,2x+10y

=5,则cosNBAC=（）

A.4B.C.-p-D.《或

23535

7.（2023•湖南•高考真题）P是△ABC所在平面上一点，若巨晨而=闻•刃=★•两，则P是

△43。的（）

A.外心B.内心C.重心D.垂心

8.（2023♦全国•高一寿题练习）已知点O,尸在△ABC所在平面内，满小3+1+。苕=6,|两|=|两|

=|用|,则点0岁依次是443。的（）

A.重心，外心B.内心，外心C.重心，内心D.垂心，外心

9.（2023-全国•南一专题练习）已知0,48。是平面上的4个定点，48。不共线，若点P满足加=

51+/1（通+京），其中AW则点P的轨迹一定经过△48。的（）

A.重心B.外心C.内心D.垂心

10.（2023春•安徽安庆•高一安庆一中校考阶段练习）在4ABe中，设。是△ABC的外心，且配=

4■湿+4■京，则NR4C等于（）

•JO

A.30°B.45°C.60°D.90°

11.（2023-全9•高三专题练习）在&ABC中，=45°,。是4ABC的外心，则/•肥+

云•南的最大值为（）

A.1B.等C.3D.y

12.（2023•全国•高三专题练习）在△ABC中，48=3,47=4,BC=5,O为△4的内心，若而=

证+/粉，贝!]♦+〃=（）

A.卷B.-T-C.堤D.

3465

13.（2023秋•四川纬用•南二四川省绵相南山中学校才开学考试）若O,Al,N在所在平面内，满

足|3?|=|加|=|正|,曲•丽=丽・沈=湿•初，且丽+而+诟=6,则点O,M,N依次

为△48。的（）

A.重心，外心，垂心B.重心，外心，内心C.外心，重心，垂心D.外心，垂心，重心

14.（2023着•浙江绍兴•高二校考学业考试）已知点O,P在△48。所在平面内，且[3司=\OB\=

74•两=两•用=用•以，则点O,P依次是△4反7的（）

A.重心，垂心B.重心，内心C.外心，垂心D.外心，内心

二、多选题

15.（2023春•河南•龙一校联考期中）已知AABC的重心为O,边AB,BC,C4的中点分别为E,F,则

下列说法不正确的是（）

A.OA+OB=2OD

B.若△ABC为正三角形，则•赤+历•沃?+文・52=（）

C.若加・（南—怒）=0,则O4LBC

D.O15+OE+OF=0

16.（2023•全国•高三专题练习）如图，”是△ABC所在平面内任意一点，。是△ABC的重心，则（）

A

A.AD+BE=CFB.MA+MB+MC=-3MO

C.MA+NSB+A^^Nm+ME+MFD.BC-AD+CA-BE+AB-CF=O

17.（2023秋•重庆渝北•高二重庆市两江育才中学校校考阶段练习）设。为A45C的外心,且满足2为

+3赤+4。4=6,司=1,则下列结论中正确的是（）

A.OB-OC=-^B.|祠=卓C.N4=2/CD.sin/A=《

81124

18.（2023春•安微淮北•南一淮北弹范大学附属实脸中学校考阶段练习）生于瑞士的数学巨星欧拉在

1765年发表的《三角形的几何学》一书中有这样一个定理:“三角形的外心、垂心和重心都在同一直线

上.”这就是著名的欧拉线定理.在中，。，〃，G分别是外心、垂心和重心，。为边的中

点，下列四个选项中正确的是（）

A.GH=2OGB.GA+GB+GC=0

C.AH—2ODD.=S&BCG=

19.（2023-全国•模板fl测）在4ABC中，点。，E分别是BC,AC的中点，点。为4ABe内的一点，则下

列结论正确的是（）

A.若而=团，则及5赤+灰?）

B.若近5=2瓦，则瓦=2说

C.若而=3彷，则OB=~AB+4^

OO

D.若点。为的外心，BC=4,则）•=-1

20.（2023春•河北石家庄•高一统考期末）著名数学家欧拉提出了如下定理:三角形的外心、重心、垂心依

次位于同一直线上，且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半，此直线被称为三角形的欧拉线，

该定理被称为欧拉线定理.已知△4BC的外心为。，垂心为H,重心为G,且=3,力C=4,下列

说法正确的是（）

A.AH-BC=（）B.AG-BC=-士C.AO-BC=-^D.OH=OA+OB+OC

ON

三、填空题

21.（2023秋♦上海长宁•南二上海市筵安中学校考期中）已知入43。的顶点坐标4（一6,2）、3（6,4）,设

G（2,0）是△4BC的重心,则顶点C的坐标为.

22.（2023款•山西吕梁•高三统考阶段练习）设。为2ABC的外心，且满足20?+3OB+4OC=0,

刘=1,下列结论中正确的序号为.

①酒/=-；-；②网=2；③41=2/C.

23.（2023*河北•模板很测）已知。为△4B。的外心，4。=3,BC=4,则文•同=

24.（2023款•上海嘉定•高二上海市嘉定区第一中学校考期中）已知A、B、。为△4BC的三个内角，有

如下命题：

①若是钝角三角形，则tan4+tanB+tan。<0；

②若4ABC是锐角三角形，则cosA+cosB<sinA+sinB；

③若G、”分别为△45。的外心和垂心，且43=1,AC=3,则后方•宓=4；

④在△43。中，若sinB=gtanC=g•，则力>03,

51

其中正确命题的序号是.

25.（2023秋•天津南开•高三南开大学府属中学校考•开学考试）在4ABC中，43=3,47=5,点N满足

BN=2NC,点O为乙45。的外心，则前•正的值为.

26.（2023*全国•高三专题练习）已知G为AABC的内心，且cosA-GA+cos历GB+cosC-宓=。,则

27.（2023*全国•高三专题练习）在AABC中，cosZBAC=』•，若O为内心，且满足质5=xAB+yAC,

O

则4+y的最大值为.

28.（2023•全国•南三专题练习）设/为的内心，若4B=2,BC=2/，AC=4,则R•郎=

微专题平面向量痛点问题之三角形“四心”问题

【■MM..]

题型一事心定理

题型二:内心定理

题型三:外心定理

题型四:垂心定理

【知识点梳理】

一、四心的概念介绍，

(1)重心：中线的交点，重心将中线长度分成2:1.

(2)内心：角平分线的交点(内切圆的圆心)，角平分线上的任意点到角两边的距离相等.

(3)外心：中垂线的交点(外接圆的圆心)，外心到三角形各顶点的距离相等.

(4)垂心：高线的交点，高线与对应边垂直.

二、三角形四心与推论：

(1)0是△力的重心：S"OC-.SACOA'SA*1：1：1«OA+OB+OC=3.

(2)0是AABC的内心：S^c-S^COA-S^AOB=a：b：coaOA+bOB+cOC=0.

(3)0是△ABC的外心：

S^BOC:S^COA:S^AOH—sin2_4:sin2B:sin2cQsin2AOA+sin2BOB+sin2coe=3.

(4)0是△力BC的垂心:

SABO。:S^COA:S^OB=tanA:tanB:tanCotanAOA+tanBOB+tanCOC=6.

【方法技巧与总结】

AR4广

(1)内心：三角形的内心在向量7^=可+T=7T所在的直线上.

\AB\

I希卜用+1宓I•咒+1两卜两=CQP为△ABC的内心.

⑵外心：|同1=1两1=1尹4O尸为△ABC的外心.

⑶垂心：刀•屈=屈•用=用・"一尸为△ABC的垂心.

(4)重心：三1+后引+后方=60。为4?18。的重心.

题型一:重心定理

例1.（2023舂•山东商城♦高一山东骄城一中校考阶段练习）已知点G是三角形ABC所在平面内一点，满

足不才+,+宓=6,则G点是三角形48。的（）

A.垂心B.内心C.外心D.重心

【答案】D

【解析】因为函+存于+瑟=百，所以至5+己月=一定=团.

以GA、GB为邻边作平行四边形G4DR,连接GD交AB于点O.如图所示

则五=/，所以豆=[五,CO是AB边上的中线，所以G点是△A3。

O

的重心.

故选:D

例2.（2023叁•山东•高一阶段练习）已知G是△ABC的重心，点。满足初=发，若=+

沙/,则'+"为（）

A.[B.gC.D.1

J/J

【答案】A

【解析】因为初=觉，A.

所以。为BC中点，

又因为G是△力BC的重心，/\

所以历■前，/G1\

又因为。为8。中点，/I\

所以亦荏+小方，BD0

所以GD--5-（-^-AB+-^rAC）--^-AJ3+-i-AC,

所以3?=沙=卷，

所以6+g=[.

0

故选:A

例3.（2023卷•上海金山•高一上海市金山中学校考期末）记△4BC内角4B,C的对边分别为a,b,c,点

G是△43。的重心，若8GJ_CG,5b=6c则cos4的取值是（）

A59B57c且D坦

75751575

【答案】D

【解析】依题意，作出图形，

因为点G是的重心，所以M是BC的中点，故彳必•（而+/）,

由已知得|肥|=a,4=b,|而|=c,

因为BG，CG,所以GM=3BC=ya,

113

又因为点G是AABC的重心，所以GM=卷G4,则AM=今。+a=ya,

又因为|A/W|2=+(AB+Ze?)?,所以-^^2=^-(c2+b2+2feccosA),则9a2=c2+1/，2A

b2+2bccosA,""

又由余弦定理得a2=c2+b2-2bccosA,所以9(，2+—2feccos/l)=c2+b2+2bccosA,整理得2c?+2b2—

56ccosA=0,

因为5b=6。,令6=6fc(fc>0)，则c=5fc,

所以2x(5fc)2+2x(6k)2—5X(6k)X(5k)cosA=0,

故选：D

题型二t内心定理

例4.（2023春•江苏宿迁•南一沐闲县修还中学校考期末）已知点P为AABC的内心，NBAC=4兀,AB

=1,4。=2,若*=1同+〃而,则/1+〃=.

【答案］生萼且

【解析】在△ABC,由余弦定理得BC=^JAC2+AB2-2AC-ABcosABAC=V7,

设O,Q,N分别是边AB,30,力。上的切点，设AN=AO^x,则NC=QC=2-x,BO=3Q=1—;r,所以

BC—BQ+QC=l—x+2—x=~J1^>x=,A

由和=/i荏得，取.荏=6荏+〃殉.福即国.网=J•+

“超荏n4O="〃，①

同理由取•才而+〃/）•/n2AN=-4+4〃，②/'J\

•r-rCQB

联立①②以及AN=AO=/即可解得：》+〃=37=3x.不'=——；?,

例5.（2023春•陕西冷安•无一陕西算大府中校才期中）已知。是平面上的一个定点，4、B、。是平面上

不共线的三点，动点P满足OP=OA+^+聋eR），则点P的轨迹一定经过△ABC的

()

A.重心B.夕卜心C.内心D.垂心

【答案】C

【解析】因为1^5,为AB方向上的单位向量，\^—*\为方向上的单位向量,

则半-+二劣的方向与乙氏4。的角平分线一致，

\AB\|AC|

+，可得和一切（=4+

即AP=4

所以点P的轨迹为/94。的角平分线所在直线,

故点P的轨迹一定经过△ABC的内心.

故选：C.

#96.（2023-全国•高一假期作业）已知/为△ABC所在平面上的一点，且/口=c,47=b,BC=a.若aJA

+b苗+c后=6,则/是八4/3。的（）

A.重心B.内心C.外心D.垂心

【答案】B

【解析】因为厉=京+南，后=湿+前,所以

aiA+bIB+ciC=aiA+b(IA+AB)+c(IA+AC)=(a+b+c)iA+bAB+cAC=^,

所以(a+b+c)IA=—(b•AB+c•AC),所以

_(b.而+c•词_

/4=a+b+c一（常转荏+小预

=一^4TZM+C国

be[ABAC\

a+6+c\cb)

=_h（-[AB.AC}

_a+b+c1|雨\AC\y

所以N在角A的平分线上，故点/在ABAC的平分线上，

同理可得，点/在NBCA的平分线上，故点/在AABC的内心,

故选：B.

例7.（2023叁•四川成都•高一树稳中学校才竞春）在AABC中，cos>l=，O为AABC的内心，若入5

=%;正+小记（£,沙€7?）,则出+夕的最大值为（）

A2B6——7-V78—2A/2^

A-35

【答案】D

【解析】如图：圆。在边AB,BC上的切点分别为E,R,连接OE,O尸,

延长49交BC于点。

设Z.OAB=J，则cos/=cos26=1-2sin%=*,则sinj=

44

设AD=AAO=AxAB+AyAC

,:8,0,。三点共线，则温+49=1,即①+g=A

AOAOAO

—1—————■-■.I....…一.■，■——.■■‘■——1，—1—

AADAO^-ODAO-{-OF..OF..OE

1+近—拓

1=1；8-2瓜

而，

即a;+U&-8----2彳V--2-

故选：D.

题型三:外心定理

例8.（2023春■湖北武汉•高一校屐考期末）在△4BC中，4B=2,AC=3,N是边BC上的点，且丽=

标,。为△A3。的外心，则福•与5=（）

A.3B.苧C.-yD.-y

424

【答案】B

【解析】因为丽=而，则N是5C的中点，所以=q■而+4■前，

设外接圆的半径为T,

所以＜0・4V=49-(yAC+*45)

=•AC+•AB=-1-rx3xcosZOAC+~rX2xcosZ.OAB

=TX3XT+TX2X1=^-

故选：B.

例9.（20234•河南许$•高一稣考期末）已知P在ZV16C所在平面内,满足|凡可=|两|=\PC\，则P是

△46。的（）

A.外心B.内心C.垂心D.重心

【答案】A

【解析】|巨司=|两|=|声表示P到ABC三点距离相等，P为外心.

故选：A.

例10.（2023春•四川白贡•高一统考期末）直角△ABC中，/。=90。,人口=4,0为△43。的外心，OA-

OB+OB-OC+OC-OA=（）

A.4B.-4C.2D.-2

【答案】B

【解析卜.•直角△ABC中，NC=90°,AB=4,O为△力的外心，

二O为AB的中点，即OA=OB=2,

:.OA+OB=6且OA-OB=\OA\•\OB\,cosl800=—4,

.•.以屈+亦正+弧51=-4+弧（51+两=-4+0=-4,

故选：B.

例11.（2023春•辽宁丹东•方一凤城市第一中学校考阶段练习）已知。为△4BC的外心，若力B=1,则

AB-AO=（）

A.—B.C.-1D.

【答案】B

C

【解析】因为点。为△ABC的外心，设4B的中点为2连接QD,则OD_LAB,如图

所以•初=屈•（莅+而）=诟•而+通•函=4■荏2+0=Jxl2=J/\

故选：A\

4nB

题型四:垂心定理

例12.（2023春•河南南用•南一饨考期中）若H为△4BO所在平面内一点，且|方君+|SC|2=\HB^+

|不「=|月通|2+1司同2则点”是44口。的（）

A.重心B.外心C.内心D.垂心

【答案】D

【解析]I丽『+\HS\2+\CA\2^\HA\2+（而+笳）2=\HB\2+（CH+HA）2,

得朗•武=司・且才=>宓•切=0,即笳_1_诟；

\HA\2+\BC\2=\HC\2+\AB\2^>\HA[+（BH+HC）2=I宓『+（AH+HB）2,

得丽•蔗=而•说n丽•而=0,即屈_L前；

\HB\2+\CA\2=\HC[+\AB\2^\HB\2+（由+锅）2=\iicf+（而+画2,

曲•海=彳）•说n面•丽=0,即弘_1_0及所以H为△ABC的垂心.

故选：D.

例13.（多选题）（2023春•湖南长沙・方一长沙市明稳中学校考期中）已知O,N,P,/在△A3。所在的平

面内，则下列说法正确的是（）

A.若|次1|=|砺|=|定|,则O是△ABC的外心

B.若户1•两=两•7日=用•巨乙则P是△ABC的垂心

C.若殖+说+配=0,则N是△A3。的重心

D.若万•京=衣•用=说，而=0,则/是△4RC的垂心

【答案】ABCD

【解析】对4根据外心的定义，易知A正确；

对3,PB-（对一用）=闻・淳=0=>~01,。4,同理可得：PAJLCB,PC_L4B,所以P是垂心，故3

正确；

对。，记AB、BC、C4的中点为D、E、R,由题意醇+而=2ND=-NC,则|M7|=2|ND|,同理可得：

|M4|=2|WE|,|7VB|=2\NF\,则N是重心，故C正确；

对D,由题意，CB±IA,AC1.IB,BA±IC,则I是垂心，故。正确

故选：ABCD.

例14.（2023春•河南商丘•iU一商丘市第一高级中学校考阶段练习）设H是的垂心，且4豆4+

5HB+6HC=6,则cosZAHB=.

【答案】一密

［解析「；H是ZVIB。的垂心，

：.HA±BC,HA-BC=HA-{HC-HB）=O,

:.海•屉=而•怠，同理可得,HB-HC=HC-HA,

故互5屈=配•同=超且5,

•••4^Z+5屈+6初=6,

：.AHA2+5HA-HB+GHA-HC=0,

.•.a.屈=一吉|豆?『，同理可求得两.而=一］|说『，

-畀网

HB-HA4■网2

cosAAHB=丝•竺=-网网，cosA4HB.

\^B\\HA\|同明网网'

co^Z.AHB=*，即cosZ.AHB=—

故答案为：一噜.

MMS1

一、单选题

1.（2023•四川泸州•济县五中校才二模）已知△ABC的重心为O,则向量司=（）

A.-^AB+-^ACB.+-^rACC.—^r-AB+-^ACD.—jr-AB4--^AC

JJJJJJoo

【答案】c

【解析】设E,F,。分别是AC,AB,BC的中点，

由于。是三角形43。的重心，

所以BO=与BE=x（AE—AB\-x（-^r-A.C—AB）=—^AB+-^-AC.

OO''J/'Jo

故选：c.

2.（2023•全国•高三寿题练习）对于给定的△ABC,其外心为O,重心为G,垂心为〃，则下列结论不正

确的是（）

»，>1»9

A.AO-AB=-^AB

B.OA-OB^OA-OC=OB-OC

C.过点G的直线Z交48、A。于E、尸，若荏=』碣而=〃而，则十+5=3

D.而与一+一^一共线

\AB\cosB|AC|COSC

【答案】B

【解析】如图，设中点为M,则OM_LAB,：.\AO\cosAOAM=\AM\,

Ad-AB=\Ad\\AB\cos^OAB=网（展,OSNOAB）=\AB\-^^-=

司［故A正确；

OAOB=OAOC等价于OA（OB-OC）=0等价于0408=0,即04±BC,

对于一般三角形而言，O是外心，CM不一定与B。垂直，比如直角三角形ABC中，

若B为直角顶点，则O为斜边AC的中点，04与B。不垂直，故B错误；

设3C的中点为

则而=1^=?南+态）=1得通+时通”击担+壶祝

E,F,G三点共线，.\-X-+--=1,即］+工=3,故C正确；

«5/10/.1A）1

荏/］庇=涵历+前历

\AB\cosB困COS。J网cosB国cosC

|AB||BC|COS（7T-B）罔瓯COS。

=-\BC\+\BC\=O,

|ABjcosB|A<7|COSC

与宓垂直，又••••方，后已,

\AB\cosB国COSC

1,

AB14c与矽共线，故D正确.

网cosB国cosC

故选：B.

3.（2023-四川•校或考模拟预测）在平行四边形ABCD中，G为&BCD的重心，AG=xAB+9田,则

3x+y=（）

A.yB.2C.yD.3

【答案】C

【解析】如图，设力。与3D相交于点。，由G为A5CD的重心，可得。为RD的中

点，

CG=2GO,则4G=4O+OG=4O+*OC=等40=年x9（AB+4O）=~^4B+54D,

JoJ/'JJ

可得c=y=[■，故3/+y=*

故选：C.

4.（2023秋•河南信用•高三校考阶发练习）过△46C的重心任作一直线分别交AB、AC于点。、E,若

=且；0,则:+]=（）

A.4B.3C.2D.1

【答案】B

【解析】设△43。的重心为点G,延长力G交3。于点M,则M为线段3。的中点,

因为D、G、E三点共线，设见=1屈，即彳苕-赤=义（初一前），

所以，怒=（1一;I）赤+A屈=（1-Rz•存+沟座，

因为M为BC的中点，则无必=荏+丽=亚■肥=屈+

^[AC-AB}=^AB+^AC,

因为G为△/BC的重心，则/戒■荏+J■而，

OJJ

所以，（1—X）x=句=4■，所以，——F--=3（1-/I）+3/1=3.

Jxy

故选：B.

5.（2023秋•上海•高二专题练习）0是平面上一定点，4、B、C是该平面上不共线的3个点，一动点P满

足：市+1（而+而）/＞（）,则直线AP一定通过△4瓦7的（）

A.外心B.内心

C.重心D.垂心

【答案】C

【解析】取线段的中点E,则荏+而=2AE.

动点P满足：OP^OA+A(AB+AC),A>0,

则OP-OA=2AAE

则AP^2AAE.

则直线AP一定通过△ABC的重心.

故选：C.

6.(2023秋•湖北•高二校联考期中)0是&4BC的外心，AB=6,AC=1(),而=xAB+yAC,2x+l()y

=5,则cosZ.BAC=()

A.-1-B.C.D.I或去

23535

【答案】D

【解析】当。在力。上，则。为AC的中点，2=0,?=｝满足22+10?=5,符合题意，

:.AB±BC,则cosZBAG=—石；

当。不在人。上，取48,4C的中点E,连接ODQE,则O0，4旦OE«LAC,

故选：D.

7.(2023•湖南•高考真题)P是△ABC所在平面上一点，若月不•丽=两•咒=对•巨才，则P是

△43。的()

A.外心B.内心C.重心D.垂心

【答案】D

【解析】因为可♦屈=丽•困，则两•(咒一两)=屈・冠=0,所以，PBL4C,

同理可得R4±BC,PC1.AB,故P是A4BC的垂心.

故选：D.

8.（2023•全国•龙一寿题练习）已知点O,P在△ABC所在平面内，满。才+而+。心=6,庐司=|丽|

=|同|,贝1J点O,P依次是£\ABC的（）

A.重心，外心B.内心，外心C.重心，内心D.垂心，外心

【答案】A

【解析】设AB中点为。，因为小N+。豆+。方=6,

所以。+丽+区=2时+五=小，即一2①=况，